2020年浙江省衢州市中考数学试卷(含解析）

2020年浙江省衢州市中考数学试卷(含解析）

‎2020年浙江省衢州市中考数学试卷 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）比0小1的数是（　　）‎ A．0 B．﹣1 C．1 D．±1‎ ‎2．（3分）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．（3分）计算（a2）3，正确结果是（　　）‎ A．a5 B．a6 C．a8 D．a9‎ ‎4．（3分）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（　　）‎ A．‎1‎‎3‎ B．‎1‎‎4‎ C．‎1‎‎6‎ D．‎‎1‎‎8‎ ‎5．（3分）要使二次根式x-3‎有意义，则x的值可以为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎6．（3分）不等式组‎3(x-2)≤x-4‎‎3x＞2x-1‎的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ 第27页（共27页）‎ D．‎ ‎7．（3分）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）‎ A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 ‎ C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442‎ ‎8．（3分）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．（3分）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　）‎ A．向左平移2个单位，向下平移2个单位 ‎ B．向左平移1个单位，向上平移2个单位 ‎ C．向右平移1个单位，向下平移1个单位 ‎ D．向右平移2个单位，向上平移1个单位 ‎10．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（　　）‎ 第27页（共27页）‎ A．‎2‎ B．‎2‎‎+1‎‎2‎ C．‎5‎‎+1‎‎2‎ D．‎‎4‎‎3‎ 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝　 　．‎ ‎12．（4分）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为　 　．‎ ‎13．（4分）某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是　 　．‎ ‎14．（4分）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为　 　dm．‎ ‎15．（4分）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y‎=‎kx（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8‎3‎，则k＝　 　．‎ ‎16．（4分）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN 第27页（共27页）‎ 上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．‎ ‎（1）点P到MN的距离为　 　cm．‎ ‎（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为　 　cm．‎ 三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程）‎ ‎17．（6分）计算：|﹣2|+（‎1‎‎3‎）0‎-‎9‎+‎2sin30°．‎ ‎18．（6分）先化简，再求值：aa‎2‎‎-2a+1‎‎÷‎‎1‎a-1‎，其中a＝3．‎ ‎19．（6分）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．‎ ‎（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．‎ ‎（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．‎ ‎20．（8分）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．‎ 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A ‎5.1≤x≤5.3‎ ‎25‎ 第27页（共27页）‎ B ‎4.8≤x≤5.0‎ ‎115‎ C ‎4.4≤x≤4.7‎ m D ‎4.0≤x≤4.3‎ ‎52‎ ‎（1）求组别C的频数m的值．‎ ‎（2）求组别A的圆心角度数．‎ ‎（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？‎ ‎21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．‎ ‎（1）求证：∠CAD＝∠CBA．‎ ‎（2）求OE的长．‎ ‎22．（10分）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．‎ ‎（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．‎ ‎（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：‎ ‎①货轮出发后几小时追上游轮？‎ ‎②游轮与货轮何时相距12km？‎ 第27页（共27页）‎ ‎23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分別是直线y‎=-‎‎8‎‎3‎x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：‎ ‎①线段EF长度是否有最小值．‎ ‎②△BEF能否成为直角三角形．