初中数学总复习第论综合复习全国中考压轴题集锦

初中数学总复习第论综合复习全国中考压轴题集锦

ECNU LEX 初中数学总复习第03论综合复习 全国中考压轴题集锦 01‎ Lex Li ‎1、（2006浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.‎ ‎(1)求直线AB的解析式;‎ ‎(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;‎ ‎(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的 三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] （1）直线AB解析式为：y=x+． ‎ ‎（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．　　‎ ‎∴＝＝．‎ 由题意： ＝，解得（舍去）‎ ‎∴　Ｃ（２，）‎ 方法二：∵　,＝，∴．‎ 由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．‎ ‎∴　＝CD×AD＝＝．可得CD＝． ‎ ‎∴　AD=１，OD＝２．∴C（２，）．‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图 ‎ ①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，‎ ‎∴（3，）．‎ ‎ ②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．‎ ‎∴（1，）．‎ 当∠OPB＝Rt∠时 ‎③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°‎ 过点P作PM⊥OA于点M．‎ 方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．‎ ‎∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，‎ ‎∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．‎ 方法二：设Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+‎ 由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．‎ ‎∵tan∠POM=== ，tan∠ABOC==．‎ ‎∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）． ‎ ‎④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．　　　‎ ‎ 　 ∴　PM＝OM＝．‎ ‎∴　（，）（由对称性也可得到点的坐标）．‎ 当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.‎ 综合得，符合条件的点有四个，分别是：‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎（3，），（1，），（，），（，）．‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎2、（2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形（如图2所示）.将纸片沿直线（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P.‎ (1) 当平移到如图3所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想；‎ (2) 设平移距离为，与重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；‎ ‎（3）对于（2）中的结论是否存在这样的的值，使重叠部分的面积等于原面积的.‎ 若存在，求x的值；若不存在，请说明理由. ‎ 图1‎ 图3‎ 图2‎ ‎[解] （1）.因为，所以.‎ 又因为，CD是斜边上的中线，‎ 所以，，即 所以，，所以 所以，.同理：.‎ 又因为，所以.所以 第47页 共47页 ECNU LEX ‎（2）因为在中，，所以由勾股定理，得 即 又因为，所以.所以 在中，到的距离就是的边上的高，为.‎ 设的边上的高为，由探究，得，所以.‎ 所以.‎ 又因为，所以.‎ 又因为，.‎ 所以 ，‎ 而 所以 ‎(3) 存在. 当时，即 整理，得解得，.‎ 即当或时，重叠部分的面积等于原面积的.‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎3、（2006山东济南）如图1，已知中，，．过点作，且，连接交于点．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）以点为圆心，为半径作⊙A，试判断与⊙A是否相切，并说明理由；‎ ‎（3）如图2，过点作，垂足为．以点为圆心，为半径作⊙A；以点为圆心，为半径作⊙C．若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使点在⊙A的内部，点在⊙A的外部，求和的变化范围．‎ A B C P E E A B C P Ｄ 图1‎ 图2‎ ‎[解]‎ ‎（1）在中，，‎ ‎　　　　． ‎ ‎　　　　，．‎ ‎　　　　．‎ ‎　　　　，． ‎ ‎（2）与⊙A相切．‎ ‎　　　　在中，，，‎ ‎　　　　，． ‎ ‎　　　　又，，‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎　　　　与⊙A相切． ‎ ‎（3）因为，所以的变化范围为． ‎ ‎　　　　当⊙A与⊙C外切时，，所以的变化范围为；‎ ‎　　　　当⊙A与⊙C内切时，，所以的变化范围为．‎ ‎4、（2006浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式为，BC所在抛物线的解析式为，且已知．‎ ‎（1）设是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；‎ ‎（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为‎20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于‎20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．