山东省青州市届中考数学第一轮复习圆的切线性质与判定学案
圆的切线性质与判定
一、知识结构
考点一 点、直线与圆的位置关系
1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种，分别是 、 和 ．
2．直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
公共点名称
直线名称
3.直线和圆的位置关系的性质与判定 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
(1)直线l和⊙O相交⇔ ；(2)直线l和⊙O相切⇔ ；(3)直线l和⊙O相离⇔ .
考点二 切线的判定和性质
1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 ；(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 ；
考点三 三角形的外接圆和内切圆
名称
三角形的外接圆
三角形的内切圆
圆心名称
描述
经过三角形三顶点的圆，外心是 的交点
与三角形三边都相切的圆，内心是 的交点
图形示例
性质
三角形外心到三角形三个顶点的距离相等
三角形内心到三角形三边的距离相等
【基础演练】
1．已知⊙O的半径为4 cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5 cm，那么直线l和⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
2．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB. 若∠ABC＝70°，则∠A等于( )
A．15° B．20° C．30° D．70°
3．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．试说明CE是⊙O的切线；
二、典型例题
1、如图，AB与⊙O相切于C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16，求OA的长．
解：在△OAB中，∵∠A＝∠B，∴OA＝OB. 连接OC，则OC⊥AB，OC＝6，AC＝BC＝8，∴OA＝＝＝10.
方法总结：
已知圆的切线，若图中没有连接切点的半径，可连接切点与圆心构造直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题.
2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA. (1)求证：ED是⊙O的切线；(2)当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．
解：(1)证明：如图，连接OD，
∵OD＝OA，EA＝ED，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ODE＝∠OAE.∵AB⊥AC，∴∠OAE＝90°，∴∠ODE＝90°，
∴DE是⊙O的切线．
(2)∵OA＝3，AE＝4，∴OE＝5.又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.
∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠6＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴DE＝EC.
∴E是AC的中点． ∴OE∥BC且OE＝BC.∴BC＝10.
方法总结：
证明圆的切线分为三种情况：有过切点的半径，证垂直；有切点，无半径，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证相等.
三、题组训练
1、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，
连接BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是( )
A．30° B．25° C．20° D．15°
2、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG. 求证：PC是⊙O的切线；
四、课后作业
1、Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为( ) A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm
2、如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于( ) A．20° B．25° C．40° D．50°
3、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2，则FG的长为( )
A．4 B．3 C．6 D．2
4、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.
(1)判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径.
五、附基础演练、例题、练习题答案及课后作业详细解析与评分标准
一、知识结构
考点一 点、直线与圆的位置关系
1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种，分别是点在圆外、点在圆上和点在圆内．
2．直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
2
1
0
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
割线
切线
无
3.直线和圆的位置关系的性质与判定 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
(1)直线l和⊙O相交⇔d
r.
考点二 切线的判定和性质
1．切线的判定方法
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．切线的性质切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；
考点三 三角形的外接圆和内切圆
名称
三角形的外接圆
三角形的内切圆
圆心名称
三角形的外心
三角形的内心
描述
经过三角形三顶点的圆，外心是三角形三边中垂线的交点
与三角形三边都相切的圆，内心是三角形三条角平分线的交点
图形示例
性质
三角形外心到三角形三个顶点的距离相等
三角形内心到三角形三边的距离相等
【基础演练】
1．已知⊙O的半径为4 cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5 cm，那么直线l和⊙O的位置关系是( A )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解析：∵⊙O的半径r＝4 cm，圆心O到直线l的距离d＝3.5 cm，∴d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选A.
2．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB. 若∠ABC＝70°，则∠A等于( B )
A．15° B．20° C．30° D．70°
解析：∵BC与⊙O相切于点B，∠ABC＝70°，∴∠ABO＝20°.又∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝20°.故选B.
答案： B
3．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．试说明CE是⊙O的切线；
解析：连接OC，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；
∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；
二、典型例题
1、如图，AB与⊙O相切于C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16，求OA的长．
解：在△OAB中，∵∠A＝∠B，∴OA＝OB. 连接OC，则OC⊥AB，OC＝6，AC＝BC＝8，∴OA＝＝＝10.
方法总结：
已知圆的切线，若图中没有连接切点的半径，可连接切点与圆心构造直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题.
2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA.
(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．
解：(1)证明：如图，连接OD，
∵OD＝OA，EA＝ED，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ODE＝∠OAE.
∵AB⊥AC，∴∠OAE＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线．
(2)∵OA＝3，AE＝4，∴OE＝5.
又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. ∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠6＝90°.
又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴DE＝EC. ∴E是AC的中点．
∴OE∥BC且OE＝BC.∴BC＝10.
方法总结：
证明圆的切线分为三种情况：有过切点的半径，证垂直；有切点，无半径，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证相等.
三、题组训练
1、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是( B )
A．30° B．25° C．20° D．15°
解析：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°.∵∠C＝40°，
∴∠AOC＝50°，∴∠B＝25°.故选B.
答案： B
2、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG. 求证：PC是⊙O的切线；
解：证明：如图，连接OC，
∵ED⊥AB，∴∠FBG＋∠FGB＝90°.
又∵PC＝PG，∴∠PCG＝∠PGC. 而∠PGC＝∠FGB，∠OCB＝∠FBG，
∴∠PCG＋∠OCB＝90°，
即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；
四、课后作业
1、Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝=3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为( B )
A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm
解析：作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，由勾股定理，可得AB＝5(cm)．再由面积法，求得CD＝2.4(cm)，即r的值为2.4 cm.故选B.
答案： B
2、如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于( C )
A．20° B．25° C．40° D．50°
解析：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°.
∵OA＝OB，∠B＝25°，∴∠OAB＝∠B＝25°.
∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－25°－25°－90°＝40°.故选C.
答案： C
3、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2，则FG的长为( B )
A．4 B．3 C．6 D．2
解析：如图，连接OD，∵DF是圆的切线，
∴DF⊥OD.又∵OC＝OD，∠C＝60°，∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，∴∠ADF＝30°. 又∵∠A＝60°，∴∠AFD＝90°，OD∥AB.
又∵点O是BC的中点，∴点D是AC的中点．在Rt△ADF中，AD＝2AF＝4，
∴AB＝AC＝8，故BF＝AB－AF＝6.在Rt△BFG中，∠BFG＝30°，
∴FG＝BF·cos∠BFG＝6×＝3.故选B.
4、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.
(1)判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径.
解：(1)AF是⊙O的切线．
理由如下：连接 OC，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°.
∵OF∥BC， ∴∠AEO＝90°， ∴OF⊥AC.
∵OC＝OA， ∴∠COF＝∠AOF，∴△OCF≌△OAF.∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴FA⊥OA.
∴AF是⊙O的切线．
(2)∵OF⊥AC，∴AE＝AC. ∵AC＝24，∴AE＝12. ∵FA⊥OA，∴OF＝.
∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AF·OA＝OF·AE，即15·OA＝·12，解得OA＝20.
∴⊙O的半径为20.
