- 2021-05-13 发布 |
- 37.5 KB |
- 112页
申明敬告： 本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
2016中考二次函数试题汇编
二次函数 一、 选择题 1．（2016·山东省滨州市·3分）抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质． 【分析】对于抛物线解析式，分别令x=0与y=0求出对应y与x的值，即可确定出抛物线与坐标轴的交点个数． 【解答】解：抛物线y=2x2﹣2x+1， 令x=0，得到y=1，即抛物线与y轴交点为（0，1）； 令y=0，得到2x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0， 解得：x1=x2=，即抛物线与x轴交点为（，0）， 则抛物线与坐标轴的交点个数是2， 故选C 【点评】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线解析式中令一个未知数为0，求出另一个未知数的值，确定出抛物线与坐标轴交点． 2．（2016·山东省滨州市·3分）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（ ） A．y=﹣（x﹣）2﹣ B．y=﹣（x+）2﹣ C．y=﹣（x﹣）2﹣ D．y=﹣（x+）2+ 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，求出向下平移3个单位长度的解析式即可． 【解答】解：∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6， ∴绕原点选择180°变为，y=﹣x2+5x﹣6，即y=﹣（x﹣）2+， ∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣（x﹣）2+﹣3=﹣（x﹣）2﹣． 故选A． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键． 3．（2016广西南宁3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2， ∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0， ∴﹣＞0． 设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+， ∵a＞0， ∴＞0， ∴a+b＞0． 故选C． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键． 4．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误． 故选C． 5.（2016·福建龙岩·4分）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（ ） A．a+bB．a﹣2bC．a﹣bD．3a 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】观察函数图象找出“a＞0，c=0，﹣2a＜b＜0”，由此即可得出|a﹣b+c|=a﹣b，|2a+b|=2a+b，根据整式的加减法运算即可得出结论． 【解答】解：观察函数图象，发现： 图象过原点，c=0； 抛物线开口向上，a＞0； 抛物线的对称轴0＜﹣＜1，﹣2a＜b＜0． ∴|a﹣b+c|=a﹣b，|2a+b|=2a+b， ∴|a﹣b+c|+|2a+b|=a﹣b+2a+b=3a． 故选D． 6.（2016·广西桂林·3分）已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣ （x﹣ ）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定． 【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=﹣x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论． 【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示． 令一次函数y=﹣x+3中x=0，则y=3， ∴点A的坐标为（0，3）； 令一次函数y=﹣x+3中y=0，则﹣x+3， 解得：x=， ∴点B的坐标为（，0）． ∴AB=2． ∵抛物线的对称轴为x=， ∴点C的坐标为（2，3）， ∴AC=2=AB=BC， ∴△ABC为等边三角形． 令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，则﹣（x﹣）2+4=0， 解得：x=﹣，或x=3． ∴点E的坐标为（﹣，0），点F的坐标为（3，0）． △ABP为等腰三角形分三种情况： ①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点； ②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，； ③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点； ∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个． 故选A． 7．（2016广西南宁3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2， ∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0， ∴﹣＞0． 设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+， ∵a＞0， ∴＞0， ∴a+b＞0． 故选C． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键． 8．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误． 故选C． 9．（2016广西南宁3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2， ∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0， ∴﹣＞0． 设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+， ∵a＞0， ∴＞0， ∴a+b＞0． 故选C． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键． 10．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误． 故选C． 11. （2016·浙江省绍兴市·4分）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点， ∴ 解得6≤c≤14， 故选A． 12. （2016·湖北随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】（1）正确．根据对称轴公式计算即可． （2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断． （3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断． （4）错误．利用函数图象即可判断． （5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题． 【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2， ∴4a+b=0．故正确． （2）错误．∵x=﹣3时，y＜0， ∴9a﹣3b+c＜0， ∴9a+c＜3b，故（2）错误． （3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0）， ∴解得， ∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a， ∵a＜0， ∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确． （4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）， ∵﹣2=，2﹣（﹣）=， ∴＜ ∴点C离对称轴的距离近， ∴y3＞y2， ∵a＜0，﹣3＜﹣＜2， ∴y1＜y2 ∴y1＜y2＜y3，故（4）错误． （5）正确．∵a＜0， ∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0， 即（x+1）（x﹣5）＞0， 故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确． ∴正确的有三个， 故选B． 13.（2016·四川南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（ ） A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=﹣2 D．直线x=2 【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程． 【解答】解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2， ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1． 故选B． 【点评】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它的顶点坐标是（﹣，），对称轴为直线x=﹣． 14．（2016·四川泸州）已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ） A．或1 B．或1 C．或D．或 【考点】二次函数的性质． 【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案． 【解答】解：依题意知a＞0，＞0，a+b﹣2=0， 故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2， 于是0＜a＜2， ∴﹣2＜2a﹣2＜2， 又a﹣b为整数， ∴2a﹣2=﹣1，0，1， 故a=，1，， b=，1，， ∴ab=或1， 故选A． 15．（2016·四川攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（ ） A．2a﹣b=0 B．a+b+c＞0 C．3a﹣c=0 D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误； 当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误； 当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C错误； 由a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1， ∴2a+b=0， ∴选项A错误； ∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方， ∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0， ∴选项B错误； ∵A点坐标为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a， ∴a+2a+c=0， ∴3a+c=0， ∴选项C错误； 当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣， 把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2， ∴D点坐标为（1，﹣2）， ∴AE=2，BE=2，DE=2， ∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形， ∴△ADB为等腰直角三角形， ∴选项D正确． 故选D． 【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）． 16.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3； ③3a+c＞0 ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3 ⑤当x＜0时，y随x增大而增大 其中结论正确的个数是（ ） A．4个B．3个C．2个D．1个 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为负数可得到3a+c＜0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2﹣4ac＞0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确； ∵x=﹣=1，即b=﹣2a， 而x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0，所以③错误； ∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0）， ∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确． 故选B． 17．（2016·湖北黄石·3分）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2 【分析】由于二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2 ﹣1的图象不经过第三象限，所以抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解． 【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限， ∴抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限， 当抛物线在x轴的上方时， ∵二次项系数a=1， ∴抛物线开口方向向上， ∴b2﹣1≥0，△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）≤0， 解得b≥； 当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限时， 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2， ∴x1+x2=2（b﹣2）≥0，b2﹣1≥0， ∴△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，① b﹣2＞0，② b2﹣1＞0，③ 由①得b＜，由②得b＞2， ∴此种情况不存在， ∴b≥， 故选A． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于b的不等式组解决问题． 18．（2016·湖北荆门·3分）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（ ） A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7 【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可． 【解答】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3， ∴﹣=3，解得m=﹣6， ∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7）=0，解得x1=﹣1，x2=7． 