厦门市中考数学试卷解析版

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‎2013年厦门市中考数学试卷 一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）‎ ‎1．下列计算正确的是 ‎ A．－1＋2＝1． B．－1－1＝0． C．(－1)2＝－1． D．－12＝1．‎ ‎2．已知∠A＝60°，则∠A的补角是 ‎ A．160°． B．120°． ‎ C．60°． D．30°．‎ ‎3．图1是下列一个立体图形的三视图，则这个立体图形是 ‎ A．圆锥． B．球． ‎ C．圆柱． D．正方体．‎ ‎4．掷一个质地均匀的正方体骰子，当骰子停止后，朝上 一面的点数为5的概率是 ‎ A．1． B．． C．． D．0．‎ ‎5．如图2，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝‎ A．150°． B．75°． ‎ C．60°． D．15°．‎ ‎6．方程＝的解是 A．3． B．2． ‎ C．1． D．0．‎ ‎7．在平面直角坐标系中，将线段OA向左平移2个单位，平移后，点O，A的对应点分别为点O1，A1.若点O（0，0），A（1，4），则点O1，A1的坐标分别是 ‎ A．（0，0），（1，4）． B．（0，0），（3，4）． ‎ ‎ C．（－2，0），（1，4）． D．（－2，0），（－1，4）．‎ 二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎8．－6的相反数是 ．‎ ‎9．计算：m2·m3＝ ．‎ ‎10．式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围 是 ．‎ ‎11．如图3，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，‎ DE＝2，则BC＝ ．‎ ‎12．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：‎ ‎ 成绩/米 ‎1.50‎ ‎1.60‎ ‎1.65‎ ‎1.70‎ ‎1.75‎ ‎1.80‎ 人数 ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 3‎ ‎ 2‎ ‎ 4‎ ‎ 1‎ ‎ ‎ ‎ 则这些运动员成绩的中位数是 米．‎ ‎13．x2－4x＋4= ( )2．‎ ‎14．已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，‎ 则常数m的取值范围是 ．‎ ‎15．如图4，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，‎ F分别是线段AO，BO的中点．若AC＋BD＝24厘米，‎ ‎△OAB的周长是18厘米，则EF＝ 厘米．‎ ‎16．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到‎400米以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前‎40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为‎0.01米/秒， ‎ 步行的速度为‎1米/秒，骑车的速度为‎4米/秒．为了确保 甲工人的安全，则导火线的长要大于 米．‎ ‎17．如图5，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，），‎ 点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M 在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，且则点M 的坐标是 ( ， ) ．‎ 三、解答题（本大题有9小题，共89分）‎ ‎18．（本题满分21分）‎ ‎ （1）计算：‎5a＋2b＋(‎3a—2b)； ‎ ‎（2）在平面直角坐标系中，已知点A（－4,1），‎ B（－2,0），C（－3, －1）,请在图6上 画出△ABC，并画出与△ABC关于 原点O对称的图形；‎ ‎（3）如图7，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，‎ ‎∠ABC＝50°. 求证：AB∥CD.‎ ‎19．