泉州市2015年中考数学卷

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泉州市2015年中考数学卷

‎2015年福建省泉州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共7小题,每小题3分,满分21分)‎ ‎1.(3分)(2015•泉州)﹣7的倒数是(  )‎ A. 7 B. ﹣7  C. D. ﹣‎ 解:﹣7的倒数是﹣,故选:D.‎ 点评: 本题考查了倒数,分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键.‎ ‎2.(3分)(2015•泉州)计算:(ab2)3=(  )‎ ‎  A. 3ab2 B. ab6 C. a3b6 D. a3b2‎ 解:(ab2)3=a3(b2)3=a3b6故选C ‎ ‎ ‎3.(3分)(2015•泉州)把不等式x+2≤0的解集在数轴上表示出来,则正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解:解不等式x+2≤0,得x≤﹣2.‎ 表示在数轴上为:.‎ 故选:D.‎ ‎4.(3分)(2015•泉州)甲、乙、丙、丁四人参加训练,近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒,方差如表 ‎ 选手 ‎ 甲 ‎ 乙 ‎ 丙 ‎ 丁 ‎ 方差(秒2)‎ ‎ 0.020‎ ‎ 0.019‎ ‎ 0.021‎ ‎ 0.022‎ 则这四人中发挥最稳定的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 甲 B.‎ 乙 C.‎ 丙 D.‎ 丁 解:∵0.019<0.020<0.021<0.022,∴乙的方差最小,‎ ‎∴这四人中乙发挥最稳定,故选:B.‎ ‎5.(3分)(2015•泉州)如图,△ABC沿着由点B到点E的方向,平移到△DEF,已知BC=5.EC=3,那么平移的距离为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ ‎3‎ C.‎ ‎5‎ D.‎ ‎7‎ 解:根据平移的性质,‎ 易得平移的距离=BE=5﹣3=2,‎ 故选A.‎ ‎6.(3分)(2015•泉州)已知△ABC中,AB=6,BC=4,那么边AC的长可能是下列哪个值(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎11‎ B.‎ ‎5‎ C.‎ ‎2‎ D.‎ ‎1‎ 解:根据三角形的三边关系,‎ ‎6﹣4<AC<6+4,‎ 即2<AC<10,‎ 符合条件的只有5,‎ 故选:B.‎ ‎7.(3分)(2015•泉州)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解:A、对于直线y=bx+a来说,由图象可以判断,a>0,b>0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,对称轴x=﹣<0,应在y轴的左侧,故不合题意,图形错误.‎ B、对于直线y=bx+a来说,由图象可以判断,a<0,b<0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,图象应开口向下,故不合题意,图形错误.‎ C、对于直线y=bx+a来说,由图象可以判断,a<0,b>0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,图象开口向下,对称轴y=﹣位于y轴的右侧,故符合题意,‎ D、对于直线y=bx+a来说,由图象可以判断,a>0,b>0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,图象开口向下,a<0,故不合题意,图形错误.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共10小题,每小题4分,满分40分)‎ ‎8.(4分)(2015•泉州)比较大小:4 > (填“>”或“<”)‎ 解:4=,‎ ‎>,‎ ‎∴4>,‎ 故答案为:>.‎ ‎9.(4分)(2015•泉州)因式分解:x2﹣49= (x+7)(x﹣7) .‎ 解:x2﹣49=(x﹣7)(x+7),‎ ‎10.(4分)(2015•泉州)声音在空气中每小时约传播1200千米,将1200用科学记数法表示为 1.2×103 .‎ 解:1200=1.2×103,‎ ‎ ‎ ‎11.(4分)(2015•泉州)如图,在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD= 30° °.‎ 解:∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠BAC=60°,‎ ‎∵AB=AC,AD⊥BC,‎ ‎∴∠BAD=∠BAC=30°,‎ 故答案为:30°.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2015•泉州)方程x2=2的解是 ± .‎ 解:x2=2,‎ x=±.‎ 故答案为±.‎ ‎13.(4分)(2015•泉州)计算:+= 2 .‎ 解:原式===2,‎ 故答案为:2‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2015•泉州)如图,AB和⊙O切于点B,AB=5,OB=3,则tanA=  .