中考数学第一轮复习全套讲义精选二
学习特训营
中考数学高分专题
精讲精品讲义
、
第一高分专题 《数与式》
第一关：考点精讲
考点 1 有理数、实数的概念
【知识要点】
1、 实数的分类：有理数，无理数。
2、 实数和数轴上的点是___________对应的，每一个实数都可以用数轴上的________来表示，反过来，数轴上的点
都表示一个________。
3、 ______________________叫做无理数。一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，用根号形式表示的
数并不都是无理数（如 4 ），也不是所有的无理数都可以写成根号的形式（如 ）。
【典型考题】
1、 把下列各数填入相应的集合内：
51.0,25.0,,8,3
2,13
8,4,15,5.7 3
有理数集{ }，无理数集{ }
正实数集{ }
2、 在实数
27
1,27,64,12,0,2
3,4 3 中，共有_______个无理数
3、 在 4,45sin,3
2,14.3,3 中，无理数的个数是_______
4、 写出一个无理数________，使它与 2 的积是有理数
【复习指导】
解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解。无理数与有理数的根本区别在于能否用既约分数来表示。
考点 2 数轴、倒数、相反数、绝对值
【知识要点】
1、 若 0a ，则它的相反数是______，它的倒数是______。0 的相反数是________。
2、 一个正实数的绝对值是____________；一个负实数的绝对值是____________；0 的绝对值是__________。
)0____(
)0____(|| x
xx
3、 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与______的距离。
【典型考题】
1、___________的倒数是
2
11 ；0.28 的相反数是_________。
2、 如图 1，数轴上的点 M 所表示的数的相反数为_________
M
3、 0|2|)1( 2 nm ,则 nm 的值为________
4、 已知
2
1||,4|| yx ，且 0xy ，则
y
x 的值等于________
5、 实数 cba ,, 在数轴上对应点的位置如图 2 所示，下列式子中正确的有（ ）
① 0 cb ② caba ③ acbc ④ acab
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
6、 ①数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是______数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是________。
②数轴上表示 x 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是_______，如果|AB|=2,那么 ____________x
【复习指导】
1、 若 ba, 互为相反数，则 0 ba ；反之也成立。若 ba, 互为倒数，则 1ab ；反之也成立。
2、 关于绝对值的化简
（1） 绝对值的化简，应先判断绝对值符号内的数或式的值是正、负或 0，然后再根据定义把绝对值符号去掉。
（2） 已知 )0(|| aax ，求 x 时，要注意 ax
考点 3 平方根与算术平方根
【知识要点】
1、 若 )0(2 aax ，则 x 叫 a 做的_________，记作______；正数 a 的__________叫做算术平方根，0 的算术平方
根是____。当 0a 时， a 的算术平方根记作__________。
-1 0 1 2 3
图 1
-2 -1 0 1 2
a
图 2
3
bc
2、 非负数是指__________，常见的非负数有（1）绝对值 0___|| a ；（2）实数的平方 0___2a ；（3）算术平方根
)0(0___ aa 。
3、 如果 cba ,, 是实数，且满足 0|| 2 cba ，则有 __________,_____, cba
【典型考题】
1、下列说法中，正确的是（ ）
A.3 的平方根是 3 B.7 的算术平方根是 7
C. 15 的平方根是 15 D. 2 的算术平方根是 2
2、 9 的算术平方根是______
3、 3 8 等于_____
4、 03|2| yx ，则 ______xy
考点 4 近似数和科学计数法
【知识要点】
1、 精确位：四舍五入到哪一位。
2、 有效数字：从左起_______________到最后的所有数字。
3、 科学计数法：正数：_________________
负数：_________________
【典型考题】
1、 据生物学统计，一个健康的成年女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为 420 万个，用科学计算法可以表示为
___________
2、 由四舍五入得到的近似数 0.5600 的有效数字的个数是______，精确度是_______
3、 用小数表示： 5107 ＝_____________
考点 5 实数大小的比较
【知识要点】
1、 正数>0>负数；
2、 两个负数绝对值大的反而小；
3、 在数轴上，右边的数总大于左边的数；
4、 作差法：
.,0,00 babababababa 则；若则；若，则若
【典型考题】
1、 比较大小： 0_____21_____|3| ； 。
2、 应用计算器比较 5113 与 的大小是____________
3、 比较
4
1,3
1,2
1 的大小关系：__________________
4、 已知 2,,1,10 xxxxx ，那么在 中，最大的数是___________
考点 6 实数的运算
【知识要点】
1、 是正整数）；时，当 naaa n ______(_____0 0 。
2、 今年我市二月份某一天的最低温度为 C 5 ，最高气温为 C13 ，那么这一天的最高气温比最低气温高
___________
3、 如图 1，是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的值为-1 时，则输出的数值为____________
4、 计算
（1） |2
1|)32004(2
1)2( 02
（2） 30cos2)2
1()21( 10
考点 7 乘法公式与整式的运算
【知识要点】
输入 x 2 输出)3(
1、 判别同类项的标准，一是__________；二是________________。
2、 幂的运算法则：（以下的 nm, 是正整数）
_____)1( nm aa ； ____))(2( nma ； _____))(3( nab ； )0______()4( aaa nm ； ______))(5( n
a
b
3、 乘法公式：
________))()(1( baba ； ____________))(2( 2 ba ； _____________))(3( 2 ba
4、 去括号、添括号的法则是_________________
【典型考题】
1、下列计算正确的是（ ）
A. 532 xxx B. 632 xxx C. 623 )( xx D. 236 xxx
2、 下列不是同类项的是（ ）
A.
2
12与 B. nm 22 与 C. baba 22
4
1 与 D 2222
2
1 yxyx 与
3、 计算： )12)(12()12( 2 aaa
4、 计算： )()2( 42222 yxyx
考点 8 因式分解
【知识要点】
因式分解的方法：
1、 提公因式：
2、 公式法： ________2;__________ 2222 bababa
_______2 22 baba
【典型考题】
1、 分解因式 ______2 mnmn ， ______44 22 baba
2、 分解因式 ________12 x
考点 9：分式
【知识要点】
1、 分式的判别：（1）分子分母都是整式，（2）分母含有字母；
2、 分式的基本性质： )0(
mma
mb
ma
mb
a
b
3、 分式的值为 0 的条件：___________________
4、 分式有意义的条件：_____________________
5、 最简分式的判定：_____________________
6、 分式的运算：通分，约分
【典型考题】
1、 当 x_______时，分式
5
2
x
x 有意义
2、 当 x_______时，分式
2
42
x
x 的值为零
3、 下列分式是最简分式的是（ ）
A.
ab
aa 22 B.
a
xy
3
6 C.
1
12
x
x D
1
12
x
x
4、 下列各式是分式的是（ ）
A.
a
1 B.
3
a C.
2
1 D
6
5、 计算：
xx 1
1
1
1
6、 计算： 11
2
aa
a
考点 10 二次根式
【知识要点】
1、 二次根式：如 )0( aa
2、 二次根式的主要性质：
（1） )0_____()( 2 aa （2）
)0__(
)0__(
)0__(
||2
a
a
a
aa
（3） )0,0_______( baab （4） )0,0____( baa
b
3、 二次根式的乘除法
)0,0________( baba )0,0_______( ba
b
a
4、 分母有理化：
5、 最简二次根式：
6、 同类二次根式：化简到最简二次根式后，根号内的数或式子相同的二次根式
7、 二次根式有意义，根号内的式子必须大于或等于零
【典型考题】
1、下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. 12 B. x3 C. 32x D.
3
5
2、 下列根式与 8 是同类二次根式的是（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
3、 二次根式 43 x 有意义，则 x 的取值范围_________
4、 若 63 x ，则 x＝__________
5、 计算： 3322323
6、 计算： )0(45 22 aaa
7、 计算：
5
120
8、 数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简：
222 )()1()1( baba .
数与式考点分析及复习研究（答案）
考点 1 有理数、实数的概念
1、 有理数集{ 51.0,25.0,8,3
2,4,5.7 3 }
(第 8 题)
无理数集{ ,13
8,15 }
正实数集{ 51.0,25.0,,8,3
2,13
8,4,15 3 }
2、 2
3、 2
4、 答案不唯一。如（ 2 ）
考点 2 数轴、倒数、相反数、绝对值
1、
3
2 ， 28.0
2、 5.2
3、 1
4、 8
5、 C
6、 3 ，4 ； |1| x ， 13或
考点 3 平方根与算术平方根
1、 B
2、 3
3、 2
4、 6
考点 4 近似数和科学计数法
1、 个6102.4
2、 4，万分位
3、 0.00007
考点 5 实数大小的比较
1、< ， <
2、 3 115 3、
4
1
3
1
2
1
4、
x
1
考点 6 实数的运算
1、 C18
2、 1
3、 （1）解：原式＝4＋
2
1
2
1 （2）解：原式＝1＋2＋
2
32
＝4 ＝3＋ 3
考点 7 乘法公式与整式的运算
1、 C
2、 B
3、 )12)(12()12( 2 aaa
解：原式＝ ))12(12)(12( aaa
= )1212)(12( aaa
= )12(2 a
= 24 a
4、 )()2( 42222 yxyx
解：原式＝ )(4 4244 yxyx
＝ 24x
考点 8 因式分解
1、 2)2(),1( banmn
2、 )1)(1( xx
考点 9：分式
1、 5x
2、 2x
3、 D
4、 A
5、
xx 1
1
1
1
解：原式＝
)1)(1(
1
)1)(1(
1
xx
x
xx
x
＝
)1)(1(
11
xx
xx
＝
)1)(1(
2
xx
6、 11
2
aa
a
解：原式＝ )1(1
2
aa
a ＝
1
)1)(1(
1
2
a
aa
a
a ＝
1
)1( 22
a
aa ＝
1
1
a
考点 10 二次根式
1、 B
2、 A 3、
3
4x
4、 2
5、 3322323
解：原式＝ 3332223
＝ 322
6、 )0(45 22 aaa
解：原式＝ aa 25 ＝ a3
7、
5
120 ＝
5
52
5
14
8、 222 )()1()1( baba
解： abba ,1,1 0,01,01 baba
原式＝ )()1()1( baba ＝ baba 11 ＝ 2
●第二关：难题透视
例 1 根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是
000 110 010 111 001 111
A．100，011 B．011，100 C．011，101 D．101，110
【考点要求】本题考查以计算机语言为背景，用符号来表示数字的问题．利用符号来表示数字 0 和 1，要求能实现
符号与数字的相互转化．
【思路点拨】通过观察，不难发现两个并排的短横表示 0，而一条长横表示 1，所表示的数是从上往下看，因而表
格中的两个空格中所填的数这 011 和 100 ．
【答案】选 B．
【方法点拨】部分学生不能够读懂题意，无法做出正确选择，往往会随便猜出一个答案．突破方法：根据表格中所
提供的信息，找出规律，容易发现短横与长横所表示的不同意义．然后对照分析出两个安全空格中所应填写的数字．
解题关键：对题目中提供的信息要仔细观察分析，理解其表示的意义．
例 2 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按图 1-1 方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第n个
图形中需要黑色瓷砖 块（用含n的代数式表示）．
【考点要求】本题考查数形结合、整理信息，将图形转化为数据，猜想规律、探求结论．
【思路点拨】根据图形可得出以下数据：第 1 个图形，黑色瓷砖 4 块；第 2 个图形，黑色瓷砖 7 块；第 3 个图形，
黑色瓷砖 10 块……不难看出，每幅图形中的黑色瓷砖依次增加 3 块，如果把第一个图形中的黑色瓷砖表示为 1＋3，
则第 2 个图形中的黑色瓷砖可表示为 1＋3×2……所以第 n 个图形中的黑色瓷砖为 1+3n．
【答案】黑色瓷砖 10 块，第 n 个图形中的黑色瓷砖为 1+3n．
【方法点拨】部分学生缺乏一定的图形鉴别能力，不知如何分析．突破方法：抓住其中的黑色瓷砖数目的变化规律，
结合图形，观察其变化规律．
例 3 下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A.
632 xxx B.
222 nnn xxx
C.
923 4)2( xx D.