故选D． 19.（2016·青海西宁·3分）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ） A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2 【考点】解直角三角形；二次函数的最值． 【分析】先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可． 【解答】解：∵tan∠C=，AB=6cm， ∴=， ∴BC=8， 由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t， 设△PBQ的面积为S， 则S=×BP×BQ=×2t×（6﹣t）， S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9， P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4， ∴当t=3时，S有最大值为9， 即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2； 故选C． 20. （2016·陕西·3分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（ ） A． B． C． D．2 【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义． 【分析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD=即可计算． 【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0）， ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴顶点C（﹣1，4）， 如图所示，作CD⊥AB于D． 在RT△ACD中，tan∠CAD===2， 故答案为D． 21. （2016·四川眉山·3分）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ） A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4 【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题． 【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位， ∵y=（x﹣1）2+2， ∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1， 故答案为C． 【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型． 一、 填空题 1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m= ﹣1 ． 【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点． 【专题】规律型． 【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果． 【解答】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）， ∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2）， ∴顶点坐标为（1，1）， ∴A1坐标为（2，0） ∵C2由C1旋转得到， ∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）； 照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）； C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）； C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）； C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）； ∴m=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标． 2.（2016·黑龙江哈尔滨·3分）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为 ﹣4 ． 【考点】二次函数的最值． 【分析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答． 【解答】解：二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4）， 所以最小值为﹣4． 故答案为：﹣4． 3．（2016河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是 （1，4） ． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可． 【解答】解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点， ∴代入得：， 解得：b=2，c=3， ∴y=﹣x2+2x+3 =﹣（x﹣1）2+4， 顶点坐标为（1，4）， 故答案为：（1，4）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键． 4．（2016·四川南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是 ①③ （填写序号） 【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），可以得到a＞0，a、b、c的关系，然后对a、b、c进行讨论，从而可以判断①②③④是否正确，本题得以解决． 【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc）， ∴ ∴bc＞0，故①正确； ∴a＞1时，则b、c均小于0，此时b+c＜0， 当a=1时，b+c=0，则与题意矛盾， 当0＜a＜1时，则b、c均大于0，此时b+c＞0， 故②错误； ∴x2+（a﹣1）x+=0可以转化为：x2+（b+c）x+bc=0，得x=b或x=c，故③正确； ∵b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根， ∴a﹣b﹣c=a﹣（b+c）=a+（a﹣1）=2a﹣1， 当a＞1时，2a﹣1＞3， 当0＜a＜1时，﹣1＜2a﹣1＜3， 故④错误； 故答案为：①③． 【点评】本题考查二次函数与图象的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 5．（2016·四川泸州）若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为 ﹣ ． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】设y=0，则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，利用根与系数的关系即可求出+的值． 【解答】解： 设y=0，则2x2﹣4x﹣1=0， ∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2， ∴x1+x2=﹣=2，x1，•x2=﹣， ∵+==﹣， ∴原式==﹣， 故答案为：﹣． 6．（2016·四川内江）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图11所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，则P，Q的大小关系是______． [答案]P＞Q [考点]二次函数的图象及性质。 [解析]∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵－＝1，∴b＞0且a＝－． ∴|2a＋b|＝0，|2a－b|＝b－2a． ∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0．∴|3b＋2c|＝3b＋2c． 由图象可知当x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0． ∴－－b＋c＜0，即3b－2c＞0．∴|3b－2c|＝3b－2c． ∴P＝0＋3b－2c＝3b－2c＞0， Q＝b－2a－(3b＋2c)＝－(b＋2c)＜0． ∴P＞Q． 故答案为：P＞Q． 7.（2016·湖北荆州·3分）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ﹣1或2或1 ． 【分析】直接利用抛物线与x轴相交，b2﹣4ac=0，进而解方程得出答案． 【解答】解：∵函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0， 解得：a1=﹣1，a2=2， 当函数为一次函数时，a﹣1=0，解得：a=1． 故答案为：﹣1或2或1． 【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出关于a的方程是解题关键． 一、 解答题 1. （2016·湖北随州·9分）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）． 时间x（天） 1 30 60 90 每天销售量p（件） 198 140 80 20 （1）求出w与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润； （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果． 【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式； （2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当0≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论； （3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论． 【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0）， ∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90）， ∴，解得：， ∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40； 当50＜x≤90时，y=90． ∴售价y与时间x的函数关系式为y=． 由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系， 设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0）， ∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140）， ∴，解得：， ∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数）， 当0≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000； 当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000． 综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=． （2）当0≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050， ∵a=﹣2＜0且0≤x≤50， ∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元． 当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000， ∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小， ∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元． ∵6050＞6000， ∴当x=45时，w最大，最大值为6050元． 即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元． （3）当0≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0， 解得：30≤x≤50， 50﹣30+1=21（天）； 当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0， 解得：50＜x≤53， ∵x为整数， ∴50＜x≤53， 53﹣50=3（天）． 综上可知：21+3=24（天）， 故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元． 2. （2016·湖北随州·12分）已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D． （1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式； （2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标； （3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？ 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，求出直线的解析式，求出点D的坐标，求出抛物线的解析式； （2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可； （3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可． 【解答】解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1）， ∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0）， ∵直线y=﹣x+b经过点A， ∴b=﹣3， ∴y=﹣x﹣3， 当x=2时，y=﹣5， 则点D的坐标为（2，﹣5）， ∵点D在抛物线上， ∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5， 解得，a=﹣， 则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3； （2）作PH⊥x轴于H， 设点P的坐标为（m，n）， 当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA， ∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=， ∴=，即n=﹣a（m﹣1）， ∴， 解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去）， 当m=﹣4时，n=5a， ∵△BPA∽△ABC， ∴=，即AB2=AC•PB， ∴42=•， 解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣， 则n=5a=﹣， ∴点P的坐标为（﹣4，﹣）； 当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA， ∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=， ∴=，即n=﹣3a（m﹣1）， ∴， 解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去）， 当m=﹣6时，n=21a， ∵△PBA∽△ABC， ∴=，即AB2=BC•PB， ∴42=•， 解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣， 则点P的坐标为（﹣6，﹣）， 综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）； （3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F， 则tan∠DAN===， ∴∠DAN=60°， ∴∠EDF=60°， ∴DE==EF， ∴Q的运动时间t=+=BE+EF， ∴当BE和EF共线时，t最小， 则BE⊥DM，y=﹣4． 