中考复习弧长和扇形面积公式知识精讲

中考复习弧长和扇形面积公式知识精讲

初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲 一. 本周教学内容：‎ ‎ 弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积 ‎ 教学目的 ‎ 1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。‎ ‎ 2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。‎ ‎ 3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。‎ ‎ 4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。‎ ‎ 教学重点和难点：‎ ‎ 教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算 难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程 ‎1. 圆周长：‎ ‎ 圆面积：‎ ‎2. 圆的面积C与半径R之间存在关系，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是。‎ ‎ n°的圆心角所对的弧长是 ‎ P120‎ ‎ *这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。‎ ‎ 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。‎ ‎ 发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。‎ ‎ 4. 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角为n°的扇形面积是：‎ ‎ （n也是1°的倍数，无单位）‎ ‎5. 圆锥的概念 ‎ 观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。‎ ‎ 如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。‎ ‎ 锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。‎ ‎ 母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P122‎ ‎ 6. 圆锥的性质 ‎ 由图可得 ‎ （1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；‎ ‎ （2）圆锥的母线长都相等 ‎ 7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 ‎ 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。‎ ‎ 圆锥侧面积是扇形面积。‎ ‎ ‎ 如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系：‎ ‎ ‎ ‎ 同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：‎ ‎ ‎ ‎ 圆锥的全面积为：‎ 圆柱侧面积：。‎ ‎ 例：在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为，那么⊙O的半径为___________cm。‎ ‎ 答案：120‎ ‎ 解：由弧长公式：得：‎ ‎ ‎ ‎ 例：若扇形的圆心角为120°，弧长为，则扇形半径为_____________，扇形面积为____________________。‎ ‎ 答案：15；25π ‎ 例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________。‎ ‎ 答案：90°‎ ‎ 例：已知扇形的周长为‎28cm，面积为‎49cm2，则它的半径为____________cm。‎ ‎ 答案：7‎ 例：两个同心圆被两条半径截得的，，又AC=12，求阴影部分面积。‎ ‎ 解：设OC=r，则OA=r+12，∠O=n°‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴OC=18，OA=OC+AC=30‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。‎ ‎ 解：∵正方形边长为a ‎ ∴，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴叶的总面积为 ‎ *也可看作四个半圆面积减去正方形面积 ‎ ‎ ‎ 例：已知AB、CD为⊙O的两条弦，如果AB=8，CD=6，的度数与的度数的和为180°，那么圆中的阴影部分的总面积为？‎ ‎ 解：将弓形CD旋转至B，使D、B重合 ‎ 如图，C点处于E点 ‎ 的度数为180°‎ ‎ ∴AE是⊙O的直径 ‎ ∴∠ABE=90°‎ ‎ 又∵AB=8，BE=CD=6‎ ‎ 由勾股定理 ‎ ∴半径 ‎ ‎ ‎ 例：在△AOB中，∠O=90°，OA=OB=‎4cm，以O为圆心，OA为半径画，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。‎ ‎ 解：∵OA=‎4cm，∠O=90°‎ ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 则阴影部分的面积为：‎ ‎ ‎ ‎ 例：①、②……是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……‎ ‎ （1）图①中3条弧的弧长的和为_________________‎ ‎ 图②中4条弧的弧长的和为_________________‎ ‎ （2）求图中n条弧的弧长的和（用n表示）‎ ‎ 解：（1）π，2π ‎ （2）解法1：‎ ‎ ∵n边形内角和为：（n－2）180°‎ ‎ 前n条弧的弧长的和为：个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长 ‎ ∴n条弧的弧长的和为：‎ ‎ 解法2：设各个扇形的圆心角依次为 ‎ 则 ‎ ∴n条弧长的和为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例：如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AC=‎6m，把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处，那么AC边扫过的图形（阴影部分）的面积为？