633 xxx
【考点要求】本题考查整式运算公式．
(第 8 题)
（2） （3）
……
图 1-1
【思路点拨】同底数幂的乘法法则是底数，不变指数相加，而除法可能转化为乘法进行，幂的乘方是底数不变，指
数相乘．A 项结果应等于 5x ，C 项结果应等于 64x ，而 D 项无法运算．
【答案】选 B．
【方法点拨】部分学生对幂运算公式掌握不够熟练，容易前生计算错误．突破方法：加强相关练习，熟悉乘法公式．
例 4 我国自行研制的“神舟 6 号飞船”载人飞船于 2005 年 10 月 12 日成功发射，并以每秒约 7.820185 公里的速度，
在距地面 343 公里的轨道上绕地球一圈只需 90 分钟，飞行距离约 42229000km．请将这一数字用科学记数法表示为
________km．(要求保留两位有效数字)．
【考点要求】本题考查了学生科学记数法以及有效数字的知识．
【思路点拨】用科学记数法表示绝对值较大的数时，关键是 10 的指数，可归纳为指数 n 等于原数整数部分的位数
减一．所以这一数字可表示为 4.2×107．
【答案】4.2×107．
【方法点拨】部分学生在用科学记数法表声学家较大或者较小的数时，对于 10 的指数容易弄错．突破方法：掌握
规律，记住幂的指数的确定方法．
解题关键：科学记数法 10na 中，a 是整数数位只有一位的数，10 的指数是由小数点移动的位数决定的，也可以简
单的记作用原数的数位减去 1 所得到的数值．
例 5 分解因式： 2 21 2a a b = ．
【考点要求】本题考查多项式的因式分解．
【思路点拨】本题是四项，应采用分组分解法，分组分解法主要有两种，一是二二分组，另一种是一三分组，本题
应采用一三分组法进行分解．原式
2 2 2 2(1 2 ) (1 )a a b a b (1 )(1 )a b a b ．
【答案】填 (1 )(1 )a b a b
【规律总结】部分学生含四项的多项式分解感到有一些困难．突破方法：在无法用提公因式或者直接运用公式进行
因式分解时，往往还会进行分组分解．
解题关键：分组分解一般是对含四项的多项式而言的，常见的有两种分组方法：二二分组，一三分组，有时还需要
对原式的各项进行必要的交换．
例 6 有一道题“先化简，再求值： 2 2
2 4 1( )2 4 4
x x
x x x
，其中 3x ．”小玲做题时把“ 3x ”错抄成
了“ 3x ”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
【考点要求】本题考查的是分式的化简求值，同时也考查了学生辨析正误的学习能力．
【思路点拨】把原式化简，可得
2
2 2
2
4 4 4 ( 4) 44
x x x x xx
．因为
2 2( 3) ( 3) ，所以无论是“ 3x ”
或“ 3x ”，代入化简后的式子中，所求得的值都是相等的．因而即使代错数值，结果仍然是正确的．
【方法点拨】部分学生不熟悉这种题型，因而不知如何下手，举棋不定．突破方法：平时要注意多加积累，熟悉各
种不同形式的问题，同时要能有一定创新思维，能应对新问题．
解题关键：解这类问题时，先按常规方法正确求解，再比较分析为什么会出现值代错了但结果正确的原因．
例 7 已知 , 4a b m ab ，化简 ( 2)( 2)a b 的结果是（ ）
A．6 B．2m－8 C．2m D．－2m
【考点要求】本题考查多项式的求值运算，不仅考查了学生整式乘法运算，同时还要求具备整体思想，这也是数学
解题中常用的一种技巧．
【思路点拨】原式按多项式乘法运算后为 2( ) 4ab a b ，再将 , 4a b m ab 代入，可得－2m．
【答案】选 D．
【方法点拨】部分学生想通过由已知条件求出 a、b 的值，然后再代入求值，一种情况是无法解得结果，另一种是
会用含 m 的式子表示 a、b，但解题过程较繁琐，且容易出错．突破方法：运用整体思想解题，能发现原式乘开后
可用含 a b 和 ab 的式子表示，再将已知条件代入即可．
解题关键：许多类似的求代数式值的问题，往往不是直接将字母的值代入，而是利用整体代入求值．
例 8 如图 1-2，时钟的钟面上标有 1，2，3…12 共计 12 个数，一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分
割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，
则其中的两个部分所包含的几个数分别是
【考点要求】本题考查对数字的观察及推理能力．
【思路点拨】钟面上的数字之和为 78，依题意，三部分之和相等，则每部分
之和只能为 78÷3=26，而图中钟面上的 1、2、11、12 之和已经为 26，所以所
画的这条线只能在图中这条直线的下方，即过 4 和 5，8 和 9 之间画直线．
【答案】3、4、9、10，5、6、7、8．
图 1-2
【误区警示】本题部分学生不知从何处入手，或者漫无目标的尝试去画，这样费时较多，而且容易达到目标．突破
方法：仔细阅读，认真分析，理清题意可减少尝试分割的次数．
例 9 我们把分子为 1 的分数叫做单位分数．如
1
2 ，
1
3 ，
1
4 …，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数
的和，如
1 1 1
2 3 6
，
1 1 1
3 4 12
，
1 1 1
4 5 20
，…
（1）根据对上述式子的观察，你会发现
1 1 1
5
，请写出□，○所表示的数；
（2）进一步思考，单位分数 n
1
（n 是不小于 2 的正整数）＝
1 1 ，请写出△，⊙所表示的式，并加以验证．
【考点要求】本题考查学生对新信息的理解与运用．
【思路点拨】通过对三组式子的观察，不难找出规律．等式右边的第一个分母是左边的分母加 1，第二个分母是前
两个分母的乘积，如果设左边的分母为 n，则右边第一个分母为（n＋1），第二个分母为 n（n＋1）．所以问题（1）
中，□表示的数为 6，○表示的数为 30；问题（2）中，△表示的式为 1n ，⊙表示的式为 )1( nn ．
验证： )1(
1
)1()1(
1
1
1
nnnn
n
nnn nnn
n 1
)1(
1
，所以上述结论成立．
【答案】（1）□表示的数为 6，○表示的数为 30；（2）△表示的式为 1n ，⊙表示的式为 )1( nn ．
【方法点拨】部分学生不能看出题目已知条件中所反映出的规律．突破方法：对比已知的三个式子，进行比较分析，
可以看出每个等式中的各个分子都是 1，而分母也特殊关系，得到这些信息后，完成解题不再困难．
解题关键：当题中有一组并列条件时，往往将它们放在一起进行观察、比较、分析，从中发现重要信息．
例 10 阅读下面的材料，回答问题：
点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为 AB ．当 A、B 两点中有一点在原点时，不妨
设点 A 在原点，如图 1-3， AB OB b a b ；当 A、B 两点都不在原点时：
（1）如图 1-4，点 A、B 都在原点的右边， AB OB OA b a b a a b ；
O（A）
0 b
B
图 1-3
O
0 b
B
图 1-4
a
A
（2）如图 1-5，点 A、B 都在原点的左边， ( )AB OB OA b a b a a b a b ；
（3）如图 1-6，点 A、B 在原点的两边， ( )AB OA OB a b a b a b a b ．
B
b a
A
图 1-5
O
0
b a
A
图 1-6
O
0
综上，数轴上 A、B 两点之间的距离 AB a b ．
回答下列问题：
（1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 ；数轴上表示－2 和－5 的两点之间的距离
是 ；数轴上表示 1 和－3 的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示 x 和－1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ．如果 2AB ，那么 x= ．
【考点要求】本题通过阅读材料，引出数轴上两点 A、B 的距离公式 AB a b ，再引出相关问题，考查学生阅
读材料，获取新的信息和结论，然后应用所得结论，解答新问题的能力．
【 思 路 点 拨 】 依 据 阅 读 材 料 ， 所 获 得 的 结 论 为 AB a b ， 结 合 各 问 题 分 别 代 入 求 解 ．（ 1 ）
2 5 3, 2 ( 5) 3, 1 ( 3) 4 ；（2） ( 1) 1AB x x ；因为 2AB ，所以 1 2x ，所以 1 2x
或 1 2x ．所以 1x 或 3x ．
【答案】（1）3，3，4；（2） 1x 或 3x ．
【误区警示】部分学生因为题目较长，阅读能力稍差的同学不易找出正确结论解题．突破方法：反复阅读材料，从
中获取重要结论，帮助解题．
●难点突破方法总结
实数是初中数学基础知识，中考试题中的实数问题各种题型都会涉及到，在解决实数问题时，要注意以下几点：
1.要准确掌握各个概念．概念是组成数学知识的基本元素．实数一章中的概念较多，基础性强，对后续学习影响大，
不少概念还含有运算性质．如相反数、倒数、绝对值、算术平方根、负整数指数幂、科学记数法等，所以必须要弄
清各个概念的区别或者联系，防止应考过程中出现混淆．
2.要熟练各种运算．明白各种运算法则和运算性质，要通过一定量的练习使实数的有关运算形成一定的运算技能．
3.在解答有关实数的选择题、填空题和计算题时，一般采用直接求解法．对于体现创新意识的探索规律型问题，可
采用图示、猜想、归纳、计算验证等各种方法．
整式和分式是代数中的重要内容，填空、选择题以基本概念为主，而解答题则以化简、求值为主．一般要注意如下
内容：
1.要准确理解和辨析单项式次数、系数、同类项，分式的通分和约分、最简分式等概念的内涵．特别要关注简单整
式和分式的运算．
2.运用公式或法则进行计算，首先要判断题目是否具备某一公式或者法则的结构特征，在此基础上正确选用公式或
法则进行计算．
3.灵活运用分式的基本性质、变号法则、因式分解、整体变换等解题技能进行分式的约分和通分运算．
4.充分关注数形结合思想、整体思想、分类讨论思想，在整式和分式变换求值中的应用．
5.此外，试题呈现的背景贴近生活，贴近社会，而不再是拘泥于抽象的纯数学问题，因而要求学生要学会观察、分
析、猜想、验证、表达等基本的解决辨别及解决问题的能力和策略．
B
第三关：五年真题剖析与规律总结
2009 年
1． 1
3
的相反数是（ D）
A．3 B． 1
3
C． 3 D． 1
3
3．今年 6 月，南宁市举行了第五届泛珠三角区域经贸合作洽谈会.据估算，本届大会合同投资总额达 2260 亿元.将
2260 用科学记数法表示为（结果保留 2 个有效数字）（ A ）
A． 32.3 10 B． 32.2 10 C． 32.26 10 D． 40.23 10
14．计算： 22a b a ． 3 2a b
18．正整数按图 8 的规律排列．请写出第 20 行，第 21 列的数字 ．420
20．先化简，再求值：
2
1 11 21 1 xx x
，其中 2x
2008 年
1． （2008 年•南宁市）6 的倒数是：
（A）
6
1 （B）
6
1 （C）6 （D）―6
答案：A
解析：本题考查倒数的概念，乘积是 1 的两个数互为倒数，故选 A。
2． （2008 年•南宁市）下列运算中，结果正确的是：
（A） aaa 33 （B） 422 aaa （C） 523 )( aa （D） 2aaa
答案：D
解析：本题考查幂的运算和整式的加减，A 是同底数幂数相除，底数不变，指数相减，应是 0a ，B 是合并同类
项，C 是幂的乘方，底数不变，指数相乘，应是 6a ，D 是同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故 D
正确。
9．（2008 年•南宁市）2008 年北京奥林匹克运动国家体育场“鸟巢”钢结构的材料，首次使用了我国科技人员自主
研制的强度为 460000000 帕的钢材，该数据用科学记数法表示为
帕
答案： 8106.4
解析：本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法是指把一个数写成 na 10 （其中 101 a ， n 是整数）
的形式，其中 10 的指数就是原数的整数位数减去 1 即可。
13．（2008 年•南宁市）因式分解： xx3
答案： )1)(1( xxx
解析：分解因式一般遵循“先看有无公因式，再看能否套公式，切记分解要彻底”的原则进行。本题可先提公
因式 x ，分解成 )1( 2 xx ，而 12 x 可利用平方差公式分解成 )1)(1( xx 。
2007 年
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
1 2 5 10 17 …
4 3 6 11 18 …
9 8 7 12 19 …
16 15 14 13 20 …
25 24 23 22 21 …
…… 图 8
1．写出一个小于 2 的数： ． 3 （答案不唯一）；
4．因式分解： 22 4 2x x ． 22( 1)x
11．实数 a b， 在数轴上的位置如图 5 所示，
则下列各式正确的是（ C ）
A． a b B． a b
C． a b D． a b
20．先化简，再求值：
2 2 3( 2 ) ( )( )a b ab b b a b a b ，其中 1 12a b ， ．
原式 2 2 2 22 ( )a ab b a b ········································································· 4 分
2 2 2 22a ab b a b ································································5 分
2ab ·······················································································6 分
将 1 12a b ， 代入上式得
原式 12 ( 1)2
···················································································7 分
1 ·········································································································8 分
2006 年
4．今年秋季，广西将有一百三十余万名义务教育阶段的贫困学生享受到国家免费教科书政策，预计免费教科书发
放总量为 1500 万册，发放总量用科学记数法记为 万册（保留 2 个有效数字）． 31.5 10
9．如图 3， A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O （ A
与O 点重合）．假设硬币的直径为 1 个单位长
度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点 A 恰
好与数轴上点 A重合，则点 A对
应的实数是 ．
2005 年
１． 2005 ．2005
２．因式分解： 2 4x ． ( 2)( 2)x x
３．按照广西高速公路网的规划，我区地方高速公路于 2030 年全部建成，建设里程为 5353
公里，总投资达 1542.7 亿元．用科学记数法表示总投资为 亿．
元．（保留两位有效数字）． 31.5 10
12．分式 1 1
a b
计算的结果是（ D ）
(A)b a (B) 1
a b (C) 2
a b (D) a b
ab
）
a b0
图 5
第二讲：方程与不等式
第一关：考点点睛
一元一次方程
考点一 方程解的应用
例 1（2009·芜湖）已知方程 3x 2x -9x+m=0 的一个根是 1，则 m 的值是 。
解题思路：根据方程解的定义，把方程的解 x=1 代入方程成立，然后解决关于 m 的方程即可，
解：把 x=1 代入原方程，得 3× 21 -9×1+m=0， 解得 m=6 答案：6
点评：解题依据是方程解的定义，解题方法是把方程的解代入原方程，转化为关于待定系数的方程。
考点二 巧解一元一次方程
例 2（2008·江苏）解方程： 3 4 1 1 384 3 2 4 2x x
解题思路：此题先用分配律简化方程，再解就容易了。
解：去括号，得 1 1 362 4 2x x 移项、合并同类项，得-x=6 1
4
， 系数化为 1，得 x=-6 1
4
点评：解一元一次方程，掌握步骤，注意观察特点，寻找解题技巧，灵活运用分配委或分数基本性质等，使方
程简化。
考点三 根据方程 ax=b 解的情况，求待定系数的值
例 3 已知关于 x 的方程 1 ( 6)3 2 6
x xa x 无解，则 a 的值是（ ）
A.1 B.-1 C.±1 D.不等于 1 的数
解题思路：需先化成最简形式，再根据无解的条件，列出 a 的等式或不等式，从而求出 a 的值。
解：去分母，得 2x+6a=3x-x+6， 即 0·x=6-6a
因为原方程无解，所以有 6-6a≠0， 即 a≠1， 答案：D
考点四 一元一次方程的应用
例 4（2009·福州）某班学生为希望工程共捐款 131 元，比每人平均 2 元还多 35 元，设这个班的学生有 x 人，
根据题意列方程为_________________。
解题思路：本题的相等关系是捐款总数相等，解决此题的关键是用学生人数、平均数与余数 35 元表示出捐款总
数（2x+35）元。答案：2x+35=131
二元一次方程
考点 1：二元一次方程及其解
例 1：下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C． 1
x
+4y=6 D．4x= 2
4
y
思路点拨：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数是 1；③等
式两边都是整式．所以选 D
例 2：二元一次方程 5a－11b=21 （ ）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解
思路点拨： 不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解．所以选 B
考点 2：二元一次方程组及其解
例 1：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．
2
2
84 2 3 11 9. . .2 3 7 5 4 6 2 4
x yx y a b xB C Dx y b c y x x y
思路点拨：二元一次方程组的三个必需条件：①含有两个未知数，②每个含未知数的项次数为 1；③每个方
程都是整式方程．所以选 A
例 2：已知│x－1│+（2y+1）2=0，且 2x－ky=4，则 k=_____．
思路点拨：由已知得 x－1=0，2y+1=0，
∴x=1，y=－ 1
2
，把
1
1
2
x
y
代入方程 2x－ky=4 中，2+ 1
2 k=4，∴k=1．
考点 3：二元一次方程组的应用
例 1 ：某校初三（2）班 40 名同学为“希望工程”捐款，共捐款 100 元．捐款情况如表：
捐款（元） 1 2 3 4
人数 6 7
表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．
若设捐款 2 元的有 x 名同学，捐款 3 元的有 y 名同学，根据题意，可得方程组（ ）
A.