3. （2016·湖北武汉·10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表： 产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件） 甲 6 a 20 200 乙 20 10 40＋0.05x2 80 其中a为常数，且3≤a≤5． （1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式； （2）分别求出产销两种产品的最大年利润； （3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 【考点】二次函数的应用，一次函数的应用 【答案】 （1）y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；（2） 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7＜a≤5时，选择乙产品 【解析】解：（1） y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）； （2）甲产品：∵3≤a≤5，∴6-a＞0，∴y1随x的增大而增大． ∴当x＝200时，y1max＝1180－200a（3≤a≤5） 乙产品：y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80） ∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大． 当x＝80时，y2max＝440（万元）． ∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）1180－200＞440，解得3≤a＜3.7时，此时选择甲产品； 1180－200＝440，解得a=3.7时，此时选择甲乙产品； 1180－200＜440，解得3.7＜a≤5时，此时选择乙产品． ∴当3≤a＜3.7时，生产甲产品的利润高； 当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同； 当3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高． 4. （2016·湖北武汉·12分）抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方． （1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)， ① 求该抛物线的解析式； ② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标； （2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 【考点】二次函数综合；考查了待定系数法求函数解析式；平行线的判定；函数值相等的点关于对称轴对称。 【答案】 （1）①y＝x2-；②点D的坐标为(-1，-3)或(，)；（2）是定值，等于2 【解析】解：（1）①将P(1，－3)、B(4，0)代入y＝ax2＋c得 ，解得 ，抛物线的解析式为： ． ②如图： 由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D与P关于y轴对称，P(1，－3)得D(-1，-3)； 如图，D在P右侧，即图中D2，则∠D2PO＝∠POB，延长PD2交x轴于Q，则QO＝QP， 设Q（q，0），则（q－1）2＋32＝q2，解得：q＝5，∴Q（5，0），则直线PD2为 ，再联立 得：x＝1或 ，∴ D2（ ） ∴点D的坐标为(-1，-3)或（ ） （2）设B（b，0），则A（-b，0）有ab2＋c＝0，∴b2＝，过点P（x0，y0）作PH⊥AB，有，易证：△PAH∽△EAO，则 即，∴， 同理得∴，∴，则OE＋OF＝ ∴，又OC＝－c,∴. ∴是定值，等于2． 5. （2016·吉林·10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2） （1）当点M落在AB上时，x= 4 ； （2）当点M落在AD上时，x= ； （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，由此即可解决问题． （2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E，先证明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得==，由此即可解决问题． （3）分三种情形①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，②当4＜x≤ 时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．③当＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，分别计算即可解决问题． 【解答】解：（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，AP=CP=4，所以x==4． 故答案为4． （2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E． ∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC ∴DQ=QE=EC， ∵PE∥AD， ∴==，∵AC=8， ∴PA=， ∴x=÷=． 故答案为． （3）①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF， ∵AP=x， ∴EF=PE=x， ∴y=S△PEF=•PE•EF=x2． ②当4＜x≤时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ． ∵PQ=PC=8﹣x， ∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x， ∴y=S△PMQ﹣S△MEG=（8﹣x）2﹣（16﹣3x）2=﹣x2+32x﹣64． ③当＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ， ∴y=S△PMQ=PQ2=（8﹣x）2=x2﹣16x+64． 综上所述y=． 6. （2016·吉林·10分）如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点 （1）当m=2时，a=﹣，当m=3时，a=﹣； （2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论； （3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 a=﹣； （4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由△AOB为等边三角形，AB=2m，得出点A，B坐标，再由点A，B，O在抛物线上建立方程组，得出结论，最后代m=2，m=3，求值即可； （2）同（1）的方法得出结论 （3）由△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），建立方程组求解即可； （4）由（2）（3）的结论得到m=n，再根据面积公式列出式子，代入化简即可． 【解答】解：（1）如图1， ∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m， ∴B（2m，0）， ∵以OB为边向上作等边三角形AOB， ∴AM=m，OM=m， ∴A（m， m）， ∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点 ∴， ∴ 当m=2时，a=﹣， 当m=3时，a=﹣， 故答案为：﹣，﹣； （2）a=﹣ 理由：如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m， ∴B（2m，0）， ∵以OB为边向上作等边三角形AOB， ∴AM=m，OM=m， ∴A（m， m）， ∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点 ∴， ∴ ∴a=﹣， （3）如图2， ∵△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n， 设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d）， ∵P，Q，A，O在抛物线l：y=ax2+bx+c上， ∴， ∴， ①﹣②化简得，2ae﹣an+b=1④， ①﹣③化简得，﹣2ae﹣an﹣b=1⑤， ④﹣⑤化简得，an=﹣1， ∴a=﹣ 故答案为a=﹣， （4）∵OB的长度为2m，AM=m， ∴S△AOB=OB×AM=2m×m=m2， 由（3）有，AN=n ∵PQ的长度为2n， ∴S△APQ=PQ×AN=×2m×n=n2， 由（2）（3）有，a=﹣，a=﹣， ∴﹣=﹣， ∴m=n， ∴===， ∴△AOB与△APQ的面积比为3：1． 7. （2016·江西·12分）设抛物线的解析式为y=ax2，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn （（）n﹣1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1． （1）求a的值； （2）直接写出线段AnBn，BnBn+1的长（用含n的式子表示）； （3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列问题： ①当n为何值时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？ ②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）直接把点A1的坐标代入y=ax2求出a的值； （2）由题意可知：A1B1是点A1的纵坐标：则A1B1=2×12=2；A2B2是点A2的纵坐标：则A2B2=2×（）2=；…则AnBn=2x2=2×[（）n﹣1]2=； B1B2=1﹣=，B2B3=﹣==，…，BnBn+1=； （3）因为Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1是直角三角形，所以分两种情况讨论：根据（2）的结论代入所得的对应边的比列式，计算求出k与m的关系，并与1≤k＜m≤n（k，m均为正整数）相结合，得出两种符合条件的值，分别代入两相似直角三角形计算相似比． 【解答】解：（1）∵点A1（1，2）在抛物线的解析式为y=ax2上， ∴a=2； （2）AnBn=2x2=2×[（）n﹣1]2=， BnBn+1=； （3）由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，则： =， 2n﹣3=n，n=3， ∴当n=3时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形， ②依题意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°， 有两种情况：i）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1时， =， =， =， 所以，k=m（舍去）， ii）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm时， =， =， =， ∴k+m=6， ∵1≤k＜m≤n（k，m均为正整数）， ∴取或； 当时，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5， 相似比为： ==64， 当时，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4， 相似比为： ==8， 所以：存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似，其相似比为64：1或8：1． 8. （2016·辽宁丹东·10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？ （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可． （2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值． （3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题． 【解答】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66）， 得， 解得， ∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80， （2）根据题意，得， （﹣0.5x+80）（80+x）=6750， 解得，x1=10，x2=70 ∵投入成本最低． ∴x2=70不满足题意，舍去． ∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克． （3）根据题意，得 w=（﹣0.5x+80）（80+x） =﹣0.5 x2+40 x+6400 =﹣0.5（x﹣40）2+7200 ∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当x=40时，w最大值为7200千克． ∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克． 9. （2016·辽宁丹东·12分）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积； （3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标； （4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC的面积； （3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标； （4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算． 