‎ 解:∵直线AB与⊙O相切于点B,‎ 则∠OBA=90°.‎ ‎∵AB=5,OB=3,‎ ‎∴tanA==.‎ 故答案为:‎ ‎15.(4分)(2015•泉州)方程组的解是  .‎ 解:,‎ ‎①+②得:3x=3,即x=1,‎ 把x=1代入①得:y=﹣3,‎ 则方程组的解为,‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2015•泉州)如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,点E在DC的延长线上.若∠A=50°,则∠BCE= 50° .‎ 解:∵四边形ABCD内接于⊙O,‎ ‎∴∠BCE=∠A=50°.‎ 故答案为50°.‎ ‎ ‎ ‎17.(4分)(2015•泉州)在以O为圆心3cm为半径的圆周上,依次有A、B、C三个点,若四边形OABC为菱形,则该菱形的边长等于 3 cm;弦AC所对的弧长等于 2π或4π cm.‎ 解:连接OB和AC交于点D,‎ ‎∵四边形OABC为菱形,‎ ‎∴OA=AB=BC=OC,‎ ‎∵⊙O半径为3cm,‎ ‎∴OA=OC=3cm,‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴△OAB为等边三角形,‎ ‎∴∠AOB=60°,‎ ‎∴∠AOC=120°,‎ ‎∴==2π,‎ ‎∴优弧==4π,‎ 故答案为3,2π或4π.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共9小题,满分89分)‎ ‎18.(9分)(2015•泉州)计算:|﹣4|+(2﹣π)0﹣8×4﹣1+÷.‎ 解:原式=4+1﹣2+3=6.‎ ‎19.(9分)(2015•泉州)先化简,再求值:(x﹣2)(x+2)+x2(x﹣1),其中x=﹣1.‎ 解:原式=x2﹣4+x3﹣x2=x3﹣4,‎ 当x=﹣1时,原式=﹣5.‎ ‎ ‎ ‎20.(9分)(2015•泉州)如图,在矩形ABCD中.点O在边AB上,∠AOC=∠BOD.求证:AO=OB.‎ 解:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠A=∠B=90°,AD=BC,‎ ‎∵∠AOC=∠BOD,‎ ‎∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC,‎ ‎∴∠AOD=∠BOC,‎ 在△AOD和△BOC中,‎ ‎,‎ ‎∴△AOD≌△BOC,‎ ‎∴AO=OB.‎ ‎ ‎ ‎21.(9分)(2015•泉州)为弘扬“东亚文化”,某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛,在安排1位女选手和3位男选手的出场顺序时,采用随机抽签方式.‎ ‎(1)请直接写出第一位出场是女选手的概率;‎ ‎(2)请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果,并求出他们都是男选手的概率.‎ 解:(1)P(第一位出场是女选手)=;‎ ‎(2)列表得:‎ 女 男 男 男 女 ‎﹣﹣﹣‎ ‎(男,女)‎ ‎(男,女)‎ ‎(男,女)‎ 男 ‎(女,男)‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎(男,男)‎ ‎(男,男)‎ 男 ‎(女,男)‎ ‎(男,男)‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎(男,男)‎ 男 ‎(女,男)‎ ‎(男,男)‎ ‎(男,男)‎ ‎﹣﹣﹣‎ 所有等可能的情况有12种,其中第一、二位出场都是男选手的情况有6种,‎ 则P(第一、二位出场都是男选手)==.‎ ‎ ‎ ‎22.(9分)(2015•泉州)清明期间,某校师生组成200个小组参加“保护环境,美化家园”植树活动.综合实际情况,校方要求每小组植树量为2至5棵,活动结束后,校方随机抽查了其中50个小组,根据他们的植树量绘制出如图所示的两幅不完整统计图.请根据图中提供的信息,解答下面的问题:‎ ‎(1)请把条形统计图补充完整,并算出扇形统计图中,植树量为“5棵树”的圆心角是 72 °.‎ ‎(2)请你帮学校估算此次活动共种多少棵树.‎ 解:(1)植树量为“5棵树”的圆心角是:360°×=72°,‎ 故答案是:72;‎ ‎(2)每个小组的植树棵树:(2×8+3×15+4×17+5×10)=(棵),‎ 则此次活动植树的总棵树是:×200=716(棵).‎ 答:此次活动约植树716棵.‎ ‎ ‎ ‎23.(9分)(2015•泉州)如图,在平面直角坐标系中,点A(,1)、B(2,0)、O(0,0),反比例函数y=图象经过点A.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)将△AOB绕点O逆时针旋转60°,得到△COD,其中点A与点C对应,试判断点D是否在该反比例函数的图象上?‎ 解:(1)∵函数y=的图象过点A(,1),‎ ‎∴k=xy=×1=;‎ ‎(2)∵B(2,0),‎ ‎∴OB=2,‎ ‎∵△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD,‎ ‎∴OD=OB=2,∠BOD=60°,‎ 如图,过点D作DE⊥x轴于点E,‎ DE=OE•sin60°=2×=,‎ OE=OD•cos60°=2×=1,‎ ‎∴D(1,),‎ 由(1)可知y=,‎ ‎∴当x=1时,y==,‎ ‎∴D(1,)在反比例函数y=的图象上.‎ ‎ ‎ ‎24.