6632
27
yx
yx
B.
10032
27
yx
yx
C.
6623
27
yx
yx
D.
10023
27
yx
yx
思路点拨：这是一道表格信息题，通过已知条件可发现两个等量关系：总人数为 40 人，总捐款金额 100 元．利
用表格信息可列方程组
6632
27
yx
yx ，故应选 A．
例 2 ：如图，点 O 在直线 AB 上，OC 为射线， 1 比 2 的 3 倍少 10 ，设 1 ， 2 的度数分别为 x , y ,那么
下列求出这两个角的度数的方程是（ ）
A.
10
180
yx
yx B.
103
180
yx
yx
C.
10
180
yx
yx D.
103
1803
yx
y
思路点拨：本题侧重考查学生的数形结合思想．已知条
件看似给了一个，其实还有一个隐含条件，即 1 与 2 互为邻补
角．利用它们可列方程组
103
180
yx
yx ，故应选 B．
分式方程
考点 1：分式的定义
例 1：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式
ｘ2 －4ｘｙ＋4ｙ2 ｘ2 －4ｙ2 ｘ－2ｙ
A．1 B. 2 C.3 D.4
思路点拨：分母中含字母的代数式，
xyx
1,2
都是分式，其他都不是。
注意：（1） 除外 ；(2)分式是形式定义，如
x
x 2
化简之后为 x，但
x
x 2
是分式。
答案：B
考点 2：分式成立的条件
例 1：写出一个含有字母 x 的分式（要求：不论 x 取任何实数，该分式都有意义） ． 2
1
1x
（答
案不惟一）
思路点拨：本题考查了分式成立的条件即分母不能为 0
例 2：分式
2x
x 成立的条件是
思路点拨：分式成立的条件是分母即 x-2≠0。答案：x≠2
考点 3：分式值为 0 的条件
例：若分式
1
2
2
x
x 的值为 0，则 x 的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. ±1 D.2
思路点拨：应同时具备两个条件:（1）分式的分子为零;（2）分式的分母不为零。答案：D
考点 4：分式的运算
例 1：已知 1 1 3x y
，则代数式 2 14 2
2
x xy y
x xy y
的值为
思路点拨：本类题主要考查分式的化简和代数式的值。在计算代数式的值时，一般先要求出其中字母的值再代
入计算，但有时字母的值不能求出或不好求出，可以利用整体代入的方法来计算。
C
A B1 2O
这类题目一般都是先化简后代数。甚至有的不用代数。
解： 2 2
x 1 2x 1)x 1 x 1 x 1
（
＝ x 1 2x ]x 1 (x+1)(x 1)
[ (x+1)(x 1)× ＝ 2(x 1) 2x ＝ 2 1x
∵当 x= 2008 或 x= 2008 时， 2x 的值均为 2008，
∴小明虽然把 x 值抄错，但结果也是正确的.
考点 5.分式方程的解法
例 1：解分式方程： 2 1 12 3 2 3
x
x x
解：方程两边同乘 (2 3)(2 3)x x ，得 2 (2 3) (2 3) (2 3)(2 3)x x x x x ,
化简，得 4 12x ,解得 3x ,检验： 3x 时 (2 3)(2 3) 0x x ， 3 是原分式方程的解．
例 2：解方程：
2
2
2( 1) 1 6 0x x
x x
．
答案：设 yx
x 1 则原方程可化为 2y2+y-6,解得
2
3
1 y ，y2=-2,即 21
x
x ，
2
31
x
x ，解得 1 2x ，
2
1
3x ．经检验， 1 2x ， 2
1
3x 是原方程的根．
思路点拨:解分式方程的基本思想是转化,即把分式方程转化为整式方程求解,具体步骤为“一去（去分母）、二
解（解整式方程）、三检验（检查求出的根是否是增根）”。转化的方法有两种:(1)方程两边同乘最简公分母;(2)换
元.要注意的是解分式方程必须要检验.
考点 6：分式方程的增根
例：当 m 时，关于 x 的分式方程 2 13
x m
x
无解
思路点拨：分式方程的增根是原分式方程去分母后转化为整式方程的根，它使得最简公分母为 0，所以原分式
方程无解或者说分式方程有增根答案：-6
一元二次方程
一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程
的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在 6－9 分左右。
考点 1：一元二次方程及其解法
例 1：方程 0232 xx 的解是（ ）
A． 11 x ， 22 x B． 11 x ， 22 x
C． 11 x ， 22 x D． 11 x ， 22 x
思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式
法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x－1）(x－2)=0,所以 x－1=0 或 x
－２=0，解得 x１=１，x２=２．故此题选Ａ．
例 2：若 2 2 0x x ，则
2
2 2
2 3
( ) 1 3
x x
x x
的值等于（ ）
A． 2 3
3 B． 3
3
C． 3 D． 3 或 3
3
思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知 x2－x=2,所以原式=
3
32
312
322
2
，选 A.
考点 2：一元二次方程的根与系数的关系
例 1：如果 21, xx 是方程 0122 xx 的两个根，那么 21 xx 的值为：
（A）－1 （B）2 （C） 21 （D） 21
思路点拨：本题考查一元二次方程 02 cbxax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是
a
b ， 两根之积
是
a
c ，易求出两根之和是 2。答案：B
例 2：设一元二次方程 2 7 3 0x x 的两个实数根分别为 1x 和 2x ，
则 1 2x x ，x1、·x2 ．
思路点拨：本体考查一元二次方程根与系数的关系，x1、x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则 x1、
+x2=
a
b ，x1、·x2=
a
c .要特别注意的是方程必须有实数根才能用这一结论，即△=b2－4ac≥0.
答案：7，3
考点 3：一元二次方程的应用
例 1：某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 55 元降到了 35 元．设平均每次降价的百分率为 x，则
下列方程中正确的是（ ）
A．55 (1+x)2=35 B．35(1+x)2=55
C．55 (1－x)2=35 D．35(1－x)2=55
思路点拨： 列一元二次方程解决实际问题是一个难点，但在中考试题中经常出现，所以我们要学好列方程解决
实际问题。则需要在这方面加大训练力度。列方程的全过程，其步骤如下：
1、弄清题意，正确理解，准确把握题目条件中的数量关系，必要时可用图表辅助分析；
2、用字母表示问题中的一个未知数；
3、将题设条件中的语句都“翻译”成含有“字母”的代数式；
4、寻找等量关系，列出方程.
因为增长率问题是“加”；下降率问题是“减”，所以本题正确的是 55 (1－x)2=35.所以本题选 C.
不等式及不等式组
不等式及不等式组，它是在学习方程的基础上进行学习的，不等式的性质和应用在中考中有着比较广泛的出现，
分值在 3-6 分左右，经常与一次函数相结合，考查最值问题或者方案设计。
考点 1：不等式及其性质
例 1：已知有理数 a b、 在数轴上对应的点如图 1 所示，则下列式子正确的是（ ）．
A． 0ab B． a b
C． 0a b D． 0a b
思路点拨：由图 1 可知：0
|a|，a+b<0。
因为（A）、（B）、（D）选项均不正确，故选C。
例 2：已知关于 x 的不等式 2＜ xa)1( 的解集为 x ＜
a1
2 ，则 a 的取值范围是（）．
A． a ＞0 B. a ＞1 C. a ＜0 D. a ＜1
思路点拨：对照两个不等式可以发现，已知不等式左、右两边经过变形后位置发生了改变（即２在原不等式的
左边，经过变形后在右边，含 x 的项在已知不等式的右边，经过变形后在左边），因此应先将 2＜ xa)1( 变形为
xa)1( ＞２，再根据不等式的性质确定 a 的取值范围．
··· ··
x
x
0 1ab 1
以一个数，要根据
分母中所含的小数来确定，原则上既要使分母化成整数，又要使所乘的数尽可能地小.
解：由不等式变形得 105)5.0(22
3515 xxx .
两边同乘以 2 得 2010)5.0(43515 xxx .
去括号、移项、合并同类项得 .53x
考点 3：解不等式组
例：解不等式组
– 3（x + 1）–（x – 3）＜8 ， ①
2x + 1
3 – 1 - x
2 ≤ 1 ②
A．x＜ – 2 B．– 2＜x≤2
7 C．– 2＜x≤1 D．x＜– 2 或 x≥1
思路点拨：先求出每个不等式的解集,再找出解集的公共部分即为不等式组的解集。不等式组的解集最终可化为
四种类型：①x>a；②x－2。
解不等式②，得 x≤1。
所以不等式组的解集为－2x2>x3 B．x1>x3>x2 C．x3>x2>x1 D．x3>x1
>x2
思路点拨：根据反比例函数的增减性，然后利用数形结合的思想画出符合条件的草图。
答案：选 C
例 2．在同一直角坐标平面内，如果直线 xky 1 与反比例函数的图象
x
ky 2 没有交点，
那么 1k 和 2k 的关系一定是（ ）
A 1k <0， 2k >0 B 1k >0， 2k <0C 1k 、 2k 同号 D 1k 、 2k 异号
思路点拨：根据两种函数的图象分布特点可以断定有没有交点只要判断比例系数的符号是不是一致，一定注意
不要漏解。
答案：选 D
例 3．A、C 是函数
xy 1 的图象上的任意两点，过 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，过 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，
O
y
x
A
B
C D
记 RtΔAOB 的面积为 S1，RtΔCOD 的面积为 S2 则（ ）
A． S1 ＞S2 B． S1 0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是 .
第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.
例 2：抛物线 y=－x2+（m－1）x+m 与 y 轴交于（0，3）点，（1）求出 m 的值并画出这条抛物线；（2）求它与
x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x 取什么值时，抛物线在 x 轴上方?（4）x 取什么值时，y 的值随 x 的增大而
减小？
思路点拨：由已知点（0，3）代入 y=－x2+（m－1）x+m 即可求得 m 的值，即可知道二次函数解析式，并可画
出图象，然后根据图象和二次函数性质可得（2）（3）（4）.
解：（1）由题意将（0，3）代入解析式可得 m=3，
∴ 抛物线为 y=－x2+2x+3.
图象（图 2）：
（2）令 y=0，则－x2+2x+3=0，得 x1=－1，x2=3；
∴ 抛物线与 x 轴的交点为（－1，0），（3，0）.
∵ y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，
∴ 抛物线顶点坐标为（1，4）；
（3）由图象可知：当－11 时，y 的值随 x 值的增大而减小.
考点 3：二次函数的应用
例 1：如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度
h （单位：米）与小球运动时间t （单位：秒）的函数关系式是
29.8 4.9h t t ，那么小球运动中的最大高度 h 最大 ．
随楼层数 x（楼）的
变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图 6 所示），则 6 楼房
子的价格为 元/平方米．
h
思路点拨：观察函数图像得：图像关于 x 4 对称，
当 x 2 y=2080 时， 元.因为 x=2 到对称轴的距离
与 x=6 到对称轴的距离相等。
所以，当 x 6 y=2080 时， 元.
第二关：难点攻克
例 1 反比例函数 ( 0)ky kx
的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数的图象上，则 n 的值是 ．
【考点要求】本题考查用反比例函数图象上的点确定其解析式，并会用解析式确定点的坐标．
【思路点拨】因为反比例函数的图象经过点（2，5），所以可将点（2，5）的坐标代入 ky x
，求 k 就可确定解
析式，再将点（1，n）代入解析式中求 n 的值．或直接根据反比例函数性质即图象上点的横、纵坐标之积为常数 k
来求 n，由题意得 2×5=1×n，所以 n=10．
【答案】填 10.
【方法点拨】由反比例函数解析式 ( 0)ky kx
经过变形，可以得到 xy k ，因为 k
是一个常数，所以在反比例函数图象上的所在的点的横、纵坐标的乘积是一个定值，根据
这个结论，很容易求出这类问题的结果．
例 2 如图 3-1，已知点 A 的坐标为（1，0），点 B 在直线 y x 上运动，当线段 AB 最
短时，点 B 的坐标为
A. (0，0) B. 1 1( , )2 2
C. 2 2( , )2 2
D. 1 1( , )2 2
【考点要求】本题考查一次函数、线段、直角三角形等知识，数形结合是重要的数学
方法之一．
当线段 AB 最短时 AB⊥BO，又由点 B 在直线 y x 上可知∠AOB=45°，且 OA=1，过点 B 作 x 轴的垂线，
根据等腰“三线合一”及直角三角形“斜边的中线等于斜边的一半”容易求得点 B 坐标为 1 1( , )2 2
，
【答案】选 B．
【误区警示】部分学生能找出 B 点运动到何处线段 AB 最短，但却无法求出具体坐标。突破方法：已知直线
BO 解析式，求点的坐标是根据两直线相交，再求出 AB 直线的解析式，利用方程组求出交点坐标。
解题关键：互相垂直的两直线解析式中，一次项系数互为倒数，据此再结合点 A 的坐标可求出直线 AB 的解析
式。
例 3 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于 5000 册时，投入的
成本与印数间的相应数据如下：
印数 x（册） 5000 8000 10000 15000 …
成绩 y（元） 28500 36000 41000 53500 …
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本 y（元）是印数 x（册）的一次函数．求这个一次函
数的解析式（不要求写出 x 的以值范围）；
（2）如果出版社投入成绩 48000 元，那么能印读物多少册？
【考点要求】本题考查一次函数解析式的确定及其应用．
【思路点拨】（1）设所求一次函数解析式为 y kx b ，则 5000 28500
8000 36000
k b
k b
，解得 5 , 160002k b ,所
以所求函数的关系式为 5 160002y x .
