全国统一高考数学模拟试卷理科

全国统一高考数学模拟试卷理科

‎2016年全国统一高考数学模拟试卷（理科）（新课标I）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合A={x|x≤2}，，则A∩B=（　　）‎ A．[1，2] B．[0，2] C．（1，2] D．[﹣1，0）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由B中y=，得到，即x＞1，‎ ‎∴B=（1，+∞），‎ ‎∵A=（﹣∞，2]，‎ ‎∴A∩B=（1，2]，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的（　　）‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】复数z=m2+mi﹣1为纯虚数，m为实数⇔，解得m即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：复数z=m2+mi﹣1为纯虚数，m为实数⇔，解得m=±1．‎ ‎∴“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．已知函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到函数g（x）的图象，h（x）=cos（x+），g（x）与h（x）图象的零点重合，则m不可能的值为（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，求得m，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到g（x）=sin（x﹣m）‎ ‎=cos（﹣x+m）=cos（x﹣m﹣）的图象．‎ 又h（x）=cos（x+）的图象，g（x）与h（x）图象的零点重合，‎ 故g（x）=cos（x﹣m﹣）和h（x）=cos（x+）的图象相差半个周期，‎ ‎∴=kπ﹣﹣m，即 m=kπ﹣，k∈Z，故m的值不会是，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（　　）‎ A．150 B．180 C．200 D．280‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．‎ ‎【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．‎ 若是1，1，3，则有C53×A33=60种，‎ 若是1，2，2，则有×A33=90种 所以共有150种不同的方法．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），且f（x）=，则f A．1 B．2 C．9 D．10‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性的定义域的对称性求出m，利用函数的周期性进行转化求解即可．‎ ‎【解答】解：∵函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），‎ ‎∴﹣3﹣m+m2﹣m=0，‎ 即m2﹣2m﹣3=0，‎ 得m=3或m=﹣1，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m=3，‎ 则当x≥0时，f（x）=f（x﹣3），‎ 则f=f（0）=f（﹣3）=（﹣3）2+1=9+1=10，‎ 故选：D．‎ ‎6．如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（　　）‎ A． B．3π C．4π D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】球心到棱锥各表面的距离等于球的半径，求出棱锥的各面面积，使用体积法求出内切球半径．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：‎ 其中SA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，SA=4．‎ ‎∴SB=SD==5，‎ ‎∴S△SAB=S△SAD=，S△SBC=S△SCD=．S底面=32=9．‎ V棱锥==12．S表面积=6×2+7.5×2+9=36．‎ 设内切球半径为r，则球心到棱锥各面的距离均为r．‎ ‎∴S表面积•r=V棱锥．∴r=1．‎ ‎∴内切球的表面积为4πr2=4π．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（　　）‎ A．114 B．10 C．150 D．50‎ ‎【考点】几何概型；简单线性规划．‎ ‎【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．‎ ‎【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC==．‎ 区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，‎ 则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．‎ ‎∴芝麻落入区域Γ的概率为=．‎ ‎∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（　　）‎ A．i＞3？ B．i＜5？ C．i＞4？ D．i＜4？‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 i=1，S=10‎ 满足判断框内的条件，第1次执行循环体，s=10﹣21=8，i=2，‎ 满足判断框内的条件，第2次执行循环体，s=8﹣22=4，i=3，‎ 满足判断框内的条件，第3次执行循环体，s=4﹣23=﹣4，i=4，‎ 此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣4，‎ 则条件框内应填写：i＜4，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≥3 B．m≤3 C．m＞3 D．m＜3‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】直线：y=kx﹣k+1恒过定点（1，1），利用直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，定点在圆内或圆上，即可得出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：直线：y=kx﹣k+1恒过定点（1，1），‎ ‎∵直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，‎ ‎∴12+2×12≤m，‎ ‎∴m≥3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱往的高为，若P是△A1B1C1中心，且三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，由此能求出PA与平面ABC所成的角．