中考中以正方形为背景的旋转问题

中考中以正方形为背景的旋转问题

正方形探索题 ‎1、如图1，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。‎ ‎(1)说明OE=OF的道理；‎ ‎(2)在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。‎ 图2‎ 图1‎ ‎ ‎ A B G C E H F D 图3‎ A B G C E H F D 图4‎ ‎2、用两个全等的正方形和拼成一个矩形，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合，且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转。‎ ‎（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形的两边相交于点时，如图3，通过观察或测量与的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。‎ ‎（2）当直角三角尺的两直角边分别与的延长线，的延长线相交于点时（如图4），你在图3中得到的结论还成立吗？简要说明理由。‎ ‎3、如图，将一把三角尺放在正方形ABCD上，并把它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线OC相交于点Q，探究：‎ ‎⑴当点Q在DC上时（图5），线段PQ与线段PB有怎样的大小关系？试说明你观察到的结论 ‎⑵当点Q在DC的延长线上时（图6），⑴中观察到的结论还成立吗？说明理由。‎ 图6‎ 图5‎ ‎ ‎ ‎4、如图7，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）如果AB=AC，∠BAC=90°。‎ ‎①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图8，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。‎ ‎②当点D在线段BC延长线上时，如图9，①中的结论是否仍然成立，为什么？‎ ‎（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动时。试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）（初二）‎ 图8‎ 图9‎ 图7‎ ‎（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．（初三）‎ 解：（1）①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；‎ ‎②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．‎ 由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90º．‎ ‎∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC，‎ 又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD 　　　　‎ ‎ ∠ACF=∠ABD．‎ ‎∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，‎ ‎∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD 图丁 ‎（2）画图正确　　　　　　　‎ 当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．‎ ‎ 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ‎ ‎∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD ‎（3）当具备∠BCA=45º时，‎ 图戊 过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）‎ ‎∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上，‎ ‎∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x，‎ 容易说明△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，‎ ‎． ‎ ‎∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP有最大值1．‎ ‎5、(2008黑龙江黑河)已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．‎ 当绕点旋转到时（如图1），易证．‎ ‎（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．‎ ‎（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．‎ ‎.‎ ‎ 解：（1）成立．‎ 如图，把绕点顺时针，得到，‎ 则可证得三点共线（图形画正确）‎ 证明过程中，‎ 证得：‎ 证得：‎ ‎（2）‎