郴州市中考数学试题及答案word含解析

郴州市中考数学试题及答案word含解析

‎2015年湖南省郴州市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．（3分）（2015•郴州）2的相反数是（　　）‎ ‎　 A． B． C． ﹣2 D． 2‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2015•郴州）计算（﹣3）2的结果是（　　）‎ ‎　 A． ﹣6 B． 6 C． ﹣9 D． 9‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2015•郴州）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　 A． x3+x=x4 B． x2•x3=x5 C． （x2）3=x5 D． x9÷x3=x3‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2015•郴州）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2015•郴州）下列图案是轴对称图形的是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2015•郴州）某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92，100，96，93，96，98，95，则这位同学成绩的中位数和众数分别是（　　）‎ ‎　 A． 93，96 B． 96，96 C． 96，100 D． 93，100‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2015•郴州）如图为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（　　）‎ ‎　 A． k＞0，b＞0 B． k＞0，b＜0 C． k＜0，b＞0 D． k＜0，b＜0‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2015•郴州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（　　）‎ ‎　 A． B． 2 C． 3 D． 3‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．（3分）（2015•郴州）2015年5月在郴州举行的第三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会中，成交额高达32亿元，3200000000用科学记数法表示为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2015•郴州）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为　　　　　　cm2．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2015•郴州）分解因式：2a2﹣2=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2015•郴州）函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2015•郴州）如图，已知直线m∥m，∠1=100°，则∠2的度数为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2015•郴州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=40°，则∠ABC的度数为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2015•郴州）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2015•郴州）请观察下列等式的规律：‎ ‎=（1﹣），=（﹣），‎ ‎=（﹣），=（﹣），‎ ‎…‎ 则+++…+=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（17-19每题6分，20-23每题8分，24-25每题10分，26题12分，共82分）‎ ‎17．（6分）（2015•郴州）计算：（）﹣1﹣20150+|﹣|﹣2sin60°．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2015•郴州）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2015•郴州）如图，已知点A（1，2）是正比例函数y1=kx（k≠0）与反比例函数y2=（m≠0）的一个交点．‎ ‎（1）求正比例函数及反比例函数的表达式；‎ ‎（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y1＜y2？‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2015•郴州）郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．‎ ‎（1）这次统计共抽取了　　　　　　本书籍，扇形统计图中的m=　　　　　　，∠α的度数是　　　　　　；‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2015•郴州）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2015•郴州）如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2015•郴州）如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．‎ ‎（1）求证：△AOE≌△COF；‎ ‎（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2015•郴州）阅读下面的材料：‎ 如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，‎ ‎（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；‎ ‎（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是增函数．‎ 例题：证明函数f（x）=（x＞0）是减函数．‎ 证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0‎ f（x1）﹣f（x2）=﹣==‎ ‎∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0‎ ‎∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0‎ ‎∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0‎ ‎∴f（x1）＞f（x2）‎ ‎∴函数f（x）=（x＞0）是减函数．