2014年广东省中山市中考数学试卷

2014年广东省中山市中考数学试卷

‎2014年广东省中山市中考数学试卷 ‎ ‎ ‎2014年广东省中山市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2014•广东）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎﹣3‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2014•广东）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2014•广东）计算3a﹣2a的结果正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ a C．‎ ‎﹣a D．‎ ‎﹣5a ‎　‎ ‎4．（3分）（2014•广东）把x3﹣9x分解因式，结果正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x（x2﹣9）‎ B．‎ x（x﹣3）2‎ C．‎ x（x+3）2‎ D．‎ x（x+3）（x﹣3）‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2014•广东）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎7‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2014•广东）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2014•广东）如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ AC=BD B．‎ AC⊥BD C．‎ AB=CD D．‎ AB=BC ‎　‎ ‎8．（3分）（2014•广东）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2014•广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎17‎ B．‎ ‎15‎ C．‎ ‎13‎ D．‎ ‎13或17‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2014•中山）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 函数有最小值 B．‎ 对称轴是直线x=‎ ‎　‎ C．‎ 当x＜，y随x的增大而减小 D．‎ 当﹣1＜x＜2时，y＞0‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）（2014•广东）计算2x3÷x=　_________　．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2014•广东）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为　_________　．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2014•广东）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=　_________　．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2014•广东）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　_________　．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2014•广东）不等式组的解集是　_________　．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2014•广东）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于　_________　．‎ ‎　‎ 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）‎ ‎17．（6分）（2014•广东）计算：+|﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣1．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2014•广东）先化简，再求值：（+）•（x2﹣1），其中x=．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2014•广东）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．‎ ‎（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎20．（8分）（2014•广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2014•广东）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．‎ ‎（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．‎ ‎（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2014•广东）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． ‎ ‎（1）这次被调查的同学共有　_________　名；‎ ‎（2）把条形统计图补充完整；‎ ‎（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？‎ ‎　‎ 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．（9分）（2014•中山）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．‎ ‎（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？‎ ‎（2）求一次函数解析式及m的值；‎ ‎（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）（2014•广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．‎ ‎（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）‎ ‎（2）求证：OD=OE；‎ ‎（3）求证：PF是⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎25．（9分）（2014•广东）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；‎ ‎（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2014年广东省中山市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（2014•广东省中山市 1,3分）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎﹣3‎ 考点：‎ 有理数大小比较．菁优网版权所有 分析：‎ 根据正数大于0，0大于负数，可得答案．‎ 解答：‎ 解：﹣3＜0＜1＜2，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2014•广东省中山市 2,3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有 分析：‎ 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 解答：‎ 解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；‎ B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；‎ C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎　‎ ‎3．（2014•广东省中山市 3,3分）计算3a﹣2a的结果正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ a C．‎ ‎﹣a D．‎ ‎﹣5a 考点：‎ 合并同类项．菁优网版权所有 分析：‎ 根据合并同类项的法则，可得答案．‎ 解答：‎ 解：原式=（3﹣2）a=a，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•广东省中山市 4,3分）把x3﹣9x分解因式，结果正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x（x2﹣9）‎ B．‎ x（x﹣3）2‎ C．‎ x（x+3）2‎ D．‎ x（x+3）（x﹣3）‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有 分析：‎ 先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ 解答：‎ 解：x3﹣9x，‎ ‎=x（x2﹣9），‎ ‎=x（x+3）（x﹣3）．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎　‎ ‎5．（2014•广东省中山市 5,3分）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎7‎ 考点：‎ 多边形内角与外角．菁优网版权所有 分析：‎ 根据多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．‎ 解答：‎ 解：设这个多边形是n边形，根据题意得，‎ ‎（n﹣2）•180°=900°，‎ 解得n=7．