‎ 小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．‎ ‎（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．‎ ‎（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．‎ ‎（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．‎ ‎24．（12分）【性质探究】‎ 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作 第27页（共27页）‎ DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．‎ ‎（1）判断△AFG的形状并说明理由．‎ ‎（2）求证：BF＝2OG．‎ ‎【迁移应用】‎ ‎（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当S‎1‎S‎2‎‎=‎‎1‎‎3‎时，求ADAB的值．‎ ‎【拓展延伸】‎ ‎（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的‎1‎‎10‎时，请直接写出tan∠BAE的值．‎ 第27页（共27页）‎ ‎2020年浙江省衢州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）比0小1的数是（　　）‎ A．0 B．﹣1 C．1 D．±1‎ ‎【解答】解：0﹣1＝﹣1，‎ 即比0小1的数是﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎2．（3分）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、俯视图是圆，故此选项正确；‎ B、俯视图是正方形，故此选项错误；‎ C、俯视图是长方形，故此选项错误；‎ D、俯视图是长方形，故此选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎3．（3分）计算（a2）3，正确结果是（　　）‎ A．a5 B．a6 C．a8 D．a9‎ ‎【解答】解：由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2）3＝a2×3＝a6．‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（　　）‎ 第27页（共27页）‎ A．‎1‎‎3‎ B．‎1‎‎4‎ C．‎1‎‎6‎ D．‎‎1‎‎8‎ ‎【解答】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：‎120‎‎360‎‎=‎‎1‎‎3‎．‎ 故选：A．‎ ‎5．（3分）要使二次根式x-3‎有意义，则x的值可以为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，‎ 解得：x≥3，‎ 故选：D．‎ ‎6．（3分）不等式组‎3(x-2)≤x-4‎‎3x＞2x-1‎的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【解答】解：‎3(x-2)≤x-4①‎‎3x＞2x-1②‎，‎ 由①得x≤1；‎ 由②得x＞﹣1；‎ 故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，‎ 在数轴上表示出来为：．‎ 第27页（共27页）‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）‎ A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 ‎ C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442‎ ‎【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．‎ B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．‎ C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，‎ D、无法判断两直线平行，‎ 故选：D．‎ ‎9．（3分）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　）‎ A．向左平移2个单位，向下平移2个单位 ‎ B．向左平移1个单位，向上平移2个单位 ‎ 第27页（共27页）‎ C．向右平移1个单位，向下平移1个单位 ‎ D．向右平移2个单位，向上平移1个单位 ‎【解答】解：A、平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意．‎ B、平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意．‎ C、平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．‎ D、平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意．‎ 故选：C．‎ ‎10．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（　　）‎ A．‎2‎ B．‎2‎‎+1‎‎2‎ C．‎5‎‎+1‎‎2‎ D．‎‎4‎‎3‎ ‎【解答】解：‎ 由折叠补全图形如图所示，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，‎ 由第一次折叠得：∠DAE＝∠A＝90°，∠ADE‎=‎‎1‎‎2‎∠ADC＝45°，‎ ‎∴∠AED＝∠ADE＝45°，‎ ‎∴AE＝AD＝1，‎ 在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE‎=‎‎2‎AD‎=‎‎2‎，‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）‎ 第27页（共27页）‎ ‎11．