‎ ‎ 分析：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 法一：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 法二：以B为圆心，BC为半径画弧 ‎ 交A'B于D，AB于D'‎ ‎ 有，‎ ‎ ‎ ‎ 例：如图，已知Rt△ABC的斜边AB=‎13cm，一条直角边AC=‎5cm，以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？‎ ‎ 解：‎ ‎ 以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：‎ ‎ ‎ ‎ 以直线AB为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为‎9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为______________。‎ ‎ 答案：6‎ ‎ 例：若圆锥的轴截面是一个边长为‎2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_______。‎ ‎ 答案：2π ‎ 例：已知圆锥的底面半径为‎40cm，母线长为‎90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______。‎ ‎ 答案：160°‎ ‎ 例：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是__________。‎ ‎ 答案：180°‎ ‎ 例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是‎80cm，母线长‎50cm。‎ ‎ （1）画出它的展开图；‎ ‎ （2）计算这个展开图的圆心角及面积。‎ ‎ 解：（1）烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图）‎ ‎ （2）设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为α，则l=‎50cm，‎ ‎ ‎ ‎ =288（度）‎ ‎ ‎ ‎ 例：一个圆锥的高是‎10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。‎ ‎ 解：设圆锥底面半径为r，圆锥母线长为l，扇形弧长（即半圆）为c，则由题意得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 在Rt△SOA中，‎ ‎ 由此求得 ‎ 故所求圆锥的侧面积为 ‎ 例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为‎3.5m，外围高‎4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？‎ ‎ 解：‎ ‎ ∵h1=4，∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：至少要平方米的毛毡。‎ ‎【模拟试题】‎ ‎［基础演练］‎ ‎ 1. 已知扇形的弧长为6πcm，圆心角为60°，则扇形的面积为____________。‎ ‎ 2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形弦长为a，则这个弓形的面积是__________。‎ ‎ 3. 如图，在平行四边形ABCD中，，，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于F，则图中阴影部分的面积为___________。‎ ‎ 4. 如图，AB是⊙O1的直径，AO1是⊙O2的直径，弦MN//AB，且MN与⊙O2相切于C点，若⊙O1的半径为2，则O1B、、CN、所围成的阴影部分的面积是_____________。‎ ‎ 5. 如图，△ABC为某一住宅区的平面示意图，其周长为‎800m，为了美化环境，计划在住宅区周围‎5m内，（虚线以内，△ABC之外）作绿化带，则此绿化带的面积为___________。‎ ‎ 6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的，，⊙O'与，都相切，则图中阴影部分的面积为____________。‎ ‎［综合测试］‎ ‎ 7. 如图，OA是⊙O的半径，AB是以OA为直径的⊙O’的弦，O’B的延长线交⊙O于点C，且OA=4，∠OAB=45°，则由，和线段BC所围成的图形面积是______。‎ ‎ 8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为‎30cm，贴纸部分BD长为‎20cm，贴纸部分的面积为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ 9. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 10. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么，B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）‎ ‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎ 11. （2004·湖北黄冈）如图，要在直径为‎50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？‎ ‎［探究升级］‎ ‎ 12. （2004·新疆）在相距‎40km的两个城镇A、B之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为‎10km，圆心恰好位于A、B连线的中点处，现要绕过湖泊从A城到B城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短。‎ ‎ （1）的路线：线段线段DB ‎ （2）的路线：线段线段FB（其中E、F为切点）‎ ‎[参考答案]‎ ‎ 1. 2. ‎ ‎ 3. 4. ‎ ‎ 5. 6. ‎ ‎ 7. ‎ ‎ 8. A 9. B 10. B ‎ 11. 截法如图所示 ‎ 根据圆的对称性可知：‎ ‎ O1，O3都在⊙O的直径AB上，设所截出的凳面的直径为r ‎ 则O1O2=r，O2O3=r，‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 12. 由题意可知图答（1）路径：‎ ‎ 图答（2）路径：如图连接OE、OF，连结CD ‎ 由题意可知A、C、D、B共线，且经过O点 ‎ ∵E为切点，∴OE⊥AE ‎ 在Rt△OAE中，AO=2EO ‎ ∴∠A=30°，∠AOE=60°‎ ‎ 同理∠BOF=60°‎ ‎ ‎ ‎ 同理 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由计算可知图（2）路线较短。‎