（2）因为 548000 160002 x ，所以 x=12800
【答案】能印该读物 12800 册．
【方法点拨】关键要从题目所给表格中的数据选择合适的一对值代入所设解析式，求出解析式。
例 4 若 M
1,2
1 y 、N
2,4
1 y 、P
3,2
1 y 三点都在函数
x
ky （ｋ＜0）的图象上，则 321 yyy 、、 的大小
关系为（ ）
A、 2y ＞ 3y ＞ 1y B、 2y ＞ 1y ＞ 3y C、 3y ＞ 1y ＞ 2y D、 3y ＞ 2y ＞ 1y
图 3-1
【考点要求】本题考查反比例函数的性质及用函数图象比较函数值大小．
【思路点拨】反比例函数 ky x
当 k＜0 时，其图象位于二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，结
合图象可知， 2y ＞ 1y ＞ 3y ，
【答案】选 B．
【误区警示】部分学生不能正确理解反比例函数图象的性质，容易错误的理解成“当 k＜0 时，图象位于二、
四象限，y 随 x 的增大而增大”。突破方法：不单纯的根据性质进行判断，而是画出图象，结合草图进行判断。
解题关键：反比例函数图象及性质在描述时，因为是双曲线，所以一定要说明“在每一象限内”这一前提。
例 5 一次函数 y kx k 与反比例函数 ky x
在同一直角坐标系内的大致图象是
A B C D
【考点要求】本题考查一次函数与反比例函数在同一坐标系内图象的判定．
【思路点拨】可假定一次函数 y kx k 图象正确，逐一判断出 k 的取值范围，再结合反比例函数及一次函数
的图象看是否会出现矛盾，若出现矛盾则该选项错误，
【答案】选 A．
【方法点拨】少数学生因未能掌握这类问题的解法以致举棋不定，无从下手。突破方法：所有这类判断图象可
能性的问题的解法相近，关键就是以每一个选项中的某个图象所反映的字母系数符号判断出来，然后再看与另一个
图象是否相符。
例 6 已知抛物线 2y x bx c 的部分图象如图 3-2 所示，若 y＜0，则 x 的取值范围是
A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3
C．x＜－1 或 x＞4 D．x＜－1 或 x＞3
【考点要求】本题考查利用二次函数图象解不等式．
【思路点拨】抛物线 2y x bx c 的图象上，当 y=0 时，对应的是抛物线与 x 轴的交
点，坐标分别为（－1，0）、（3，0）．当 y＜0 时所对应的是 x 轴下方的部分，对应的 x 在－
1 与 3 之间，所以 x 的取值范围是－1＜x＜3 ，
【答案】选 B．
【方法点拨】本题解题关键在于正确理解 y＜0 在图象上反映出来的是对应 x 轴下面的
部分，而这一段图象对所应的自变量的取值范围是－1 至 3，其中 3 根据抛物线的对称轴以
及抛物线与 x 轴左边的交点坐标来确定的。
例 7 在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数 2y x bx c 的图象与 x 轴的负半
轴相交于点 C，如图 3-3，点 C 的坐标为（0，－3），且 BO＝CO
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 设这个二次函数的图象的顶点为 M，求 AM 的长.
【考点要求】本题考查二次函数解析式的确定。
【思路点拨】由题目条件，可用待定系数法求解析式
（1） (0, 3), | 3| 3, 3C OC c ，
OC BO又 ， 3, (3,0)BO B ，
9 3 3 0,6 3 0, 2b b b 。
2 2 3y x x 。
（2） 2 1, (1) 1 2 3 4, ( 1,0), (1, 4)2 2
b f A Ma
，
2 22 4 2 5AM .
【答案】（1） 2 2 3y x x ；（2） 2 5AM 。
【方法点拨】部分学生因为题目中没有直接给出两个点的坐标，因此在求待定系数时遇到困难。突破方法：由
BO＝CO 且点 C 的坐标为（0，－3）可推知点 B 的坐标为（3，0），然后代入求解。
例 8 小明在银行存入一笔零花钱，已知这种储蓄的年利率为 n%．若设到期后的本息和（本金+利息）为 y(元)，
y
x1O－1
F
图 3-2
图 3-3
存入的时间为 x（年），那么（1）下列那个图像更能反映 y 与 x 之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是多
少元？一年后的本息和是多少元？
（2）根据（1）的图象，求出 y 于 x 的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围），并求出两年后的本息和．
【考点要求】本题考查用函数图象表示实际生活问题及根据图象求解析式．
【思路点拨】（1）图乙反映 y 与 x 之间的函数关系从图中可以看出存入的本金是 100 元一年后的本息和是 102.25
元
（2）设 y 与 x 的关系式为：y=100 n%x+100
把（1，102.25）代入上式，得 n=2.25
∴y=2.25x+100
当 x=2 时，y=2.25×2+100=104.5(元)
【答案】（1）图乙，存入的本金是 100 元，一年后的本息和是 102.25 元。（2）两年后的和是 104.5 元。
【方法点拨】在选择图象时，应抓住起始钱数为 100 元，然后随着时间推移逐步增加，到 1 年时总钱数变为 102.25
元。确定好图象后，根据图象中的数据，利用待定系数法，容易求一次函数解析式。
例 9 一次函数 y=x+b 与反比例函数
x
ky 3 图像的交点为 A(m，n)，且 m，n(m1,解决此类问题关键要
做做看,把所要求的量一点点的表示出来,再通过计算,最后做出判断.
答案：A
考点 3：解直角三角形
例 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠CAB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，tanB=
2
1 ，则 CD∶DB=
思路点拨：此题考查解直角三角形的有关知识, Rt△ABC 中，∠CAB=90°，tanB=
2
1 ，若设 AC=x,则 AB=2,BC= 5 ,
过点 D 作 DE⊥AB 于 E,因为 AD 是∠CAB 的平分线，所以 DE=AE,设 DE=a,则,AE=a,BE=2a,DB= 5 b 所以 3a=2x.,解得
x= 3
2
a,所以 CB= 3 5
2 a ,CD= 3 5
2 a － 5 a= 5
2 a .则 CD∶DB= 5
2 a : 5a =1:2.
答案：1∶2
例 2：在Ｒt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝900,∠Ａ＝300,Ｅ为ＡＢ上一点且ＡＥ：ＥＢ＝4：1 ，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，连结
ＦＢ，则 tan∠CFB 的值等于（ ）
3 2 3 5 3A 5 33 3 3
、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
思路点拨：解决此类问题关键在于用一个未知数表示出两个相关的量,通过相
比约去公共的未知数设：AE=4x，BE=x，则 AB=5x，BC=2．5xEF=2x，AF= x32 ，
BE
AE
FC
AF ，FC= X2
3 ，
tan∠CFB=
3
35
FC
BC 答案：C
四边形
平行四边形是初中数学重要内容之一，有关平行四边形的题目在中考中也备受青睐，综观
近几年中考试题，围绕四边形内容设计了一些新颖别致的考题，特别是开放题特别多，形式比
较多样，分值一般在 6-9 分左右。
考点 1：平行四边形的性质与判定
例 1：如图 1，□ABCD 中， E 、 F 分别为 BC 、 AD 边上的点，要使 BF DE ，需添加一
个条件： ．
思路点拨：本题考查平行四边形的判定条件。平行四边形的判定方法主要有以下几
种：1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 2：两组对边分别相等的四边形是
平行四边形． 3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．4：对角线互相平分的四
边
思路点拨：根据平行四边形的性质：对边平行且相等可以得出 AB=CD=6,AD=BC=8 根据等角对等边可以知道
CE=CD=6，所以 BE=2，答案:A
考点 2：特殊四边形的性质与判别
例 1：如图 5，四边形 ABCD 是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 ．
思路点拨：本题考查同学们对平行四边形的性质和矩形条件的掌握。可以添加对角线相等或者有一个角是直角。
答案：答案不唯一，如 AC=BD，∠BAD=90o 等
例 2：如图 6，点 E 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上 的 任 意 一 点 ， 连 结
AE CE、 ． 请 找 出 图 中 一 对 全 等 三 角 形 为 ___________．
A
B
C
图 2
A
B CE
DF
图 1
Ｄ Ｃ
Ｅ
Ａ Ｂ
图 6
（用含自然数 n 的式子表示）．
图 7
思路点拨：本题考查正方形中的探索规律问题，由题意知，点 P 运动一周路程为 4，点 P 从 A 点出发，当运动
的路程是 2008 时，点 P 恰好回到点 A，所以当运动路程为 2009 时，点 P 所在位置是点 B，点 P 从点 A 运动到点 D
运动的路程是 3，当运动 n 圈后，点 P 走的路程为 4n＋3，故填点 B；4n＋3．
答案：4n＋3
考点 3：梯形的性质与判别
例 1：如图 11，在四边形 ABCD 中，已知 AB 不平行 CD，∠ABD＝∠ACD，请你添
加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出 AD∥BC 且 AB＝CD.
答案：C
圆
圆是中考的必考内容，也是创新意识培养的好素材.题型多样，有选择、填空，解答题，分值一般在 10 分左右.
你看在 2009 年的中考试题中，就涌现大量的与圆有关的创新型问题！
考点 1：圆及有关的线段和角
例 1：如图，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 是小正方形顶点，⊙O 的半径为 1，P 是
⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案：B
例 2：如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为（ ）
A．5 米 B．8 米 C．7 米 D．5 3 米
思路点拨：本题考查垂径定理及勾股定理的有关知识，设该弧所在圆的圆心为 O，则点 D 一定在半径 OC 上，
∵CD⊥AB，由垂径定理得 AD= 1
2 AB=12，在 Rt△ADO 中，OA=13，∴OD=5，∴CD=13－5=8．
考点 2：与圆有关的位置关系
例 1：如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， 90C ∠ ，且 AB AD BC ， AB 是⊙O 的直径，则直
线CD 与⊙O 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
思路点拨：本题难度较大，要判断直线与圆的位置关系，需将其转化为圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 之间
的大小关系.
解：图中圆心 O 到直线CD 的距离即为梯形 ABCD 中位线的长，即 d= )(2
1 BCAD ，而 AB AD BC ，于
是 d＜ AB2
1 ，即 d＜r，故直线 CD 与⊙O 相交.所以选 C.
例 2：如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠AOD=30°，半径为 1cm 的⊙P 的圆心在射线 OA 上，且与点 O 的距
离为 6cm．如果⊙P 以 1cm/s 的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P 与直线 CD 相切．
Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．4 或 6 Ｄ．4 或 8
思路点拨：本题是一道设计比较新颖的题目，要判断几秒种后⊙P 与
直线 CD 相切，则需要计算出当 P 与直线 CD 相切时，圆心 P 移动的距离，
如图，在移动的过程中，P 与直线 CD 相切有两种情况，如图，当圆心运
动到 P1、P2 的位置时与直线 CD 相切，只要求到 PP1，PP2 长度即可.
解：当圆心移动到 P1、P2 的位置时，设 P1 与直线 CD 切于 E 点，则
P1E=1，因为∠POD=30°，所以 OP1=2，所以 PP1=6-2=4，同样可求 PP2=8cm，
所以经过 4 秒或 8 秒钟后⊙P 与直线 CD 相切.故选 D.
例 3：右图是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是( )
A 外离 B 相交 C 外切 D 内切
思路点拨：观察图形知，两个圆只有一个交点，且一个圆上的点都在另一个圆的外部，所以它们的位置关系是
外切.答案选 C
AD
C B
O
案 B.
例 2：如图，扇形 AOB 的圆心角为 60 ，半径为 6cm ，C ， D 是 AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和
是_______．
思路点拨：依题意C ，D 是 AB 的三等分点可知把扇形分成三等分，结合图形可以看出阴影部分的面积其实就
是扇形面的三分之一，运用扇形面积公式即可解决.答案： 22 cm
考点 4：圆锥的面积
处有一老鼠正在偷
吃粮食．小猫从 B 处沿圆锥的表面去偷袭这只老鼠，则小猫所经过的最短路程是______．（结果不取近似数）
思路点拨：因为小猫从 B 处沿圆锥的表面去偷袭这只老鼠，故将此圆锥展开得到一个扇形，利用圆锥的底面周
长等于扇形的弧长可得 66 180
n ，解之得 n=1800，又老鼠母线 AC 的中点 P 处，故展开后的∠BAP＝900，再利
用 两 点 之 间 ， 线 段 最 短 可 得 小 猫 所 经 过 的 最 短 路 程 是 线 段 BP 的 长 ， 利 用 勾 股 定 理 计 算 得
2 26 3 45 3 5BP .
