备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题09 导数的几何意义——切线问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题09 导数的几何意义——切线问题

专题09 导数的几何意义-----切线问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 导数的几何意义为高考热点内容，考查题型文科多为选择、填空题，理科常出现在解答题中，难度中等或更小．归纳起来常见的命题探究角度有：‎ ‎(1)求切线方程问题．‎ ‎(2)确定切点坐标问题．‎ ‎(3)已知切线问题求参数．‎ ‎(4)切线的综合应用．‎ ‎（一）与切线相关的定义 ‎1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A.这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线.‎ ‎（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点向不断接近，当与距离非常小时，观察直线是否稳定在一个位置上.‎ ‎（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数在处的切线，与曲线有两个公共点.‎ ‎（3）在定义中，点不断接近包含两个方向，点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如在处，通过观察图像可知，当左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，而当右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，两个不同的方向极限位置不相同，故在处不含切线.‎ ‎（4）由于点沿函数曲线不断向接近，所以若在处有切线，那么必须在点及其附近有定义（包括左边与右边）‎ ‎2、函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：‎ ‎（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置.故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数.‎ ‎（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数.例如前面例子在 11‎ 处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可.‎ ‎（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在.例如：在处不可导.‎ 综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数.由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数.‎ ‎（二）方法与技巧：‎ ‎1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程.‎ ‎2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点的横坐标，因为可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标，代入到导函数中可得到切线的斜率,从而一点一斜率，切线即可求所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来.‎ ‎3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标,再考虑利用条件解出核心要素，进而转化成第一类问题.‎ ‎4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用求出参数值进而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通。若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：（图像为圆的一部分）在处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在轴的抛物线，可看作关于的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在轴的抛物线切线问题的重要方法）.‎ ‎5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.‎ ‎【经典例题】‎ 例1【2017课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．‎ ‎【答案】‎ 11‎ ‎【解析】‎ 例2【2017天津，文10】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．相应地，切线方程为．注意：求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.例3【2019届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第三次模拟】己知曲线上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知，即有两个解，且均大于零。即，‎ ‎，解得,选A.‎ 例4.已知函数y＝x2的图象在点(x0,)处的切线为l，若l也与函数y＝ln x，x∈(0,1)的图象相切，则x0的取值范围为(　　)‎ A. B. ‎ 11‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，设切线与相切的切点为，，即有的导数为，‎ 例5【2019届重庆市高三4月（二诊）】曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为．‎ 令，得；令得．‎ ‎∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为．选B．‎ 例6【2019届江西省南昌市高三一轮训练】直线与曲线相切于点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 11‎ ‎【解析】的导函数为,‎ 又直线与曲线相切于点，‎ ‎∴,即 ‎∴‎ 故选：C.‎ 例7【2019届河南省高三4月测试】已知函数在点处的切线为，动点在直线上，则的最小值是（ ）‎ A. 4 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D 例8【2019届广东省2019届高三一模】已知抛物线为轴负半轴上的动点，为抛物线的切线，分别为切点，则的最小值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设切线的方程为，代入抛物线方程得，由直线与抛物线相切得， 时 ，根据导数的几何意义可得 则同理可得，将点的坐标代入，得，故，当时，的最小值为，故选A.‎ 例9【2019届江西省师范大学附属中学、九江第一中学高三11月联考】设曲线在点 11‎ 处的切线与直线平行,则实数等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 例10. 求过点，且与曲线相切的直线方程 ‎【答案】或 ‎【解析】满足，但题目并没有说明是否为切点，所以要分是否为切点进行分类讨论。当是切点时，易于求出切线方程，当不是切点时，切点未知，从而先设再求，设切点，切线斜率为，三个未知量需用三个条件求解：① ，②，③‎ 解：（1）当为切点时 ‎ ‎ 切线方程为：‎ ‎（2）当不是切点时，设切点，切线斜率为 ‎，消去可得：‎ 而 ‎ 方程等价于：‎ 解得：（舍），‎ ‎ 切线方程为 综上所述：切线方程为或.‎ 11‎ ‎【名师点睛】（1）由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位置是切线，从而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相切于一点，并与曲线的另一部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子 ‎（2）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用已知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届北京市育英中学高三十月月考】曲线在点的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎2【2019届吉林省长春市高三监测（三）】已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知,,a ‎，令.‎ 故选:B.‎ ‎3【2019届北京市育英中学高三十月月考】已知曲线的一条切线的斜率为,则切点横坐标为（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D 11‎ 故选D.‎ 点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数，即为在该点出的切线的斜率，在处理该问题中需注意切点的重要性，主要利用：①切点出的导数为斜率；②切点坐标满足曲线方程；③切点坐标满足切线方程.‎ ‎4．【2019届广西桂林、贺州、崇左三市高三第二次联考】若曲线与曲线（）存在公共切线，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】在点的切线斜率为, 在点的切线的斜率为,故,由斜率公式得,即,则有解.由, 的图象有交点即可,相切时有,所以,故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,过曲线上某点出的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是中档题.要求曲线上某点的切线方程,需要到两个量,一个是切点,一个是切线的斜率,分别求得切点和斜率,然后根据点斜式可写出切线方程.‎ ‎5【2019届东北三省四市高三一模】已知过曲线上一点作曲线的切线，若切线在轴上的截距小于0时，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以切线方程为，即，令得，截距小于0时， ，解得，故选C.‎ ‎6【2019届陕西省西安市八校高三上第一次联考】曲线上一点处的切线交轴于点（为原点）是以为顶点的等腰三角形，则切线的倾斜角为（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°‎ ‎【答案】C ‎∴，即 ‎∴‎ ‎∴切线的斜率为 ‎∴切线的倾斜角为 故选C.‎ ‎7 【2019届江西省金溪一中、余江一中等五市八校高三上第一次联考】直线与曲线相切于点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由直线与曲线相切于点，‎ ‎ 则点满足直线的方程，即，即 由，则，则，解得，故选A．‎ 11‎ ‎8【2019届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末】已知正数满足，则曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎9 【2019届山西省太原十二中高三1月月考】若曲线在点处的切线经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，所以切线的斜率为，切线方程为，所以，选D.‎ ‎10【2019届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】己知曲线上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知，即有两个解，且均大于零。即，‎ ‎，解得,选A.‎ ‎【点睛】转化为有两个正数解，用韦达和判别式或根的分布求得范围.‎ ‎11【2019届四川省高三春季诊断性测试】已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线 11‎ 切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【名师点睛】本题关键为对切线方程的求法的熟悉，根据切线方程斜率和切点可以列出两个等式，然后消掉t得到关于a方程从而确定f（x）的表达式 ‎12.【2019届湖北七市（州）教研协作体3月高三联考】已知函数在点 处的切线为，若直线在轴上的截距恒小于，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【名师点睛】对于这种压轴选择题，我们掌握一些做题技巧，巧借答案可根据备选答案去分析通过排除法轻而易举得出结论. ‎ 11‎