（本题满分21分）‎ ‎（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如下表所示： ‎ 郊县 人数/万 人均耕地面积/公顷 A ‎20‎ ‎ 0.15‎ B ‎ 5‎ ‎ 0.20‎ C ‎ 10‎ ‎ 0.18‎ ‎ 求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）；‎ ‎2）先化简下式，再求值：‎ － ，其中x＝＋1， y＝2—2；‎ ‎（3）如图8，已知A，B，C，D 是⊙O上的四点，‎ 延长DC，AB相交于点E．若BC＝BE．‎ 求证：△ADE是等腰三角形.‎ ‎20．（本题满分6分）有一个质地均匀的正12面体，12个面上分别写有1~12这12个整数（每个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同）.投掷这个正12面体一次，记事件A为 “向上一面的数字是2或3的整数倍”，记事件B为 “向上一面的数字是3的整数倍”，请你判断等式“P(A)＝＋P(B)”是否成立，并说明理由.‎ ‎21.（本题满分6分）如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，‎ 对角线AC，BD相交于点E，若AE＝4，CE＝8，DE＝3，‎ 梯形ABCD的高是，面积是54.求证：AC⊥BD.‎ ‎22．（本题满分6分）一个有进水管与出水管的容器，‎ 从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的 ‎9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是 常数.容器内的水量y（单位：升）与时间 x（单位：分）之间的关系如图10所示. ‎ 当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围.‎ ‎23．（本题满分6分）如图11，在正方形ABCD中，点G是边 BC上的任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于 点F.在线段AG上取点H，使得AG＝DE＋HG，连接BH.‎ 求证：∠ABH＝∠CDE.‎ ‎24．（本题满分6分）已知点O是坐标系的原点，直线y＝－x＋m＋n与双曲线y＝交于两个不同的点A（m，n）(m≥2)和B（p，q）,直线y＝－x＋m＋n与y轴交于点C ，求△OBC的面积S的取值范围．‎ ‎25．（本题满分6分）如图12，已知四边形OABC是菱形，‎ ‎∠O＝60°，点M是OA的中点.以点O为圆心，‎ r为半径作⊙O分别交OA，OC于点D，E，‎ 连接BM.若BM＝， 的长是．‎ 求证：直线BC与⊙O相切.‎ ‎26．（本题满分11分）若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且＋ ‎＝2（k是整数），则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”.如方程x2－6x－27＝0，‎ x2－2x－8＝0，x2＋3x－＝0，x2＋6x－27＝0， x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”.‎ ‎（1）判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；‎ ‎（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由.‎ ‎2013年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校 一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 选项 A B C C B A D 二、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分）‎ ‎8. 6 9. m5 10.x≥3 11. 6 ‎ ‎12. 1.65 13. x—2 14. m＞1‎ ‎15. 3 16. 1.3 17.（1，）‎ 三、解答题（本大题共9小题，共89分）‎ ‎18．（本题满分21分）‎ ‎（1） ＝‎8a. ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎（3）证明1：∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，‎ ‎ ∴∠BCD＝130°. …………16分 ‎ ∵∠ABC＝50°，‎ ‎ ∴∠BCD＋∠ABC＝180°. …………18分 ‎ ∴AB∥CD. …………21分 ‎ ‎ ‎ 证明2：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，‎ ‎ ∴∠CAB＝180°—50°—60°‎ ‎ ＝70°. ………………16分 ‎ ∵∠ACD＝70°，‎ ‎ ∴∠CAB＝∠ACD. ………………18分 ‎ ∴AB∥CD. ………………21分 ‎19．