‎ ‎【解答】解：由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，‎ 则点O为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，‎ ‎∵|OA|==，|OP|=，‎ 又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中体积为，‎ ‎∴由直棱柱体积公式得V==，解得a=，‎ ‎∴tan∠PAO==，‎ ‎∴，‎ ‎∴PA与平面ABC所成的角为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．如图，已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足=，（）•=0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若=5，则双曲线C的渐近线方程为（　　）‎ A．y=± B．y=± C．y=± D．y=±‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】由题意，|PF1|=|F1F2|2c，|QF1|=a，|QF2|=a，由余弦定理可得=，确定a，b的关系，即可求出双曲线C的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：由题意，（）•=0，∴|PF1|=|F1F2|=2c，|QF1|=a，|QF2|=a，‎ ‎∴由余弦定理可得=，‎ ‎∴c=a，‎ ‎∴b=a，‎ ‎∴双曲线C的渐近线方程为y=x．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（　　）‎ A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】利用导数与函数的单调性关系判断g（x）的单调性求出g（x）在[1，4]上的最大值b，对a进行讨论判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，令fmin（x）≥b解出a的范围．‎ ‎【解答】解：g′（x）=﹣3x2+5x+2，令g′（x）=0得x=2或x=﹣．‎ 当1≤x＜2时，g′（x）＞0，当2＜x＜4时，g′（x）＜0，‎ ‎∴g（x）在[1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减，‎ ‎∴b=g（2）=0．‎ ‎∴f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，‎ f′（x）=2x﹣a﹣=，‎ 令h（x）=2x2﹣ax﹣a，△=a2+8a．‎ ‎（1）若△=a2+8a≤0，即﹣8≤a≤0，则h（x）≥0恒成立，‎ ‎∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，‎ ‎∴fmin（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，‎ ‎∴﹣8≤a≤0．‎ ‎（2）若△=a2+8a＞0，即a＜﹣8或a＞0．‎ 令f′（x）=0得h（x）=0，解得x=（舍）或x=．‎ 若a＜﹣8，则＜0，则h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，‎ ‎∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，‎ ‎∴fmin（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，‎ ‎∴a＜﹣8．‎ 若0＜≤1，即0＜a≤1，则h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，‎ ‎∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，‎ ‎∴fmin（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，‎ ‎∴0＜a≤1．‎ 若＞1，即a＞1时，则1≤x＜时，h（x）＜0，当x＞时，h（x）＞0．‎ ‎∴1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0．‎ ‎∴f（x）在[1，]上单调递减，在（，+∞）上单调递增．‎ 此时fmin（x）＜f（1）=1﹣a＜0，不符合题意．‎ 综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是　10　．‎ ‎【考点】简单随机抽样．‎ ‎【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．‎ ‎【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，10，．其中第二个和第四个都是02，重复．‎ 可知对应的数值为08，02，14，07，10，‎ 则第5个个体的编号为10．‎ 故答案为：10‎ ‎　‎ ‎14．在四边形ABCD中，AB∥CD， =0，AB=2BC=2CD=2，则在上的投影为　﹣　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】先建立坐标系，根据坐标的运算和向量的投影即可求出．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD， =0，AB=2BC=2CD=2，‎ 以B为坐标原点，以BA为x轴，BC为y轴，建立如图所示的坐标系，‎ ‎∴A（2，0），C（0，1），D（1，1），‎ ‎∴=（﹣1，1），=（﹣2，1），‎ ‎∴•=﹣1×（﹣2）+1×1=3，||=，‎ ‎∴在上的投影为=﹣=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎15．已知数列{an}，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=，n∈N*，则b2016=　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】数列{an}，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=，n∈N*，可得b1=1﹣a1=，bn+1==．求出b2，b3，b4，…，猜想：bn=，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=，n∈N*，‎ ‎∴b1=1﹣a1=，bn+1==．‎ ‎∴b2=，b3=，b4=，…，‎ 猜想：bn=，‎ 经过验证：bn+1=成立．