‎ 根据以上材料，解答下面的问题：‎ ‎（1）函数f（x）=（x＞0），f（1）==1，f（2）==．‎ 计算：f（3）=　　　　　　，f（4）=　　　　　　，猜想f（x）=（x＞0）是　　　　　　函数（填“增”或“减”）；‎ ‎（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2015•郴州）如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；‎ ‎（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎26．（12分）（2015•郴州）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？‎ ‎（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；‎ ‎（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年湖南省郴州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．（3分）（2015•郴州）2的相反数是（　　）‎ ‎　 A． B． C． ﹣2 D． 2‎ 考点： 相反数． ‎ 分析： 根据相反数的概念解答即可．‎ 解答： 解：2的相反数是﹣2，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2015•郴州）计算（﹣3）2的结果是（　　）‎ ‎　 A． ﹣6 B． 6 C． ﹣9 D． 9‎ 考点： 有理数的乘方． ‎ 分析： 根据有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．‎ 解答： 解：（﹣3）2=（﹣3）×（﹣3）=9．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2015•郴州）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　 A． x3+x=x4 B． x2•x3=x5 C． （x2）3=x5 D． x9÷x3=x3‎ 考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ 分析： 根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．‎ 解答： 解：A、x3•x=x4，故错误；‎ B、正确；‎ C、（x2）3=x6，故错误；‎ D、x9÷x3=x6，故错误；‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2015•郴州）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 简单几何体的三视图．‎ 分析： 分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图，从而得出都是正方体的几何体．‎ 解答： 解：A、正方体的主视图、左视图、俯视图都正方形，符合题意；‎ B、圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆，不符合题意；‎ C、圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点，不符合题意；‎ D、球的主视图、左视图、俯视图都是圆，不符合题意．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了简单几何体的三视图、学生的思考能力，关键是掌握几何体三种视图的空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2015•郴州）下列图案是轴对称图形的是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 轴对称图形．‎ 分析： 根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解．‎ 解答： 解：A、是轴对称图形，‎ B、不是轴对称图形，‎ C、不是轴对称图形，‎ D、不是轴对称图形，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2015•郴州）某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92，100，96，93，96，98，95，则这位同学成绩的中位数和众数分别是（　　）‎ ‎　 A． 93，96 B． 96，96 C． 96，100 D． 93，100‎ 考点： 众数；中位数．‎ 分析： 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ 解答： 解：把数据从小到大排列：92，93，95，96，96，98，100，‎ 位置处于中间的数是：96，故中位数是96；‎ 次数最多的数是96，故众数是96，‎ 故选：B．‎ 点评： 此题主要考查了中位数和众数．一些学生往往对概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2015•郴州）如图为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（　　）‎ ‎　 A． k＞0，b＞0 B． k＞0，b＜0 C． k＜0，b＞0 D． k＜0，b＜0‎ 考点： 一次函数图象与系数的关系．‎ 专题： 数形结合．‎ 分析： 根据一次函数经过的象限可得k和b的取值．‎ 解答： 解：∵一次函数经过二、四象限，‎ ‎∴k＜0，‎ ‎∵一次函数与y轴的交于正半轴，‎ ‎∴b＞0．‎ 故选C．‎ 点评： 考查一次函数的图象与系数的关系的知识；用到的知识点为：一次函数经过一三象限或二四象限，k＞0或＜0；与y轴交于正半轴，b＞0，交于负半轴，b＜0．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2015•郴州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（　　）‎ ‎　 A． B． 2 C． 3 D． 3‎ 考点： 翻折变换（折叠问题）．‎ 分析： 利用翻折变换的性质得出：∠1=∠2=30°，进而结合锐角三角函数关系求出FE的长．‎ 解答： 解：如图所示：由题意可得：∠1=∠2=30°，则∠3=30°，‎ 可得∠4=∠5=60°，‎ ‎∵AB=DC=BE=3，‎ ‎∴tan60°===，‎ 解得：EF=．‎ 故选：A．‎ 点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系，得出∠4=∠5=60°是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．