第二关：难点攻克
●线段、角与三角形
例 1 下列说法中，正确的是（ ）
A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线
B． P 是直线 l 外一点， A ， B ，C 分别是l 上的三点，已知 1PA ， 2PB ， 3PC ，则点 P 到 l 的距离
一定是 1
C．相等的角是对顶角
D．钝角的补角一定是锐角
【考点要求】本题考查对线与角的基本概念的掌握。
【思路点拨】四个选择支分别给出了四个不同说法，需要用角平分线、点到直线的距离、对顶角和钝角、锐角、
补角的有关概念做出判断．
Ａ
Ｃ
Ｄ
ＢＯ
一条射线把一个角分成两个角，这两个角不一定相等，A 错； PA 不一定是点 P 到l 的距离，所以 B 错；相等
的角也不一定是对顶角，故 C 也错．
【答案】选 D．
【方法点拨】部分学生没有充分题解距离的意义，容易错误认地为 B 是正确答案。突破方法：结合图形进行判
断，线段 PA 虽然是最短的，但不一定与直线l 垂直，因此不可称作距离。
解题关键：正确理解直线外一点到直线的距离是过这点所作直线的垂线段的长度。
例 2 如图 5-1，AB、CD、EF 相交于 O，AB⊥CD，OG 平分∠AOE，∠FOD=28°，
则∠AOG 的度数为（ ）
A．56° B．59° C．60° D．62°
【解析】本题考查通过相交线、垂线、角平分线的组合图形来检查同学们观察、分析
图形的能力．
因为∠FOD 与∠COE 是对顶角，所以∠COE=28°，又 AB⊥CD，所以∠COE＋∠
EOB=90°，故∠EOB=62°.由＋∠AOE=180°，有∠AOE=118°.因为 OG 平分∠AOE，
所以∠AOG=59°．
【答案】选 B。
本题的突破方法：要抓住 OG 平分∠AOE，所以要求∠AOG 的度数，
只要能求出∠AOE 的度数即可。
例 3 如图 5-2，已知 BC=CD=DE=EA,∠A=20°,那么∠B 的度数是
度。
【考点要求】本题考查等腰三角形基本性质及等边三角形的判定等知
识的运用。
【思路点拨】根据等边对等角及三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角的和可依次求得∠EDA=20°，∠DEC=40°，∠DCE=40°，∠BDC=60°，又 BC=CD，所以△BCD 是等边三角形。
【答案】∠B 的度数是 60 度。
【方法点拨】部分学生在第二次使用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求∠BDC 时，容易
出现错误求得∠BDC=80 度。突破方法：看清每一个外角是哪个三角形的外角。∠BDC 是△ACD 的外角，所以与
其不相邻的两个内角分别等于 20 度、40 度。
例 4 如图 5-3，△ADF 和△BCE 中，∠A=∠B，点 D、E、F、C 在同—直线上，有如下三个关系式：① AD=BC；
② DE=CF；③BE∥AF。
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形
式，如：如果 、 ，那么 ）
（2）选择（1）中你写出的—个命题，说明它正确的理由．
【考点要求】本题考查的是全全等三角形的判定与性质的应用。
【思路点拨】这是一种开放性的问题，不拘于某种固定的答案，其特点
是灵活性较强，能较好地考查学生的思维组织及对知识的灵活运用程度。（1）
如果①，③，那么②；如果②，③，那么①；（2）可根据角角边、角边角进
行证明。
【答案】如果①，③，那么②；证明略。
【方法点拨】部分学生对三角形全等的判定方法掌握不够到位，会错写成“如果①，②，那么③”的形式。突
破方法：在证明三角形全等问题时，要尽量避开出现“边边角”条件的情况。
例 5 我们来探究 “雪花曲线”的有关问题：图 5-4 中的图（1）是边长为 1 的正三角形，将此正三角形的每条
边三等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其两腰代替底边,得到第二个图形如图 5-4 中的图（2）；
再将图 5-4 中的图（2）的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如图 5-4 中的图（3）；如此继续下去，
得到的第五个图形的周长应等于（ ）
A．3 B．
27
256 C． 243
16
D．1024
81
【考点要求】本题是一道和三角形的周长有关的探索型问题．
【思路点拨】从图形我们可以观察到从第一个图形开始，每进行一次操
作，所得到的图形的周长是原来图形周长的
3
4 倍，所以第二个图形的周长为
433
4 ； 第 三 个 图 形 的 周 长 为
3
1643
4 ； 第 四 个 图 形 的 面 积 为
9
64
3
16
3
4 ；第五个图形的面积为
27
256
9
64
3
4 ．
【答案】选 B．
图 5-1
（1） （2） （3）
图 5-4
E
D
C
B
A
图 5-2
F
E
C
B
D
A
图 5-3
【方法点拨】部分学生无法找出其中的变化规律，想通过逐个计算的方法求解，此方法较为繁杂从而导致计算
错误。突破方法：从前一个三角形到后一个三角的每边长发生的变化进行分析，找出变化规律，而整个周长的变化
也具有相同规律。
解题关键：本题作为规律探索题，可用公式表示结果，如第 n 个图形的周长应等于
1
1
2
4 43 ( )3 3
n
n
n
。
例 6 已知：如图 5-6，圆 O 是△ABC 的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 CD 上，
E、F 分别是边 AC 和 BC 的中点，求证：四边形 CEDF 是菱形.
【考点要求】本题综合考查了三角形、四边形及圆的有关知识。
AB CD AB CD 为弦， 为直径所在的直线且 ， AD BD ，
CD CD又 ， CAD CBD ， A B AC BC ，
E F AC BC D AB又 ， 分别为 ， 的中点， 为 中点 ，
1 1
2 2DF CE AE DE CF BC ， ， DE DF CE CF ，
CEDF四边形 为菱形 。
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】部分学生容易根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明 CE=DE，CF=BF，但却不知
怎么证明这四条边相等。突破方法：先要设法证明△ABC 是等腰三角形。
解题关键：本题在等 AC=BC 时，除了用全等，也可根据圆中的垂径定理进行证明。
例 7 一架长 5 米的梯子 AB ，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底 3 米．如果梯子的顶端沿墙下滑 1 米，
梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动 1 米吗？用所学知识，论证你的结论．
【考点要求】本题考查勾股定理的应用．
【思路点拨】是的．
证明 1：
在 Rt ACB△ 中， 2 23 5 4BC AB AC AB BC ， ， 米．
4 1 3DC 米．
在 Rt DCE△ 中， 2 23 5 4DC DE CE DE DC ， ， 米．
1BE CE CB ．即梯子底端也滑动了 1 米．
证明 2：
在 Rt ACB△ 中， 2 23 5 4BC AB AC AB BC ， ， 米．
4 1 3DC 米．
可证 Rt RtECD ACB△ ≌ △ ．
所以 4CE AC 米．
1BE CE CB ．即梯子底端也滑动了 1 米．
梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动 1 米。
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】本题突破方法主要就是利用勾股定理进行证明，但要注意的是这一结论并不是对所有情形都成立，
多数情况下梯子在竖直和水平方向上的滑动距离并不相等，关键要看相关的数据。
例 8 如图 5-7，已知在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 E，交 BC 于点 F.
求证：BF=2CF．
【考点要求】本题考查线段的垂直平分线的有关知识。
【思路点拨】本题解题关键是辅助线的添加，连结 EF 可求解．
因为 EF 是 AC 的垂直平分线，所以 AF=FC。
因为 AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，所以∠
BAF=90°，所以 AF= 1
2
BF，即 BF=2AF．
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】部分学生没有添加辅助线，因而无法将 CF 进行转化，证明不到 BF 与 CF 的关系。突破方法：在
同一直线上的的线段倍数关系证明，应设法转化到同一个三角形中，根据特殊角
的相关性质加以证明。
解题关键：利用垂直平分线的性质，作出辅助线 AF，将 CF 转化为 AF，再进
行证明。
例 9 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的
证明方法．如 5-8，火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到 AB C D 的位置，连结CC ，
图 5-7
aD
A
B
A
D
C
A
A B
C
bc
图 5-8
E
F
D
B
A
O
C
图 5-6
设 , ,AB a BC b AC c ，请利用四边形 BCC D 的面积证明勾股定理： 2 2 2a b c ．
【考点要求】本题考查勾股定理的证明，试题贴近生活，设计新颖，操作简单，有利于培养学生的动手能力．
【思路点拨】因为四边形 BCC D 为直角梯形，
所以
21 ( )( )2 2BCC D
a bS BC C D BD
梯形
而 Rt ABC△ ≌ Rt AB C △ ，所以 BAC BAC
所以 90CAC CAB B AC CAB BAC
所以 ABC CAC D ACBCC DS S S S △ △ △梯形 +
2
21 1 1 2
2 2 2 2
c abab c ab ，所以
2 2( ) 2
2 2
a b c ab 即 2 2 2a b c ．
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】部分学生因未能将四边形 BCC D 的面积分割成恰当的图形，从而无从证明。突破方法：可将四
边形 BCC D 分为三个三角形，分别计算面积，而四边形 BCC D 本身又是一个直角梯形，也可整体求出其面积，
从而建立相等关系。
● 难点突破方法总结
在本部分试题中，出现较多容易混淆的概念和性质，如直线、射线、线段；对顶角、邻补角；平角与直线；平
行线折判定与性质；垂线与垂线段的作图等。在应考时可利用“比较 ”的思想方法，弄清它们的联系与区别，以
防作出错误推断。此外，还有以下几点需要注意。
1.掌握角平分线的性质和垂直平分线性质，能灵活运用它们解决实际问题。
2.掌握三角形有关的性质、判定与解题方法，如倍长中线法、构造全等三角形法，截长补短法等是应考的前提。
3.加强对探索题、动点问题、创新题的训练与研究，并不断归纳总结方法，逐步形成数学能力。
3.掌握三角形证明题的解题思路和方法，如分解图形法，构造图形法，分析法，综合法，以及数形结合法等。
4.注重知识的归纳总结，并逐步形成一个相对完整的体系，以便于求解综合题、创新题和开放题。
●四边形
例 1 若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_______.
【考点要求】本题考查多边形内角公式与外角知识。
【思路点拨】设此凸多边形的边数为 n，根据多边形的内角和公式，以及“外角和等于 360°”的推论，列方
程，得 ( 2) 180 360n ,解得 n=4.
【答案】填 4.
【方法点拨】部分学生因未能记住多边形内角和公式，导致无法求解。突破方法：利用图形推导，理解记忆多
边形内角和公式计算公式为： ( 2) 180n 。
例 2（2005 年荆门）下列图案既是中心对称，又是轴对称的是（ ）
A. B. C.
D.
【考点要求】本题考查轴对称与中心对称知识。
【思路点拨】一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能画出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图
形同时也是中心对称图形，垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形一定
不是中心对称图形。
【答案】选 A。
【方法点拨】部分学生未正确理解中心对称的意义，容易错远 C。突破方法：理解中心对称的意义，要求图形
绕某一点旋转 180 度后能与原图形重合。
解题关键：判断中心对称的简单方法就是将图形正着看与倒过来看效果是完全一样的。
例 3 如图 6-1，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中 ∠ 的度数是（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【考点要求】本题考查等腰梯形的性质及镶嵌知识。
【思路点拨】观察图形，在等腰梯形的一个上底角顶点处有三个上底角，因而等腰梯形
上底角等于 120°，所以 ∠ =60°。
【答案】选 A。
【方法点拨】部分学生对于本题不易找到解题思路，不能完整解答，通常是进行猜测。
突破方法：牢牢抓住图中是六块全等的等腰梯形，因而各对应底角相等。
解题关键：以三个等腰梯形形成镶嵌的某个顶点处分析，三个相等的底角和为 360 度，
图 6-1
所以每个上底角等于 120 度，下底角为 60 度。
例 4 已知：如图 6-2，菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OE∥DC 交 BC 于点 E，AD=6cm，则
OE 的长为（ ）
A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
【考点要求】本题考查菱形的有关性质及相似三角形的判定及应用。
【思路点拨】菱形 ABCD 中，AD=CD=6，因为 OE∥DC，所以△BEO∽△BCD，所
以 BO︰BD=OE︰CD，又因为 O 是 BD 中点，所以 1 32OE CD 。
【答案】选 C。
【方法点拨】解题关键：线段 OE 的一个端点 O 为对角线的中点，要求 OE 长，只
需证明 OE 是中位线。
例 5 如图，□ABCD 的周长为 16cm，AC、BD 相交于点 O，OE⊥AC 交 AD 于 E，
则△DCE 的周长为（ ）
A．4 cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考点要求】本题考查平行四边形及垂直平分线性质的应用。
【思路点拨】由题意知，AD+CD=8cm。□ABCD 中，AC、BD 互相平分，则 OE
为 AC 的垂直平分线，所以 EC=EA。因此，△DCE 的周长=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8cm。
【答案】选 C。
【方法点拨】少数学学生未能意识到 OE 是 AC 的垂直平分线而无法选择。突破方法：平行四边形对角线互相
平分，所以 O 为 AC 中点，OE⊥AC，因此 OE 是 AC 的垂直平分线。
解题关键：将△DCE 的周长转化为 AD 与 CD 的和。
例 6 如图 6-5，在梯形 ABCD 中，AB//DC，AB=a，CD=b（a>b）．若 EF//AB，EF 到 CD 与 AB 的距离之比为
m:n，则可推算出： ma nbEF m n
.
试运用类比的方法，推想下述问题的结果.