‎ 则b2016=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF′|=2a，过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，‎ 据此可求出P点的横坐标，后在Rt△PDF中根据勾股定理建立等式，由此能求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF ‎∴|EF|=b，‎ ‎∵，‎ ‎∴E为PF的中点，|PF|=2b，‎ 又∵O为FF′的中点，‎ ‎∴PF′∥EO，‎ ‎∴|PF′|=2a，‎ ‎∵抛物线方程为y2=4cx，‎ ‎∴抛物线的焦点坐标为（c，0），‎ 即抛物线和双曲线右支焦点相同，‎ 过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，‎ ‎∴PD=PF′=2a，‎ ‎∴P点横坐标为2a﹣c，设P（x，y），‎ 在Rt△PDF中，PD2+DF2=PF2，即4a2+y2=4b2，4a2+4c（2a﹣c）=4（c2﹣b2），‎ 解得e=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣n+1，n∈N*，‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣n+1，n∈N*，变形为an+1﹣（n+1）=2（an﹣n），利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）bn==，利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣n+1，n∈N*，‎ ‎∴an+1﹣（n+1）=2（an﹣n），‎ ‎∴数列{an﹣n}是等比数列，首项为1，公比为2．‎ ‎∴an﹣n=2n﹣1，即an=n+2n﹣1．‎ ‎（2）bn===，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Sn=++…++‎ ‎=‎ ‎=﹣．‎ ‎　‎ ‎18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如表所示：‎ 手机系统 一 二 三 四 五 安卓系统（元）‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎20‎ ‎9‎ IOS系统（元）‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎18‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？‎ ‎（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．‎ 下面的临界值表供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．‎ ‎【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（1）根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2=0.4＜2.706，可得到没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关；‎ ‎（2）由题意求得X的取值0，1，2，运用排列组合的知识，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式计算即可得到（X）．；‎ ‎【解答】解：（1）根据题意列出2×2列联表如下：‎ 咻得多少 手机系统 咻得多 咻得少 合计 安卓 ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ IOS ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 合计 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ K2==0.4＜2.706，‎ 所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关．‎ ‎（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，‎ P（X=0）==；‎ P（X=1）==；‎ P（X=2）== ‎ 故X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴数学期望E（X），E（X）=0×+1×+2×=0.8． ‎ ‎　‎ ‎19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；‎ ‎（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（I）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；‎ ‎（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断．‎ ‎【解答】解：（I）CM与BN交于F，连接EF．‎ 由已知可得四边形BCNM是平行四边形，‎ 所以F是BN的中点．‎ 因为E是AB的中点，‎ 所以AN∥EF．…‎ 又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，‎ 所以AN∥平面MEC．…‎ ‎（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．‎ 又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，‎ ‎∴DN⊥面ABCD，‎ 如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，‎ 则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），‎ ‎=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），‎ 设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．‎ 则，∴，‎ 令y=h，∴=（2h， h，），‎ 又平面ADE的法向量=（0，0，1），‎ ‎∴cos＜，＞===，解得h=，‎ ‎∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为．‎ ‎　‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，E′F′两点的坐标分别为（0，），（0，﹣），动点G满足：直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣．‎ ‎（1）求动点G的轨迹方程；‎ ‎（2）过点O作两条互相垂直的射线，与（1）中的轨迹分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）设动点G的坐标（x，y），直线E'G的斜率，直线F'G的斜率（x≠0），由直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣，能求出求动点G的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线AB的方程为y=kx+m，联立，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、椭圆性质，结合已知能求出△OAB面积的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵，设动点G的坐标（x，y），‎ ‎∴直线E'G的斜率，直线F'G的斜率（x≠0），‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴动点G的轨迹方程为． （ 4分）‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+m，‎ 联立，消去y，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，‎ ‎，，‎ ‎∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，‎ 即，‎ 把，代入，得，‎ 整理得7m2=12（k2+1），∴O到直线AB的距离d===，‎ ‎∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，‎ 当且仅当OA=OB时取“=”号．