梧州市2013年中考数学卷

梧州市2013年中考数学卷

‎2013年梧州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均的零分）‎ ‎1. （ ）‎ ‎ A.6 B.7 C.8 D.10‎ ‎2.化简：a+a=（ ）‎ A.2 B.a‎2 ‎‎ C.2a2 D‎.2a ‎3. sin300=（ ）‎ A.0 B‎.1 ‎‎ C. D.‎ ‎4.如图1，直线AB∥CD，AB、CD与直线BE分别交与点B、E，∠B=70°，∠BED=（ ）‎ A.1100 B‎.500 ‎‎ C.600 D.700‎ ‎5.如图2，⊿ABC以点O为旋转中心，旋转1800后得到⊿A’B’C’.ED是⊿ABC的中位线，经旋转后为线段E’D’.已知BC=4，则E’D’=（ ）‎ ‎ A.2 B. ‎3 C.4 D.1.5‎ ‎6.如图3，由四个正方体组成的图形，观察这个图形，不能得到的平面图形是（ ）‎ ‎7.如图4，在菱形ABCD 中，已知∠A=600，AB=5，则⊿ABD的周长是（ ）‎ A.10 B‎.12 C.15 D.20‎ ‎ ‎ ‎8.以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）‎ A‎.2cm，‎3cm，‎4cm B. ‎2cm，‎3cm，‎5cm ‎ C. ‎2cm，‎5cm，‎10cm D. ‎8cm，‎4cm，‎‎4cm ‎9.如图5，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=200，则∠2=（ ）‎ A. 800 B. ‎700 ‎‎ C. 400 D. 200‎ ‎ ‎ ‎10.小李是9人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从1开始按顺序报数，小李报到偶数的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图6，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=700，则∠ABD=（ ）‎ A. 200 B. ‎460 C. 550 D. 700‎ ‎ ‎ ‎12.父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶.同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍.已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（ ）‎ A.1.1‎v B.1.2v C.1.3v D.1.4v 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13.计算：0-7= .‎ ‎14.若反比例函数的图象经过点（2，4），则k的值为 .‎ ‎15.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的 倍.‎ ‎16.因式分解：ax2‎-9a= .‎ ‎17.若一条直线经过点（-1，1）和点（1，5），则这条直线与x轴的交点坐标为 .‎ ‎18.如图7，AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作.过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是 .‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共8分，满分66分.）‎ ‎19.解方程：.‎ ‎20.如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF.‎ 求证：四边形BECF是平行四边形 ‎21.某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下：‎ ‎（1）如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则候选人 将被录取.‎ ‎（2）如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6和4的权.计算他们赋权后各自的平均成绩，并说明谁将被录取.‎ ‎22.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需的时间相同，现在每天生产多少台机器？‎ ‎23.海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=.‎ ‎ （1）求小岛两端A、B的距离；‎ ‎（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值.‎ ‎24.我市某商场有甲、乙两种商品，甲种每件进价15元，售价20元；乙种每件进价35元，售价45元.‎ ‎ （1）若商家同时购进甲、乙两种商品100件，设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y 元.写出y与x的函数关系式.‎ ‎ （2）该商家计划最多投入3000元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品？若售完这些商品，商家可获得的最大利润是多少元？‎ ‎ （3）“五·一”期间，商家对甲、乙两种商品进行表中的优惠活动，小王到该商场一次性付款324元购买此类商品，商家可获得的最小利润和最大利润各是多少？‎ ‎25.已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上.‎ ‎ （1）求证：BD是⊙O的切线.‎ ‎ （2）若，，求⊙O的面积.‎ ‎26.如图，抛物线y=a(x-h)2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C.‎ ‎ （1）求此抛物线的解析式.