在上面的梯形 ABCD 中，延长梯形两腰 AD、BC 相交于 O 点，设△OAB、
△OCD 的面积分别是 S1、S2, EF//AB 且 EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m:n，
则△OEF 的面积 S0 与 S1、S2 的关系是（ ）
A．S0 = mS1 + nS2
m + n B．S0 = nS1 + mS2
m + n
C． S0 = m S1 + n S2
m + n D． S0 = n S1 + m S2
m + n
【考点要求】本题考查梯形中位线性质的应用。
【思路点拨】题目中给出的是梯形中位线定理的推广公式，
由 DC//EF//AB，得 EF
a = S0
S1
， EF
b = S0
S2
∴a = EF S1
S0
，b = EF S2
S0
代入题目所给公式，化简得 S0 = m S1 + n S2
m + n
。
【答案】选 C。
【方法点拨】解题关键：观察四个选项，容易看出各选项结构与题目条件所给公式相同，但都不含字母 a 和 b。
根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，分别求出 a、b，然后代入题目中所提供的公式，整理后可得出结
果。
例 7 如图 6-7，在梯形 ABCD 中，AB DC∥ ，过对角线 AC 的中点O作 EF AC ，分别交边 AB CD， 于点 E F， ，
连接CE AF， ．
（1）求证：四边形 AECF 是菱形；
（2）若 4EF ， 2tan 5OAE ∠ ，求四边形 AECF 的面积．
【考点要求】本题考查菱形的判定及简单的三角函数知识。
【思路点拨】（1）证明：方法 1： AB DC ∥ ，∴ ACF CAE∠ ∠ ．
在 CFO△ 和 AEO△ 中，
ACF CAE
FOC EOA
OC OA
，
，
，
∠ ∠
∠ ∠
∴ CFO AEO△ ≌△ ，∴OF OE ，
图 6-2
A B
CD
E F
O
图 6-5
A
B C
O
E D
图 6-3
图 6-7
又 OA OC ，∴四边形 AECF 是平行四边形．
EF AC ，∴四边形 AECF 是菱形．
方法 2：证 AEO CFO△ ≌△ 同方法 1，
∴ CF AE ， CF AE ∥ ，∴四边形 AFCE 是平行四边形． OA OC EF AC ， ，
∴ EF 是 AC 的垂直平分线， AF CF ，
∴四边形 AECF 是菱形．
（2）解：四边形 AECF 是菱形， 4EF ，∴ 1 1 4 22 2OE EF ．
在 Rt AEO△ 中， 2tan 5
OEOAE OA
∠ ，∴ 5OA ，
∴ 2 2 5 10AC AO ．
∴ 1 1 4 10 202 2AECFS EF AC 菱形 ．
【答案】（2） 20AECFS 菱形
【误区警示】少数学生未能掌握菱形的判定方法，证明（1）时遇到困难。突破方法：因为菱形是特殊的平行
四边形，结合本题所给条件，应先证明四边形 AECF 是平行四边形，再由对角线互相垂直或一组邻边相等证明其
为菱形。
例 8 如图 6-10 中图 1，矩形纸片 ABCD 的边长分别为 ( )a b a b， ．将纸片任意翻折（如图 2），折痕为 PQ（ P
在 BC 上），使顶点C 落在四边形 APCD 内一点C ， PC 的延长线交直线 AD 于 M ，再将纸片的另一部分翻折，
使 A 落在直线 PM 上一点 A，且 A M 所在直线与 PM 所在直线重合（如图 3）折痕为 MN ．
（1）猜想两折痕 PQ MN， 之间的位置关系，并加以证明．
（2）若 QPC 的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕 PQ MN， 间的距离有何变化？请
说明理由．
（3）若 QPC 的角度在每次翻折的过程中都为 45 （如图 4），
每次翻折后，非重叠部分的四边形 MC QD ，及四边形 BPA N 的周长
与 ,a b 有何关系，为什么？
【考点要求】本题考查学生对探索题型的思维能力水平，解题时
关键要正确理解题意。
【思路点拨】（1） PN MN∥ ．因为四边形 ABCD 是矩形，所以
AD BC∥ ，且 M 在 AD 直线上，则有 AM BC∥ ，
∴ AMP MPC ，由翻折可得： 1
2MPQ CPQ MPC ，
1
2NMP AMN AMP ，
∴ MPQ NMP ，故 PQ MN∥ ．
（2）两折痕 PQ MN， 间的距离不变。
过 P 作 PH MN⊥ ，则 sinPH PM PMH ，因为 QPC 的角度不变，所以 C PC 的角度也不变，则所有的
PM 都是平行的．
又因为 AD BC∥ ，所以所有的 PM 都是相等的，又因为 PMH QPC ，故 PH 的长不变．
（3）当 45QPC 时，四边形 PCQC 是正方形，四边形 C QDM 是矩形．因为C Q CD ，C Q QD a ，
所以矩形C QDM 的周长为 2a。
同理可得矩形 BPAN 的周长为 2a，所以两个四边形的周长都为 2a，与 b 无关．
【答案】（1）PQ MN∥ ；（2）两折痕 PQ MN， 间的距离不变；（3）矩形C QDM 的周长为 2a，矩形 BPAN 的
周长为 2a。
【方法点拨】部分学生因为未能仔细阅读操作过程，所以难以理解题意，即使猜想出结论，也无法加以证明。
突破方法：耐心研读题目条件，理解透彻。（1）问证明时，紧紧抓住翻折问题中存在的轴对称或者全等关系加以证
明；（2）利用三角函数，将角的不变量转化为边的不变量；（3）将矩形的面积用已知条件表示出来，再作判断。
● 难点突破方法总结
分析近年数学中考试题可以发现，四边形在中考试题中占有很重要的地位，是中考的重点内容之一。本部分试
题形式，题型丰富，考查面广。因而学生在复习时应从以下几个方面注意强化。
1.准确掌握多边形的内角和公式，正多边形的性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性
图 6-10
质和判定，平面镶嵌的条件和镶嵌设计等，这些都是应考的重要前提。
2.用转化思想求解数形结合题、方案设计题，以及一些综合题。
3.用综合法、归纳法、比较法、类比法等数学方法，解答开放性、综合合性的阅读理解、归纳探索等试题。
4.运用理论联系实际的方法，动手操作，实践探究，解决操作题、开放题、创新题。
●圆
例 1 如图 7-1，在 O 中，弦 AD 平行于弦 BC ，若 80AOC ，则 DAB ____度．
【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系．
【思路点拔】∵∠B= 1
2
∠AOC， 80AOC
∴∠B=40°
∵AD∥BC
∴ DAB ∠B =40°
【答案】填：40
【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系．突破方法：抓住题中的所在条件，如本
题中的两条弦平行，由此可将∠DAB 转化为∠ABC，然后再利用圆周角与圆心的角关系求解．
解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一
半，同时还要根据平行线的性质进行解题．
例 2 如图 8-2，AB 是的⊙O 的直径，BC、CD、DA 是⊙O 的弦，且 BC=CD=DA，则∠BCD=（ ）
A．1000 B．1100 C．1200 D．1350
【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识．
【思路点拔】∵AB 是的⊙O 的直径
∴ ACB 度数是 1800
∵BC=CD=DA
∴ BC = CD = DA
∵∠BCD= 0 01 (180 60 )2
=1200
【答案】选填 C
【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆中相等的弦所对的弧相
等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦，其所对的圆心角等于 180°，以及圆心角与圆周
角之间的关系，综合运用这些知识，容易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数．
例 3 已知：AB 和 CD 为⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为 5cm，AB=8cm，CD=6cm，求 AB、CD 间的距离
是 ．
【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计算问题．
【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两
条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧．如图
8-3：过 O 作 EF⊥AB，分别交 AB、CD 于 E、F，则 AE=4 ㎝，CF=3 ㎝，由勾股
定理可求出 OE=3 ㎝，OF=4 ㎝．故当 AB、CD 在圆心异侧时，距离为 7 ㎝，在
圆心同侧时，距离为 1 ㎝．
【答案】填：7 ㎝或 1 ㎝
【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，
而忽视另一情形；二是辅助线的添加．突破方法：一般几何填空题中，如果不配
图，在自己作图时，应全面考虑各种可能情况．圆中与弦有关的计算或证明问题，
往往需要连结半径和弦心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算．
例 4 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管
道圆形截面的半径，如图 7-5 图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽 AB＝16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求这个
圆形截面的半径．
【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学生动手操作图形
的能力和利用基本知识解决简单问题的能力．
【思路点拔】（1）正确作出图形，如图 7-6 并做答．
（2）过 O 作 OC⊥AB 于 D ，交弧 AB 于 C，
∵OC⊥AB ， ∴BD＝
2
1 AB＝
2
1 ×16＝8cm．
由题意可知，CD＝4cm．
图 7-5
AD
CB
O
图 7-1
图 7-2
B
A
(A)
(B)
C
D
E
F
图 7-3
图 7-6
设半径为 x cm，则 OD＝（x－4）cm．
在 Rt△BOD 中，由勾股定理得：
OD2＋BD2＝OB2， ∴( x－4)2＋82＝x2． ∴x＝10．
【答案】这个圆形截面的半径为 10cm．
【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者补全之后不知如何进行计
算．突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股定理进行计算．
解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，
取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交
点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形．
例 5 如图 7-7，有一木制圆形脸谱工艺品，
H、T 两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面
两耳连线中点 D 处打一小孔．现在只有一块
无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的
直径），请你用两种不同的方法确定点 D 的位
置（画出图形表示），并且分别说明理由．
【考点要求】本题考查线段垂直平分线知识，通过对圆中弦的中点的确定，考查学生综合运用知识的能力．
【思路点拔】方法一：画弦的垂直平分线常用的依据是根据垂径定理，如图 7-8 中，图①，画 TH 的垂线 L 交
TH 于 D，则点 D 就是 TH 的中点．
方法二：利用全等三角形，如图②，分别过点 T、H 画 HC⊥TO，TE⊥HO，HC 与 TE 相交于点 F，过点 O、F
画直线 L 交 HT 于点 D，由画图知，Rt△HOC≌Rt△TOE，易得 HF=TF，又 OH=OT，所以点 O、F 在 HT 的中垂线
上，所以 HD=TD 了，则点 D 就是 HT 的中点．
方法三：如图③，（原理同方法二）
【答案】见图．
【方法点拨】这一道题有一定的开放性，题目中只提供了一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品
的直径），工具的限至使用学生思维不
易完全打开．突破方法： 充分利用三角板
直角，可画垂直线段，从而能够根据垂径
定理或者构造全等的直角三角形来确定弦
的中点．
例 6 如图 7-9，AB 是⊙O 的直径，BD
是⊙O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DC=BD，
连接 AC 交⊙O 与点 F．
（1）AB 与 AC 的大小有什么关系?为
什么?
（2）按角的大小分类， 请你判断
△ABC 属于哪一类三角形，并说明理由．
【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应用．
【思路点拔】（1）（方法 1）连接 DO ，∵OD 是△ABC 的中位线，
∴DO∥CA，∵∠ODB＝∠C，∴OD＝BO ，∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC
（方法 2）连接 AD， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AO⊥BC，
∵BD＝CD，∴AB＝AC
（ 方 法 3 ） 连 接 DO∵OD 是 △ABC 的 中 位 线 ， ∴OD=
2
1 AC ，
OB=OD=
2
1 AB，∴AB=AC
（2） 连接 AD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°
∴∠B＜∠ACB＝90°．∠C＜∠ACB＝90°．∴∠B、∠C 为锐角
∵AC 和⊙O 交于点 F，连接 BF，
∴∠A＜∠BFC＝90°．∴△ABC 为锐角三角形
【答案】（1）AB＝AC；（2）△ABC 为锐角三角形
【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易
将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形．突破方法：判断或证明线段的大
小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角
形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小
分类进行判断，而不是边的大小关系．
图 7-9
O
F
D CB
A
图 7-13
图 7-7
T H TH
OO
HT
反面反面正面
图 7-8
③②①
D
L
HT
O
反面
D
L
HT
O
反面反面
O
T H
L
C EF
G
D
解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明．
例 7 如图 7-13，已知 AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 H．
（1）求证：AH ·AB=AC2；
（2）若过 A 的直线与弦 CD（不含端点）相交于点 E，与⊙O 相交于点 F，求证：AE·AF=AC2；
（3）若过 A 的直线与直线 CD 相交于点 P，与⊙O 相交于点 Q，判断 AP·AQ=AC2 是否成立(不必证明)．
【考点要求】本题考查与圆有关的三角形相似问题，是一道几何综合证明题．
【思路点拔】（1）连结 CB，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°．
而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC ．
∴
AC
AH
AB
AC ， 即 AH·AB=AC2 ．
（2）连结 FB，易证△AHE∽△AFB，
∴ AE·AF=AH·AB，
∴ AE·AF=AC2 ．
(也可连结 CF，证△AEC∽△ACF)
（3）结论 AP·AQ=AC2 成立．
【答案】 （3）结论 AP·AQ=AC2 成立．
【规律总结】等积式的证明往往要转化为比例式进行，部分学生不知改写为何种比例式比较合适．突破方法：
把等积式转化为比例式时，要结合图形书写，如证明 AH ·AB=AC2 时，可将其先转化为
AC
AH
AB
AC ，然后从比例式
中对应边的比容易看出证明的目标为△CAH∽△BAC，从而使得解题变得有的放矢．
解题关键：证明圆中的等积式或比例式问题时，往往会利用三角形的相似，因为圆中容易证明角相等．
●难点突破方法总结
在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难
为易．归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：
1.掌握解题的关键点．（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关
弦的问题，常需作弦心距．联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连
心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径．
2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法．
3.重视数学思想方法的应用．运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解
有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计．
第三关：五年真题详解与规律探析
2009 年
2．图 1 是一个五边形木架，它的内角和是（ B ）
A． 720° B．540° C．360° D．180°
4．与左边三视图所对应的直观图是（ A ）
7．如图 2，将一个长为 10cm，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再
打开，得到的菱形的面积为（ A ）
A． 210cm B． 220cm C． 240cm D． 280cm
10．如图 3， AB O是⊙ 的直径，弦 30 3cmCD AB E CDB O 于点 ， °，⊙ 的半径为 ，
则弦CD 的长为（ B ）
图 1
A． B． C． D．
A
B
C
D
图 2
C
A BO
E 1 x
3
A． 3 cm2
B．3cm C． 2 3cm D．9cm
13．如图 5，直线 a 、b 被 c 所截，且 1 120 2a b ∥ ， °，则 60 °．
15．三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子（如图 6 所示）.现测得 20cm 50cmOA OA ， ，这个三角尺的周
长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ． 2
5
16．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现
将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是 ． 4
5
17．如图 7，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离灯塔 40 2 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达
位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则海轮行驶的路程 AB 为 _____________海里（结果保留根
号）． 40 3 40
c
a
b
1
2
图 5 图 6
A
A
O
灯 三角尺
投影 图 7
B
A
CP
东
北
45
30
23 ． 如 图 11 ， PA 、 PB 是 半 径 为 1 的 O⊙ 的 两 条 切 线 ， 点 A 、 B 分 别 为 切 点 ，
60APB OP AB C O D °， 与弦 交于点 ，与⊙ 交于点 ．
（1）在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；
（2）求阴影部分的面积（结果保留 π ）．
解：（1） ACO BCO APC BPC PAO PBO△ ≌△ ，△ ≌△ ，△ ≌△ （2） PA 、 PB 为 O⊙ 的切线
PO 平分 90APB PA PB PAO ， ， °
PO AB 由圆的对称性可知： AODS S阴影 扇形
在 Rt PAO△ 中， 1 1 60 302 2APO APB °
90 90 30 60AOP APO ° °
260 π 1
360AODS S 阴影 扇形
π
6
25．如图 13-1，在边长为 5 的正方形 ABCD 中，点 E 、 F 分别是 BC 、 DC 边上的点，且 AE EF ， 2BE .