（本题满分21分）‎ ‎（1）解： ……………………………5分 ‎ ≈0.17（公顷/人）. ……………………………6分 ‎ ∴ 这个市郊县的人均耕地面积约为0.17公顷. ……………………7分 ‎（2）解： — ‎ ‎＝ ……………………………9分 ‎＝x－y. ……………………………11分 当 x＝＋1， y＝2—2时，‎ ‎ 原式＝ ＋1－(2—2) ……………………………12分 ‎＝3—. ……………………………14分 ‎（3）证明： ∵BC＝BE，‎ ‎∴∠E＝∠BCE. ……………………………15分 ‎ ∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，‎ ‎ ∴∠A＋∠DCB＝180°. ……………17分 ‎ ∵∠BCE＋∠DCB＝180°,‎ ‎∴∠A＝∠BCE. ………………18分 ‎ ∴∠A＝∠E. ………………19分 ‎∴ AD＝DE. ………………20分 ‎∴△ADE是等腰三角形. ………………21分 ‎20．（本题满分6分）‎ ‎ 解： 不成立 ……………………………1分 ‎ ∵ P(A)＝＝， ……………………………3分 ‎ 又∵P(B) ＝＝， ……………………………5分 ‎ 而＋＝≠. ‎ ‎ ∴ 等式不成立. ……………………………6分 ‎21．（本题满分6分）‎ ‎ 证明1：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠ECB.‎ ‎ ∴△EDA∽△EBC. ……………………………1分 ‎ ∴ ＝＝. ……………………………2分 ‎ 即：BC＝2AD. ………………3分 ‎ ∴54＝×( AD＋2AD)‎ ‎ ∴AD＝5. ………………4分 ‎ 在△EDA中，‎ ‎∵DE＝3，AE＝4，‎ ‎ ∴DE2＋AE2＝AD2. ……………………………5分 ‎ ∴∠AED＝90°. ‎ ‎ ∴ AC⊥BD. ……………………………6分 证明2： ∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠ECB.‎ ‎ ∴△EDA∽△EBC. ……………………………1分 ‎ ∴＝. ……………………………2分 ‎ 即＝.‎ ‎∴BE＝6. ……………………………3分 ‎ 过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F.‎ 由于AD∥BC，‎ ‎∴四边形ACFD是平行四边形.‎ ‎∴DF＝AC＝12，AD＝CF.‎ ‎∴BF＝BC＋AD.‎ ‎ ∴54＝××BF.‎ ‎ ∴BF＝15. ……………………………4分 ‎ 在△DBF中，‎ ‎∵DB＝9，DF＝12，BF＝15，‎ ‎ ∴DB2＋DF2＝BF2. ……………………………5分 ‎ ∴∠BDF＝90°. ‎ ‎ ∴DF⊥BD.‎ ‎ ∴AC⊥BD. ……………………………6分 ‎22．（本题满分6分）‎ ‎ 解1： 当0≤x≤3时，y＝5x. ……………………………1分 ‎ 当y＞5时，5x＞5， ……………………………2分 ‎ 解得 x＞1.‎ ‎ ∴1＜x≤3. ……………………………3分 ‎ 当3＜x≤12时，‎ 设 y＝kx＋b.‎ 则解得 ‎∴ y＝－x＋20. ……………………………4分 当y＞5时，－x＋20＞5， ……………………………5分 解得 x＜9.‎ ‎∴ 3＜x＜9. ……………………………6分 ‎∴容器内的水量大于5升时，1＜x＜9 .‎ 解2： 当0≤x≤3时，y＝5x. ……………………………1分 ‎ 当y＝5时，有5＝5x，解得 x＝1.‎ ‎ ∵ y随x的增大而增大，‎ ‎ ∴当y＞5时，有x＞1. ……………………………2分 ‎ ∴ 1＜x≤3. ……………………………3分 当3＜x≤12时，‎ 设 y＝kx＋b.‎ 则解得 ‎∴ y＝－x＋20. ……………………………4分 ‎ 当y＝5时，5＝－x＋20.‎ ‎ 解得x＝9. ‎ ‎ ∵ y随x的增大而减小， ‎ ‎ ∴当y＞5时，有x＜9. ……………………………5分 ‎ ∴3＜x＜9. ……………………………6分 ‎∴容器内的水量大于5升时，1＜x＜9 .‎ ‎23．（本题满分6分）‎ ‎ 证明1：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FAD＝＝90°.