（3分）（2015•郴州）2015年5月在郴州举行的第三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会中，成交额高达32亿元，3200000000用科学记数法表示为　3.2×109　．‎ 考点： 科学记数法—表示较大的数．‎ 分析： 用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答： 解：3200000000=3.2×109，‎ 故答案为：3.2×109‎ 点评： 此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2015•郴州）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为　3π　cm2．‎ 考点： 圆锥的计算．‎ 分析： 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．‎ 解答： 解：圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π．‎ 故答案为：3π．‎ 点评： 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2015•郴州）分解因式：2a2﹣2=　2（a+1）（a﹣1）　．‎ 考点： 提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析： 先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ 解答： 解：2a2﹣2，‎ ‎=2（a2﹣1），‎ ‎=2（a+1）（a﹣1）．‎ 点评： 本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2015•郴州）函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠2　．‎ 考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．‎ 解答： 解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，‎ 解得：x≠2．‎ 故答案为：x≠2．‎ 点评： 本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2015•郴州）如图，已知直线m∥m，∠1=100°，则∠2的度数为　80°　．‎ 考点： 平行线的性质．‎ 分析： 根据邻补角定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数即可．‎ 解答： 解：如图，‎ ‎∵∠1=100°，‎ ‎∴∠3=180°﹣100°=80°，‎ ‎∵m∥n，‎ ‎∴∠2=∠3=80°．‎ 故答案为80°．‎ 点评： 本题考查了平行线的性质，找到相应的同位角是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2015•郴州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=40°，则∠ABC的度数为　50°　．‎ 考点： 圆周角定理．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后根据三角形内角和定理计算∠ABC的度数．‎ 解答： 解：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ABC=90°﹣∠CAB=90°﹣40°=50°．‎ 故答案为50°．‎ 点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2015•郴州）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为　　．‎ 考点： 列表法与树状图法；完全平方式．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先画树状图展示所有四种等可能的结果数，再根据完全平方式的定义得到“++”和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式，然后根据概率公式求解．‎ 解答： 解：画树状图为：‎ 共有四种等可能的结果数，其中“++”和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式，‎ 所以所得的代数式为完全平方式的概率==．‎ 故答案为．‎ 点评： 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了完全平方式．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2015•郴州）请观察下列等式的规律：‎ ‎=（1﹣），=（﹣），‎ ‎=（﹣），=（﹣），‎ ‎…‎ 则+++…+=　　．‎ 考点： 规律型：数字的变化类．‎ 分析： 观察算式可知=（﹣）（n为非0自然数），把算式拆分再抵消即可求解．‎ 解答： 解：+++…+‎ ‎=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）‎ ‎=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=（1﹣）‎ ‎=×‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为=（﹣）（n为非0自然数）．‎ ‎　‎ 三、解答题（17-19每题6分，20-23每题8分，24-25每题10分，26题12分，共82分）‎ ‎17．（6分）（2015•郴州）计算：（）﹣1﹣20150+|﹣|﹣2sin60°．‎ 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．‎ 解答： 解：原式=2﹣1+﹣2×=1．‎ 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2015•郴州）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ 考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．‎ 分析： 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．‎ 解答： 解：∵解不等式①得：x≤，‎ 解不等式②得：x＞﹣1，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣1＜x，‎ 在数轴上表示不等式组的解集为：．‎ 点评： 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2015•郴州）如图，已知点A（1，2）是正比例函数y1=kx（k≠0）与反比例函数y2=（m≠0）的一个交点．‎ ‎（1）求正比例函数及反比例函数的表达式；‎ ‎（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y1＜y2？