（4分）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝　1　．‎ ‎【解答】解；将方程移项得，‎ ‎2x＝2，‎ 系数化为1得，‎ x＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎12．（4分）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为　x2﹣1　．‎ ‎【解答】解：根据题意得：‎ ‎（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．‎ 故答案为：x2﹣1．‎ ‎13．（4分）某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是　5　．‎ ‎【解答】解：∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，‎ ‎∴x＝5×5﹣4﹣4﹣5﹣6＝6，‎ ‎∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，‎ ‎∴这组数据的中位数是5．‎ 故答案为：5．‎ ‎14．（4分）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为　（4‎+‎‎2‎）　dm．‎ ‎【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4dm，‎ ‎∴②的斜边上的高是2dm，④的高是1dm，⑥的斜边上的高是1dm，⑦的斜边上的高是‎2‎dm，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴图2中h的值为（4‎+‎‎2‎）dm．‎ 故答案为：（4‎+‎‎2‎）．‎ ‎15．（4分）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y‎=‎kx（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8‎3‎，则k＝　40‎3‎　．‎ ‎【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝3，‎ 在Rt△FMN中，∠MFN＝30°，‎ ‎∴FN‎=‎‎3‎MN＝3‎3‎，‎ ‎∴AN＝MB＝8‎3‎‎-‎3‎3‎‎=‎5‎3‎，‎ 设OA＝x，则OB＝x+3，‎ ‎∴F（x，8‎3‎），M（x+3，5‎3‎），‎ ‎∴8‎3‎x＝（x+3）×5‎3‎，‎ 解得，x＝5，‎ ‎∴F（5，8‎3‎），‎ ‎∴k＝5×8‎3‎‎=‎40‎3‎．‎ 故答案为：40‎3‎．‎ 第27页（共27页）‎ ‎16．（4分）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．‎ ‎（1）点P到MN的距离为　160　cm．‎ ‎（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为　‎640‎‎9‎　cm．‎ ‎【解答】解：（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．‎ 第27页（共27页）‎ 由题意：OP＝OQ＝50cm，PQ＝PA﹣AQ＝14﹣＝60＝80（cm），PM＝PA+BC＝140+60＝200（cm），PT⊥MN，‎ ‎∵OH⊥PQ，‎ ‎∴PH＝HQ＝40（cm），‎ ‎∵cos∠P‎=PHOP=‎PTPM，‎ ‎∵‎40‎‎50‎‎=‎PT‎200‎，‎ ‎∴PT＝160（cm），‎ ‎∴点P到MN的距离为160cm，‎ 故答案为160．‎ ‎（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．‎ 由题意AT＝PT﹣PA＝160﹣140＝20（cm），OA＝PA﹣OP＝140﹣50＝90（cm），OQ＝50cm，AQ＝60cm，‎ ‎∵QH⊥OA，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴QH2＝AQ2﹣AH2＝OQ2﹣OH2，‎ ‎∴602﹣x2＝502﹣（90﹣x）2，‎ 解得x‎=‎‎460‎‎9‎，‎ ‎∴HT＝AH+AT‎=‎‎640‎‎9‎（cm），‎ ‎∴点Q到MN的距离为‎640‎‎9‎cm．‎ 故答案为‎640‎‎9‎．‎ 三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程）‎ ‎17．（6分）计算：|﹣2|+（‎1‎‎3‎）0‎-‎9‎+‎2sin30°．‎ ‎【解答】解：原式＝2+1﹣3+2‎‎×‎‎1‎‎2‎ ‎＝2+1﹣3+1‎ ‎＝1．‎ ‎18．（6分）先化简，再求值：aa‎2‎‎-2a+1‎‎÷‎‎1‎a-1‎，其中a＝3．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎a‎(a-1‎‎)‎‎2‎•（a﹣1）‎ ‎=‎aa-1‎‎，‎ 当a＝3时，原式‎=‎3‎‎3-1‎=‎‎3‎‎2‎．‎ ‎19．（6分）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．‎ ‎（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．‎ ‎（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．‎ ‎【解答】解：（1）如图平行四边形ABDE即为所求（点D的位置还有6种情形可取）．‎ ‎（2）如图，直线l即为所求、‎ 第27页（共27页）‎ ‎20．（8分）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．‎ 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A ‎5.1≤x≤5.3‎ ‎25‎ B ‎4.8≤x≤5.0‎ ‎115‎ C ‎4.4≤x≤4.7‎ m D ‎4.0≤x≤4.3‎ ‎52‎ ‎（1）求组别C的频数m的值．‎ ‎（2）求组别A的圆心角度数．