2020年山东省淄博市中考数学试卷(含解析）

2020年山东省淄博市中考数学试卷(含解析）

‎2020年山东省淄博市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（4分）（2020•淄博）若实数a的相反数是﹣2，则a等于（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．‎1‎‎2‎ D．0‎ ‎2．（4分）（2020•淄博）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．（4分）（2020•淄博）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，6‎ ‎4．（4分）（2020•淄博）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（　　）‎ A．30° B．35° C．40° D．45°‎ ‎5．（4分）（2020•淄博）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．（a2）3＝a5‎ ‎6．（4分）（2020•淄博）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　）‎ 第24页（共24页）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（4分）（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）‎ A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED ‎8．（4分）（2020•淄博）化简a‎2‎‎+‎b‎2‎a-b‎+‎‎2abb-a的结果是（　　）‎ A．a+b B．a﹣b C．‎(a+b‎)‎‎2‎a-b D．‎‎(a-b‎)‎‎2‎a+b ‎9．（4分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y‎=‎kx的图象上，则k的值为（　　）‎ A．36 B．48 C．49 D．64‎ ‎10．（4分）（2020•淄博）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（　　）‎ A．2π+2 B．3π C．‎5π‎2‎ D．‎5π‎2‎‎+‎2‎ ‎11．（4分）（2020•淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M 第24页（共24页）‎ 是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）‎ A．12 B．24 C．36 D．48‎ ‎12．（4分）（2020•淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（　　）‎ A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．‎ ‎13．（4分）（2020•淄博）计算：‎3‎‎-8‎‎+‎16‎=‎　 　．‎ ‎14．（4分）（2020•淄博）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为　 　．‎ ‎15．（4分）（2020•淄博）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎16．（4分）（2020•淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝　 　cm．‎ 第24页（共24页）‎ ‎17．（4分）（2020•淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是　 　个．‎ 三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（5分）（2020•淄博）解方程组：‎‎3x+‎1‎‎2‎y=8，‎‎2x-‎1‎‎2‎y=2．‎ ‎19．（5分）（2020•淄博）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．‎ 求证：△ABC≌△DCE．‎ ‎20．（8分）（2020•淄博）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．‎ 第24页（共24页）‎ 请结合统计图中的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有　 　人；‎ ‎（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；‎ ‎（3）最关注话题扇形统计图中的a＝　 　，话题D所在扇形的圆心角是　 　度；‎ ‎（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？‎ ‎21．（8分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2‎=‎kx（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO‎=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎（1）求y1，y2对应的函数表达式；‎ ‎（2）求△AOB的面积；‎ ‎（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b‎＞‎kx的解集．‎ ‎22．（8分）（2020•淄博）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，‎2‎‎≈‎1.4，‎3‎‎≈‎1.7等数据信息，解答下列问题：‎ ‎（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？‎ ‎（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？‎ 第24页（共24页）‎ ‎23．（9分）（2020•淄博）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．‎ ‎（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：AB•AC＝2R•h；‎ ‎（3）设∠BAC＝2α，求AB+ACAD的值（用含α的代数式表示）．‎ ‎24．（9分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx‎+‎‎8‎‎3‎（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．‎ ‎（1）求这条抛物线对应的函数表达式；‎ ‎（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的‎3‎‎4‎，求点R的坐标；‎ ‎（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．‎ 第24页（共24页）‎ 第24页（共24页）‎ ‎2020年山东省淄博市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（4分）（2020•淄博）若实数a的相反数是﹣2，则a等于（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．‎1‎‎2‎ D．0‎ ‎【解答】解：∵2的相反数是﹣2，‎ ‎∴a＝2．‎ 故选：A．‎ ‎2．