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（2014•广东省中山市 6,3分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 概率公式．菁优网版权所有 分析：‎ 直接根据概率公式求解即可．‎ 解答：‎ 解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，‎ ‎∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（2014•广东省中山市 7,3分）如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ AC=BD B．‎ AC⊥BD C．‎ AB=CD D．‎ AB=BC 考点：‎ 平行四边形的性质．菁优网版权所有 分析：‎ 根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．‎ 解答：‎ 解：A、AC≠BD，故此选项错误；‎ B、AC不垂直BD，故此选项错误；‎ C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故此选项正确；‎ D、AB≠BC，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．‎ ‎　‎ ‎8．（2014•广东省中山市 8,3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 根的判别式．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，‎ 解得m＜．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•广东省中山市 9,3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎17‎ B．‎ ‎15‎ C．‎ ‎13‎ D．‎ ‎13或17‎ 考点：‎ 等腰三角形的性质；三角形三边关系．菁优网版权所有 分析：‎ 由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．‎ 解答：‎ 解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；‎ ‎②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．‎ 故这个等腰三角形的周长是17．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎10．（2014•广东省中山市 10,3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 函数有最小值 B．‎ 对称轴是直线x=‎ ‎　‎ C．‎ 当x＜，y随x的增大而减小 D．‎ 当﹣1＜x＜2时，y＞0‎ 考点：‎ 二次函数的性质；二次函数的图象．菁优网版权所有 专题：‎ 数形结合．‎ 分析：‎ 根据当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点对A进行判断；由于抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（2，0），根据对称性得到抛物线的对称轴为直线x=，则可对B进行判断；根据二次函数的增减性对C进行判断；观察函数图象得到当﹣1＜x＜2时，图象在x轴下方，则可对D进行判断．‎ 解答：‎ 解：A、抛物线开口向上，二次函数有最小值，所以A选项的说法正确；‎ B、抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（2，0），则抛物线的对称轴为直线x=，所以B选项的说法正确；‎ C、当x＜，y随x的增大而减小，所以C选项的说法正确；‎ D、当﹣1＜x＜2时，y＜0，所以D选项的说法错误．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣，时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（2014•广东省中山市 11,4分）计算2x3÷x=　 　．‎ 考点：‎ 整式的除法．菁优网版权所有 分析：‎ 直接利用整式的除法运算法则求出即可．‎ 解答：‎ 解：2x3÷x=2x2．‎ 故答案为：2x2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．（2014•广东省中山市 12,4分）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为　 　．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将618 000 000用科学记数法表示为：6.18×108．‎ 故答案为：6.18×108．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎13．（2014•广东省中山市 13,4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=　 　．‎ 考点：‎ 三角形中位线定理．菁优网版权所有 分析：‎ 由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．‎ 解答：‎ 解：∵D、E是AB、AC中点，‎ ‎∴DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴ED=BC=3．‎ 故答案为3．‎ 点评：‎ 本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．‎ ‎　‎ ‎14．（2014•广东省中山市 14,4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　 　．‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有 分析：‎ 作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．‎ 解答：‎ 解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，‎ ‎∵OC⊥AB，‎ ‎∴AC=BC=AB=×8=4，‎ 在Rt△AOC中，OA=5，‎ ‎∴OC===3，‎ 即圆心O到AB的距离为3．‎ 故答案为：3．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．‎ ‎　‎ ‎15．（2014•广东省中山市 15,4分）不等式组的解集是　 　．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．‎ 解答：‎ 解：，‎ 由①得：x＜4；由②得：x＞1，‎ 则不等式组的解集为1＜x＜4．‎ 故答案为：1＜x＜4．‎ 点评：‎ 此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（2014•广东省中山市 16,4分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于 　．‎ 考点：‎ 旋转的性质．菁优网版权所有 分析：‎ 根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，进而求出阴影部分的面积．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，‎ ‎∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，‎ ‎∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，‎ ‎∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，‎ ‎∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ 点评：‎ 此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）‎ ‎17．（2014•广东省中山市 17,6分）计算：+|﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣1．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有 分析：‎ 本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：‎ 解：原式=3+4+1﹣2‎ ‎=6．‎ 点评：‎ 本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎　‎ ‎18．（2014•广东省中山市 18,6分）先化简，再求值：（+）•（x2﹣1），其中x=．‎ 考点：‎ 分式的化简求值．菁优网版权所有 分析：‎ 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=•（x2﹣1）‎ ‎=2x+2+x﹣1‎ ‎=3x+1，‎ 当x=时，原式=．‎ 点评：‎ 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（2014•广东省中山市 19,6分）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．‎ ‎（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．‎ 考点：‎ 作图—基本作图；平行线的判定．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；‎ ‎（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论．‎ 解答：‎ 解：（1）如图所示：‎ ‎（2）DE∥AC ‎∵DE平分∠BDC，‎ ‎∴∠BDE=∠BDC，‎ ‎∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，‎ ‎∴∠A=∠BDC，‎ ‎∴∠A=∠BDE，‎ ‎∴DE∥AC．