(9分)(2015•泉州)某校在基地参加社会实践话动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的而积最大?下面是两位学生争议的情境:‎ 请根据上面的信息,解决问题:‎ ‎(1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长;‎ ‎(2)请你判断谁的说法正确,为什么?‎ 解:(1)设AB=x米,可得BC=69+3﹣2x=72﹣2x;‎ ‎(2)小英说法正确;‎ 矩形面积S=x(72﹣2x)=﹣2(x﹣18)2+648,‎ ‎∵72﹣2x>0,‎ ‎∴x<36,‎ ‎∴0<x<36,‎ ‎∴当x=18时,S取最大值,‎ 此时x≠72﹣2x,‎ ‎∴面积最大的表示正方形.‎ ‎ ‎ ‎25.(13分)(2015•泉州)(1)如图1是某个多面体的表面展开图.‎ ‎①请你写出这个多面体的名称,并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点;‎ ‎②如果沿BC、GH将展开图剪成三块,恰好拼成一个矩形,那么△BMC应满足什么条件?(不必说理)‎ ‎(2)如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块,恰好拼成一个三角形,如图2,那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少?为什么?(注:以上剪拼中所有接缝均忽略不计)‎ 解:(1)①根据这个多面体的表面展开图,可得 这个多面体是直三棱柱,‎ 点A、M、D三个字母表示多面体的同一点.‎ ‎②△BMC应满足的条件是:‎ a、∠BMC=90°,且BM=DH,或CM=DH;‎ b、∠MBC=90°,且BM=DH,或BC=DH;‎ c、∠BCM=90°,且BC=DH,或CM=DH;‎ ‎(2)如图2,连接AB、BC、CA,,‎ ‎∵△DEF是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成,‎ ‎∴矩形ACKL、BIJC、AGHB为棱柱的三个侧面,‎ 且四边形DGAL、EIBH、FKCJ须拼成与底面△ABC全等的另一个底面的三角形,‎ ‎∴AC=LK,且AC=DL+FK,‎ ‎∴,‎ 同理,可得 ‎,‎ ‎∴△ABC∽△DEF,‎ ‎∴,‎ 即S△DEF=4S△ABC,‎ ‎∴,‎ 即该三棱柱的侧面积与表面积的比值是.‎ ‎ ‎ ‎26.(13分)(2015•泉州)阅读理解 抛物线y=x2上任意一点到点(0,1)的距离与到直线y=﹣1的距离相等,你可以利用这一性质解决问题.‎ 问题解决 如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与y轴交于C点,与函数y=x2的图象交于A,B两点,分别过A,B两点作直线y=﹣1的垂线,交于E,F两点.‎ ‎(1)写出点C的坐标,并说明∠ECF=90°;‎ ‎(2)在△PEF中,M为EF中点,P为动点.‎ ‎①求证:PE2+PF2=2(PM2+EM2);‎ ‎②已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1<PD<2,试求CP的取值范围.‎ 解:(1)当x=0时,y=k•0+1=1,‎ 则点C的坐标为(0,1).‎ 根据题意可得:AC=AE,‎ ‎∴∠AEC=∠ACE.‎ ‎∵AE⊥EF,CO⊥EF,‎ ‎∴AE∥CO,‎ ‎∴∠AEC=∠OCE,‎ ‎∴∠ACE=∠OCE.‎ 同理可得:∠OCF=∠BCF.‎ ‎∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°,‎ ‎∴2∠OCE+2∠OCF=180°,‎ ‎∴∠OCE+∠OCF=90°,即∠ECF=90°;‎ ‎(2)①过点P作PH⊥EF于H,‎ Ⅰ.若点H在线段EF上,如图2①.‎ ‎∵M为EF中点,‎ ‎∴EM=FM=EF.‎ 根据勾股定理可得:‎ PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2‎ ‎=2PH2+EH2+HF2﹣2(PH2+MH2)‎ ‎=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2‎ ‎=(EH+MH)(EH﹣MH)+(HF+MH)(HF﹣MH)‎ ‎=EM(EH+MH)+MF(HF﹣MH)‎ ‎=EM(EH+MH)+EM(HF﹣MH)‎ ‎=EM(EH+MH+HF﹣MH)‎ ‎=EM•EF=2EM2,‎ ‎∴PE2+PF2=2(PM2+EM2);‎ Ⅱ.若点H在线段EF的延长线(或反向延长线)上,如图2②.‎ 同理可得:PE2+PF2=2(PM2+EM2).‎ 综上所述:当点H在直线EF上时,都有PE2+PF2=2(PM2+EM2);‎ ‎②连接CD、PM,如图3.‎ ‎∵∠ECF=90°,‎ ‎∴▱CEDF是矩形,‎ ‎∵M是EF的中点,‎ ‎∴M是CD的中点,且MC=EM.‎ 由①中的结论可得:‎ 在△PEF中,有PE2+PF2=2(PM2+EM2),‎ 在△PCD中,有PC2+PD2=2(PM2+CM2).‎ ‎∵MC=EM,‎ ‎∴PC2+PD2=PE2+PF2.‎ ‎∵PE=PF=3,‎ ‎∴PC2+PD2=18.‎ ‎∵1<PD<2,‎ ‎∴1<PD2<4,‎ ‎∴1<18﹣PC2<4,‎ ‎∴14<PC2<17.‎ ‎∵PC>0,‎ ‎∴<PC<.‎ ‎ ‎
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