【解答】解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中， 得 解得：， ∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x； （2）点C的坐标为（3，3）， 又∵点B的坐标为（1，3）， ∴BC=2， ∴S△ABC=×2×3=3； （3）过P点作PD⊥BH交BH于点D， 设点P（m，﹣m2+4m）， 根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1， ∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD， 6=×3×3+（3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m）， ∴3m2﹣15m=0， m1=0（舍去），m2=5， ∴点P坐标为（5，﹣5）． （4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论： ①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°， 则△CBM≌△MHN， ∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1， ∴M（1，2），N（2，0）， 由勾股定理得：MC==， ∴S△CMN=××=； ②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC， 得Rt△NEM≌Rt△MDC， ∴EM=CD=5，MD=ME=2， 由勾股定理得：CM==， ∴S△CMN=××=； ③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线， 同理得：CN==， ∴S△CMN=××=17； ④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN==， ∴S△CMN=××=5； ⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形； 综上所述：△CMN的面积为：或或17或5． 10. （2016·四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点． （1）求出抛物线的解析式； （2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标； （3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC=a，则可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN，可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得的值；借助a可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标． 【解答】解： （1）∵A（1，3），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x； （2）存在三个点满足题意，理由如下： 当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵A（1，3）， ∴D坐标为（1，0）； 当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3）2=36， ∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形， ∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=， ∴D点坐标为（0，）或（0，）； 综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）； （3）如图2，过P作PF⊥CM于点F， ∵PM∥OA， ∴Rt△ADO∽Rt△MFP， ∴==3， ∴MF=3PF， 在Rt△ABD中，BD=3，AD=3， ∴tan∠ABD=， ∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a， 在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°， ∴tan∠PNF==， ∴FN=PF， ∴MN=MF+FN=4PF， ∵S△BCN=2S△PMN， ∴a2=2××4PF2， ∴a=2PF， ∴NC=a=2PF， ∴==， ∴MN=NC=×a=a， ∴MC=MN+NC=（+）a， ∴M点坐标为（4﹣a，（ +）a）， 又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）=（+）a， 解得a=3﹣或a=0（舍去）， OC=4﹣a=+1，MC=2+， ∴点M的坐标为（+1，2+）． 11．（2016·四川内江）(12分)如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点． (1)求m的值； (2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且＋＝，求b的值； (3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． x y O l1 Q P B A l 图15 x y O l1 Q P B A l 答案图 C E D [考点]二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。 解：(1)∵当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点， ∴方程组有且只有一组解． 2分 消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根． ∴△＝0，即(－4)2－4m＝0． ∴m＝4． 4分 (2)如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E， 则△OAC∽△OPD，∴＝． 同理，＝． ∵＋＝，∴＋＝2． ∴＋＝2． ∴＋＝，即＝． 5分 解方程组得x＝，即PD＝． 6分 由方程组消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0． ∵AC，BE是以上一元二次方程的两根， ∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4． 7分 ∴＝． 解得b＝8． 8分 (3)不存在．理由如下： 9分 假设存在，则当S△APQ＝S△BPQ时有AP＝PB， 于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD． 由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝， ∴k＋3＝2×，即(k＋3)2＝16． 解得k＝1(舍去k＝－7)． 11分 当k＝1时，A，B两点重合，△QAB不存在． ∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ． 12分 12．（2016·四川内江）(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x； (2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围． 18m 苗圃园 图14 [考点]应用题，一元二次方程，二次函数。 解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程 x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0． 2分 解得x1＝3，x2＝12． 4分 (2)依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11． 面积S＝x(30－2x)＝－2(x－)2＋(6≤x≤11)． ①当x＝时，S有最大值，S最大＝； 6分 ②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88． 8分 (3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0． 解得x1＝5，x2＝10． 10分 ∴x的取值范围是5≤x≤10． 12分 13．（2016·四川南充）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F． （1）求抛物线的解析式； （2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标； （3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标． 【分析】（1）设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入即可解决问题． （2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），根据sin∠AMF==，列出方程即可解决问题． （3）①当MN是对角线时，设点F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解决问题．②当MN为边时，MN=PQ=，设点Q（m，﹣ m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣ m2﹣m+6），代入抛物线解析式，解方程即可． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0）， ∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5． （2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0）， 则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG=（m+5），FM==， ∵sin∠AMF=， ∴=， ∴=，整理得到2m2+19m+44=0， ∴（m+4）（2m+11）=0， ∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃）， ∴点Q坐标（﹣4，）． （3）①当MN是对角线时，设点F（m，0）． ∵直线AC解析式为y=x+5， ∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6）， ∵QN=PM， ∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]， 解得m=﹣3±， ∴点M坐标（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）． ②当MN为边时，MN=PQ=，设点Q（m，﹣ m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣ m2﹣m+6）， ∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5， 解得m=﹣3． ∴点M坐标（﹣2，3）， 综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）． 【点评】本题考查二次函数综合题、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题． 14．（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3） （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积； （3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式． 【解答】解： （1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3； （2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H， 在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3， ∴A点坐标为（﹣1，0）， ∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3， ∴S△ABC=AB•OC=×4×3=6， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC解析式为y=x﹣3， 设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3）， ∵P点在第四限， ∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x， ∴S△PBC=PM•OH+PM•HB=PM•（OH+HB）=PM•OB=PM， ∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大， ∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+， ∴当x=时，PMmax=，则S△PBC=×=， 此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=， 即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为； （3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G， 则∠AGP=∠GNC+∠GCN， 当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB， 又∠AGB+∠CGB=180°， ∴∠AGB=∠CGB=90°， ∴∠ACO=∠OBN， 在Rt△AON和Rt△NOB中 ∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA）， ∴ON=OA=1， ∴N点坐标为（0，﹣1）， 设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得， ∴直线m解析式为y=x﹣1， 即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在（2）中确定出PM的值最时四边形ABPC的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大． 15．（2016·四川宜宾）如图，已知二次函数y1=ax2+bx过（﹣2，4），（﹣4，4）两点． （1）求二次函数y1的解析式； （2）将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线y=m（m＞0）交y2于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，y1、y2交于A、B两点，如果直线y=m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题． （2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN． （3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题． 【解答】解：（1）∵二次函数y1=ax2+bx过（﹣2，4），（﹣4，4）两点， ∴解得， ∴二次函数y1的解析式y1=﹣x2﹣3x． （2）∵y1=﹣（x+3）2+， ∴顶点坐标（﹣3，）， ∵将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2， ∴抛物线y2的顶点坐标（﹣1，﹣）， ∴抛物线y2为y=（x+1）2﹣， 由消去y整理得到x2+2x﹣8﹣2m=0，设x1，x2是它的两个根， 则MN=|x1﹣x2|==， （3）由消去y整理得到x2+6x+2m=0，设两个根为x1，x2， 则CD=|x1﹣x2|==， 由消去y得到x2+2x﹣8+2m=0，设两个根为x1，x2， 则EF=|x1﹣x2|==， ∴EF=CD，EF∥CD， ∴四边形CEFD是平行四边形． 16.（2016·黑龙江龙东·6分）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围． 