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文档介绍
中考数学专题复习试卷分类汇编解析版直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理 一、 选择题 1.(2016·广西百色·3分)如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则BC=( ) A.6 B.6C.6D.12 【考点】含30度角的直角三角形. 【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解. 【解答】解:∵∠C=90°,∠A=30°,AB=12, ∴BC=12sin30°=12×=6, 故答选A. 2.(2016·贵州安顺·3分)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是( ) A.2B. C. D. 【分析】根据勾股定理,可得AC、AB的长,根据正切函数的定义,可得答案. 【解答】解:如图:, 由勾股定理,得 AC=,AB=2,BC=, ∴△ABC为直角三角形, ∴tan∠B==, 故选:D. 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,先求出AC、AB的长,再求正切函数. 3.(2016·山东省东营市·3分)在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于( ) A.10 B.8 C.6或10 D.8或10 【知识点】勾股定理、分类讨论思想 【答案】C. 【解析】在图①中,由勾股定理,得 BD===8;CD===2; ∴BC=BD+CD=8+2=10. 在图②中,由勾股定理,得 BD===8;CD===2; ∴BC=BD―CD=8―2=6. 故选择C. 【点拨】本题考查分类思想和勾股定理,要分两种情况考虑,分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD,从而可求出BC的长. 4.(2016广西南宁3分)如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底边中点)的长是( ) A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米 【考点】解直角三角形的应用. 【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米,在Rt△ABD中,利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度. 【解答】解:∵AB=AC,AD⊥BC,BC=10米, ∴DC=BD=5米, 在Rt△ADC中,∠B=36°, ∴tan36°=,即AD=BD•tan36°=5tan36°(米). 故选:C. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型,把实际问题转化为数学问题. 5.(2016海南3分)如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿着直线AD对折,点C落在点E的位置.如果BC=6,那么线段BE的长度为( ) A.6 B.6C.2D.3 【考点】翻折变换(折叠问题). 【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形,然后再求BE. 【解答】解:根据折叠的性质知,CD=ED,∠CDA=∠ADE=45°, ∴∠CDE=∠BDE=90°, ∵BD=CD,BC=6, ∴BD=ED=3, 即△EDB是等腰直角三角形, ∴BE=BD=×3=3, 故选D. 【点评】本题考查了翻折变换,还考查的知识点有两个:1、折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;2、等腰直角三角形的性质求解. 6. (2016·陕西·3分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 【考点】三角形中位线定理;等腰三角形的判定与性质;勾股定理. 【分析】根据三角形中位线定理求出DE,得到DF∥BM,再证明EC=EF=AC,由此即可解决问题. 【解答】解:在RT△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6, ∴AC===10, ∵DE是△ABC的中位线, ∴DF∥BM,DE=BC=3, ∴∠EFC=∠FCM, ∵∠FCE=∠FCM, ∴∠EFC=∠ECF, ∴EC=EF=AC=5, ∴DF=DE+EF=3+5=8. 故选B. 7. (2016·四川眉山·3分)把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′,边BC与D′C′交于点O,则四边形ABOD′的周长是( ) A. B.6 C. D. 【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′,利用勾股定理的知识求出BC′的长,再根据等腰直角三角形的性质,勾股定理可求BO,OD′,从而可求四边形ABOD′的周长. 【解答】解:连接BC′, ∵旋转角∠BAB′=45°,∠BAD′=45°, ∴B在对角线AC′上, ∵B′C′=AB′=3, 在Rt△AB′C′中,AC′==3, ∴B′C=3﹣3, 在等腰Rt△OBC′中,OB=BC′=3﹣3, 在直角三角形OBC′中,OC=(3﹣3)=6﹣3, ∴OD′=3﹣OC′=3﹣3, ∴四边形ABOD′的周长是:2AD′+OB+OD′=6+3﹣3+3﹣3=6. 故选:A. 【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质.此题难度适中,注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键,注意旋转中的对应关系. 8. (2016·四川南充)如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为( ) A.1 B.2 C. D.1+ 【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2.