‎ ‎①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；‎ ‎②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？‎ ‎（3）在山坡上的‎700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，（米）．假设索道DE可近似地看成一 段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为．试求索道的最大悬空高度．‎ 上山方向 长度 高度 第47页 共47页 ECNU LEX ‎[解] （1）∵是山坡线AB上任意一点，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∵，∴＝4，∴‎ ‎（2）在山坡线AB上，，‎ ‎①令，得 ；令，得 ‎∴第一级台阶的长度为（百米）（厘米）‎ 同理，令、，可得、‎ ‎∴第二级台阶的长度为（百米）（厘米）‎ 第三级台阶的长度为（百米）（厘米）‎ ‎②取点，又取，则 ‎∵‎ ‎∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚 ‎ ‎（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到‎700米高度，共500级．从‎100米高度到‎700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性）‎ ‎②另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图 ‎∵这种台阶的长度不小于它的高度 ‎∴‎ 当其中有一级台阶的长大于它的高时，‎ ‎ ‎ 在题设图中，作于H 则，又第一级台阶的长大于它的高 ‎∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚 ‎ 上山方向 ‎（3）‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎、、、‎ 由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值 索道在BC上方时，悬空高度 当时，‎ ‎∴索道的最大悬空高度为米． ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎5、（2006山东烟台）如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，‎ ‎（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；‎ ‎（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；‎ ‎（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。‎ ‎[解]‎ ‎（1）设l2的解析式为y=a(x-h)2+k ‎∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，‎ ‎ ∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）‎ ‎ ∴y=ax2+4 ‎ ‎ ∴0=‎4a+4 得 a=-1‎ ‎ ∴l2的解析式为y=-x2+4 ‎ ‎ (2)设B(x1 ,y1)‎ ‎ ∵点B在l1上 ‎ ∴B(x1 ,x12-4) ‎ ‎ ∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称 ‎ ∴B、D关于O对称 ‎ ∴D(-x1 ,-x12+4). ‎ ‎ 将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4‎ ‎ ∴左边=右边 ‎ ∴点D在l2上. ‎ ‎ (3)设平行四边形ABCD的面积为S,则 ‎ S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1|‎ ‎ a.当点B在x轴上方时，y1＞0‎ ‎ ∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，‎ ‎ ∴S既无最大值也无最小值 ‎ b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0‎ ‎ ∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎ ∴当y1 =-4时，S由最大值16，但他没有最小值 ‎ 此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.‎ ‎ ∴AC⊥BD ‎ ∴平行四边形ABCD是菱形 ‎ 此时S最大=16. ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎6、（2006山东潍坊）已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点．‎ ‎（1）求一次函数与二次函数的解析式；‎ ‎（2）判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；‎ ‎（3）把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？‎ ‎[解]（1）把代入得，‎ 一次函数的解析式为； ‎ 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，‎ 设二次函数解析式为，‎ 把代入得，‎ 二次函数解析式为． ‎ ‎（2）由 解得或，‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎，‎ 过点分别作直线的垂线，垂足为，‎ 则，‎ 直角梯形的中位线长为，‎ 过作垂直于直线于点，则，，‎ ‎，‎ ‎ 的长等于中点到直线的距离的2倍，‎ 以为直径的圆与直线相切．‎ ‎（3）平移后二次函数解析式为，‎ 令，得，，，‎ 过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，‎ 要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，‎ 此时，半径为2，面积为，‎ 设圆心为中点为，连，则，‎ 在三角形中，，‎ ‎，而，，‎ 当时，过三点的圆面积最小，最小面积为． ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎7、（2006江西）问题背景　　某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：‎ ‎①如图1，在正三角形△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60º，则BM＝CN；‎ ‎②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90º，则BM＝CN；‎ 然后运用类比的思想提出了如下命题：‎ ‎③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108º，则BM＝CN。‎ 任务要求：‎ ‎（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对得4分，选②做对得3分，选③做对得5分）‎ ‎(2)请你继续完成下列探索：‎ ‎①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108º，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）‎ ‎②如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108º，请问结论BM＝CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。‎ B O C M N A 图1‎ A B C M N O D 图2　‎ 图4　‎ N M O E D C B A ‎[解] （1）以下答案供参考：‎ ‎ （1） 如选命题①‎ ‎ 证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60°‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3 ‎ 又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN ‎ ‎∴BM=CN ‎ ‎（2）如选命题②‎ 证明：在图2中，∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90°‎ ‎∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3 ‎ 又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN ‎ ‎∴BM=CN ‎ ‎（3）如选命题③‎ 证明；在图3中，∵∠BON=108°‎ ‎∴∠1+∠2=108°‎ ‎∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3 ‎ 又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°‎ ‎∴ΔBCM≌ΔCDN ‎ ‎ ∴BM=CN ‎ ‎(2)①答：当∠BON=时结论BM=CN成立． ‎ ‎②答当∠BON=108°时。BM=CN还成立 ‎ 证明；如图5连结BD、CE. ‎ 在△BCI)和△CDE中 ‎∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE ‎∴ΔBCD≌ ΔCDE ‎∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN ‎ ‎∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN ‎ ‎∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°‎ ‎∴∠MBC=∠NCD 又∵∠DBC=∠ECD=36°, ‎ ‎∴∠DBM=∠ECN ‎ ‎∴ΔBDM≌ ΔCNE ‎ ‎∴BM=CN ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX 第47页 共47页 ECNU LEX ‎8、（2006吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S。‎ ‎（1）求点A的坐标。‎ ‎（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。‎ ‎（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。‎ ‎（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________。‎ ‎[解]‎ ‎（1）由 可得 ‎ ∴A（4，4）。‎ ‎（2）点P在y = x上，OP = t，‎ 则点P坐标为 点Q的纵坐标为，并且点Q在上。‎ ‎∴，‎ 即点Q坐标为。‎ ‎。‎ 当时，。‎ 当，‎ ‎ ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX 当点P到达A点时，，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ 。‎ ‎（3）有最大值，最大值应在中，‎ 当时，S的最大值为12。‎ ‎（4）。 ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎9、（2006湖南常德）把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．‎ ‎（1）如图9，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，　　　　　　．‎ ‎（2）将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中 ‎，问的值是否改变？说明你的理由．‎ Ｂ Ｅ Ｐ Ａ Ｄ(Ｏ)‎ Ｃ Ｑ Ｆ Ｍ Ｂ Ｅ Ｐ Ａ Ｃ Ｑ Ｆ Ｄ(Ｏ)‎ Ｄ(Ｏ)‎ B(Q)‎ C F E A P 图1‎ 图3‎ 图3‎ ‎（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．