‎ ‎ ∵DE⊥AG，∴∠AED＝90°.‎ ‎ ∴∠FAG＋∠EAD＝∠ADF＋∠EAD ‎ ∴∠FAG＝∠ADF. …………………1分 ‎ ∵AG＝DE＋HG，AG＝AH＋HG，‎ ‎ ∴ DE＝AH. ……………………………2分 ‎ 又AD＝AB，‎ ‎ ∴ △ADE≌△ABH. ……………………………3分 ‎ ∴ ∠AHB＝∠AED＝90°.‎ ‎ ∵∠ADC＝＝90°， ……………………………4分 ‎ ∴ ∠BAH＋∠ABH＝∠ADF＋∠CDE. ……………………………5分 ‎ ∴ ∠ABH＝∠CDE. ……………………………6分 ‎24．（本题满分6分）‎ 解： ∵ 直线y＝－x＋m＋n与y轴交于点C，‎ ‎ ∴ C（0，m＋n）.‎ ‎ ∵点B（p，q）在直线y＝－x＋m＋n上， ……………………………1分 ‎ ∴q＝－p＋m＋n. ……………………………2分 ‎ 又∵点A、B在双曲线y＝上，‎ ‎∴＝－p＋m＋.‎ 即p－m＝，‎ ‎∵点A、B是不同的点.‎ ‎∴ p－m≠0.∴ pm＝1. ……………………………3分 ‎∵ nm＝1，‎ ‎∴ p＝n，q＝m. ……………………………4分 ‎∵1＞0，∴在每一个象限内，‎ 反比例函数y＝的函数值y随自变量x的增大而减小.‎ ‎∴当m≥2时，0＜n≤. ……………………………5分 ‎∵S＝( p＋q) p ‎＝p2＋pq ‎＝n2＋ ‎ 又∵＞0，对称轴n＝0，‎ ‎∴当0＜n≤时，S随自变量n的增大而增大.‎ ‎ ＜S≤. ……………………………6分 ‎25．（本题满分6分）‎ ‎ 证明一：∵的长是，∴·60＝.∴ r＝. ……………………1分 ‎ 作BN⊥OA，垂足为N.‎ ‎ ∵四边形OABC是菱形，‎ ‎ ∴AB∥CO.‎ ‎∵∠O＝60°，‎ ‎∴∠BAN＝60°，∴∠ABN＝30°. ‎ 设NA＝x，则AB＝2x，∴ BN＝x. ……………………………2分 ‎∵M是OA的中点，且AB＝OA，‎ ‎∴ AM＝x. ……………………………3分 在Rt△BNM中，‎ ‎ (x)2＋(2x)2＝()2，‎ ‎ ∴ x＝1，∴BN＝. ……………………………4分 ‎ ∵ BC∥AO，‎ ‎ ∴ 点O到直线BC的距离d＝. ……………………………5分 ‎ ∴ d＝r.‎ ‎ ∴ 直线BC与⊙O相切. ……………………………6分 ‎ ‎ ‎ 证明二：∵的长是，∴·60＝. ∴ r＝. ……………………1分 ‎ 延长BC，作ON⊥BC，垂足为N.‎ ‎ ∵ 四边形OABC是菱形 ‎ ∴ BC∥AO，‎ ‎ ∴ ON⊥OA.‎ ‎ ∵∠AOC＝60°，‎ ‎ ∴∠NOC＝30°.‎ ‎ 设NC＝x，则OC＝2x， ∴ON＝x ……………………………2分 连接CM， ∵点M是OA的中点，OA＝OC，‎ ‎ ∴ OM＝x. ……………………………3分 ‎ ∴四边形MONC是平行四边形.‎ ‎ ∵ ON⊥BC，‎ ‎ ∴四边形MONC是矩形. ……………………………4分 ‎∴CM⊥BC. ∴ CM＝ON＝x.‎ 在Rt△BCM中，‎ ‎(x)2＋(2x)2＝()2，‎ 解得x＝1.‎ ‎∴ON＝CM＝. ……………………………5分 ‎∴ 直线BC与⊙O相切. ……………………………6分 ‎26．（本题满分11分） ‎ ‎（1）解： 不是 ……………………………1分 ‎ 解方程x2＋x－12＝0得，x1＝－4，x2＝3. ……………………………2分 ‎ ＋＝4＋3＝2×. ……………………………3分 ‎∵3.5不是整数， ‎ ‎∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”.…………………………4分 ‎ （2）解：存在 …………………………6分 ‎ ∵方程x2－6x－27＝0，x2＋6x－27＝0是“偶系二次方程”， ‎ ‎∴ 假设 c＝mb2＋n. …………………………8分 ‎ 当 b＝－6，c＝－27时，有 －27＝36m＋n. ‎ ‎∵x2＝0是“偶系二次方程”，‎ ‎∴n＝0，m＝－ . …………………………9分 即有c＝－ b2.‎ 又∵x2＋3x－＝0也是“偶系二次方程”，‎ 当b＝3时，c＝－ ×32＝－.‎ ‎ ∴可设c＝－ b2. …………………………10分 ‎ 对任意一个整数b，当c＝－ b2时，‎ ‎ ∵△＝b2－4c ‎ ＝4b2.‎ ‎ ∴ x＝ .‎ ‎∴ x1＝－b，x2＝b.‎ ‎ ∴ ＋＝＋＝2. ‎ ‎ ∵b是整数，∴对任意一个整数b，当c＝－ b2时，关于x的方程 x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”. …………………………11分