【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出太阳还是解析式． （2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0）， ∴0=1+m， ∴m=﹣1， ∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3， ∴点C坐标（0，3）， ∵对称轴x=﹣2，B、C关于对称轴对称， ∴点B坐标（﹣4，3）， ∵y=kx+b经过点A、B， ∴，解得， ∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1， （2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x＜﹣4或x＞﹣1． 17．（2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出B、C两点的坐标； （3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示） 注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，） 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用对称轴方程可求得b，把点A的坐标代入可求得c，可求得抛物线的解析式； （2）根据A、B关于对称轴对称可求得点B的坐标，利用抛物线的解析式可求得B点坐标； （3）根据B、C坐标可求得BC长度，由条件可知BC为过O、B、C三点的圆的直径，可求得圆的面积． 【解答】解： （1）由A（﹣1，0），对称轴为x=2，可得，解得， ∴抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5； （2）由A点坐标为（﹣1，0），且对称轴方程为x=2，可知AB=6， ∴OB=5， ∴B点坐标为（5，0）， ∵y=x2﹣4x﹣5， ∴C点坐标为（0，﹣5）； （3）如图，连接BC，则△OBC是直角三角形， ∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度， 在Rt△OBC中，OB=OC=5， ∴BC=5， ∴圆的半径为， ∴圆的面积为π（）2=π． 18．（2016·湖北黄石·8分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园． 如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计． （1）请写出图中曲线对应的函数解析式； （2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？ 【分析】（1）构建待定系数法即可解决问题． （2）先求出馆内人数等于684人时的时间，再求出直到馆内人数减少到624人时的时间，即可解决问题． 【解答】解（1）由图象可知，300=a×302，解得a=， n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣， ∴y=， （2）由题意﹣（x﹣90）2+700=684， 解得x=78， ∴=15， ∴15+30+（90﹣78）=57分钟 所以，馆外游客最多等待57分钟． 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 19．（2016·湖北荆门·14分）如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F． （1）求点A，点B的坐标； （2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长； （3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由． （4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）在直线y=﹣x+2中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标； （2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长； （3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到=，可判定△AFG与△AGB相似； （4）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4﹣2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【解答】解： （1）在直线y=﹣x+2中， 令y=0可得0=﹣x+2，解得x=2， 令x=0可得y=2， ∴A为（2，0），B为（0，2）； （2）由（1）可知OA=2，OB=2， ∴tan∠ABO==， ∴∠ABO=30°， ∵运动时间为t秒， ∴BE=t， ∵EF∥x轴， ∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t， 在Rt△ABO中，OA=2，OB=2， ∴AB=4， ∴AF=4﹣2t； （3）相似．理由如下： 当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF， 即t=4﹣2t，解得t=， ∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE=2﹣×=， 如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H， 则四边形OEGH为矩形， ∴GH=OE=， 又EG∥x轴，抛物线的顶点为A， ∴OA=AH=2， 在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22=， 又AF•AB=×4=， ∴AF•AB=AG2，即=，且∠FAG=∠GAB， ∴△AFG∽△AGB； （4）存在， ∵EG∥x轴， ∴∠GFA=∠BAO=60°， 又G点不能在抛物线的对称轴上， ∴∠FGA≠90°， ∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°， 又∠FGA=30°， ∴FG=2AF， ∵EF=t，EG=4， ∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t， ∴4﹣t=2（4﹣2t）， 解得t=， 即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣×=， ∴E点坐标为（0，）， ∵抛物线的顶点为A， ∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2， 把E点坐标代入可得=4a，解得a=， ∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2， 即y=x2﹣x+． 20．（2016·湖北荆州·14分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4． 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部． （1）直接写出点D（m，n）所有的特征线； （2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式； （3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？ 【分析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线； （2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可． 【解答】解：（1）∵点D（m，n）， ∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n； （2）点D有一条特征线是y=x+1， ∴n﹣m=1， ∴n=m+1 ∵抛物线解析式为， ∴y=（x﹣m）2+m+1， ∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n）， ∴B（2m，2m）， ∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3； ∴D（2，3）， ∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3 （3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时， 根据题意可得，D（2，3）， ∴OA′=OA=4，OM=2， ∴∠A′OM=60°， ∴∠A′OP=∠AOP=30°， ∴MN==， ∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=． 乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时， ∵顶点落在OP上， ∴A′与D重合， ∴A′（2，3）， 设P（4，c）（c＞0）， 由折叠有，PD=PA， ∴=c， ∴c=， ∴P（4，） ∴直线OP解析式为y=， ∴N（2，）， ∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=， 即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标． 21.（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式． 【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式； （2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得． 【解答】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm， ∴y=20×x+2×12•x﹣2×x•x=﹣3x2+54x， 即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x； （2）根据题意，得：﹣3x2+54x=×20×12， 整理，得：x2﹣18x+32=0， 解得：x1=2，x2=16（舍）， ∴x=3， 答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm． 22. （2016·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC． （1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积； （3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？ （4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先求出GH，点F的坐标，用三角形的面积公式计算即可； （3）设出点M，用勾股定理求出点M的坐标，从而求出MD，最后求出时间t； （4）由∠PBF被BA平分，确定出过点B的直线BN的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点， ∴ ∴， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣2）2+； （2）如图1， 过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G， 由（1）有，C（0，﹣2）， ∵B（0，3）， ∴直线BC解析式为y=x﹣2， ∵H（1，y）在直线BC上， ∴y=﹣， ∴H（1，﹣）， ∵B（3，0），E（0，﹣1）， ∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1， ∴G（1，﹣）， ∴GH=， ∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相较于F，B， ∴F（，﹣）， ∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG| =GH×|xB﹣xF| =××（3﹣） =． （3）如图2， 由（1）有y=﹣x2+x﹣2， ∵D为抛物线的顶点， ∴D（2，）， ∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动， ∴设M（2，m），（m＞）， ∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9， ∵∠OMB=90°， ∴OM2+BM2=AB2， ∴m2+4+m2+1=9， ∴m=或m=﹣（舍）， ∴M（0，）， ∴MD=﹣， ∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动， ∴t=﹣； （4）存在点P，使∠PBF被BA平分， 如图3， ∴∠PBO=∠EBO， ∵E（0，﹣1）， ∴在y轴上取一点N（0，1）， ∵B（3，0）， ∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①， ∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上， 联立①②得，或（舍）， ∴P（，）， 即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）． 23.（2016·青海西宁·12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分． （1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式； （2）求证：四边形AMCD是菱形； （3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式； （2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案； （3）首先表示出△ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标． 【解答】（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上， 则MA=MB=MC=ME=2， 又∵CO⊥MB， ∴MO=BO=1， ∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2）， 抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2）， 设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0） 把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2， 解得：a=， 故二次函数解析式为：y=（x+1）2﹣2； （2）证明：连接DM， ∵△MBC为等边三角形， ∴∠CMB=60°， ∴∠AMC=120°， ∵点D平分弧AC， ∴∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°， ∵MD=MC=MA， ∴△MCD，△MDA是等边三角形， ∴DC=CM=MA=AD， ∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）； （3）解：存在． 理由如下： 设点P的坐标为（m，n） ∵S△ABP=AB|n|，AB=4 ∴×4×|n|=5， 即2|n|=5， 解得：n=±， 当时，（m+1）2﹣2=， 解此方程得：m1=2，m2=﹣4 即点P的坐标为（2，），（﹣4，）， 当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣， 此方程无解， 故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）． 