（4分）（2020•淄博）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；‎ B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；‎ C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；‎ D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎3．（4分）（2020•淄博）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，6‎ ‎【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，‎ 第24页（共24页）‎ 将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．‎ 故选：C．‎ ‎4．（4分）（2020•淄博）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（　　）‎ A．30° B．35° C．40° D．45°‎ ‎【解答】解：∵AC⊥BC，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ 又∵∠B＝50°，‎ ‎∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠DCA＝∠CAB＝40°．‎ 故选：C．‎ ‎5．（4分）（2020•淄博）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．（a2）3＝a5‎ ‎【解答】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；‎ B．a2•a3＝a5，所以B选项正确；‎ C．a3÷a2＝a，所以C选项错误；‎ D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎6．（4分）（2020•淄博）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，‎ ‎∴按下的第一个键是2ndF．‎ 故选：D．‎ ‎7．（4分）（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）‎ 第24页（共24页）‎ A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED ‎【解答】解：∵△ABC≌△ADE，‎ ‎∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，‎ ‎∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，‎ 即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，‎ 故选：B．‎ ‎8．（4分）（2020•淄博）化简a‎2‎‎+‎b‎2‎a-b‎+‎‎2abb-a的结果是（　　）‎ A．a+b B．a﹣b C．‎(a+b‎)‎‎2‎a-b D．‎‎(a-b‎)‎‎2‎a+b ‎【解答】解：原式‎=a‎2‎‎+‎b‎2‎a-b-‎‎2aba-b ‎=‎a‎2‎‎+b‎2‎-2aba-b‎ ‎ ‎=‎‎(a-b‎)‎‎2‎a-b‎ ‎ ‎＝a﹣b．‎ 故选：B．‎ ‎9．（4分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y‎=‎kx的图象上，则k的值为（　　）‎ A．36 B．48 C．49 D．64‎ ‎【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∵A（0，4），B（3，0），‎ ‎∴OA＝4，OB＝3，‎ ‎∴AB‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎5，‎ ‎∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，‎ ‎∴PE＝PC，PD＝PC，‎ ‎∴PE＝PC＝PD，‎ 设P（t，t），则PC＝t，‎ ‎∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎×‎t×（t﹣4）‎+‎1‎‎2‎×‎5×t‎+‎1‎‎2‎×‎t×（t﹣3）‎+‎1‎‎2‎×‎3×4＝t×t，‎ 解得t＝6，‎ ‎∴P（6，6），‎ 把P（6，6）代入y‎=‎kx得k＝6×6＝36．‎ 故选：A．‎ ‎10．（4分）（2020•淄博）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（　　）‎ A．2π+2 B．3π C．‎5π‎2‎ D．‎5π‎2‎‎+‎2‎ ‎【解答】解：如图，‎ 第24页（共24页）‎ 点O的运动路径的长‎=‎OO‎1‎的长+O1O2‎+‎O‎2‎O‎3‎的长 ‎=‎90⋅π⋅2‎‎180‎+‎45⋅π⋅2‎‎180‎+‎‎90⋅π⋅2‎‎180‎‎ ‎ ‎=‎‎5π‎2‎‎，‎ 故选：C．‎ ‎11．（4分）（2020•淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）‎ A．12 B．24 C．36 D．48‎ ‎【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，‎ 当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），‎ 当y＝8时，PC‎=BC‎2‎-BP‎2‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎8‎‎2‎=‎6，‎ ‎△ABC的面积‎=‎1‎‎2‎×‎AC×BP‎=‎1‎‎2‎×‎8×12＝48，‎ 故选：D．‎ ‎12．（4分）（2020•淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（　　）‎ 第24页（共24页）‎ A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2‎ ‎【解答】解：设EF＝x，DF＝y，‎ ‎∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，‎ ‎∴点F为△ABC的重心，AF‎=‎‎1‎‎2‎AC‎=‎‎1‎‎2‎b，BD‎=‎‎1‎‎2‎a，‎ ‎∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，‎ ‎∵AD⊥BE，‎ ‎∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，‎ 在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①‎ 在Rt△AEF中，4x2+y2‎=‎‎1‎‎4‎b2，②‎ 在Rt△BFD中，x2+4y2‎=‎‎1‎‎4‎a2，③‎ ‎②+③得5x2+5y2‎=‎‎1‎‎4‎（a2+b2），‎ ‎∴4x2+4y2‎=‎‎1‎‎5‎（a2+b2），④‎ ‎①﹣④得c2‎-‎‎1‎‎5‎（a2+b2）＝0，‎ 即a2+b2＝5c2．‎ 故选：A．‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．‎ ‎13．（4分）（2020•淄博）计算：‎3‎‎-8‎‎+‎16‎=‎　2　．‎ ‎【解答】解：‎3‎‎-8‎‎+‎16‎=-‎2+4＝2．‎ 故答案为：2‎ ‎14．（4分）（2020•淄博）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为　1　．