（1）求 EC ∶CF 的值；
（2）延长 EF 交正方形外角平分线CP P于点 （如图 13-2），试判断 AE EP与 的大小关系，并说明理由；
（3）在图 13-2 的 AB 边上是否存在一点 M ，使得四边形 DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，
请说明理由．
解：（1） AE EF
2 3 90 °
图 11
P
A
O
B
D C
A D
B CE
DA
F P
F
四边形 ABCD 为正方形
90B C °
1 3 90 °
1 2
90DAM ABE DA AB °，
DAM ABE△ ≌△
DM AE AE EP DM PE 四边形 DMEP 是平行四边形．（备注：作平行四边形 DMEP ，并计算出
AM 或 BM 的长度，但没有证明点 M 在 AB 边上的扣 1 分）
解法 ② ：在 AB 边上存在一点 M ，使四边形 DMEP 是平行四边形
证明：在 AB 边上取一点 M ，使 AM BE ，连接 ME 、 MD 、 DP ．
90AD BA DAM ABE ， °
Rt RtDAM ABE △ ≌ △
1 4DM AE ，
1 5 90 ° 4 5 90 ° AE DM
AE EP DM EP 四边形 DMEP 为平行四边形
（备注：此小题若有其他的证明方法，只要证出判定平行四边形的一个条件，即可得 1 分）
2008 年
5．如图 1，正三角形的内切圆半径为 1，那么三角形的边长为：
图 1
（A）2 （B） 32 （C） 3 （D）3
答案：B 解析：过 O 点向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成
一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出另一直角边是 3 ，所以这个正三角形的边长为 32
7．以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有：
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个
答案：C 解析：如下图所示，
E G
F C
A
B
E、F、G 分别是△ABC 的边 AB、边 BC、边 CA 的中点，根据三角形的中位线性质：三角形的中位线
平行且等于第三边的一半，可知图中四边形 AEFG、BEGF、CFEG 都是平行四边形。
10．如图 3，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，如果 AB∥CD，∠1=65°，那么∠2= °
答案：115°解析：利用两直线平行的性质易求出∠2 的邻补角是 65°，所以∠2=115°
14．如图 4，已知 AB⊥BD，ED⊥BD，C 是线段 BD 的中点，且 AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么 AB=
答案：4 解析：本题主要考查相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识。因为 AB⊥BD，ED⊥BD，所以
O
B CE
DA
F P
5 4
1
M
∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°，又因为 AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°，所以∠A=∠ECD，所以△ABC
∽△CDE，故
DE
BC
CD
AB ，易求出 AB=4。
17．如图 6，Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以 AB、BC、AC 为直径作三个半圆，那么阴影部分的
面积为 （平方单位）
答案：24 解析：阴影部分面积可以看成是以 AC、BC 为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形 ABC 的面
积减去一个以 AB 为直径的半圆的面积，即
222
22
1
2
1
22
1
22
1
ABBCACBCAC
= BCACABBCAC
2
1
8
1
8
1
8
1 222
= BCACABBCAC
2
1)(8
1 222
= BCAC
2
1 =24（由勾股定理可得 0222 ABBCAC ）
21．如图 8，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E、F，BE=CF。
（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明。
答案：（1）3 对。分别是：
△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF。
（2）△BDE≌△CDF。
证明：因为 DE⊥AB，DF⊥AC，
所以∠BED=∠CFD=90°
又因为 D 是 BC 的中点，
所以 BD=CD 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
CFBE
CDBD
所以△BDE≌△CDF。
方法点拨：本题考察三角形的全等知识。第（1）小题是根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑
问题要全面。第（2）个问题具有一定的开放性，选择证明不同的结论，判定方法会有不同，这里根据
HL 可判断两个直角三角形全等。
23．某数学课外小组测量金湖广场的五象泉雕塑 CD 的高度，他们在地面 A 处测得雕塑顶部 D 的仰角为 30°，再
往雕塑底部 C 的方向前进 18 米至 B 处，测得仰角为 45°（如图 10 所示），
请求出五象泉雕塑 CD 的高度（精确到 0.01 米）。
答案：设五象泉雕塑 CD 的高度为 x 米，则
在 Rt△BCD 中，因为∠C=90°，∠CBD=45°，
所以 BC=CD=x
在 Rt△ACD 中，因为 AB=18 所以 AC=x+18
又因为∠C=90°，∠A=30°所以 30tan)18(xx 所以 59.24x 即五
象泉雕塑 CD 的高度为 24.59 米。
方法点拨：本题考察解直角三角形的知识。要先将实际问题抽象成数学模型。
分别在两个不同的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边
的关系。一般为测量物体的高度或测量不可到达的地方的宽度。
25．如图 11，⊙P 与⊙O 相交于 A、B 两点，⊙P 经过圆心 O，点 C 是⊙P 的优弧 上任意一点（不与点 A、B 重
合），连结 AB、AC、BC、OC。
（1）指出图中与∠ACO 相等的一个角；
（2）当点 C 在⊙P 上什么位置时，直线 CA 与⊙O 相切？请说明理由；
（3）当∠ACB=60°时，两圆半径有怎样的大小关系？请说明你的理由。
答案：（1）∠BCO；
（2）连接 OP，并延长与⊙P 交于点 D，
若点 C 在点 D 位置时，直线 CA 与⊙O 相切
理由：连接 AD，OA
则∠DAO=90°，即 OA⊥DA 所以 DA 与与⊙O 相切
即点 C 在点 D 位置时，直线 CA 与⊙O 相切
（3）当∠ACB=60°时，两圆半径相等
理由：∠ADB=∠ACB=60°
又因为∠ADO=∠BDO 所以∠ADO=30°
因为∠DAO=90°所以 OA=
2
1 OD 即 OA=PO 所以当∠ACB=60°时，两圆半径相等
方法点拨：本题考察了等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于 90°，切线的判定等知识。具有一定的综合
性和难度。切线的判定方法有三个：（1）和圆仅有一个公共点的直线是圆的切线；（2）圆心到直线的距离等于半径
的直线是圆的切线；（3）过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．这里有半径，当然会考虑方法三。
第（2）小题完成后，再根据直角三角形的知识解决第（3）个问题，便显得水到渠成。
2007 年
2．如图 1，直线 a b， 被直线 c 所截，若 a b∥ ， 1 60 °，
则 2 °． 60
9．如图 4，小华用一个半径为 36cm，面积为 2324πcm 的扇形纸板，
制作一个圆锥形的玩具帽，则帽子的底面半径 r cm．9
10．在同一平面内，三条直线两两相交，最多．．有 3 个交点，那么 4 条直线两两相交，最多．．有
个交点，8 条直线两两相交，最多．．有 个交点．6，28．
15．在图 7 中添加一个小正方形，使该图形经过折
叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有（ B ）
A．7 种 B．4 种 C．3 种 D．2 种
16．如图 8， AB AC， 是圆的两条弦， AD 是圆的一条直径，
且 AD 平分 BAC ，下列结论中不一定正确．．．．．的是（ A ）
A． AB DB B． BD CD C． BC AD D． B C
18．如图 9，正方形 ABCD 的面积为 1， M 是 AB 的中点，
则图中阴影部分的面积是（ B ）
A． 3
10
B． 1
3
C． 2
5
D． 4
9
25 ． 如 图 12 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， A B， 两 点 的 坐 标 分 别 为
( 2 0) (8 0)A B ，， ， ，以 AB 为直径的半圆 P 与 y 轴交于点 M ，以 AB 为一边
作正方形 ABCD ．（1）求C M， 两点的坐标；（2）连接CM ，试判断直线CM
是否与 P 相切？说明你的理由；（3）在 x 轴上是否存在一点 Q ，使得
QMC△ 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1） ( 2 0) (8 0)A B ，， ， ，四边形 ABCD 是正方形
10AB BC CD AD P ， 的半径为 5 (810)C ，
连接 5PM PM ， ，在 Rt PMO△ 中， 2 2 2 25 3 4OM PM PO
(0 4)M ，
（2）方法一：直线CM 是OP 的切线． 证明：连接 PC CM， 如图 12（1），
1
2
图 1
c
a
b
O r
36cm
图 4
B
D
C
A
图 8
图 7
图 9
D
A
C
BM
A
E
B
D C
8 x
y
M
PO2
图 12
A
E
B
D C
y
M
A
E
B
D C
y
M
在 Rt EMC△ 中， 2 2 2 28 6 10CM CE EM
CM CB
又 PM PB CP CP ，
CPM CPB△ ≌△ 90CMP CBP CM ， 是 P 的切线
方法二：直线CM 是 P 的切线
证明：连接 PC 如图 12（1），在 Rt PBC△ 中，
2 2 2 2 25 10 125PC PB BC 在 Rt MEC△ 中
2 2 2 2 28 6 100CM CE ME 2 2 2PC CM PM
PMC△ 是直角三角形，即 90PMC
直线CM 与 P 相切
方法三：直线CM 是 P 的切线
证明：连接 MB PM， 如图 12（2），在 Rt EMC△ 中，
2 2 2 28 6 10CM CE EM
CM CB CBM CMB
PM PB PBM PMB
90PMB CMB PBM CBM
即 PM MC⊥
CM 是 P 的切线．
（3）方法一：作 M 点关于 x 轴的对称点 M ，则 (0 4)M ， ，连接 M C ，与 x 轴交于点Q ，此时QM QC 的和
最小，因为 MC 为定值，所以 QMC△ 的周长最小
M OQ M EC △ ∽△
4 16
8 14 7
OQ M O OQ OQEC M E
， ， 16 07Q
，
方法二：作 M 点关于 x 轴的对称点 M ，则 (0 4)M ， ，连接 M C ，与 x 轴交于点Q ，此时QM QC 的和
最小，因为 MC 为定值，所以 QMC△ 的周长最小．
设直线 M C 的解析式为 y kx b
把 (0 4)M ， 和 (810)C ， 分别代入得 4 0
10 8
b
k b
，解得
7
4
4
k
b
7 44y x ，当 0y 时， 16
7x 16 07Q
，
26．如图 13，在锐角 ABC△ 中， 9BC ，AH BC 于点 H ，且 6AH ，点 D 为 AB 边上的任意一点，过点 D
作 DE BC∥ ，交 AC 于点 E ．设 ADE△ 的高 AF 为 (0 6)x x ，以 DE 为折线将 ADE△ 翻折，所得的 A DE△
与梯形 DBCE 重叠部分的面积记为 y （点 A 关于 DE 的对称点 A落在 AH 所在的直线上）．
（1）分别求出当 0 3x ≤ 与3 6x 时， y 与 x 的函数关系式；
（2）当 x 取何值时， y 的值最大？最大值是多少？
解：（1）①当 0 3x ≤ 时，由折叠得到的 A ED△ 落在 ABC△ 内部如图 13（1），重叠部分为 A ED△
DE BC ∥
A
EFD
A
B CH
图 13
A
B H C
ADE B AED C ，
ADE ABC△ ∽△ DE AF
BC AH
，
9 6
DE x ，即 3
2DE x
又 FA FA x 1 1 3
2 2 2y DE A F x x 23 (0 3)4y x x ≤ ·· 3 分
②当3 6x 时，由折叠得到的 A ED△ 有一部分落在 ABC△ 外，如图 13（2），重叠部分为梯形 EDPQ
6 6FH AF x (6 ) 2 6A H A F FH x x x
又 DE PQ ∥
A PQ A DE △ ∽△
PQ A H
DE A F
2 6 3( 3)3
2
PQ x PQ xxx
， 1 ( )2y DE PQ FH 1 3 3( 3) (6 )2 2 x x x
29 18 27(3 6)4y x x x
（2）当 0 3x ≤ 时， y 的最大值： 2 2
1
3 3 2734 4 4y x ；
当3 6x 时，由 2 29 918 27 ( 4) 94 4y x x x
可知：当 4x 时， y 的最大值： 2 9y 1 2y y ，当 4x 时， y 有最大值： 9y 最大 ．
2006 年
2．如图 1，已知 AB CD， 相交于点 O ，OE AB⊥ ， 28EOC ，
则 AOD 度．62
7．如图 2，在半径分别为5cm 和3cm 的两个同心圆中，大圆的
弦 AB 与小圆相切于点 C ，则弦 AB 的长为 cm ．8
8．由三角形三条中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的
． 1
4
15．图 5 是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方
块的个数，那么这个几何体的主视图是（ B ）
17．已知圆上一段弧长为5 cm ，它所对的圆心角为100 ，则该圆的半径为（B ）
Ａ．6 Ｂ．9 Ｃ．12 Ｄ．18
18．图 6 是一个等边三角形木框，甲虫 P 在边框 AC 上爬行（ A ，C 端点除外），设甲虫 P
E
B
D
A O
图 1
Ｃ
O
BCA
图 2
俯视图
图 5 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
1
2 3
图 13（1）
A
EFD
A
B H C
A
EFD
A
B CQHP
A
图 13（2）
到另外两边的距离之和为 d ，等边三角形 ABC 的高为 h ，则 d 与 h 的大小关系是（ C ）
Ａ． d h Ｂ． d h
Ｃ． d h Ｄ．无法确定
23．将图 8（1）中的矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把 ABC△ 沿着 AD 方向平移，得到图 8（2）中的 A BC △ ，
除 ADC△ 与 C BA △ 全等外，你还可以指出哪几对．．．全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？请选择其中一对加
以证明．
有两对全等三角形，分别为：
AA E C CF △ ≌△
A DF CBE△ ≌△
解法一：求证： AA E C CF △ ≌△
证明：由平移的性质可知：
AA CC ，
又 A C ∵ ， 90AA E C CF AA E C CF ∴△ ≌△
解法二：求证： A DF CBE△ ≌△
证明：由平移的性质可知： A E CF ∥ ， A F CE ∥
∴四边形 A ECF 是平行四边形
A F CE ∴ ， A E CF
A B CD ∵ DF BE∴
又 90B D ∵ A DF CBE∴△ ≌△
25．如图 10，在 ABCD 中， P 是CD 边上的一点， AP 与 BP 分别平分 DAB 和 CBA ．
（1）判断 APB△ 是什么三角形，证明你的结论；
（2）比较 DP 与 PC 的大小；
（3）画出以 AB 为直径的 O ，交 AD 于点 E ，连结 BE 与 AP 交于点 F ，若 5cmAD ， 8cmAP ，求证
AEF APB△ ∽△ ，并求 tan AFE 的值．
解：（1） AD BC∵ ∥
180DAB CBA ∴
又∵ AP ， BP 分别平分 DAB ， CBA
90PAB PBA ∴
90APB ∴ ．
APB∴△ 为直角三角形
（只判断 APB△ 为直角三角形给 1 分）
（2） DC AB∵ ∥ BAP DPA ∴
DAP PAB ∵ DAP DPA ∴ DA DP∴
同理证得CP CB DP PC∴
（3）解法一： 5cmAD ∵ ， 8cmAP 2 10AB DC DP PC AD ∴
AB∵ 是 O 直径， 90APB
2 2 2 210 8 6PB AB AP ∴ 90AEB APB ∴
EAF PAB ∵ AEF APB∴△ ∽△
AFE ABP ∴ tan tanAFE ABP ∴ 8 4
6 3
AP
PB
解法二： 5cmAD ∵ ， 8cmAP 2 10AB DC DP PC AD ∴
AB∵ 是 O 直径， 90APB
2 2 2 210 8 6PB AB AP ∴
90AEB APB ∴
D
CB
E
A
F
A
C
图 8（2）
Ｐ Ｃ
ＢＡ
Ｄ
Ｏ
图 10
EAF PAB ∵ AEF APB△ ∽△
过点 D 作 DG AP⊥ 于G
5cmDA DP ∵ ， 8cmAP
4AG GP ∴
2 2 2 25 4 3DG AD AG ∴
AB∵ 为 O 直径
90AEB AGD ∴ EAF GAD ∵ AEF AGD∴△ ∽△
AFE ADG ∴ 4tan tan 3
AGAFE ADG DG
∴
（第 3 小题如果没有证明过程，但能画出半圆及连接 BE ，可给 1 分）
2005 年
５．图１是正方体的平面展开图，每个面上标有一个汉字，与
“绿”字相对的面上的字是 ．南
６．用两个全等的三角形最多．．能拼成 3 个不同的平行四
边形．
９．如图３，在 O 中， 50BOC OC AB ， ∥ ．则 BDC 的度数为 ． 75
13．如图５， ABCD 是平行四边形，则图中与 DEF△ 相似的三角形
共有（ B ）
(A)１个 (B)２分
(C)３个 (D)4 个
14．如图６，CD 是 ABCRt△ 斜边上的高， 4 3AC BC ， ，则
cos BCD 的值是（ D ）
(A) 3
5
(B) 3
4
(C) 4
3
(D) 4
5
15．中央电视台“开心辞典”栏目有这么一道题：小兰从镜子中看到
挂在她背后墙上的四个时钟如下图所示，其中时间最接近四点钟
的是（ C ）
(A) (B) (C) (D)
16．如图７，分别以等腰直角三角板的直角边、斜边为旋转轴旋转，所形成的旋转体的
全面
积依次记为 1 2S S、 ，则 1 2S S与 的大小关系为（A ）
(A) 1 2S S (B) 1 2S S
(C) 1 2S S (D)无法判断
21．本题有Ａ、Ｂ两类题．Ａ类题满分 7 分，Ｂ类题满分 10 分．请你选择其中一类．．．．．．证
明．（Ａ类）如图９， DE AB DF AC⊥ 、 ⊥ ．垂足分别为 E F、 ．请你从下面三个条件
中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情
况）．
① AB AC ② BD CD ③ BE CF
已知： DE AB DF AC⊥ 、 ⊥ ，垂足分别为 E F、 ， ＝ ， ＝ ．
求证：
证明：
Ａ类）
已知： AB AC BD CD ， ，
求证： BE CF
证明： AB AC
B C
DE AB DF AC ⊥ ， ⊥ 90BED CFD
我 爱
绿 都 南
宁 Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｏ
图３
Ａ Ｂ
C
D
图６
图 7
A
B CＤ
E F
图９
在 BDE△ 和 CDF△ 中
B C
BED CFD
BD CD
BDE CDF△ ≌△ BE CF
（Ｂ类）如图 10， EG AF∥ ，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正
确的命题（只需写出一种情况）．
① AB AC ② DE DF ③ BE CF
已知： EG AF∥ ， ＝ ， ＝ ．
求证：
证明：
（Ｂ类）
已知： AB AC DE DF ， ，
求证： BE CF 证明： EG AF ∥
GED F BGE BCA AB AC
B BCA B BGE
BE EG 在 DEG△ 和 DFC△ 中
GED F
DE DF
EDG FDC
DEG DFC△ ≌△ EG CF BE CF
注： A B、 两类题的另两种情况的证明参照以上评分标准．
25、如图 13，点 P 是圆上的一个动点，弦 3.AB PC 是 APB 的平分线， 30BAC ．
（１） 当 PAC 等于多少度时，四边形 PACB 有最大面积？最大面积是多少？
（２） 当 PAC 等于多少度时，四边形 PACB 是梯形？说明你的理由．
解：（１） PC 是 APB 的平分线 AC BC ）
当 PC 是圆的直径，即 90PAC 时，四边形 PACB 面积最大
在 30 . 3PAC APC AP PB AB Rt△ 中，
23 2cos30 3
APPC 2 ACPPACBS S △四边形
1
2
1 2 32
PC AB
3
（２）当 120PAC 时，四边形 PACB 是梯形
PC 是 APB 的平分线
30
60
180
.
