2015北京海淀区中考二模数学试题及答案

2015北京海淀区中考二模数学试题及答案

海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习 数学 ‎2015．6‎ 考生须知 ‎1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。‎ ‎2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。‎ ‎3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ ‎4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。‎ ‎5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。‎ 一、选择题（本题共30分，每小题3分）‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1.中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，其中古籍善本约有2000000册．2000000用科学记数法可以表示为 A． B． C． D．‎ ‎2.若二次根式有意义，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎3．我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小明等4位同学从今夜23:00至明晨7:00将进行接力观测，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小明在子时观测的概率为 古时[来源:学§科§网]‎ 子时 丑时 寅时 卯时 今时 ‎23：00～1：00‎ ‎1：00～3：00‎ ‎3：00～5：00‎ ‎5：00～7：00‎ A． B． C． D．‎ ‎4.如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形 A B C D ‎5.如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立 A．B.‎ C.D.‎ ‎6.甲和乙入选学校的定点投篮大赛，他们每天训练后投10个球测试，记录命中的个数，五天后将记录的数据绘制成折线统计图，如右图所示．则下列对甲、乙数据描述正确的是 A．甲的方差比乙的方差小 B．甲的方差比乙的方差大 C．甲的平均数比乙的平均数小 D．甲的平均数比乙的平均数大 ‎7.在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：‎ 对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是：‎ A．根据“边边边”可知，△≌△，所以∠=∠‎ B．根据“边角边”可知，△≌△，所以∠=∠‎ C．根据“角边角”可知，△≌△，所以∠=∠‎ D．根据“角角边”可知，△≌△，所以∠=∠‎ ‎8.小明家端午节聚会，需要12个粽子.小明发现某商场正好推出粽子“买10赠1”的促销活动，即顾客每买够10个粽子就送1个粽子.已知粽子单价是5元/个，按此促销方法，小明至少应付钱 A．45元　　B．50元 C．55元 D．60元 ‎9.如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为 A．B．‎ C．D．‎ ‎10.如右图所示，点Q表示蜜蜂，它从点P出发，按照着箭头所示的方向沿P→A→B→P→C→D→P的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线l为对称轴的轴对称图形，在直线l上的点O处（点O与点P不重合）利用仪器测量了∠POQ的大小．设蜜蜂飞行时间为x，∠POQ的大小为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是 A B C D 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11. 将函数y=x2 −2x + 3写成的形式为．‎ ‎12. 点A,B是一个反比例函数图象上的两个不同点.已知点A（2,5），写出一个满足条件的B点的坐标是．‎ ‎13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，AC平分∠BAD，则∠BAC的度数为．‎ ‎14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B，C两处的标志物，数据显示点B在点A南偏东75°方向20米处，点C在点A南偏西15°方向20米处，则点B与点C的距离为米．‎ ‎15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，以B为圆心，‎ BA为半径画弧交CB的延长线与点D，则的长为.‎ A O B ‎16.五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A的坐标为 ‎（7，5），则白子B的坐标为______________；为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为______________的位置处．‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎17.计算：．‎ ‎18.解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎19．如图，已知∠BAC=∠BCA，∠BAE=∠BCD=90°，BE=BD．‎ 求证：∠E=∠D．‎ ‎20.已知，求代数式的值．‎ ‎21.列方程或方程组解应用题:‎ 小明坚持长跑健身．他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟．某周日，小李与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离．‎ ‎22．已知关于的方程有两个实数根．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若a为正整数，求方程的根．‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎23.已知，中，D是BC上的一点，且∠DAC=30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，‎ ‎，.‎ ‎(1)求证：AD=CD；‎ ‎(2)若tanB=3，求线段的长．‎ ‎24.小明和小腾大学毕业后准备自主创业，开一个小店卖腊汁肉夹馍．为了使产品更好地适合大众口味，他们决定进行一次抽样调查．在某商场门口将自己制作的肉夹馍免费送给36人品尝，并请每个人填写了一份调查问卷，以调查这种肉夹馍的咸淡程度是否适中．调查问卷如下所示：‎ 调查问卷年月 你觉得这种肉夹馍的口味（单选）‎ A. 太咸 B. 稍咸 C. 适中 D. 稍淡 E. 太淡 经过调查，他们得到了如下36个数据：‎ BCBADACDB CBCDCDCEC CABEADECB CBCEDEDDC ‎（1）小明用表格整理了上面的调查数据，写出表格中m和n的值；‎ ‎（2）小腾根据调查数据画出了条形统计图，请你补全这个统计图；‎ ‎（3）根据所调查的数据，你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗？．