‎ 第24页（共24页）‎ ‎【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．‎ ‎∴BE＝CF，‎ ‎∵EC＝2BE＝2，‎ ‎∴BE＝1，‎ ‎∴CF＝1．‎ 故答案为1．‎ ‎15．（4分）（2020•淄博）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　m‎＜‎‎1‎‎8‎　．‎ ‎【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m ‎∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，‎ 解得m‎＜‎‎1‎‎8‎，‎ 故答案为m‎＜‎‎1‎‎8‎．‎ ‎16．（4分）（2020•淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝　5　cm．‎ ‎【解答】解：连接AC，FC．‎ 由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∵FM⊥BE，‎ ‎∴F．M，C共线，FM＝MC，‎ ‎∵AN＝FN，‎ ‎∴MN‎=‎‎1‎‎2‎AC，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC＝90°，‎ ‎∴AC‎=AB‎2‎+BC‎2‎=‎6‎‎2‎‎+‎‎8‎‎2‎=‎10（cm），‎ ‎∴MN‎=‎‎1‎‎2‎AC＝5（cm），‎ 故答案为5．‎ ‎17．（4分）（2020•淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是　210　个．‎ ‎【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，‎ 快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，‎ 还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．‎ 根据题意，完成下表：‎ 服务驿站序号 在第x服务驿站启程时快递货车货包总数 ‎1‎ n﹣1‎ ‎2‎ ‎（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）‎ ‎3‎ ‎2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）‎ ‎4‎ ‎3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）‎ ‎5‎ ‎4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）‎ ‎…‎ ‎…‎ n ‎0‎ 由上表可得y＝x（n﹣x）．‎ 当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，‎ 当x＝14或15时，y取得最大值210．‎ 第24页（共24页）‎ 答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．‎ 故答案为：210．‎ 三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（5分）（2020•淄博）解方程组：‎‎3x+‎1‎‎2‎y=8，‎‎2x-‎1‎‎2‎y=2．‎ ‎【解答】解：‎3x+‎1‎‎2‎y=8①‎‎2x-‎1‎‎2‎y=2②‎，‎ ‎①+②，得：5x＝10，‎ 解得x＝2，‎ 把x＝2代入①，得：6‎+‎‎1‎‎2‎y＝8，‎ 解得y＝4，‎ 所以原方程组的解为x=2‎y=4‎．‎ ‎19．（5分）（2020•淄博）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．‎ 求证：△ABC≌△DCE．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB＝CD，‎ ‎∴∠B＝∠DCE，‎ 在△ABC和△DCE中，‎AB=DC‎∠B=∠DCEBC=CE ‎∴△ABC≌△DCE（SAS）．‎ ‎20．（8分）（2020•淄博）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E 第24页（共24页）‎ ‎．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．‎ 请结合统计图中的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有　200　人；‎ ‎（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；‎ ‎（3）最关注话题扇形统计图中的a＝　25　，话题D所在扇形的圆心角是　36　度；‎ ‎（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？‎ ‎【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），‎ 故答案为：200；‎ ‎（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），‎ 选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），‎ 补全的条形统计图如右图所示；‎ ‎（3）a%＝50÷200×100%＝25%，‎ 话题D所在扇形的圆心角是：360°‎×‎20‎‎200‎=‎36°，‎ 故答案为：25，36；‎ ‎（4）10000×30%＝3000（人），‎ 答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．‎ 第24页（共24页）‎ ‎21．（8分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2‎=‎kx（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO‎=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎（1）求y1，y2对应的函数表达式；‎ ‎（2）求△AOB的面积；‎ ‎（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b‎＞‎kx的解集．‎ ‎【解答】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，‎ 在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO‎=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎∴OD＝2，‎ 即点D（0，2），‎ 把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a‎=-‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴直线的关系式为y1‎=-‎‎2‎‎3‎x+2；‎ 把A（m，4），B（6，n）代入y1‎=-‎‎2‎‎3‎x+2得，‎ m＝﹣3，n＝﹣2，‎ ‎∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴k＝﹣3×4＝﹣12，‎ ‎∴反比例函数的关系式为y2‎=-‎‎12‎x，‎ 因此y1‎=-‎‎2‎‎3‎x+2，y2‎=-‎‎12‎x；‎ ‎（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，‎ ‎=‎1‎‎2‎×‎‎3×4‎+‎1‎‎2‎×‎3×2，‎ ‎＝9．