‎ ‎[解] （1）8 ‎ Ｂ Ｅ Ｐ Ａ Ｄ（Ｏ）‎ Ｃ Ｑ Ｆ ‎　　（2）的值不会改变． ‎ ‎　　理由如下：在与中，‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　即 ‎ ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎　 ‎ Ｂ Ｅ Ｐ Ａ Ｄ（Ｏ）‎ Ｃ Ｑ Ｆ Ｎ Ｍ Ｇ ‎（3）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，‎ ‎　　‎ ‎　　由（2）知：得 ‎　　于是 ‎　　　　 ‎ ‎　　情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，‎ ‎　　由于，，易证：，‎ ‎　　即解得 ‎　　‎ ‎　　于是 ‎　　综上所述，当时，‎ ‎　　　　　　　当时，‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ 法二：连结，并过作于点，在与中，‎ ‎　　‎ 即 ‎　　‎ 第47页 共47页 ECNU LEX 法三：过作于点，在中，‎ ‎　　‎ ‎　　　　‎ ‎　　　　‎ ‎　于是在与中 ‎　‎ ‎　　　　　‎ ‎　　　　　‎ 即 第47页 共47页 ECNU LEX ‎10、（2006湖北宜昌）如图，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点(n＜0）以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o得矩形AGDE．过点A的直线y＝kx＋m 交y轴于点F，FB＝FA．抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为点M．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．‎ ‎[解] （1）根据题意得到：E（3n，0）， G（n，－n）‎ 当x＝0时，y＝kx＋m＝m，∴点F坐标为（0，m）‎ ‎∵Rt△AOF中，AF2＝m2＋n2，‎ ‎∵FB＝AF，‎ ‎∴m2＋n2＝(-2n－m)2，‎ 化简得：m＝－0.75n， ‎ 对于y＝kx＋m，当x＝n时，y＝0，‎ ‎∴0＝kn－0.75n，‎ ‎∴k＝0.75 ‎ ‎（2）∵抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G，‎ ‎∴ ‎ 解得：a＝，b＝－，c＝－0.75n ‎ ‎∴抛物线为y=x2－x－0.75n ‎ 解方程组： ‎ 得：x1＝5n，y1＝3n；x2＝0，y2＝－0.75n ‎ ‎ ∴H坐标是：（5n，3n），HM＝－3n，AM＝n－5n＝－4n，‎ ‎∴△AMH的面积＝0.5×HM×AM＝6n2； ‎ 而矩形AOBC 的面积＝2n2，∴△AMH的面积∶矩形AOBC 的面积＝3:1，不随着点A的位置的改变而改变． ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX 第47页 共47页 ECNU LEX ‎11、（2006湖南长沙）如图1，已知直线与抛物线交于两点．‎ ‎（1）求两点的坐标；‎ ‎（2）求线段的垂直平分线的解析式；‎ ‎（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．‎ P A 图2‎ 图1‎ ‎[解]‎ ‎（1）解：依题意得解之得 ‎ ‎ ‎（2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1）‎ 图1‎ D M A C B Ｅ ‎ 由（1）可知：‎ ‎ ‎ ‎ 过作轴，为垂足 ‎ 由，得：，‎ ‎ 同理： ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎ 设的解析式为 ‎ ‎ ‎ 的垂直平分线的解析式为：．‎ ‎（3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2）．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 抛物线与直线只有一个交点，‎ ‎ ，‎ P A 图2‎ H G B ‎ 在直线中，‎ ‎ 设到的距离为，‎ ‎ ‎ ‎ 到的距离等于到的距离．‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎ ．‎ ‎12、（2006北京海淀）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。‎ ‎ （1）若，求CD的长；‎ ‎ （2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。‎ ‎[解]‎ ‎（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5‎ ‎ 所以∠ADB＝90°，AB＝10‎ ‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎ 又，所以，所以 ‎ ‎ ‎ 因为∠ADB＝90°，AB⊥CD ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ （2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD ‎ 所以 ‎ 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD ‎ 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO ‎ 所以∠CDB＝∠ADO ‎ ‎ 设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x ‎ 由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x ‎ 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°‎ ‎ 所以 第47页 共47页 ECNU LEX ‎ 所以x＝10°‎ ‎ 所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°‎ ‎ 所以∠AOC＝∠AOD＝100°‎ ‎ ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎13、（2006山东德州）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于，连结，已知动点运动了秒．‎ ‎（1）点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）；‎ ‎（2）试求面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值；‎ Ｎ B A M P C O ‎（3）当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由．‎ ‎[解] （1）由题意可知，，，‎ 点坐标为． ‎ ‎（2）设的面积为，在中，，边上的高为，其中． ‎ ‎． ‎ 的最大值为，此时． ‎ ‎（3）延长交于，则有．