然后根据三角形中位线定理求得DE=AB. 【解答】解:如图,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°, ∴AB=2BC=2. 又∵点D、E分别是AC、BC的中点, ∴DE是△ACB的中位线, ∴DE=AB=1. 故选:A. 【点评】此题考查的是三角形中位线的性质,即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 9.(2016·四川内江)已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为( ) A. B. C. D.不能确定 [答案]B [考点]勾股定理,三角形面积公式,应用数学知识解决问题的能力。 [解析]如图,△ABC是等边三角形,AB=3,点P是三角形内任意一点,过点P分别向三边AB,BC,CA作垂线,垂足依次为D,E,F,过点A作AH⊥BC于H.则 BH=,AH==. 连接PA,PB,PC,则S△PAB+S△PBC+S△PCA=S△ABC. ∴AB·PD+BC·PE+CA·PF=BC·AH. ∴PD+PE+PF=AH=. 故选B. P B A D E F 答案图 C H 10.(2016·四川宜宾)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B、D两点间的距离为( ) A. B.2C.3 D.2 【考点】旋转的性质. 【分析】通过勾股定理计算出AB长度,利用旋转性质求出各对应线段长度,利用勾股定理求出B、D两点间的距离. 【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3, ∴AB=5, ∵将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处, ∴AE=4,DE=3, ∴BE=1, 在Rt△BED中, BD==. 故选:A. 11.(2016·黑龙江龙东·3分)若点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,则△ABC的面积为( ) A.2+B. C.2+或2﹣D.4+2或2﹣ 【考点】三角形的外接圆与外心;等腰三角形的性质. 【分析】根据题意可以画出相应的图形,然后根据不同情况,求出相应的边的长度,从而可以求出不同情况下△ABC的面积,本题得以解决. 【解答】解:由题意可得,如右图所示, 存在两种情况, 当△ABC为△A1BC时,连接OB、OC, ∵点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,OB=OC, ∴△OBC为等边三角形,OB=OC=BC=2,OA1⊥BC于点D, ∴CD=1,OD=, ∴=2﹣, 当△ABC为△A2BC时,连接OB、OC, ∵点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,OB=OC, ∴△OBC为等边三角形,OB=OC=BC=2,OA1⊥BC于点D, ∴CD=1,OD=, ∴S△A2BC===2+, 由上可得,△ABC的面积为或2+, 故选C. 12.(2016·湖北荆门·3分)如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【考点】勾股定理;等腰三角形的性质. 【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC,BD=CD,根据勾股定理即可得到结论. 【解答】解:∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线, ∴AD⊥BC,BD=CD, ∵AB=5,AD=3, ∴BD==4, ∴BC=2BD=8, 故选C. 13.(2016·湖北荆州·3分)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则图中∠ABC的余弦值是( ) A.2 B. C. D. 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状,再由锐角三角函数的定义即可得出结论. 【解答】解:∵由图可知,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AB2=32+42=25, ∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°, ∴cos∠ABC==. 故选D. 【点评】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键. 一、 填空题 1. (2016·浙江省湖州市·4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径作弧,相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AB于点D,连结CD,则CD的长是 5 . 【考点】作图—基本作图;直角三角形斜边上的中线;勾股定理. 【分析】首先说明AD=DB,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半,即可解决问题. 【解答】解:由题意EF是线段AB的垂直平分线, ∴AD=DB, Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,BC=6,AC=8, ∴AB===10, ∵AD=DB,∠ACB=90°, ∴CD=AB=5. 故答案为5. 2. (2016·湖北随州·3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN= 3 . 【考点】三角形中位线定理;直角三角形斜边上的中线;平行四边形的判定与性质. 【分析】连接CM,根据三角形中位线定理得到NM=CB,MN∥BC,证明四边形DCMN是平行四边形,得到DN=CM,根据直角三角形的性质得到CM=AB=3,等量代换即可. 