‎ 点评：‎ 此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎20．（2014•广东省中山市 20,8分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有 分析：‎ 首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，‎ ‎∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，‎ ‎∴∠A=∠ACB，‎ ‎∴BC=AB=10（米）．‎ 在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．‎ 答：这棵树CD的高度为8.7米．‎ 点评：‎ 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎21．（2014•广东省中山市 21,8分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．‎ ‎（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．‎ ‎（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？‎ 考点：‎ 分式方程的应用．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；‎ ‎（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：‎ ‎=9%，‎ 解得：x=1200，‎ 经检验：x=1200是原方程的解．‎ 答：这款空调每台的进价为1200元；‎ ‎（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．‎ 点评：‎ 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．‎ ‎　‎ ‎22．（2014•广东省中山市 22,8分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． ‎ ‎（1）这次被调查的同学共有　 　名；‎ ‎（2）把条形统计图补充完整；‎ ‎（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；‎ ‎（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；‎ ‎（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．‎ 解答：‎ 解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；‎ 故答案为：1000；‎ ‎（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，‎ 补图如下；‎ ‎（3）18000×=3600（人）．‎ 答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．（2014•广东省中山市 23,9分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．‎ ‎（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？‎ ‎（2）求一次函数解析式及m的值；‎ ‎（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；‎ ‎（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；‎ ‎（3）设P点坐标为（t，t+），利用三角形面积公式可得到••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；‎ ‎（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，‎ 所以一次函数解析式为y=x+，‎ 把B（﹣1，2）代入y=得m=﹣1×2=﹣2；‎ ‎（3）设P点坐标为（t，t+），‎ ‎∵△PCA和△PDB面积相等，‎ ‎∴••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，‎ ‎∴P点坐标为（﹣，）．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．‎ ‎　‎ ‎24．（2014•广东省中山市 24,9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．‎ ‎（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）‎ ‎（2）求证：OD=OE；‎ ‎（3）求证：PF是⊙O的切线．‎ 考点：‎ 切线的判定；弧长的计算．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；‎ ‎（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；‎ ‎（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．‎ 解答：‎ ‎（1）解：∵AC=12，‎ ‎∴CO=6，‎ ‎∴==2π；‎ ‎（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，‎ ‎∠PEA=90°，∠ADO=90°‎ 在△ADO和△PEO中，‎ ‎，‎ ‎∴△POE≌△AOD（AAS），‎ ‎∴OD=EO；‎ ‎（3）证明：如图，连接AP，PC，‎ ‎∵OA=OP，‎ ‎∴∠OAP=∠OPA，‎ 由（2）得OD=EO，‎ ‎∴∠ODE=∠OED，‎ 又∵∠AOP=∠EOD，‎ ‎∴∠OPA=∠ODE，‎ ‎∴AP∥DF，‎ ‎∵AC是直径，‎ ‎∴∠APC=90°，‎ ‎∴∠PQE=90°‎ ‎∴PC⊥EF，‎ 又∵DP∥BF，‎ ‎∴∠ODE=∠EFC，‎ ‎∵∠OED=∠CEF，‎ ‎∴∠CEF=∠EFC，‎ ‎∴CE=CF，‎ ‎∴PC为EF的中垂线，‎ ‎∴∠EPQ=∠QPF，‎ ‎∵△CEP∽△CAP ‎∴∠EPQ=∠EAP，‎ ‎∴∠QPF=∠EAP，‎ ‎∴∠QPF=∠OPA，‎ ‎∵∠OPA+∠OPC=90°，‎ ‎∴∠QPF+∠OPC=90°，‎ ‎∴OP⊥PF，‎ ‎∴PF是⊙O的切线．‎ 点评：‎ 本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．‎ ‎　‎ ‎25．（2014•广东省中山市 25,9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；‎ ‎（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 相似形综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；‎ ‎（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；‎ ‎（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．‎ 又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．‎ ‎∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．‎ ‎∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，‎ ‎∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．‎ ‎（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△ABC，‎ ‎∴，即，解得：EF=10﹣t．‎ S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10‎ ‎∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．‎ ‎（3）解：存在．理由如下：‎ ‎①若点E为直角顶点，如答图3①所示，‎ 此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．‎ ‎∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；‎ ‎②若点F为直角顶点，如答图3②所示，‎ 此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．‎ ‎∵PF∥AD，∴，即，解得t=；‎ ‎③若点P为直角顶点，如答图3③所示．‎ 过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．‎ ‎∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，‎ ‎∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．‎ 在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．‎ ‎∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，‎ ‎∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．‎ 在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．‎ 在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，‎ 即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）‎ 化简得：t2﹣35t=0，‎ 解得：t=或t=0（舍去）‎ ‎∴t=．‎ 综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．‎ 点评：‎ 本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．‎ ‎　‎