24. （2016·山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元． （1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费） （2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系：净收入为正，列出不等式求解即可； （2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值． 【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100， 由50x﹣1100＞0， 解得x＞22， 又∵x是5的倍数， ∴每辆车的日租金至少应为25元； （2）设每辆车的净收入为y元， 当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100， ∵y1随x的增大而增大， ∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900； 当x＞100时， y2=（50﹣）x﹣1100 =﹣x2+70x﹣1100 =﹣（x﹣175）2+5025， 当x=175时，y2的最大值为5025， 5025＞3900， 故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元． 25. （2016·山东潍坊）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣m2﹣3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可； （3）先判断出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可． 【解答】解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1， （2）∵AC∥x轴，A（0，1） ∴x2+2x+1=1， ∴x1=6，x2=0， ∴点C的坐标（﹣6，1）， ∵点A（0，1）．B（﹣9，10）， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+1， 设点P（m， m2+2m+1） ∴E（m，﹣m+1） ∴PE=﹣m+1﹣（m2+2m+1）=﹣m2﹣3m， ∵AC⊥EP，AC=6， ∴S四边形AECP =S△AEC+S△APC =AC×EF+AC×PF =AC×（EF+PF） =AC×PE =×6×（﹣m2﹣3m） =﹣m2﹣9m =﹣（m+）2+， ∵﹣6＜m＜0 ∴当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是， 此时点P（﹣，﹣）． （3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2， ∴P（﹣3，﹣2）， ∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3， ∴PF=CF， ∴∠PCF=45° 同理可得：∠EAF=45°， ∴∠PCF=∠EAF， ∴在直线AC上存在满足条件的Q， 设Q（t，1）且AB=9，AC=6，CP=3 ∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似， ①当△CPQ∽△ABC时， ∴， ∴， ∴t=﹣4， ∴Q（﹣4，1） ②当△CQP∽△ABC时， ∴， ∴， ∴t=3， ∴Q（3，1）． 26．（2016·陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5） （1）试判断该抛物线与x轴交点的情况； （2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况； （2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程． 【解答】解： （1）由抛物线过M、N两点， 把M、N坐标代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5， 令y=0可得x2﹣3x+5=0， 该方程的判别式为△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0， ∴抛物线与x轴没有交点； （2）∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上， ∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2）， 可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n， ①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得，解得， ∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2， ∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，）， ∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线； ②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得，解得， ∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2， ∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，）， ∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线． 27.（2016·四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4， （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式； （2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形； （3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA， 当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM﹣AM|的最大值时M坐标，确定出|PM﹣AM|的最大值即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， ∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0）， ∴， 解得：a=﹣，b=﹣，c=3， ∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3； （2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为： ∵OB=3，OC=4，OA=1， ∴BC=AC=5， 当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形， ∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB， ∴点P的坐标为（5，3）， 当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形， 则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形； （3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（1，0），P（5，3）， ∴， 解得：k=，b=﹣， ∴直线PA的解析式为y=x﹣， 当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA， 当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA， ∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点， 解方程组，得或， ∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5． 【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．． 28..（2016·福建龙岩·12分）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示： 销售量n（件） n=50﹣x 销售单价m（元/件） 当1≤x≤20时， 当21≤x≤30时， （1）请计算第几天该商品单价为25元/件？ （2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式； （3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）分两种情形分别代入解方程即可． （2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可． （3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）分两种情况 ①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+x，解得x=10 ②当21≤x≤30时，25=10+，解得x=28 经检验x=28是方程的解 ∴x=28 答：第10天或第28天时该商品为25元/件． （2）分两种情况 ①当1≤x≤20时，y=（m﹣10）n=（20+x﹣10）（50﹣x）=﹣x2+15x+500， ②当21≤x≤30时，y=（10+﹣10）（50﹣x）= 综上所述： （3）①当1≤x≤20时 由y=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+， ∵a=﹣＜0， ∴当x=15时，y最大值=， ②当21≤x≤30时 由y=﹣420，可知y随x的增大而减小 ∴当x=21时，y最大值=﹣420=580元 ∵ ∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元． 29.（2016·福建龙岩·14分）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标； （4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）因为抛物线经过点A（﹣4，0），B（1，0），所以可以设抛物线为y=﹣（x+4）（x﹣1），展开即可解决问题． （2）先证明∠ACB=90°，点A就是所求的点P，求出直线AC解析式，再求出过点B平行AC的直线的解析式，利用方程组即可解决问题． （3）分AC为平行四边形的边，AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题． 【解答】解：（1）抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣1），即y=﹣x2﹣x+2； （2）存在． 当x=0，y═﹣x2﹣x+2=2，则C（0，2）， ∴OC=2， ∵A（﹣4，0），B（1，0）， ∴OA=4，OB=1，AB=5， 当∠PCB=90°时， ∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25 ∴AC2+BC2=AB2 ∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°， ∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（﹣4，0）； 当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1， 设直线AC的解析式为y=mx+n， 把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得， ∴直线AC的解析式为y=x+2， ∵BP∥AC， ∴直线BP的解析式为y=x+p， 把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣， ∴直线BP的解析式为y=x﹣， 解方程组得或，此时P点坐标为（﹣5，﹣3）； 综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）； （3）存在点E，设点E坐标为（m，0），F（n，﹣n2﹣n+2） ①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标（﹣7，0）， ②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2， ∴﹣n2﹣n+2=﹣2，解得n=，得到F2（，﹣2），F3（，﹣2）， 根据中点坐标公式得到： =或=， 解得m=或， 此时E2（，0），E3（，0）， ③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4（﹣1，0）， 综上所述满足条件的点E为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，﹣2）或（，﹣2）． 30.（2016·广西百色·12分）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点． （1）建立适当的平面直角坐标系， ①直接写出O、P、A三点坐标； ②求抛物线L的解析式； （2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系．①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标；②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出S△OAE+SOCE关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示． ①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P， ∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）． ②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c， ∵抛物线L经过O、P、A三点， ∴有， 解得：， ∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x． （2）∵点E是正方形内的抛物线上的动点， ∴设点E的坐标为（m，﹣+2m）（0＜m＜4）， ∴S△OAE+SOCE=OA•yE+OC•xE=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9， ∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9． 31.（2016·广西桂林·12分）如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E． （1）直接写出点A，C，D的坐标； （2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式； （3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）直接将点A的坐标代入y1=ax2﹣2ax+1得出m的值，因为由图象可知点A在第一象限，所以m≠0，则m=2，写出A，C的坐标，点D与点A关于点C对称，由此写出点D的坐标； （2）根据顶点坐标公式得出抛物线y1的顶点B的坐标，再由矩形对角线相等且平分得：BC=CD，在直角△BMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y1的解析式，由旋转的性质得出抛物线y2的解析式； （3）分两种情况讨论：①当0≤t≤1时，S=S△GHD=S△PDH+S△PDG，作辅助线构建直角三角形，求出PG和PH，利用面积公式计算；②当1＜t≤2时，S=S直角三角形+S矩形﹣S不重合，这里不重合的图形就是△GE′F，利用30°角和60°角的直角三角形的性质进行计算得出结论． 