【解答】解:连接CM, ∵M、N分别是AB、AC的中点, ∴NM=CB,MN∥BC,又CD=BD, ∴MN=CD,又MN∥BC, ∴四边形DCMN是平行四边形, ∴DN=CM, ∵∠ACB=90°,M是AB的中点, ∴CM=AB=3, ∴DN=3, 故答案为:3. 3. (2016·湖北武汉·3分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=,则BD的长为_______. 【考点】相似三角形,勾股定理 【答案】2 【解析】连接AC,过点D作BC边上的高,交BC延长线于点H.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∴AC=5,又CD=10,DA=,可知△ACD为直角三角形,且∠ACD=90°,易证△ABC∽△CHD,则CH=6,DH=8,∴BD=. 4. (2016·江西·3分)如图是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP),使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰三角形AEP的底边长是 5sqrt{2}或4sqrt{5}或5 . 【考点】矩形的性质;等腰三角形的性质;勾股定理. 【分析】分情况讨论:①当AP=AE=5时,则△AEP是等腰直角三角形,得出底边PE=AE=5即可; ②当PE=AE=5时,求出BE,由勾股定理求出PB,再由勾股定理求出等边AP即可; ③当PA=PE时,底边AE=5;即可得出结论. 【解答】解:如图所示: ①当AP=AE=5时, ∵∠BAD=90°, ∴△AEP是等腰直角三角形, ∴底边PE=AE=5; ②当PE=AE=5时, ∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3,∠B=90°, ∴PB==4, ∴底边AP===4; ③当PA=PE时,底边AE=5; 综上所述:等腰三角形AEP的对边长为5或4或5; 故答案为:5或4或5. 5. (2016·四川内江)如图4,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=______. D O C E B A 图4 [答案] [考点]菱形的性质,勾股定理,三角形面积公式。 [解析]∵菱形的对角线互相垂直平分, ∴OB=3,OC=4,∠BOC=90°. ∴BC==5. ∵S△OBC=OB·OC,又S△OBC=BC·OE, ∴OB·OC=BC·OE,即3×4=5OE. ∴OE=. 故答案为:. 6. (2016·青海西宁·2分)如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD= 2 . 【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形. 【分析】作PE⊥OA于E,根据角平分线的性质可得PE=PD,根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°,由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半,可求得PE,即可求得PD. 【解答】解:作PE⊥OA于E, ∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OB,PE⊥OA, ∴PE=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等), ∵∠BOP=∠AOP=15°, ∴∠AOB=30°, ∵PC∥OB, ∴∠ACP=∠AOB=30°, ∴在Rt△PCE中,PE=PC=×4=2(在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半), ∴PD=PE=2, 故答案是:2. 7.(2016·四川宜宾)在平面直角坐标系内,以点P(1,1)为圆心、为半径作圆,则该圆与y轴的交点坐标是 (0,3),(0,﹣1) . 【考点】坐标与图形性质. 【分析】在平面直角坐标系中,根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个直角边,再根据点P的坐标即可得出答案. 【解答】解:以(1,1)为圆心,为半径画圆,与y轴相交,构成直角三角形, 用勾股定理计算得另一直角边的长为2, 则与y轴交点坐标为(0,3)或(0,﹣1). 故答案为:(0,3),(0,﹣1). 3.(2016·四川内江)如图12所示,已知点C(1,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是AB,OA上的动点,则△CDE周长的最小值是______. [答案]10 [考点]勾股定理,对称问题。 [解析]作点C关于y轴的对称点C1(-1,0),点C关于x轴的对称点C2,连接C1C2交OA于点E,交AB于点D,则此时△CDE的周长最小,且最小值等于C1C2的长. ∵OA=OB=7,∴CB=6,∠ABC=45°. ∵AB垂直平分CC2, ∴∠CBC2=90°,C2的坐标为(7,6). 在△C1BC2中,C1C2===10. 即△CDE周长的最小值是10. x y O 答案图 C B A E D C1 C2 故答案为:10. 8.(2016·湖北黄石·3分)如图所示,正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O,OA=AC=2,将正方形绕O点顺时针旋转60°,在旋转过程中,正方形扫过的面积是 2π+2 . 【分析】如图,用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD的面积. 【解答】解:∵OA=AC=2, ∴AB=BC=CD=AD=,OC=4, S阴影=+=2π+2, 故答案为:2π+2. 【点评】此题考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理,能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积是解答此题的关键. 