‎ 由d•AB=OA•OB，得d，∴AB≥2d=，‎ 即弦AB的长度的最小值是，‎ ‎∴△OAB面积的最小值为．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R ‎（1）若函数g（x）=+ax﹣f（x），求g（x）在区间[，e]上的最大值；‎ ‎（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）令g′（x）=0得出g（x）的极值点，判断g（x）在[，e]上的单调性，根据单调性得出最大值；‎ ‎（2）对a进行讨论，判断g（x）在（0，e]上的单调性，求出最小值，令最小值为3解出a．‎ ‎【解答】解：（1）g（x）=﹣+lnx，‎ g′（x）=﹣x+=．‎ ‎∴当≤x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x≤e时，g′（x）＜0．‎ ‎∴g（x）在[，1]上单调递增，在（1，e]上单调递减，‎ ‎∴当x=1时，g（x）在[，e]上取得最大值g（1）=﹣．‎ ‎（2）g（x）=ax﹣lnx，g′（x）=a﹣．‎ 当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上是减函数，‎ ‎∴gmin（x）=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍）．‎ 当a＞0时，令g′（x）=0得x=．‎ ‎∴当0＜x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0．‎ 当0＜＜e即a＞时，g（x）在（0，]上单调递减，在（，e]上单调递增，‎ ‎∴gmin（x）=g（）=1﹣ln=3，解得a=e2．‎ 当≥e即0＜a≤时，g（x）在（0，e]上是减函数，‎ ‎∴gmin（x）=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍）．‎ 综上，a=e2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC相交于点D，AE=2BD=2．‎ ‎（1）求证：EA=ED；‎ ‎（2）求DC•BE的值．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．‎ ‎【分析】（1）由圆的弦切角定理和内角平分线的性质，可得∠DAE=∠ADE，即可得证；‎ ‎（2）由对应角相等，可得△ABE∽△CAE，由相似三角形的性质和内角平分线定理，可得DB•DE=DC•BE，代入计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∠ADE=∠ABD+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠EAC，‎ 由AE为△ABC的外接圆的切线，‎ 由弦切角定理可得∠ABD=∠EAC，①‎ 由AD为∠BAC的平分线，‎ 可得∠BAD=∠DAC，②‎ ‎①②相加可得∠DAE=∠ADE，‎ 则EA=ED． ‎ ‎（2）∵‎ ‎∴△ABE∽△CAE，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，‎ 即DB•AE=DC•BE，‎ 由（1）知EA=ED，∴DB•DE=DC•BE．‎ 根据已知条件AE=2BD=2．‎ 可得BD=1，EA=ED=2，‎ 所以DB•DE=DC•BE=2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．‎ ‎（1）若α=，求线段AB的长度；‎ ‎（2）若直线的斜率为，且有已知点P（2，），求证：|PA|•|PB|=|OP|2．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）由曲线C：（θ为参数），利用平方关系可得C的普通方程．当时，直线方程为：（t为参数），代入代入曲线C的普通方程，得13t2+56t+48=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出．‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化为：（cos2α+4sin2α）t2+（8sinα+4cosα）t+12=0，利用根与系数的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由曲线C：（θ为参数），可得C的普通方程是=1．‎ 当时，直线方程为：（t为参数），‎ 代入曲线C的普通方程，得13t2+56t+48=0，‎ 则线段AB的长度为． ‎ ‎（2）证明：将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，‎ 化为：（cos2α+4sin2α）t2+（8sinα+4cosα）t+12=0，‎ ‎∵，‎ 而直线的斜率为，则代入上式求得|PA|•|PB|=7．‎ 又，‎ ‎∴|PA|•|PB|=|OP|2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（a＞1）‎ ‎（1）若不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤或x}，求a的值；‎ ‎（2）∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；‎ ‎（2）问题转化为：2|x﹣1|+|x﹣a|≥1．通过讨论x的范围，求出不等式的解集，从而确定出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1），‎ x≥a时，2x﹣a﹣1≥2得，‎ x＜1时，﹣2x+a+1≥2得 综上得：a=2． ‎ ‎（2）由x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1可得2|x﹣1|+|x﹣a|≥1．‎ 当x≥a时，只要3x﹣2﹣a≥1恒成立即可，此时只要；‎ 当1＜x≤a时，只要x﹣2+a≥1恒成立即可，此时只要1﹣2+a≥1⇒a≥2；‎ 当x＜1时，只要﹣3x+2+a≥1恒成立即可，此时只要﹣3+2+a≥1⇒a≥2，‎ 综上a∈[2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎2016年10月16日