‎ 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．‎ 分析： （1）利用函数图象上点的坐标性质分别代入解析式求出即可；‎ ‎（2）利用函数图象，结合交点左侧时y1＜y2．‎ 解答： 解：（1）将点A（1，2）代入正比例函数y1=kx（k≠0）与反比例函数y2=（m≠0）得，‎ ‎2=k，m=1×2=2，‎ 故y1=2x（k≠0），反比例函数y2=；‎ ‎（2）如图所示：当0＜x＜1时，y1＜y2．‎ 点评： 此题主要考查了一次函数与反比例函数交点，利用数形结合得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2015•郴州）郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．‎ ‎（1）这次统计共抽取了　200　本书籍，扇形统计图中的m=　40　，∠α的度数是　36°　；‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．‎ 考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ 分析： （1）用A的本数÷A所占的百分比，即可得到抽取的本数；用C的本数÷总本数，即可求得m；计算出D的百分比乘以360°，即可得到圆心角的度数；‎ ‎（2）计算出B的本数，即可补全条形统计图；‎ ‎（3）根据文学类书籍的百分比，即可解答．‎ 解答： 解：（1）40÷20%=200（本），80÷200=40%，×360°=36°，‎ 故答案为：200，40，36°；‎ ‎（2）B的本数为：200﹣40﹣80﹣20=60（本），‎ 如图所示：‎ ‎（3）3000×=900（本）．‎ 答：估计全校师生共捐赠了900本文学类书籍．‎ 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2015•郴州）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．‎ 考点： 分式方程的应用．‎ 分析： 设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，根据购买了桂花树和樱花树共30棵列方程解答即可．‎ 解答： 解：设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，由题意得 ‎+=30‎ 解得：x=200‎ 经检验x=200是原方程的解．‎ 则（1+50%）x=300‎ ‎=20（棵）‎ 答：樱花树的单价为200元，有20棵．‎ 点评： 此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2015•郴州）如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）‎ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．‎ 分析： 过点A作AD⊥BC于点D，设AD=xm．用含x的代数式分别表示BD，CD．再根据BD+CD=BC，列出方程x+x=150，解方程即可．‎ 解答： 解：过点A作AD⊥BC于点D，设AD=xm．‎ 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，‎ ‎∴BD=AD•tan30°=x．‎ 在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=45°，‎ ‎∴CD=AD=x．‎ ‎∵BD+CD=BC，‎ ‎∴x+x=150，‎ ‎∴x=75（3﹣）≈95．‎ 即A点到河岸BC的距离约为95m．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，有公共直角边的可利用这条边进行求解．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2015•郴州）如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．‎ ‎（1）求证：△AOE≌△COF；‎ ‎（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．‎ 考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．‎ 分析： （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，由ASA即可得出结论；‎ ‎（2）由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．‎ 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠EAO=∠FCO，‎ ‎∵O是OA的中点，‎ ‎∴OA=OC，‎ 在△AOE和△COF中，，‎ ‎∴△AOE≌△COF（ASA）；‎ ‎（2）解：EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；理由如下：‎ ‎∵△AOE≌△COF，‎ ‎∴AE=CF，‎ ‎∵AE∥CF，‎ ‎∴四边形AFCE是平行四边形，‎ ‎∵EF⊥AC，‎ ‎∴四边形AFCE是菱形．‎ 点评： 本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2015•郴州）阅读下面的材料：‎ 如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，‎ ‎（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；‎ ‎（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是增函数．‎ 例题：证明函数f（x）=（x＞0）是减函数．‎ 证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0‎ f（x1）﹣f（x2）=﹣==‎ ‎∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0‎ ‎∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0‎ ‎∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0‎ ‎∴f（x1）＞f（x2）‎ ‎∴函数f（x）=（x＞0）是减函数．‎ 根据以上材料，解答下面的问题：‎ ‎（1）函数f（x）=（x＞0），f（1）==1，f（2）==．‎ 计算：f（3）=　　，f（4）=　　，猜想f（x）=（x＞0）是　减　函数（填“增”或“减”）；‎ ‎（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．‎ 考点： 反比例函数综合题．‎ 专题： 阅读型．‎ 分析： （1）根据题意把x=3，x=4代入，再比较其大小即可；‎ ‎（2）假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，再作差比较即可．