一、 解答题 1. (2016·湖北随州·10分)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时,发现了“中垂三角形”,即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图(1)、图(2)、图(3)中,AM、BN是△ABC的中线,AN⊥BN于点P,像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c. 【特例探究】 (1)如图1,当tan∠PAB=1,c=4时,a= 4 ,b= 4 ; 如图2,当∠PAB=30°,c=2时,a= ,b= ; 【归纳证明】 (2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2、b2、c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你的结论. 【拓展证明】 (3)如图4,▱ABCD中,E、F分别是AD、BC的三等分点,且AD=3AE,BC=3BF,连接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF与BE相交点G,AD=3,AB=3,求AF的长. 【考点】四边形综合题. 【分析】(1)①首先证明△APB,△PEF都是等腰直角三角形,求出PA、PB、PE、PF,再利用勾股定理即可解决问题. ②连接EF,在RT△PAB,RT△PEF中,利用30°性质求出PA、PB、PE、PF,再利用勾股定理即可解决问题. (2)结论a2+b2=5c2.设MP=x,NP=y,则AP=2x,BP=2y,利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题. (3)取AB中点H,连接FH并且延长交DA的延长线于P点,首先证明△ABF是中垂三角形,利用(2)中结论列出方程即可解决问题. 【解答】(1)解:如图1中,∵CE=AE,CF=BF, ∴EF∥AB,EF=AB=2, ∵tan∠PAB=1, ∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°, ∴PF=PE=2,PB=PA=4, ∴AE=BF==2. ∴b=AC=2AE=4,a=BC=4. 故答案为4,4. 如图2中,连接EF, ,∵CE=AE,CF=BF, ∴EF∥AB,EF=AB=1, ∵∠PAB=30°, ∴PB=1,PA=, 在RT△EFP中,∵∠EFP=∠PAB=30°, ∴PE=,PF=, ∴AE==,BF==, ∴a=BC=2BF=,b=AC=2AE=, 故答案分别为,. (2)结论a2+b2=5c2. 证明:如图3中,连接EF. ∵AF、BE是中线, ∴EF∥AB,EF=AB, ∴△FPE∽△APB, ∴==, 设FP=x,EP=y,则AP=2x,BP=2y, ∴a2=BC2=4BF2=4(FP2+BP2)=4x2+16y2, b2=AC2=4AE2=4(PE2+AP2)=4y2+16x2, c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2, ∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2. (3)解:如图4中,在△AGE和△FGB中, , ∴△AGE≌△FGB, ∴BG=FG,取AB中点H,连接FH并且延长交DA的延长线于P点, 同理可证△APH≌△BFH, ∴AP=BF,PE=CF=2BF, 即PE∥CF,PE=CF, ∴四边形CEPF是平行四边形, ∴FP∥CE, ∵BE⊥CE, ∴FP⊥BE,即FH⊥BG, ∴△ABF是中垂三角形, 由(2)可知AB2+AF2=5BF2, ∵AB=3,BF=AD=, ∴9+AF2=5×()2, ∴AF=4. 2. (2016·四川南充)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点O,OC=1,以点O为圆心OC为半径作半圆. (1)求证:AB为⊙O的切线; (2)如果tan∠CAO=,求cosB的值. 【分析】(1)如图作OM⊥AB于M,根据角平分线性质定理,可以证明OM=OC,由此即可证明. (2)设BM=x,OB=y,列方程组即可解决问题. 【解答】解:(1)如图作OM⊥AB于M, ∵OA平分∠CAB,OC⊥AC,OM⊥AB, ∴OC=OM, ∴AB是⊙O的切线, (2)设BM=x,OB=y,则y2﹣x2=1 ①, ∵cosB==, ∴=, ∴x2+3x=y2+y ②, 由①②可以得到:y=3x﹣1, ∴(3x﹣1)2﹣x2=1, ∴x=,y=, ∴cosB==. 【点评】本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识,解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径,这条直线就是圆的切线,学会设未知数列方程组解决问题,属于中考常考题型. 3.(2016·四川内江)(10分)如图9,在△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F.⊙O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G,交⊙O于点H,连接BD,FH. (1)试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)当AB=BE=1时,求⊙O的面积; (3)在(2)的条件下,求HG·HB的值. D G H O C E F B A 图9 D G H O C E F B A 答案图 [考点]切线的性质与判定定理,三角形的全等,直角三角形斜边上中线定理、勾股定理。 (1)直线BD与⊙O相切.理由如下: 如图,连接OB,∵BD是△ABC斜边上的中线,∴DB=DC. ∴∠DBC=∠C. ∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB=∠CED. ∵∠C+∠CED=90°, ∴∠DBC+∠OBE=90°. ∴BD与⊙O相切; 3分 (2)连接AE.∵AB=BE=1,∴AE=. ∵DF垂直平分AC,∴CE=AE=.∴BC=1+. 4分 ∵∠C+∠CAB=90°,∠DFA+∠CAB=90°, ∴∠CAB=∠DFA. 