【解答】解：（1）由题意得： 将A（m，1）代入y1=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1， 解得：m1=2，m2=0（舍）， ∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）； （2）如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴， 若四边形ABDE为矩形，则BC=CD， ∴BM2+CM2=BC2=CD2， ∴12+（﹣a）2=22， ∴a=， ∵y1抛物线开口向下， ∴a=﹣， ∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣）， ∴设y2=a（x+1）2+1﹣，则a=， ∴y2=x2+2x+1； （3）如图1，当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD， 得BQ=，DQ=3，则BD=2， ∴∠BDQ=30°， ∴PH=，PG=t， ∴S=（PE+PF）×DP=t2， 如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G=（t﹣1），E′F=2（t﹣1）， S不重合=（t﹣1）2， S=S1+S2﹣S不重合=+（t﹣1）﹣（t﹣1）2， =﹣； 综上所述：S=t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）． 32.（2016·贵州安顺·14分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可； （2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可； （3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣； （2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣， ∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2， 连接BC，如图1所示， ∵B（5，0），C（0，﹣）， ∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y=x﹣， 当x=2时，y=1﹣=﹣， ∴P（2，﹣）； （3）存在． 如图2所示， ①当点N在x轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣）， ∴N1（4，﹣）； ②当点N在x轴上方时， 如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D， 在△AN2D与△M2CO中， ∴△AN2D≌△M2CO（ASA）， ∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为． ∴x2﹣2x﹣=， 解得x=2+或x=2﹣， ∴N2（2+，），N3（2﹣，）． 综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论． 33.（2016·黑龙江哈尔滨·10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2xa+c经过A（﹣4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）如图1，作辅助线构建两个直角三角形，利用斜边PE=EF和两角相等证两直角三角形全等，得PA′=EB′，则d=FM=OE﹣EB′代入列式可得结论，但要注意PA′=﹣t； （3）如图2，根据直线EH的解析式表示出点F的坐标和H的坐标，发现点P和点H的纵坐标相等，则PH与x轴平行，根据平行线截线段成比例定理可得G也是PQ的中点，由此表示出点G的坐标并列式，求出t的值并取舍，计算出点F的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（0，4）代入y=ax2+2xa+c得，解得， 所以抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+4； （2）如图1，分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为A′、B′，过P作PN⊥x轴，垂足为N， 由直线DE的解析式为：y=x+5，则E（0，5）， ∴OE=5， ∵∠PEO+∠OEF=90°，∠PEO+∠EPA′=90°， ∴∠EPA′=∠OEF， ∵PE=EF，∠EA′P=∠EB′F=90°， ∴△PEA′≌△EFB′， ∴PA′=EB′=﹣t， 则d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣（﹣t）=5+； （3）如图2，由直线DE的解析式为：y=x+5， ∵EH⊥ED， ∴直线EH的解析式为：y=﹣x+5， ∴FB′=A′E=5﹣（﹣t2﹣t+4）=t2+t+1， ∴F（t2+t+1，5+t）， ∴点H的横坐标为： t2+t+1， y=﹣t2﹣t﹣1+5=﹣t2﹣t+4， ∴H（t2+t+1，﹣t2﹣t+4）， ∵G是DH的中点， ∴G（，）， ∴G（t2+t﹣2，﹣t2﹣t+2）， ∴PH∥x轴， ∵DG=GH， ∴PG=GQ， ∴=t2+t﹣2， t=， ∵P在第二象限， ∴t＜0， ∴t=﹣， ∴F（4﹣，5﹣）． 34．（2016广西南宁）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）求证：△ABC是直角三角形； （3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标； （2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论； （3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得=或=，可求得N点的坐标． 【解答】解： （1）∵顶点坐标为（1，1）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1， 又抛物线过原点， ∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1， ∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1， 即y=﹣x2+2x， 联立抛物线和直线解析式可得，解得或， ∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）； （2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点， 则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3， ∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°， ∴△ABC是直角三角形； （3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x）， ∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|， 由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3， ∵MN⊥x轴于点N ∴∠ABC=∠MNO=90°， ∴当△ABC和△MNO相似时有=或=， ①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|， ∵当x=0时M、O、N不能构成三角形， ∴x≠0， ∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=， 此时N点坐标为（，0）或（，0）； ②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|， ∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1， 此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0）， 综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 35．（2016贵州毕节）如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E． （1）求抛物线的解析式； （2）若C为AB中点，求PC的长； （3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式； （2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，可知OC=AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长； （3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式． 【解答】解： （1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点， ∴A点在直线上， ∴8=2a+4，解得a=2， ∴A点坐标为（2，8）， 又A点在抛物线上， ∴8=22+2b，解得b=2， ∴抛物线解析式为y=x2+2x； （2）联立抛物线和直线解析式可得，解得，， ∴B点坐标为（﹣2，0）， 如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q， 则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点， 当C为AB中点时，则OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上， ∴OC=AQ=4， ∴C点坐标为（0，4）， 又PC∥x轴， ∴P点纵坐标为4， ∵P点在抛物线线上， ∴4=x2+2x，解得x=﹣1﹣或x=﹣1， ∵P点在A、B之间的抛物线上， ∴x=﹣1﹣不合题意，舍去， ∴P点坐标为（﹣1，4）， ∴PC=﹣1﹣0=﹣1； （3）∵D（m，n），且四边形PCDE为矩形， ∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n， ∵C、E都在直线y=2x+4上， ∴C（m，2m+4），E（，n）， ∵PC∥x轴， ∴P点纵坐标为2m+4， ∵P点在抛物线上， ∴2m+4=x2+2x，整理可得2m+5=（x+1）2，解得x=﹣1或x=﹣﹣1（舍去）， ∴P点坐标为（﹣1，2m+4）， ∴DE=﹣m，CP=﹣1﹣m， ∵四边形PCDE为矩形， ∴DE=CP，即﹣m=﹣1﹣m， 整理可得n2﹣4n﹣8m﹣16=0， 即m、n之间的关系式为n2﹣4n﹣8m﹣16=0． 36．（2016海南）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积； （3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2． ①若∠APE=∠CPE，求证：； ②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题． 【分析】（1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可； （2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（﹣2，﹣3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算； （3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形，则AH=DH，设P（x，﹣x2 ﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=﹣x﹣，则﹣x﹣x﹣=5，则解方程求出x可得到OH和AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出=； ②设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=x2+5x，则x2+5x=（x+5），然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标． 【解答】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1）， 把C（0，﹣5）代入得a•5•1=﹣5，解得a=﹣1， 所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5； （2）解：设直线AC的解析式为y=mx+n， 把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得，解得， ∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5， 作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（﹣2，﹣3）， ∴PQ=3﹣（﹣3）=6， ∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=•PQ•5=×6×5=15； （3）①证明：∵∠APE=∠CPE， 而PH⊥AD， ∴△PAD为等腰三角形， ∴AH=DH， 设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH， ∵PH∥OC， ∴△PHD∽△COD， ∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5）：5=DH：（﹣x﹣DH）， ∴DH=﹣x﹣， 而AH+OH=5， ∴﹣x﹣x﹣=5， 整理得2x2+17x+35=0，解得x1=﹣，x2=﹣5（舍去）， ∴OH=， ∴AH=5﹣=， ∵HE∥OC， ∴===； ②能．设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5）， 当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）； 当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去），x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，3）； 当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x，则x2+5x=（x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2=，此时P点坐标为（，﹣7﹣6）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（，﹣7﹣6）． 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题． 37.