‎ ‎（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b‎＞‎kx的解集为x＜﹣3．‎ ‎22．（8分）（2020•淄博）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，‎2‎‎≈‎1.4，‎3‎‎≈‎1.7等数据信息，解答下列问题：‎ ‎（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？‎ ‎（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？‎ ‎【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，‎ 在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°‎=‎CDBC，BC＝1000千米，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴CD＝BC•sin30°＝100‎×‎1‎‎2‎=‎50（千米），‎ BD＝BC•cos30°＝100‎×‎3‎‎2‎=‎50‎3‎（千米），‎ 在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），‎ AC‎=CDsin45°‎=‎50‎2‎（千米），‎ ‎∴AB＝50+50‎3‎（千米），‎ ‎∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC﹣AB＝50‎2‎‎+‎100﹣（50+50‎3‎）＝50+50‎2‎‎-‎50‎3‎‎≈‎35（千米）．‎ 答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；‎ ‎（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，‎ ‎50+50‎‎3‎x‎-‎50+50‎‎3‎‎(1+25%)x=‎‎50，‎ 解得x‎=‎27‎‎50‎=‎0.54，‎ 经检验x＝0.54是原分式方程的解．‎ 答：施工队原计划每天修建0.54千米．‎ ‎23．（9分）（2020•淄博）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．‎ ‎（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：AB•AC＝2R•h；‎ ‎（3）设∠BAC＝2α，求AB+ACAD的值（用含α的代数式表示）．‎ 第24页（共24页）‎ ‎【解答】解：（1）如图1，连接OD，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD，‎ ‎∴BD‎=‎CD，‎ 又∵OD是半径，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴OD⊥MN，‎ ‎∴MN是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，‎ ‎∵AH是直径，‎ ‎∴∠ABH＝90°＝∠AFC，‎ 又∵∠AHB＝∠ACF，‎ ‎∴△ACF∽△AHB，‎ ‎∴ACAH‎=‎AFAB，‎ ‎∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；‎ ‎（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD＝α，‎ ‎∴BD‎=‎CD，‎ ‎∴BD＝CD，‎ ‎∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，‎ ‎∴DQ＝DP，‎ ‎∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），‎ ‎∴BQ＝CP，‎ ‎∵DQ＝DP，AD＝AD，‎ ‎∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），‎ ‎∴AQ＝AP，‎ ‎∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，‎ ‎∵cos∠BAD‎=‎AQAD，‎ ‎∴AD‎=‎AQcosα，‎ ‎∴AB+ACAD‎=‎2AQAQcosα=‎2cosα．‎ ‎24．（9分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx‎+‎‎8‎‎3‎（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．‎ ‎（1）求这条抛物线对应的函数表达式；‎ ‎（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的‎3‎‎4‎，求点R的坐标；‎ ‎（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝‎ 第24页（共24页）‎ ‎45°，求点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x‎=-b‎2a=‎1①，‎ 将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b‎+‎‎8‎‎3‎②，‎ 联立①②并解得a=-‎‎1‎‎3‎b=‎‎2‎‎3‎，‎ 故抛物线的表达式为：y‎=-‎‎1‎‎3‎x2‎+‎‎2‎‎3‎x‎+‎‎8‎‎3‎③；‎ ‎（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；‎ ‎∵△ADR的面积是▱OABC的面积的‎3‎‎4‎，‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎×‎AD×|yR|‎=‎3‎‎4‎×‎OA×OB，则‎1‎‎2‎‎×‎6×|yR|‎=‎3‎‎4‎×‎2‎×‎‎8‎‎3‎，解得：yR＝±‎4‎‎3‎④，‎ 联立④③并解得x=1±‎‎13‎y=4‎或x=1±‎‎5‎y=-4‎，‎ 故点R的坐标为（1‎+‎‎13‎，4）或（1‎-‎‎13‎，4）或（1‎+‎‎5‎，﹣4）或（1‎-‎‎5‎，﹣4）；‎ ‎（3）作△PEQ的外接圆R，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∵∠PQE＝45°，‎ 故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，‎ 当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，‎ 点M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0），‎ 则ME＝4，ED＝4﹣1＝3，则MD＝5，‎ 过点R作RH⊥ME于点H，‎ 设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，‎ 则圆R的半径为‎2‎m，则点R（1+m，m），‎ S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，‎ 即‎1‎‎2‎‎×‎EM•ED‎=‎1‎‎2‎×‎MD×RQ‎+‎1‎‎2‎×‎ED•yR‎+‎1‎‎2‎×‎ME•RH，‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎×‎4×3‎=‎1‎‎2‎×‎5‎×‎‎2‎m‎+‎1‎‎2‎×‎4×m‎+‎1‎‎2‎×‎3×m，解得m＝60‎2‎‎-‎84，‎ 故点P（1，120‎2‎‎-‎168）．‎ 第24页（共24页）‎