又∠CBA=∠FBE=90°,AB=BE, ∴△CAB≌△FEB.∴BF=BC=1+. 5分 ∴EF2=BE2+BF2=12+(1+)2=4+2. 6分 ∴S⊙O=π·EF2=π. 7分 (3)∵AB=BE,∠ABE=90°,∴∠AEB=45°. ∵EA=EC,∴∠C=22.5°. 8分 ∴∠H=∠BEG=∠CED=90°-22.5°=67.5°. ∵BH平分∠CBF,∴∠EBG=∠HBF=45°. ∴∠BGE=∠BFH=67.5°. ∴BG=BE=1,BH=BF=1+. 9分 ∴GH=BH-BG=. ∴HB·HG=×(1+)=2+. 10分 4.(2016·黑龙江龙东·6分)如图,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(﹣1,3)、(﹣4,1)(﹣2,1),先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1,点B的对应点B1的坐标是(1,2),再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2,点A1的对应点为点A2. (1)画出△A1B1C1; (2)画出△A2B2C2; (3)求出在这两次变换过程中,点A经过点A1到达A2的路径总长. 【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换. 【分析】(1)由B点坐标和B1的坐标得到△ABC向右平移5个单位,再向上平移1个单位得到△A1B1C1,则根据点平移的规律写出A1和C1的坐标,然后描点即可得到△A1B1C1; (2)利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2,点B1的对应点为点B2,点C1的对应点为点C2,从而得到△A2B2C2; (3)先利用勾股定理计算平移的距离,再计算以OA1为半径,圆心角为90°的弧长,然后把它们相加即可得到这两次变换过程中,点A经过点A1到达A2的路径总长. 【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所作; (2)如图,△A2B2C2为所作; (3)OA==4, 点A经过点A1到达A2的路径总长=+=+2π. 5.(2016·湖北黄石·12分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α. (1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:△ADF∽△ABC; (2)如图2,在(1)的条件下,若α=45°,求证:DE2=BD2+CE2; (3)如图3,若α=45°,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由. 【分析】(1)根据轴对称的性质可得∠EAF=∠DAE,AD=AF,再求出∠BAC=∠DAF,然后根据两边对应成比例,夹角相等两三角形相似证明; (2)根据轴对称的性质可得EF=DE,AF=AD,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=BD,全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理证明即可; (3)作点D关于AE的对称点F,连接EF、CF,根据轴对称的性质可得EF=DE,AF=AD,再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=BD,全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理证明即可. 【解答】证明:(1)∵点D关于直线AE的对称点为F, ∴∠EAF=∠DAE,AD=AF, 又∵∠BAC=2∠DAE, ∴∠BAC=∠DAF, ∵AB=AC, ∴=, ∴△ADF∽△ABC; (2)∵点D关于直线AE的对称点为F, ∴EF=DE,AF=AD, ∵α=45°, ∴∠BAD=90°﹣∠CAD, ∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD, ∴∠BAD=∠CAF, 在△ABD和△ACF中,, ∴△ABD≌△ACF(SAS), ∴CF=BD,∠ACF=∠B, ∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∴∠B=∠ACB=45°, ∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°, 在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2, 所以,DE2=BD2+CE2; (3)DE2=BD2+CE2还能成立. 理由如下:作点D关于AE的对称点F,连接EF、CF, 由轴对称的性质得,EF=DE,AF=AD, ∵α=45°, ∴∠BAD=90°﹣∠CAD, ∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD, ∴∠BAD=∠CAF, 在△ABD和△ACF中,, ∴△ABD≌△ACF(SAS), ∴CF=BD,∠ACF=∠B, ∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∴∠B=∠ACB=45°, ∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°, 在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2, 所以,DE2=BD2+CE2. 【点评】本题是相似形综合题,主要利用了轴对称的性质,相似三角形的判定,同角的余角相等的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,此类题目,小题间的思路相同是解题的关键. 6.