‎ 解答： （1）解：∵f（x）=（x＞0），f（1）==1，f（2）==，‎ ‎∴f（3）==，f（4）==，‎ ‎∵＞，‎ ‎∴猜想f（x）=（x＞0）是减函数．‎ 故答案为：，，减；‎ ‎（2）证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0‎ f（x1）﹣f（x2）=﹣==，‎ ‎∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0‎ ‎∴x2﹣x1＞0，x2+x1＞0，x12•x22＞0，‎ ‎∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0‎ ‎∴f（x1）＞f（x2）‎ ‎∴函数f（x）=（x＞0）是减函数．‎ 点评： 本题考查的是反比例函数综合题，根据题中所给出的材料假设出x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，再比较出其大小即可．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2015•郴州）如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；‎ ‎（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）根据抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系数法，求出抛物线的表达式即可；‎ ‎（2）利用两点间的距离公式分别计算出OA=4，OB=4，CB=2，CA=2，则OA=OB，CA=CB，根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四边形AOBC的两条对角线互相垂直；‎ ‎（3）如图2，利用两点间的距离公式分别计算出AB=4，OC=6，设D（t，0），根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EF∥DG，EF=DG，再由OC垂直平分AB得到△OBC与△OAC关于OC对称，则可判断EF和DG为对应线段，所以四边形DEFG为矩形，DG∥OC，则DE∥AB，于是可判断△ODE∽△OAB，利用相似比得DE=t，接着证明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG=（4﹣t），所以矩形DEFG的面积=DE•DG=t•（4﹣t）=﹣3t2+12t，然后根据二次函数的性质求平行四边形DEFG的面积的最大值，从而得到此时D点坐标．‎ 解答： 解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 根据题意得，解得，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=x2﹣x+4；‎ ‎（2）如图1，连结AB、OC，‎ ‎∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），‎ ‎∴OA=4，OB=4，CB==2，CA==2，‎ ‎∴OA=OB，CA=CB，‎ ‎∴OC垂直平分AB，‎ 即四边形AOBC的两条对角线互相垂直；‎ ‎（3）能．‎ 如图2，AB==4，OC==6，设D（t，0），‎ ‎∵四边形DEFG为平行四边形，‎ ‎∴EF∥DG，EF=DG，‎ ‎∵OC垂直平分AB，‎ ‎∴△OBC与△OAC关于OC对称，‎ ‎∴EF和DG为对应线段，‎ ‎∴四边形DEFG为矩形，DG∥OC，‎ ‎∴DE∥AB，‎ ‎∴△ODE∽△OAB，‎ ‎∴=，即=，解得DE=t，‎ ‎∵DG∥OC，‎ ‎∴△ADG∽△AOC，‎ ‎∴=，即=，解得DG=（4﹣t），‎ ‎∴矩形DEFG的面积=DE•DG=t•（4﹣t）=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12，‎ 当t=2时，平行四边形DEFG的面积最大，最大值为12，此时D点坐标为（2，0）．‎ 点评： 考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和对称的判定与性质；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；掌握线段垂直平分线的判定方法和平行四边形的性质；会利用相似比计算线段的长．‎ ‎　‎ ‎26．（12分）（2015•郴州）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？‎ ‎（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；‎ ‎（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．‎ 考点： 四边形综合题 分析： （1）通过比较线段AB，BC的大小，找出较短的线段，根据速度公式可以直接求得；‎ ‎（2）由已知条件，把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S的最值；‎ ‎（3）通过作辅助线构造直角三角形，由勾股定理用含t的代数式把△PQB三边表示出来，根据线段相等列出等式求解，即可求的结论．‎ 解答： 解：（1）作CE⊥AB于E，‎ ‎∵DC∥AB，DA⊥AB，‎ ‎∴四边形AFVE是矩形，‎ ‎∴AE=DE=5，CE=AD=4，‎ ‎∴BE=3，‎ ‎∴BC=，‎ ‎∴BC＜AB，‎ ‎∴P到C时，P、Q同时停止运动，‎ ‎∴t=（秒），‎ 即t=5秒时，P，Q两点同时停止运动．‎ ‎（2）由题意知，AQ=BP=t，‎ ‎∴QB=8﹣t，‎ 作PF⊥QB于F，则△BPF～△BCE，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴BF=，‎ ‎∴S=QB•PF=×（8﹣t）==﹣（t﹣4）2+（0＜t≤5），‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴S有最大值，当t=4时，S的最大值是；‎ ‎（3）∵cos∠B=，‎ ‎∴BF=t•cos∠B=，‎ ‎∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8﹣，‎ ‎∴QP===4‎ ‎①当PQ=PB时，即QP═4，解得t=（舍去负值）‎ ‎∵t=＞5，不合题意，‎ ‎②当PQ=BQ时，即4=8﹣t，‎ 解得：t1=0（舍去），t2=，‎ ‎③当QB=BP，即8﹣t=t，‎ 解得：t=4．‎ 综上所述：当t=秒或t=4秒时，△PQB为等腰三角形．‎ 点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的最值，综合性强，能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来，灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键，要注意分类思想、方程思想的应用．‎ ‎　‎ ‎ ‎