‎ Ｎ B A M P C O Ｑ ①若，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎． ‎ ②若，则，‎ ‎． ‎ ③若，则．‎ ‎，‎ 在中，．‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎，． ‎ 综上所述，，或，或． ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎14、（2006江苏常州）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。‎ ‎（1）点P在运动时，线段AB的长度在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；‎ ‎（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎[解] （1）线段AB长度的最小值为4‎ ‎ 理由如下：‎ ‎ 连接OP ‎ 因为AB切⊙O于P，所以OP⊥AB ‎ 取AB的中点C，则 ‎ ‎ 当时，OC最短，‎ ‎ 即AB最短，此时 ‎ ‎ （2）设存在符合条件的点Q，‎ ‎ 如图①，设四边形APOQ为平行四边形，‎ 因为四边形APOQ为矩形 又因为 所以四边形APOQ为正方形 所以，‎ 在Rt△OQA中，根据，‎ 得Q点坐标为（）。 ‎ 如图②，设四边形APQO为平行四边形 因为OQ∥PA，，所以，‎ 第47页 共47页 ECNU LEX 又因为 所以，‎ 因为 PQ∥OA，‎ 所以 轴。‎ 设轴于点H，‎ 在Rt△OHQ中，根据，‎ 得Q点坐标为（）‎ 所以符合条件的点Q的坐标为（）或（）。‎ ‎15、（2006福建泉州）如图，在直角坐标系中，O为原点，A（4，12）为双曲线（x>0）上的一点.‎ ‎⑴求k的值；‎ ‎⑵过双曲线上的点P作PB⊥x轴于B，连接OP，若Rt△OPB两直角边的比值为，试求点P的坐标.‎ y A O x ‎⑶分别过双曲线上的两点P1、P2，作P1B1⊥x轴于B1，P2B2⊥x轴于B2，连结OP1、OP2.设Rt△OP1B1、Rt△OP2B2的周长分别为l1、l2，内切圆的半径分别为r1、r2,若，试求的值.‎ ‎[解] （1）依题意得 ‎ 12=，k = 48 ‎ ‎ （2）由（1）得双曲线解析式为 ‎ 设P（m，n）∴ 即 ‎ y P O x B 当时，即 可设，.‎ ‎∴·4= 48，解得 ‎ ‎∴，‎ ‎∴P（，）‎ 第47页 共47页 ECNU LEX 当时，同理可求得P（，）‎ ‎（3）在Rt△OP1B1中，设OB1=，P1B1=，OP1=，则P1（，），由（2）得=48；‎ 在Rt△OP2B2中，设OB2=，P2B2=，OP2=，则P2（，），由（2）得=48.‎ ‎∵‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ 即·=·‎ 故 ‎ 又∵2‎ ‎∴2 即得 ‎ ‎16、(2006广东广州)已知抛物线y=x2+mx‎-2m2‎(m≠0)．‎ ‎ (1)求证：该抛物线与X轴有两个不同的交点；‎ ‎ (2)过点P(0，n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)，是 ‎ 否存在实数m、n，使得AP=2PB?若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，‎ 请说明理由．‎ ‎[解]（1）△‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴△‎ ‎ ∴该抛物线与轴有两个不同的交点。‎ ‎ （2）由题意易知点、的坐标满足方程：‎ ‎，即 由于方程有两个不相等的实数根，因此△，即 ‎………………….①‎ 第47页 共47页 ECNU LEX 由求根公式可知两根为：‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 分两种情况讨论：‎ 第47页 共47页 ECNU LEX 第一种：点在点左边，点在点的右边 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴……………….②‎ ‎∴……………………….③‎ 由②式可解得 ‎ ‎…………………………..④‎ 第二种：点、都在点左边 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴……………….⑤‎ ‎∴……………………….⑥‎ 由⑤式可解得 ‎……….⑦‎ 综合①③④⑥⑦可知，满足条件的点存在，此时、应满足条件：‎ ‎，或。‎ ‎17、（2006湖北十堰）已知抛物线：（，为常数，且，）的顶点为，与轴交于点；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为，连接，，．‎ 注：抛物线的顶点坐标为．‎ ‎（1）请在横线上直接写出抛物线的解析式：________________________；‎ ‎（2）当时，判定的形状，并说明理由；‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎（3）抛物线上是否存在点，使得四边形为菱形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎[解] （1）．　　‎ ‎（2）当时，为等腰直角三角形． ‎ 理由如下：‎ x O 如图：点与点关于轴对称，点又在轴上，‎ ‎．　‎ 过点作抛物线的对称轴交轴于，过点作于．‎ 当时，顶点的坐标为，．‎ 又点的坐标为，‎ ‎．．‎ 从而，．‎ 由对称性知，．‎ 为等腰直角三角形．　‎ ‎（3）假设抛物线上存在点，使得四边形为菱形，则．‎ 由（2）知，，．‎ 从而为等边三角形．　‎ ‎．‎ 四边形为菱形，且点在上，点与点关于对称．‎ 与的交点也为点，因此．‎ 点的坐标分别为，‎ ‎．‎ 在中，．‎ ‎，．‎ 第47页 共47页 ECNU LEX 故抛物线上存在点，使得四边形为菱形，此时．‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎18、（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．‎ ‎ (1)求点B的坐标；‎ ‎ (2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；‎ ‎(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标。‎ ‎[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.