（填“适中”或者“不适中”）‎ ‎25．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上， CE=CA，‎ AB，CE的延长线交于点F．‎ （1） 求证：CE与⊙O相切；‎ （2） 若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长．‎ ‎26．阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为，再通过研究函数的图象与函数的图象（如图）的交点，使问题得到解决．‎ ‎ ‎ 请回答：‎ （1） 当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为_______；‎ （2） 当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为_______；‎ （3） 当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为_______．‎ 参考小明思考问题的方法，解决问题：‎ 关于x的不等式只有一个整数解，求的取值范围．‎ 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）‎ ‎27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A（0,3），与轴交于点B，C（点B在点C左侧）.‎ ‎（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；‎ ‎（2）抛物线的对称轴与轴交于点D，若直线经过点D和点 E，求直线DE的表达式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，已知点P（，0），过点P作垂直于轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在轴下方，直接写出的取值范围．‎ ‎28．如图1，在中，AB=AC，∠ABC =，D是BC边上一点，以AD为边作，使AE=AD，‎ ‎+=180°．‎ ‎（1）直接写出∠ADE的度数（用含的式子表示）；‎ ‎（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，‎ ‎①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；‎ ‎②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．‎ 图1 图2 图3‎ ‎29. 如图1，在平面直角坐标系内，已知点，，，，记线段为，线段为，点是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点的直线l与，都有公共点，则称点是联络点．‎ 例如，点是联络点．‎ ‎（1）以下各点中，__________________是联络点（填出所有正确的序号）；‎ ①；②；③.‎ ‎ ‎ ‎ 图1 备用图 ‎（2）直接在图1中画出所有联络点所组成的区域，用阴影部分表示；‎ ‎（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为联络点，‎ ‎①若，求点M的纵坐标；‎ ‎②求r的取值范围．‎ 海淀区九年级第二学期期末练习 数学试卷答案及评分参考 ‎ 2015．6‎ 一、 选择题（本题共30分，每小题3分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B D B C A A A C B D 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ 题号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎（1,10）‎ 注:答案不唯一 ‎40º ‎（5,1）；(1分)‎ ‎（3,7）或（7,3）‎ ‎(2分)答对1个给1分 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎17.(本小题满分5分)‎ 解：原式……………………..……………………………………………………...4分 ‎．……………………………………………………………………………………...5分 ‎18. (本小题满分5分)‎ 解法一：去括号,得．…………………………………………………………………..1分 移项，得．…………………………………………………………………..2分 合并，得．……………………………………………………………………3分 系数化为1，得．…………………………………………………………...……4分 不等式的解集在数轴上表示如下：[来源:学科网ZXXK]‎ ‎． …………………………………………………………5分 解法二：去分母，得．…………………………………………………………………1分 移项，得．……………………………………………………………………2分 合并，得．………………………………………………………………..3分 系数化为1，得．…………………………………………………………………..4分 不等式的解集在数轴上表示如下：‎ ‎． …………………………………………………………5分 ‎19．(本小题满分5分)‎ 证明：在△ABC中 ‎∵∠BAC=∠BCA，‎ ‎∴AB=CB．……………………………………………1分 ‎∵∠BAE=∠BCD=90°，‎ 在Rt△EAB和Rt△DCB中，‎ ‎∴Rt△EAB≌Rt△DCB．……………………………………4分 ‎∴∠E=∠D．…………………………………………5分 ‎20.(本小题满分5分)‎ 解：原式……………………………………………………………………….1分 ‎……………………………………………..………………………………2分 ‎．………………………………………………………………………………3分 ‎∵，‎ ‎∴．………………………………………………………………………………………4分 ‎∴原式．………………………………………………………………………………..5分 ‎21. (本小题满分5分)‎ 解：设小明家到学校的距离为x米．……………………………………………………………………..1分 由题意，得．………………………………………………………………………..3分 解得．……………………………………………………………………..4分 答：小明家到学校的距离为6000米．………………………………………………………………….5分 ‎22. (本小题满分5分)‎ 解：（1）∵关于的方程有两个实数根，‎ ‎∴．……………………………………………………………………..1分 解得 ．……………………………………………………………………………………2分 ‎∴的取值范围为．‎ ‎（2）∵，且a为正整数，‎ ‎∴．…………………………………………………………………………………………3分 ‎∴方程可化为．[来源:学科网]‎ ‎∴此方程的根为．………………………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎23. (本小题满分5分)‎ ‎（1）证明： ∵ED⊥AD，‎ ‎∴∠ADE=90°．‎ 在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AE=4，‎ ‎∴，．