(2016·湖北荆州·8分)如图,将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开,得到△ACD,再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置,若平移开始后点D′未到达点B 时,A′C′交CD于E,D′C′交CB于点F,连接EF,当四边形EDD′F为菱形时,试探究△A′DE的形状,并判断△A′DE与△EFC′是否全等?请说明理由. 【分析】当四边形EDD′F为菱形时,△A′DE是等腰三角形,△A′DE≌△EFC′.先证明CD=DA=DB,得到∠DAC=∠DCA,由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状.由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D,∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE,再根据A′D=DE=EF即可证明. 【解答】解:当四边形EDD′F为菱形时,△A′DE是等腰三角形,△A′DE≌△EFC′. 理由:∵△BCA是直角三角形,∠ACB=90°,AD=DB, ∴CD=DA=DB, ∴∠DAC=∠DCA, ∵A′C∥AC, ∴∠DA′E=∠A,∠DEA′=∠DCA, ∴∠DA′E=∠DEA′, ∴DA′=DE, ∴△A′DE是等腰三角形. ∵四边形DEFD′是菱形, ∴EF=DE=DA′,EF∥DD′, ∴∠CEF=∠DA′E,∠EFC=∠CD′A′, ∵CD∥C′D′, ∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC, 在△A′DE和△EFC′中, , ∴△A′DE≌△EFC′. 【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,属于中考常考题型. 7.(2016·湖北荆州·10分)如图,A、F、B、C是半圆O上的四个点,四边形OABC是平行四边形,∠FAB=15°,连接OF交AB于点E,过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D,延长AF交直线CD于点H. (1)求证:CD是半圆O的切线; (2)若DH=6﹣3,求EF和半径OA的长. 【分析】(1)连接OB,根据已知条件得到△AOB是等边三角形,得到∠AOB=60°,根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°,根据平行线的性质得到OC⊥CD,由切线的判定定理即可得到结论; (2)根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°,解直角三角形得到BD=BC=AB,推出AE=AD,根据相似三角形的性质得到,求得EF=2﹣,根据直角三角形的性质即可得到结论. 【解答】解:(1)连接OB, ∵OA=OB=OC, ∵四边形OABC是平行四边形, ∴AB=OC, ∴△AOB是等边三角形, ∴∠AOB=60°, ∵∠FAD=15°, ∴∠BOF=30°, ∴∠AOF=∠BOF=30°, ∴OF⊥AB, ∵CD∥OF, ∴CD⊥AD, ∵AD∥OC, ∴OC⊥CD, ∴CD是半圆O的切线; (2)∵BC∥OA, ∴∠DBC=∠EAO=60°, ∴BD=BC=AB, ∴AE=AD, ∵EF∥DH, ∴△AEF∽△ADH, ∴, ∵DH=6﹣3, ∴EF=2﹣, ∵OF=OA, ∴OE=OA﹣(2﹣), ∵∠AOE=30°, ∴==, 解得:OA=2. 【点评】本题考查了切线的判定,平行四边形的性质,直角三角形的性质,等边三角形的判定和性质,连接OB构造等边三角形是解题的关键. 8.(2016·福建龙岩·12分)图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站,最终到达终点站D站的格点站路线图.(8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成) (1)求1路车从A站到D站所走的路程(精确到0.1); (2)在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图.(要求:①与图1路线不同、路程相同;②途中必须经过两个格点站;③所画路线图不重复) 【考点】作图—应用与设计作图;勾股定理的应用. 【分析】(1)先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长,再相加求得所走的路程的近似值; (2)根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可. 【解答】解:(1)根据图1可得:,,CD=3 ∴A站到B站的路程=≈9.7; (2)从A站到D站的路线图如下: 9.(2016·山东省菏泽市·3分)如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG. (1)求证:四边形DEFG是平行四边形; (2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度. 【考点】平行四边形的判定与性质. 【分析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC,DG∥BC且DG=BC,从而得到DE=EF,DG∥EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可; (2)先判断出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,求出EF即可. 【解答】解:(1)∵D、G分别是AB、AC的中点, ∴DG∥BC,DG=BC, ∵E、F分别是OB、OC的中点, ∴EF∥BC,EF=BC, ∴DE=EF,DG∥EF, ∴四边形DEFG是平行四边形; (2)∵∠OBC和∠OCB互余, ∴∠OBC+∠OCB=90°, ∴∠BOC=90°, ∵M为EF的中点,OM=3, ∴EF=2OM=6. 由(1)有四边形DEFG是平行四边形, ∴DG=EF=6. 【点评】此题是平行四边形的判定与性质题,主要考查了平行四边形的判定和性质,三角形的中位线,直角三角形的性质,解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形.查看更多