‎ ‎∵ 四边形ABCD是等腰梯形,‎ ‎∴∠BAQ＝∠COA＝60°‎ 在RtΔBQA中,BA=4,‎ ‎∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=‎ AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2,‎ ‎∴OQ=OA-AQ=7-2=5‎ ‎∵点B在第一象限内,‎ ‎∴点B的的坐标为(5, )‎ ‎(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,‎ 此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,‎ ‎∴点P的坐标为(4,0)‎ 若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4‎ ‎∴点P的坐标为(-4,0)‎ ‎∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)‎ ‎(3)若∠CPD=∠OAB ‎∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°,‎ ‎∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP∽ΔADP ‎∴‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎∵∴,‎ AD=AB-BD=4-=‎ AP=OA-OP=7-OP ‎∴‎ 得OP=1或6‎ ‎∴点P坐标为(1,0)或(6,0).‎ ‎19、（2006四川攀枝花）已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式并且线段CM的长为 （1） 求抛物线的解析式。‎ （2） 设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。‎ （3） 若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。‎ ‎[解] ‎ N M y O A ‎ B D ‎（G）‎ C M’’’’‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以 若b＝0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b＝－2。即M 过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在 所以，，解得，。‎ ‎∴所求抛物线为： 或 ‎ ‎（1）解法二：由题意得C(0 , 2),设点M的坐标为M（x ，y）‎ ‎∵点M在直线上，∴‎ 由勾股定理得，∵‎ ‎∴=，即 解方程组 得 ‎ ‎∴M（-2，4） 或 M‘ （2，0）‎ 当M（-2，4）时，设抛物线解析式为，∵抛物线过（0，2）点，‎ ‎∴，∴‎ 当M‘（2，0）时，设抛物线解析式为 ‎∵抛物线过（0，2）点，∴，∴‎ ‎∴所求抛物线为： 或 ‎ ‎（2）∵抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴不合题意，舍去。‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎∴抛物线应为： ‎ 抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴，得 ‎ ‎ ‎（3）∵AB是⊙N的直径，∴r = ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN = 4‎ 设直线与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴‎ ‎，作NG⊥CM于G，在= r ‎ 即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径 ‎∴直线CM与⊙N相切 ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎20、（2006山东青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝‎8cm，BC＝‎6cm，∠C＝90°，EG＝‎4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．‎ 如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以‎1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以‎1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．‎ ‎（1）当x为何值时，OP∥AC ?‎ ‎（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．‎ ‎（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）‎ ‎[解] （1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，‎ ‎∴，．‎ ‎∴FG＝＝‎3cm． ‎ ‎∵当P为FG的中点时，OP∥EG ，EG∥AC ，‎ ‎∴OP∥AC．‎ ‎∴ x ＝＝×3＝1.5（s）．‎ ‎∴当x为1.5s时，OP∥AC ．‎ ‎（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝‎5cm．‎ ‎∵EG∥AH ，‎ ‎∴△EFG∽△AFH ．‎ ‎∴．‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎∴．‎ ‎∴ AH＝（ x ＋5），FH＝（x＋5）．‎ 过点O作OD⊥FP ，垂足为 D ．‎ ‎∵点O为EF中点，‎ ‎∴OD＝EG＝‎2cm．‎ ‎∵FP＝3－x ，‎ ‎∴S四边形OAHP ＝S△AFH －S△OFP ‎＝·AH·FH－·OD·FP ‎＝·（x＋5）·（x＋5）－×2×（3－x ）‎ ‎＝x2＋x＋3 ‎ ‎（0＜x＜3．‎ ‎（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．‎ 则S四边形OAHP＝×S△ABC ‎∴x2＋x＋3＝××6×8‎ ‎∴6x2＋85x－250＝0‎ 解得 x1＝， x2＝ －（舍去）．‎ ‎∵0＜x＜3，‎ ‎∴当x＝（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．