(2016河北）（本小题满分12分） 如图，抛物线L: （常数t>0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线于点P，且OA·MP=12. （1）求k值； （2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离； （3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标； （4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围. 38. （2016·云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式； （2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可； （3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍． 【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）， 把C（0，4）代入：4=﹣2a， a=﹣2， ∴y=﹣2（x+1）（x﹣2）， ∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4； （2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D， ∴S=S梯形+S△PDB=m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4）（2﹣m）， S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6， ∵﹣2＜0， ∴S有最大值，则S大=6； （3）如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形， 理由是： 设直线BC的解析式为：y=kx+b， 把B（2，0）、C（0，4）代入得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4， 设M（a，﹣2a+4）， 过A作AE⊥BC，垂足为E， 则AE的解析式为：y=x+， 则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2）， 设Q（﹣x，0）（x＞0）， ∵AE∥QM， ∴△ABE∽△QBM， ∴①， 由勾股定理得：x2+42=2×[a2+（﹣2a+4﹣4）2]②， 由①②得：a1=4（舍），a2=， 当a=时，x=， ∴Q（﹣，0）． 39.（2016·浙江省湖州市）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC． （1）求该二次函数的解析式及点M的坐标； （2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围； （3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标； （2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围； （3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标． 【解答】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得， 解得 ∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4， 配方得y=﹣（x﹣1）2+5， ∴点M的坐标为（1，5）； （2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得， 解得 ∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F 把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1） ∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4； （3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5） ∵MG=1，GC=5﹣4=1 ∴MC==， 把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为（﹣1，5）， ∵NG=GC，GM=GC， ∴∠NCG=∠GCM=45°， ∴∠NCM=90°， 由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点 ①若有△PCM∽△BDC，则有 ∵BD=1，CD=3， ∴CP===， ∵CD=DA=3， ∴∠DCA=45°， 若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴， ∵∠PCH=45°，CP= ∴PH== 把x=代入y=﹣x+4，解得y=， ∴P1（）； 同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y= ∴P2（）； ②若有△PCM∽△CDB，则有 ∴CP==3 ∴PH=3÷=3， 若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1； 若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7 ∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）． ∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）． 40. （2016·重庆市A卷·12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长； （3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由． 【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形； （2）先求出S△PCD最大时，点P（，），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，计算即可； （3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可． 【解答】解：（1）△ABC为直角三角形， 当y=0时，即﹣x2+x+3=0， ∴x1=﹣，x2=3 ∴A（﹣，0），B（3，0）， ∴OA=，OB=3， 当x=0时，y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=3， 根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36， ∴AC2+BC2=48， ∵AB2=[3﹣（﹣）]2=48， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， （2）如图， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴直线BC解析式为y=﹣x+3， 过点P作∥y轴， 设P（a，﹣ a2+a+3）， ∴G（a，﹣ a+3）， ∴PG=﹣a2+a， 设点D的横坐标为xD，C点的横坐标为xC， S△PCD=×（xD﹣xC）×PG=﹣（a﹣）2+， ∵0＜a＜3， ∴当a=时，S△PCD最大，此时点P（，）， 将点P向左平移个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M， 连接PM，点Q沿P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长， ∴P（，） ∴P′（，）， ∵点A（﹣，0）， ∴直线AP′的解析式为y=x+， 当x=0时，y=， ∴N（0，）， 过点P′作P′H⊥x轴于点H， ∴AH=，P′H=，AP′=， ∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=+=； （3）在Rt△AOC中， ∵tan∠OAC==， ∴∠OAC=60°， ∵OA=OA1， ∴△OAA1为等边三角形， ∴∠AOA1=60°， ∴∠BOC1=30°， ∵OC1=OC=3， ∴C1（，）， ∵点A（﹣，0），E（，4）， ∴AE=2， ∴A′E′=AE=2， ∵直线AE的解析式为y=x+2， 设点E′（a， a+2）， ∴A′（a﹣2，﹣2） ∴C1E′2=（a﹣2）2+（+2﹣）2=a2﹣a+7， C1A′2=（a﹣2﹣）2+（﹣2﹣）2=a2﹣a+49， ①若C1A′=C1E′，则C1A′2=C1E′2 即： a2﹣a+7=a2﹣a+49， ∴a=， ∴E′（，5）， ②若A′C1=A′E′， ∴A′C12=A′E′2 即： a2﹣a+49=28， ∴a1=，a2=， ∴E′（，7+），或（，7﹣）， ③若E′A′=E′C1， ∴E′A′2=E′C12 即： a2﹣a+7=28， ∴a1=，a2=（舍）， ∴E′（，3+）， 即，符合条件的点E′（，5），（，7+），或（，7﹣），（，3+）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点． 41. （2016·重庆市B卷·12分）如图1，二次函数y=x2﹣2x+1的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S△AMO：S四边形AONB=1：48． （1）求直线AB和直线BC的解析式； （2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值； （3）如图2，直线AB上有一点K（3，4），将二次函数y=x2﹣2x+1沿直线BC平移，平移的距离是t（t≥0），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K′是直角三角形时，求t的值． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据S△AMO：S四边形AONB=1：48，求出三角形相似的相似比为1：7，从而求出BN，继而求出点B的坐标，用待定系数法求出直线解析式． （2）先判断出PE×PF最大时，PE×PD也最大，再求出PE×PF最大时G（5，），再简单的计算即可； （3）由平移的特点及坐标系中，两点间的距离公式得A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26，最后分三种情况计算即可． 【解答】解：（1）∵点C是二次函数y=x2﹣2x+1图象的顶点， ∴C（2，﹣1）， ∵PE⊥x轴，BN⊥x轴， ∴△MAO∽△MBN， ∵S△AMO：S四边形AONB=1：48， ∴S△AMO：S△BMN=1：49， ∴OA：BN=1：7， ∵OA=1 ∴BN=7， 把y=7代入二次函数解析式y=x2﹣2x+1中，可得7=x2﹣2x+1， ∴x1=﹣2（舍），x2=6 ∴B（6，7）， ∵A的坐标为（0，1）， ∴直线AB解析式为y=x+1， ∵C（2，﹣1），B（6，7）， ∴直线BC解析式为y=2x﹣5． （2）如图1， 设点P（x0，x0+1）， ∴D（，x0+1）， ∴PE=x0+1，PD=3﹣x0， ∵△PDF∽△BGN， ∴PF：PD的值固定， ∴PE×PF最大时，PE×PD也最大， PE×PD=（x0+1）（3﹣x0）=﹣x02+x0+3， ∴当x0=时，PE×PD最大， 即：PE×PF最大．此时G（5，） ∵△MNB是等腰直角三角形， 过B作x轴的平行线， ∴BH=B1H， GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值， ∴当GH和HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小， 此时H（5，6），最小值为7﹣= （3）令直线BC与x轴交于点I， ∴I（，0） ∴IN=，IN：BN=1：2， ∴沿直线BC平移时，横坐标平移m时，纵坐标则平移2m，平移后A′（m，1+2m），C′（2+m，﹣1+2m）， ∴A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26， 当∠A′KC′=90°时，A′K2+KC′2=A′C′2，解得m=，此时t=m=2±； 当∠KC′A′=90°时，KC′2+A′C′2=A′K2，解得m=4，此时t=m=4； 当∠KA′C′=90°时，A′C′2+A′K2=KC′2，解得m=0，此时t=0． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式，两点间的结论公式，解本题的关键是相似三角形的性质的运用． 42. （2016·浙江省绍兴市·10分）课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2． 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题： （1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？ （2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可； （2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可． 【解答】解：（1）由已知可得：AD=， 则S=1×m2， （2）设AB=xm，则AD=3﹣m， ∵， ∴， 设窗户面积为S，由已知得： ， 当x=m时，且x=m在的范围内，， ∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大． 43．（2016·山东省菏泽市·3分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点． （1）试求抛物线的解析式； （2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积； （3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质． 【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题． （2）求出直线BC与对称轴的交点H，根据S△BDC=S△BDH+S△DHC即可解决问题． （3）由，当方程组只有一组解时求出b的值，当直线y=﹣x+b经过点C时，求出b的值，当直线y=﹣x+b经过点B时，求出b的值，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意解得， ∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2． （2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+． ∴顶点坐标（1，）， ∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3）， ∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3． （3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0， 当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0， ∴b=， 当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3， 当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5， ∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点， ∴＜b≤3． 【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．查看更多