‎ ‎（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？‎ ‎【解答】解：（1）本次抽查的人数为：115÷23%＝500，‎ m＝500×61.6%＝308，‎ 即m的值是308；‎ ‎（2）组别A的圆心角度数是：360°‎×‎25‎‎500‎=‎18°，‎ 即组别A的圆心角度数是18°；‎ ‎（3）25000‎×‎25+115‎‎500‎=‎7000（人），‎ 答：该市25000名九年级学生达到“视力良好”的有7000人，‎ 第27页（共27页）‎ 建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护．‎ ‎21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．‎ ‎（1）求证：∠CAD＝∠CBA．‎ ‎（2）求OE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，‎ ‎∴AC‎=‎CD，‎ ‎∴∠CAD＝∠CBA．‎ ‎（2）解：∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∵AE＝DE，‎ ‎∴OC⊥AD，‎ ‎∴∠AEC＝90°，‎ ‎∴∠AEC＝∠ACB，‎ ‎∴△AEC∽△BCA，‎ ‎∴CEAC‎=‎ACAB，‎ ‎∴CE‎6‎‎=‎‎6‎‎10‎，‎ ‎∴CE＝3.6，‎ ‎∵OC‎=‎‎1‎‎2‎AB＝5，‎ ‎∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．‎ 第27页（共27页）‎ ‎22．（10分）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．‎ ‎（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．‎ ‎（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：‎ ‎①货轮出发后几小时追上游轮？‎ ‎②游轮与货轮何时相距12km？‎ ‎【解答】解：（1）C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h．‎ ‎∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23﹣（420÷20）＝23﹣21＝2（h）．‎ ‎（2）①280÷20＝14h，‎ ‎∴点A（14，280），点B（16，280），‎ ‎∵36÷60＝0.6（h），23﹣0.6＝22.4，‎ ‎∴点E（22.4，420），‎ 设BC的解析式为s＝20t+b，把B（16，280）代入s＝20t+b，可得b＝﹣40，‎ ‎∴s＝20t﹣40（16≤t≤23），‎ 同理由D（14，0），E（22，4，420）可得DE的解析式为s＝50t﹣700（14≤t≤22.4），‎ 第27页（共27页）‎ 由题意：20t﹣40＝50t﹣700，‎ 解得t＝22，‎ ‎∵22﹣14＝8（h），‎ ‎∴货轮出发后8小时追上游轮．‎ ‎②相遇之前相距12km时，20t﹣4﹣（50t﹣700）＝12，解得t＝21.6．‎ 相遇之后相距12km时，50t﹣700﹣（20t﹣40）＝12，解得t＝22.4，‎ ‎∴21.6h或22.4h时游轮与货轮何时相距12km．‎ ‎23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分別是直线y‎=-‎‎8‎‎3‎x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：‎ ‎①线段EF长度是否有最小值．‎ ‎②△BEF能否成为直角三角形．‎ 小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．‎ ‎（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．‎ ‎（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．‎ ‎（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．‎ 第27页（共27页）‎ ‎【解答】解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．‎ ‎（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，‎ 则∠FGK＝∠DHK＝90°，‎ 记FD交y轴于点K，‎ ‎∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，‎ ‎∴KF＝KD，‎ ‎∵∠FKG＝∠DKH，‎ ‎∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），‎ ‎∴FG＝DH，‎ ‎∵直线AC的解析式为y‎=-‎‎8‎‎3‎x+4，‎ ‎∴x＝0时，y＝4，‎ ‎∴A（0，4），‎ 又∵B（﹣2，0），‎ 设直线AB的解析式为y＝kx+b，‎ ‎∴‎-2k+b=0‎b=4‎，‎ 解得k=2‎b=4‎，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴直线AB的解析式为y＝2x+4，‎ 过点F作FR⊥x轴于点R，‎ ‎∵D点的橫坐标为m，‎ ‎∴F（﹣m，﹣2m+4），‎ ‎∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，‎ ‎∵EF2＝FR2+ER2，‎ ‎∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，‎ 令‎-‎8x‎3‎+‎4＝0，得x‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴0≤m‎≤‎‎3‎‎2‎．‎ ‎∴当m＝1时，l的最小值为8，‎ ‎∴EF的最小值为2‎2‎．‎ ‎（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．