‎ ‎ （2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得⊿ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标.‎ ‎ （3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点，若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A D C D A D C A B B C B ‎13. -7‎ ‎14. 8‎ ‎15. 5 ‎ ‎16. a(x+3)(x-3)‎ ‎17. （-1.5，3）‎ ‎18. ‎ ‎19. 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎20. 证明：∵BE⊥AD，BE⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=900，‎ ‎∵AB∥CD，∴∠A=∠D，‎ 又∵AE=DF，∴⊿AEB≌⊿DFC，∴BE=CF.‎ ‎∵BE⊥AD，BE⊥AD，‎ ‎∴BE∥CF. ∴四边形BECF是平行四边形.‎ ‎21. 解：（1）甲；‎ ‎（2）甲的平均成绩为：（85×6+92×4）÷10=87.8（分）‎ 乙的平均成绩为：（91×6+85×4）÷10=88.6（分）‎ 丙的平均成绩为：（80×6+90×4）÷10=84（分）‎ 显然，乙的平均分数最高，所以乙将被录取.‎ ‎22. 解：设现在每天生产x台机器，则原计划每天生产（x-50）台机器.依题意，得：‎ ‎ ‎ 解之，得：x=200‎ 经检验：x=200是所列方程的解.‎ 答：现在每天生产200台机器.‎ ‎23. 解：（1）在Rt⊿CED中，∠CED=900，DE=‎30海里，‎ ‎∴cos∠D=，∴CE=40（海里），CD=50（海里）.‎ ‎∵B点是CD的中点，∴BE=CD=25（海里）‎ ‎∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）.‎ 答：小岛两端A、B的距离为‎16.7海里.‎ ‎（2）设BF=x海里.‎ 在Rt⊿CFB中，∠CFB=900，∴CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2.‎ 在Rt⊿CFE中，∠CFE=900，∴CF2+EF2=CE2，即625-x2+（25+x）2=1600.‎ 解之，得x=7. ∴sin∠BCF=.‎ ‎24. 解：（1）y=(20-15)x+(45-35)(100-x)=-5x+1000‎ ‎（2）15x+35(100-x)≤3000，解之，得x≥25.‎ 对y=-5x+1000，∵k=-5＜0，∴y随x的增大而减小.‎ ‎∴当x最小=25时，y最大=-5×25+1000=875（元）‎ ‎∴至少要购进25件甲种商品；若售完这些商品，商家可获得的最大利润是875元.‎ ‎ （3）设购买甲种商品m件，购买乙种商品n件.‎ ‎①当打折前一次性购物总金额不超过400时，购物总金额为324÷0.9=360（元）.‎ ‎ 则‎20m+45n=360，，∴.∵n是4的倍数，∴n=4.∴m=9.‎ ‎ 此时的利润为：324-（15×9+35×4）=49（元）.‎ ‎②当打折前一次性购物总金额超过400时，购物总金额为324÷0.8=405（元）.‎ ‎ 则‎20m+45n=405，，∴.∵m、n均是正整数，∴m=9， n=5或m=18，‎ n=1.‎ 当m=9， n=5的利润为：324-（9×15+5×35）= 14（元）； ‎ ‎ 当m=18， n=1的利润为：324-（18×15+1×35）= 19（元）.‎ ‎ 综上所述，商家可获得的最小利润是14元，最大利润各是49元.‎ ‎25. 解：（1）连接OD.‎ ‎ ∵AB为直径，∴∠ACB=900，‎ ‎∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，‎ ‎∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD，‎ ‎∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠ACB=900，∴BD是⊙O的切线.‎ ‎（2）∵，∴AB=‎4AC，‎ ‎∵BC2=AB2-AC2，∴‎15AC2=80，∴AC=，∴AB=4.‎ 设⊙O的半径为r，∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴‎ ‎∴，解得：r=‎ ‎∴πr2==，∴⊙O的面积为.‎ ‎26. 解：（1）∵抛物线y=a(x-h)2+k顶点坐标为B（1，2），∴y=a(x-1)2+2，‎ ‎∵抛物线经过点A（0，1），∴a(0-1)2+2=1，∴a=-1，∴y=- (x-1)2+2=-x2+2x+1.‎ ‎（2）∵A（0，1），C的坐标为（1，0）‎ ‎∴OA=OC，∴△OAC是等腰直角三角形 过点O作AC的垂线l，‎ 根据等腰三角形的“三线合一”知：l是AC的中垂线，‎ ‎∴l与抛物线的交点即为点P.如图，‎ 直线l的解析式为y=x，‎ 解方程组得得，（舍）‎ 当时，.∴点P的坐标为（，）.‎ ‎（3）点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点.‎ 由（1）知，点C的坐标为（1，0）.‎ 设直线AC为y=kx+b，则，解之，得，∴直线AC为y=-x+1.‎ 设与AC平行的直线的解析式为y=-x+m.‎ 解方程组代入消元，得-x2+2x+1=-x+m，‎ ‎∵此点与AC距离最远，∴直线y=-x+m与抛物线有且只有一个交点，‎ 即方程-x2+2x+1=-x+m有两个相等的实数根.‎ 整理方程得：x2-3x+ m- 1=0‎ ‎⊿=9-4（m- 1）=0，解之得m=.‎ 则x2-3x+- 1=0，解之得，此时y=.‎ ‎∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（，）.‎