‎ ‎21、（2006河北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；‎ ‎（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？‎ ‎（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t 第47页 共47页 ECNU LEX ‎≤4）；若不存在，请简要说明理由． ‎ A P C Q B D ‎[解] （1）由题意知 CQ＝4t，PC＝12－3t，‎ ‎∴S△PCQ =． ‎ ‎∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，‎ ‎∴y=2S△PCQ ． ‎ ‎（2）当时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，‎ ‎  ∵CA=12，CB=16，CQ＝4t， CP＝12－3t，‎ ‎  ∴ ，解得t＝2．‎ ‎  ∴当t＝2秒时，四边形PQBA是梯形． ‎ ‎（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如下图，‎ 若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，‎ ‎∴ A P C Q B D M Rt△QMD∽Rt△ABC，‎ 从而，‎ ‎∵QD=CQ=4t，AC＝12，‎ AB=20，‎ ‎∴QM=． ‎ 若PD∥AB，则，得，‎ 解得t＝．‎ ‎∴当t＝秒时，PD∥AB． ‎ ‎（4）存在时刻t，使得PD⊥AB． ‎ 时间段为：2＜t≤3． ‎ ‎22、（2006河北课改）图14－1至图14－7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．‎ 如图14－1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为 第47页 共47页 ECNU LEX ‎8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；……），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．‎ 另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图14－1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，当点M与点C重合时，再向右平移，当点N与点D重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．‎ 正方形EFGH和正方形MNPQ从如图14－1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．‎ ‎（1）请你在图14－2和图14－3中分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；‎ ‎（2）①如图14－4，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；‎ ‎ ②如图14－5，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式；‎ ‎ ③如图14－6，当7≤x≤10.5时，求y与x的函数关系式；‎ ‎ ④如图14－7，当10.5≤x≤13时，求y与x的函数关系式．‎ ‎（3）对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y的变化情况，指出y取得最大值和最小值时，相对应的x的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．（说明：问题（3）是额外加分题，加分幅度为1～4分）‎ 图14-1‎ E C B A(P)‎ D F G H M Q N O D C C B A D O C B A D O H E ‎ ‎ O N M G F P Q A B 图14-4‎ 图14-3‎ 图14-2‎ 图14-5‎ E C B A D F G H M Q N O P 图14-7‎ E C B A D F G H M Q N O P 图14-6‎ E C B A D F G H M Q N O P 第47页 共47页 ECNU LEX ‎[解] （1）相应的图形如图2-1，2-2．  ‎ 当x=2时，y=3；   ‎ 图2-3‎ E C B A D F G H M Q N O P K S T 图2-2‎ E C B A D F G ‎  H M Q N O P 图2-1‎ E C B A D F G H M Q N O P 当x=18时，y=18．  ‎ 图2-4‎ E C B A D F G H M Q N O P T 图2-5‎ E C B A D F G H M Q N O P T 图2-6‎ E C B A D F G H K Q N O P R S M ‎（2）①当1≤x≤3.5时，如图2-3，‎ 延长MN交AD于K，设MN与HG交于S，MQ与FG交于T，则MK=6＋x，SK=TQ=7－x，从而MS=MK－SK=2x－1，MT=MQ－TQ=6－（7－x）= x－1．‎ ‎∴y=MT·MS=（x－1）（2x－1）=2x2－3x＋1． ‎ ‎②当3.5≤x≤7时，如图2-4，设FG与MQ交于T，则 TQ=7－x，∴MT=MQ－TQ=6－（7－x）=x－1．‎ ‎∴y=MN·MT=6（x－1）=6x－6． ‎ ‎③当7≤x≤10.5时，如图2-5，设FG与MQ交于T，则 TQ=x－7，∴MT=MQ－TQ=6－（x－7）=13－x．‎ ‎∴y= MN·MT =6（13－x）=78－6x． ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎④当10.5≤x≤13时，如图2-6，设MN与EF交于S，NP交FG于R，延长NM交BC于K，则MK=14－x，SK=RP=x－7，‎ ‎∴SM=SK－MK=2x－21，从而SN=MN－SM=27－2x，NR=NP－RP=13－x．‎ ‎∴y=NR·SN=（13－x）（27－2x）=2x2－53x＋351． ‎ 第47页 共47页 ECNU LEX ‎（3）对于正方形MNPQ，‎ ‎①在AB边上移动时，当0≤x≤1及13≤x≤14时，y取得最小值0；‎ 当x=7时，y取得最大值36． ‎ ‎②在BC边上移动时，当14≤x≤15及27≤x≤28时，y取得最小值0；‎ 当x=21时，y取得最大值36． ‎ ‎③在CD边上移动时，当28≤x≤29及41≤x≤42时，y取得最小值0；‎ 当x=35时，y取得最大值36． ‎ ‎④在DA边上移动时，当42≤x≤43及55≤x≤56时，y取得最小值0；‎ 当x=49时，y取得最大值36． ‎ 第47页 共47页