‎ ‎②∠BEF＝90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m＝0．‎ ‎③如图3，∠BFE＝90°时，有BF2+EF2＝BE2．‎ 由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，‎ 又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，‎ ‎∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，‎ 又∵BE2＝（m+2）2，‎ ‎∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2＝（m+2）2，‎ 化简得，3m2﹣10m+8＝0，‎ 解得m1‎=‎‎4‎‎3‎，m2＝2（不合题意，舍去），‎ ‎∴m‎=‎‎4‎‎3‎．‎ 第27页（共27页）‎ 综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m‎=‎‎4‎‎3‎．‎ ‎24．（12分）【性质探究】‎ 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．‎ ‎（1）判断△AFG的形状并说明理由．‎ ‎（2）求证：BF＝2OG．‎ ‎【迁移应用】‎ ‎（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当S‎1‎S‎2‎‎=‎‎1‎‎3‎时，求ADAB的值．‎ ‎【拓展延伸】‎ ‎（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的‎1‎‎10‎时，请直接写出tan∠BAE的值．‎ ‎【解答】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．‎ 理由：∵AE平分∠BAC，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ ‎∵DF⊥AE，‎ ‎∴∠AHF＝∠AHG＝90°，‎ ‎∵AH＝AH，‎ ‎∴△AHF≌△AHG（ASA），‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴AF＝AG，‎ ‎∴△AFG是等腰三角形．‎ ‎（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．‎ ‎∵AF＝AG，‎ ‎∴∠AFG＝∠AGF，‎ ‎∵∠AGF＝∠OGL，‎ ‎∴∠OGL＝∠OLG，‎ ‎∴OG＝OL，‎ ‎∵OL∥AB，‎ ‎∴△DLO∽△DFB，‎ ‎∴OLBF‎=‎DOBD，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴BD＝2OD，‎ ‎∴BF＝2OL，‎ ‎∴BF＝2OG．‎ ‎（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∵∠DAK＝∠CAD，‎ ‎∴△ADK∽△ACD，‎ ‎∴DKAD‎=‎CDAC，‎ ‎∵S1‎=‎‎1‎‎2‎•OG•DK，S2‎=‎‎1‎‎2‎•BF•AD，‎ 又∵BF＝2OG，S‎1‎S‎2‎‎=‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴DKAD‎=‎2‎‎3‎=‎CDAC，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝2‎5‎x，‎ ‎∴ADAB‎=ADCD=‎‎5‎‎2‎．‎ ‎（4）解：设OG＝a，AG＝k．‎ ‎①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．‎ ‎∵AF＝AG，BF＝2OG，‎ ‎∴AF＝AG＝k，BF＝2a，‎ ‎∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），‎ ‎∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，‎ ‎∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，‎ ‎∴△ABE∽△DAF，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴BEAB‎=‎AEAD，‎ ‎∴BEk+2a‎=‎kAD，‎ ‎∴BE‎=‎k(k+2a)‎AD，‎ 由题意：10‎×‎1‎‎2‎×‎2a‎×k(k+2a)‎AD=‎AD•（k+2a），‎ ‎∴AD2＝10ka，‎ 即10ka＝3k2+4ka，‎ ‎∴k＝2a，‎ ‎∴AD＝2‎5‎a，‎ ‎∴BE‎=k(k+2a)‎AD=‎‎4‎‎5‎‎5‎a，AB＝4a，‎ ‎∴tan∠BAE‎=BEAB=‎‎5‎‎5‎．‎ ‎②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．‎ ‎∵AF＝AG，BF＝2OG，‎ ‎∴AF＝AG＝k，BF＝2a，‎ ‎∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），‎ ‎∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，‎ ‎∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，‎ ‎∴△ABE∽△DAF，‎ ‎∴BEAB‎=‎AEAD，‎ ‎∴BEk-2a‎=‎kAD，‎ ‎∴BE‎=‎k(k-2a)‎AD，‎ 由题意：10‎×‎1‎‎2‎×‎2a‎×k(k-2a)‎AD=‎AD•（k﹣2a），‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴AD2＝10ka，‎ 即10ka＝3k2﹣4ka，‎ ‎∴k‎=‎‎14‎‎3‎a，‎ ‎∴AD‎=‎‎2‎‎105‎‎3‎a，‎ ‎∴BE‎=k(k-2a)‎AD=‎‎8‎‎105‎‎45‎a，AB‎=‎‎8‎‎3‎a，‎ ‎∴tan∠BAE‎=BEAB=‎‎105‎‎15‎，‎ 综上所述，tan∠BAE的值为‎5‎‎5‎或‎105‎‎15‎．‎ 第27页（共27页）‎