高考数学专题03导数及其应用第01期百强校小题精练理

高考数学专题03导数及其应用第01期百强校小题精练理

第3练 导数及其应用 一、单选题 ‎1．满足 的一个函数是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】显然只有 C. 满足 ‎ ‎2．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（ ）‎ A． ﹣2 B． 0 C． 2 D． 4‎ ‎【答案】C 考点：导数与最值 ‎3．设函数，下列结论中正确的是( )‎ A．是函数的极小值点，是极大值点 ‎ B．及均是的极大值点 C．是函数的极小值点，函数无极大值 ‎ D．函数无极值 ‎【答案】C ‎【解析】;‎ 令；‎ 时，时，时，‎ 故是函数的极小值点，函数无极大值。选C ‎4．曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，当时，，所以切线方程是，整理为，故选B.‎ 考点：导数的几何意义 ‎ ‎5．若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 点睛：本题主要考查了导数知识在函数极值上的应用，属于中档题。在本题中，不要遗漏掉这种特殊情况。‎ ‎6．已知函数，则（ ）‎ A． 当时，在单调递减 B． 当时，在单调递减 C． 当时，在单调递增 D． 当时，在单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】分析：求导然后分析函数单调性根据a，b取值情况，重点分析最值即可得出原函数的单调情况，从而得出结论 详解：，当令则，所以 h（x）在（0,2）递减， （2，）递增， h（x）的最小值是h（2）=0，所以则 在单调递增，选D 点睛：考查导函数的应用，本题关键是二次求导后研究出函数的最值即可得出结论.‎ ‎7．若曲线的一条切线经过点，则此切线的斜率为（ ）‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎8．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由原不等式等价于，若时，不等式成立，若时，可令，则，又，且为单调递增函数，构造函数，则在的最值为，当时，易知在上递减，此时为减函数，不等式成立，当时，且，即，满足不等式，综合得的范围为. ‎ ‎9．已知函数，若存在实数，使得，则 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简方程，分组研究以及最小值，确定等于号取法，解得.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求最值以及利用导数求函数最值，考查基本分析与求解能力.‎ ‎10．已知函数，则和的公切线的条数为 A． 三条 B． 二条 C． 一条 D． 0条 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程，构造函数，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.‎ ‎【详解】‎ 设公切线与和分别相切于点，，解得，代入化简得，构造函数，原函数在，极大值 ‎ 故函数和x轴有交3个点，方程有三解，故切线有3条.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x轴的交点问题.‎ ‎11．函数在内存在极值点，则（ ）‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ 若函数在无极值点，则或在恒成立.‎ ‎①当在恒成立时，时，，得；时，，得；‎ ‎②当在恒成立时，则且，得；‎ 综上，无极值时或.‎ ‎∴在在存在极值.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；‎ ‎（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或减的函数没有极值.‎ ‎12．设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ 恰有3个零点，则恰有3个根，‎ 令，即 与恰有3个交点，‎ ‎，‎ 当时，，所以在上是减函数；‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以在时增函数，在时减函数，且，‎ 所以 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ 二、填空题 ‎13．若函数在上可导， ，则 .‎ ‎【答案】‎ 考点：积分运算．‎ ‎14．若曲线在点处的切线与曲线相切，则的值是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义得到切线方程，联立方程，由判别式法得到的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即，‎ 联立 得，‎ 为直线与曲线相切，‎ 所以，解得.‎ 故答案为： ‎ ‎【点睛】‎ 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎15．函数， ，若使得，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ 令，令 ‎，故在上是减函数，在上是增函数，当时有最小值，而当且仅当，即，故，当且仅当等号成立时成立，故，即 ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．‎ ‎16．若存在实常数k和b，使得函数对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线的“隔离直线”，已知函数(e为自然对数的底数)，有下列命题：‎ ‎①内单调递增；‎ ‎②之间存在“隔离直线”，且b的最小值为；‎ ‎③之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是；‎ ‎④之间存在唯一的“隔离直线”．‎ 其中真命题的序号为__________．(请填写正确命题的序号)‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合“隔离直线”的定义逐一考查所给的说法是否正确即可.‎ ‎【详解】‎ ‎②、③设f(x)、g(x)的隔离直线为y=kx+b,则x2⩾kx+b对一切实数x成立,即有△1⩽0,k2+4b⩽0，b⩽0，‎ 又⩽kx+b对一切x<0成立,则kx2+bx−1⩽0,即△2⩽0,b2+4k⩽0，k⩽0，‎ 即有k2⩽−4b且b2⩽−4k,k4⩽16b2⩽−64k⇒−4⩽k⩽0，同理可得−4⩽b⩽0，故②对，③错；‎ ‎④函数f(x)和h(x)的图象在处有公共点,‎ 因此若存在f(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点,‎ 设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为y−e=k(x−),即y=kx−k+e，‎ 由f(x)⩾kx−k+e(x∈R),可得x2−kx+k−e⩾0当x∈R恒成立，‎ 则△⩽0,即，故,此时直线方程为：，‎ 下面证明：‎ 令，则，‎ 当时,G′(x)=0,当时,G′(x)<0,当时,G′(x)>0，‎ 则当时,G(x)取到极小值，极小值是0，也是最小值.‎ 所以,则当x>0时恒成立.‎ ‎∴函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线，故④正确.‎ 故答案为：①②④. ‎ ‎【点睛】‎ ‎“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