2012届高考数学第二轮同步复习题5

2012届高考数学第二轮同步复习题5

‎2012年高考数学二轮复习同步练习：‎ 专题2函数、导数及其应用 第1讲 函数的图像与性质 ‎ 一、选择题 ‎1．(文)(2011·海南五校联考)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　)‎ A．－2　　　 B．－‎1　‎　　‎ C．1　　　　 D．2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由已知得函数y＝x2＋(1－a)x－a是偶函数，因此1－a＝0，a＝1，选C.‎ ‎(理)(2011·重庆理，5)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是(　　)‎ A．(－∞，1] B．[－1，]‎ C．[0，) D．[1,2)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　f(x)＝|ln(2－x)|‎ ‎＝ 所以当x∈(－∞，1)时，f(x)是减函数，‎ 当x∈[1,2)时，f(x)是增函数，故选D.‎ ‎[评析]　本题亦可作出f(x)的图像，直接判定．‎ ‎2．(文)(2011·浙江理，1)设函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝(　　)‎ A. －4或－2 B. －4或2‎ C．－2或4 D．－2或2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　当a≤0时，f(a)＝－a＝4，∴a＝－4；‎ 当a>0时，f(a)＝a2＝4，∴a＝2.‎ 综之：a＝－4或2，选B.‎ ‎(理)(2011·广东理，4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)‎ A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|，‎ ‎∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．选A.‎ ‎3．(2011·广东文，4)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)‎ C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　要使函数有意义，则有，即，所以函数的定义域为 (－1,1)∪(1，＋∞)．‎ ‎4．(2011·宁波二模)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且f(x＋1)为奇函数，当x>1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)图像的所有交点的横坐标之和是(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．4 D．5‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　‎ 本题考查函数单调性、奇偶性、对称性知识．结合函数图像，该函数图像与直线y＝2有三个交点，x1＝－1，x2＋x3＝6(其中x2，x3关于x＝3对称)，则横坐标之和为5.‎ ‎5．(2010·山东理，4)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)‎ A．3 B．1 ‎ C．－1 D．－3‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即0＝20＋b，‎ ‎∴b＝－1，故f(1)＝2＋2－1＝3，‎ ‎∴f(－1)＝－f(1)＝－3.‎ ‎6．(2011·厦门质检)以下四个函数图像错误的是(　　)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　函数y＝log|x|的图像关于y轴对称，其图像向左平移1个单位可得函数y＝log|x＋1|的图像，其图像关于直线x＝－1对称，由此可知C选择支中的图像是不正确的，故应选C.‎ ‎7．(文)(2011·辽宁文，6)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D．1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　解法一：∵f(x)是奇函数且 f(x)＝＝ ‎∴f(－x)＝＝－f(x)‎ ‎＝ ‎∴－(1－‎2a)＝1－‎2a，∴1－‎2a＝0，∴a＝.‎ 解法二：∵f(x)的分子是奇函数 ‎∴要使f(x)为奇函数，则它的分母必为偶函数 ‎∴1－‎2a＝0，∴a＝.‎ ‎(理)(2011·大纲全国卷理，9)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－)＝(　　)‎ A．－ B．－ ‎ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　f(－)＝f(－)＝－f()＝－.‎ ‎8．(2011·山东理，9)函数y＝－2sinx的图像大致是(　　)‎ ‎ [答案]　C ‎[解析]　依题意f(x)是奇函数且f(0)＝0，则排除A.‎ 令f(x)＝0，则－2sinx＝0，即sinx＝，‎ 又－1≤sinx≤1，∴－4≤x≤4，‎ 即方程f(x)＝0的零点在(－2π，2π)之间，则排除D.‎ 又f′(x)＝－2cosx，则f′(x)＝0，即cosx＝，当x∈R时，x的值有无数个，即函数f(x)的极值点有无数个，则排除B.故选C.‎ 二、填空题 ‎9．(2011·龙岩质检题)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝__________.‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[解析]　令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x(1－x)，又f(x)为奇函数，所以当x<0时有f(x)＝x(1－x)，令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2(舍去)．‎ ‎10．(2011·湖南文，12)已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.‎ ‎[答案]　6‎ ‎[解析]　由g(x)＝f(x)＋9知g(－2)＝f(－2)＋9＝3，∴f(－2)＝－6，而由于f(x)是奇函数，‎ 所以f(2)＝－f(－2)＝－(－6)＝6.‎ ‎11．(文)(2011·武汉调研)若函数y＝f(x＋2)的图像过点P(－1,3)，则函数y＝f(x)的图像关于原点O对称的图像一定过点________．‎ ‎[答案]　(－1，－3)‎ ‎[解析]　依题意得f(－1＋2)＝3，f(1)＝3，即函数f(x)的图像一定过点(1,3)，因此函数y＝f(x)的图像关于原点O对称的图像一定经过点(1,3)关于原点O的对称点(－1，－3)．‎ ‎(理)(2011·南京一调)设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函数：①f(x)＝；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cosπx.其中属于集合M的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号)．‎ ‎[答案]　②④‎ ‎[解析]　对于①，方程＝＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；对于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg3，显然也无实数解；对于④，方程cos[π(x＋1)]＝cosπx＋cosπ，即cosπx＝，显然存在x使等式成立，故填②④.‎ ‎12．(文)(2011·安徽文，13)函数y＝的定义域是________．‎ ‎[答案]　{x|－30，得x2＋x－6<0，‎ 即{x|－31，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[答案]　(－1，)‎ ‎[解析]　f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<－1，即<－1，解得－10，‎ 而‎2a2＋a＋1＝2(a＝)2＋>0.‎ ‎∵f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，而偶函数图像关于y轴对称，‎ ‎∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴由f(a2－‎2a＋5)‎2a2＋a＋1⇒a2＋‎3a－4<0‎ ‎⇒－4>，∴－10时，f(x)<0，又f(1)＝－.‎ ‎(1)求证：f(x)为奇函数；‎ ‎(2)求证：f(x)在R上是减函数；‎ ‎(3)求f(x)在[－3,6]上的最大值与最小值．‎ ‎[解析]　(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.‎ 令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0.‎ 即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．‎ ‎(2)证明：设x1，x2∈R，且x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，从而f(x1)－f(x2)‎ ‎＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)‎ ‎＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)‎ ‎＝f(x1－x2)<0.‎ ‎∴f(x)为减函数．‎ ‎(3)解：由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．‎ f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]‎ ‎＝－‎2f(1)－f(1)＝－‎3f(1)＝2，‎ f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－‎2f(－3)＝－4.‎ 于是f(x)在[－3,6]上的最大值为2，最小值为－4.‎ ‎15．(2011·盐城模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋b的图像过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．‎ ‎(1)求f(x)与g(x)的解析式；‎ ‎(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)由题意知：a＝1，b＝0，‎ ‎∴f(x)＝x2＋2x.‎ 设函数y＝f(x)图像上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.‎ ‎∵点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图像上，‎ ‎∴－y＝x2－2x.∴y＝－x2＋2x.‎ ‎∴g(x)＝－x2＋2x.‎ ‎(2)F(x)＝－x2＋2x－λ(x2＋2x)‎ ‎＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x，‎ ‎∵F(x)在(－1,1]上是增函数且连续，‎ F′(x)＝－2(1＋λ)x＋2(1－λ)≥0恒成立，‎ 即λ≤＝－1在(－1,1]上恒成立，‎ 由－1在(－1,1]上为减函数，‎ 当x＝1时取最小值0，‎ 故 λ≤0，所求λ的取值范围是(－∞，0]．‎