………………………………………………………………1分 ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 又 ‎∴．‎ ‎∴AD=DC．………………….…………………………………………………………………2分 ‎（2）解：过点A作AF⊥BC于点F，如图．‎ ‎∴∠AFC=∠AFB=90°．‎ ‎∵AE=4，EC=2，‎ ‎∴AC=6．‎ 在Rt△AFC中，∠AFC =90°，∠C=30°，‎ ‎∴…………………………………………………………………………3分 在Rt△AFB中，∠AFB=90°，tanB=3，‎ ‎∴．……….………………………………………………………………………4分 ‎∴．……….……………………………………………………………5分 ‎24. (本小题满分5分)‎ ‎（1）；；………………………………………………………………………………...2分 ‎（2）‎ ‎………………………………………………………………...4分 ‎（3）适中．………………………………………………………………………………….5分 ‎25．(本小题满分5分)‎ 证明：连接OE，OC．‎ 在△OEC与△OAC中，‎ ‎∴△OEC≌△OAC．………………………………………………………………………………..1分 ‎∴∠OEC=∠OAC． ‎ ‎∵∠OAC=90°，‎ ‎∴∠OEC=90°．‎ ‎∴OE⊥CF于E．‎ ‎∴CF与⊙O相切．………………………………………………………………………………...2分 （2）解：连接AD．‎ ‎∵∠OEC=90°，‎ ‎∴∠OEF=90°．‎ ‎∵⊙O的半径为3，‎ ‎∴OE=OA=3． ‎ 在Rt△OEF中，∠OEF=90°，OE= 3，EF= 4，‎ ‎∴，………………………………………………………………………3分 ‎．‎ 在Rt△FAC中，∠FAC=90°，，‎ ‎∴．…………………………………………………………………………4分 ‎∵AB为直径，‎ ‎∴AB=6=AC，∠ADB=90°．‎ ‎∴BD=．‎ 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，‎ ‎∴．‎ ‎∴BD=．…………………………………………………………………………………….5分 ‎26. (本小题满分5分)‎ 解：（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为 1 ；…………………………………….………1分 ‎（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为 2 ；…………………………………………2分 ‎（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为 1 ．…..…………………………………………3分 解决问题：将不等式转化为，‎ 研究函数与函数的图象的交点.‎ ‎∵函数的图象经过点A(1,4)，B(2,2)，‎ 函数的图象经过点C(1,1)，D(2,4)，‎ 若函数经过点A(1,4)，则，……………………………………………………4分 结合图象可知，当时，关于x的不等式只有一个整数解．‎ 也就是当时，关于x的不等式只有一个整数解. ……………………5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）‎ ‎27. (本小题满分7分)‎ 解：（1）∵抛物线与轴交于点A（0,3），‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴抛物线的表达式为．…………………………………………………………………1分 ‎∵抛物线与轴交于点B，C，‎ ‎∴令，即．‎ 解得，．‎ 又∵点B在点C左侧，‎ ‎∴点B的坐标为，点C的坐标为．…………………………………………………...……3分 ‎（2）∵，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线．‎ ‎∵抛物线的对称轴与轴交于点D，‎ ‎∴点D的坐标为．…………………………………………………………………………...………4分 ‎∵直线经过点D和点E，‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴直线DE的表达式为. ………………………………………………………………………5分 ‎（3）或……………………………………………………………………………………………7分 ‎28．(本小题满分7分)‎ ‎（1）∠ADE =．…………………………………………………………………………………….…1分 ‎（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，‎ ‎∴AB∥EF．‎ ‎∴．…………………………….……2分 由（1）知，∠ADE =，‎ ‎∴．…………………...……3分 ‎∴AD⊥BC．‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BD=CD．……………………………………………………………………………………..……………4分 ‎②证明：‎ ‎∵AB=AC，∠ABC =，‎ ‎∴．‎ ‎∵四边形ABFE是平行四边形，‎ ‎∴AE∥BF, AE=BF．‎ ‎∴．……………………………………………………………………………………………5分 由（1）知，，‎ ‎∴．…………………………………………………………………………………………………6分 ‎∴．‎ ‎∴AD=CD．‎ ‎∵AD=AE=BF，‎ ‎∴BF=CD．‎ ‎∴BD=CF．………………………………………………………………………………………………………7分 ‎29. (本小题满分8分)‎ ‎（1）②，③是联络点．…………………………………………………………………………2分 ‎（2）所有联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）．‎ ‎[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎………………………………………………………………………4分 ‎（3）① ∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为联络点，阴影部分关于y轴对称，‎ ‎∴⊙M与直线AC相切于(0，0)，‎ 或与直线BD相切于(0，1)，如图所示．‎ 又∵⊙M的半径，‎ ‎∴点M的坐标为(0，)或(0，2)．………………6分 经检验：此时⊙M与直线AD，BC无交点，⊙M上只有一个点为联络点，符合题意．‎ ‎∴点M的坐标为(0，)或(0，2)．∴点M的纵坐标为或2．‎ ‎② 阴影部分关于直线对称，故不妨设点M位于阴影部分下方．‎ ‎∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为联络点，‎ 阴影部分关于y轴对称，‎ ‎∴⊙M与直线AC相切于O(0，0)，且⊙M与直线AD相离．‎ 作ME⊥AD于E，设AD与BC的交点为F，‎ ‎∴MO=r，ME>r，F(0，)．‎ 在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，，‎ ‎∴，．‎ 在Rt△FEM中，∠FEM=90°，FM=FO+OM=r+，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．又∵，‎ ‎∴．……………………………………………………………………………………8分