APC BPC CAB
APB
PAC APB
AC PB AP BC
∥ 且 与 不平行
四边形 PACB 是梯形
当 60PAC 时，四边形 PACB 是梯形
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｇ Ｄ
Ｃ
Ｆ图 10
Ｃ
Ａ Ｂ
Ｏ
Ｏ
Ｃ
ＢＡ
Ｐ
图 13
30
120
180
AC BC
AC BC
BAC
ACB
PAC ACB
又
BC AP ∥ 且 AC PB与 不平行．
四边形 PACB 是梯形
第五讲：图形与变换
第一关：考点点睛
图形变换
知识点 1、平移变换 重点：掌握平移的概念及性质；难点：平移性质的运用
1. 平移的概念：平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移．注：平移变换的两个
要素：移动的方向、距离．
2. 平移变换的性质
（1）平移前后的图形全等．即：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小：
（2）对应线段平行（或共线）且相等；
（3）对应点所连的线段平行（或共线）且相等．
如图所示， ，且 共线，且 [来源:学.科.网 Z.X.X.K]
3. 用坐标表示平移：
（1）在平面直角坐标系中，将点 ：
①向右或向左平移 a 个单位 点 或
②向上或向下平移 b 个单位 点 或
（2）对一个图形进行平移，相当于将图形上的各个点的横纵坐标都按（1）中的方式作出改变
例 1. 下列各组图形，可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）[来源:Z&xx&k.Com]
A. B. C.
D.
解题思路：根据平移的概念可知，平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置．选项 B 的两个图形不是
全等形；选项 C、D 中两个图形的方向发生了改变．
解答：选 A
例 2．如图 1，修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分作为耕地，若要使耕地的面积为 540 米 2，则道路的
宽应是 米？
解题思路：尝试把道路平移一下，化不规则图形为有序规则图
形，问题就迎刃而解了．
解答：将横向道路位置平移至最下方，将纵向道路位置平移至最左方，
32m
20m
图 1
20-x
32
设道路宽为 x 米，则有 32 (20 ) 32 20 540x x x ，
整理，得 0100522 xx ， ∴ 0)2)(50( xx ，
∴ 501 x （不合题意，舍去）， 22 x ．
∴道路宽应为 2 米．
知识点 2、轴对称变换
重点：掌握轴对称的概念及性质；难点：轴对称的性质的运用
1. 轴对称的概念：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条
直线对称或轴对称．这条直线就是对称轴．两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点．
如图所示， 关于直线 l 对称，l 为对称轴．
2. 轴对称图形：把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，
这条直线就是这个轴对称图形的对称轴．
一个图形的对称轴可以有 1 条，也可以有多条．
3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：
区别 联系
轴对称 轴对称是指两个图形的对称关系 把轴对称的两个图形看成一个
“整体”（一个图形），则称
为轴对称图形；把轴对称图形
的互相对称的两个部分看成
“两个图形”，则它们成轴对
称[来源:学科网][来源:学科网][来源:学*科*网][来源:学#科#网 Z#X#X#K]
轴对称
图形[来源:Z#xx#k.Com][来
源:Zxxk.Com]
轴对称图形是指具有某种对称特性的
一个图形[来源:学。科。网]
4. 轴对称的性质：
（1）关于某条直线对称的两个图形全等；
（2）对称点的连线段被对称轴垂直平分；
（3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；
（4）轴对称图形的重心在对称轴上．
如图 被直线 l 垂直平分．
5. 轴对称变换的作图：
举例说明：
已知四边形 ABCD 和直线 l，求作四边形 ABCD 关于直线 l 的对称图形．
作法：
（1）过点 A 作 l 于 E，延长 AE 到 A’，使 ，则得到点 A 的对称点 ；（2）同理作 B、C、D 的
对称点 ；
（3）顺次连结 ．则四边形 为四边形 ABCD 关于直线 l 的对称图形．
6. 用坐标表示轴对称：
点 关于 x 轴对称的点为 ；
点 关于 y 轴对称的点为 ；
点 关于直线 的对称点为 ；
点 关于直线 的对称点为 ；
点 关于直线 的对称点为
点 关于直线 的对称点为 ．
例 1. 下列图形中，是轴对称图形的为（ ）
A . B. C.
D.
解题思路：根据定义，如果一个图形是轴对称图形，那么沿对称轴折叠后两部分应该能完全重合；或者根据轴
对称的性质，对称点的连线段应该被对称轴垂直平分．所以解决此题的关键是看能否找到满足上述条件的对称轴．
解答：选 D．
例 2. 如图所示， 关于直线 l 对称，将 向右平移得到 ．由此得出下列判
断：① ；② ；③ ．其中正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
解题思路：由于 是从 平移得来的，故 ，但 与 关于 l 成轴对称，
不一定有 ，故①不一定正确；平移和轴对称变换都是全等变换，故②和③正确．
解答：选 B．
知识点 3、旋转变换
重点：掌握旋转的概念及性质；难点：旋转的性质的运用
1. 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点 O 沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样
的图形变换叫做旋转．这个定点 O 叫旋转中心，转动的角称为旋转角．
注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角
2. 旋转变换的性质：
（1）旋转前、后的图形全等
（2）对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上）
（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
3. 旋转变换的作图：
（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；
（2）找出能确定图形的关键点；
（3）连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此关键点的对应点；
（4）按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形．
5. 旋转对称性：如果某图形绕着某一定点转动一定角度（小于 360°）后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转
对称图形．
6. 中心对称：把一个图形绕着某个定点旋转 180°，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对
称或中心对称．这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点．
7. 中心对称的性质：
中心对称是一种特殊的旋转，因此，它具有旋转的一切性质，另外，还有自己特殊的性质．
（1）关于中心对称的两个图形全等；
（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（即：对称中心是两个
对称点连线的中点）；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）；
（4）中心对称图形的重心在其对称中心；且过对称中心的直线平分该图形的面积．
如图所示，若 关于点 O 中心对称，则对称中心 O 是线段 共同的中点，
且 ， 且 ；反过来，若线段 都经过点 O 且 O
是它们的中点，那么 关于点 O 中心对称．
8. 中心对称的作图：
以上图为例，作 关于点 O 的对称图形：
（1）找出能确定原图形的关键点，如顶点 A、B、C；
（2）分别作出原图形的关键点的对称点．如：连结 AO，并在 AO 的延长 线上截取 ，则点 A’为点 A
关于点 O 的对称点；
（3）按原图形的连结方式顺次连结各关键点的对应点，即点 ．所得的图形 即为求作的对
称图形．
9. 中心对称图形：一个图形绕着一个定点旋转 180°后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形．这个定点
叫做该图形的对称中心．中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形（旋转角等于 180°）
10. 中心对称与中心对称图形的区别与联系
区别 联系
中心对称 中心对称是指两个图形的对称
关系
把中心对称的两个图形看成一个“整
体”（一个图形），则称为中心对称
图形；把中心对称图形的互相对称的
两个部分看成“两个图形”，则它们
成中心对称
中心对称图
形
中心对称图形是指具有某种对
称特性的一个图形
11. 关于原点对称的点的坐标．
点 关于原点对称的点的坐标为 ．
例 1. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为 1， 构成的图形是中心对称图形．
（1）画出此中心对称图形的对称中心 ；
（2）画出将 沿直线 DE 方向向上平移 5 格得到的 ；
（3）要使 重合，则 绕点 顺时针方向旋转；至少要旋转多少度？（不要求证
明）
解题思路：（1）在中心对称的问题中，可根据“对称中心为对称点连线段的中点”来确定对称中心；（3）可
根据“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”来确定旋转角的大小．画出图形后，可以看出，点 与点
是旋转变换的一组对应点，则 等于旋转角
解答 （1）如图，画出对称中心点 O．
（2）画出 ．
（3）至少需要旋转 90°．
例 2 .如图所示， 是 绕某点逆时针旋转后得到的图形，请确定旋转中心，并测量出旋转角的大
小
解题思路：可根据旋转变换中对应点与旋转中心的特殊位置关系来确定旋转中心．
解答：如图，连结 、 ，分别作 和 的垂直平分线，交于点 O．则点 O 即为旋转中心．连结 、
，测量得 ，故旋转角等于 ．
知识点 4、位似变换
重点：掌握位似的概念及性质；难点：位似的性质的运用
（1）如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做
位似中心．
（2）如果两图形 F 与 是位似图形，它们的位似中心是点 O，相似比为 k，那么：
①设 A 与 是一双对应点，则直线 过位似中心 O 点，并且 ．
②设 A 与 ，B 与 是任意两双对应点，则 ；若直线 AB、 不通过位似中心 O，则 ．
（3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
（4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于 k 或 ．
例 已知等边 ABC ，画一个与之相似且它们的相似比为 2 的 A B C' ' '。
解题思路：已知一个等边 ABC ，要求画一个三角形，使这两个三角形相似，并且相似比为 2。根据题意可知，
已知三角形与要画的三角形之间的边的比值是不确定的，即题中没有说明是原三角形与新三角形相似，还是新三角
形与原三角形相似，这样形成的对应边的关系有两种，因此是不确定的，再者由于有相似比的值 2，那么要画的三
角形边与原三角形的边是对应边，要满足比值为 2 的情况也有两种，而实现这两种情况只能借助位似形的知识。
根据位似形的知识可知，位似中心存在的情况有两种，即在已知图形内或已知图形外，它们都可以实现放大或
缩小的作用。
解：如图 1，当设位似中心在 ABC 的形内时，取内心 O 作为位似中心。
（1）在 AO、BO、CO 上分别取中点 A B C' ' '、 、 ，连结 A’B’、B’C’、A’C’，则 ABC A B C~ ' ' ' ，且
有 A B AB' '： ： 1 2 ；
（2）取 C 的内心 O，连接 OA、OB、OC 且延长，使 AA AO' ， B B BO' ， C C CO' ，连结
ACCBBA 、、 ，则有 ABC A B C~ ' ' ' ，且 AB A B： ：' ' 1 2 。
如图 2，设位似中心在 BC 的外部时
（ 1 ） 在 ABC 外 任 取 一 点 O ， 过 O 点 作 射 线 OA 、 OB 、 OC ， 并 截 取 AA OA' ，
c C OC B B BO A B B C C A' ' ' ' ' ' ' ' ， ，连结 、 、 ，则可证 ABC A B C~ ' ' ' ，且 AB A B： ：' ' 1 2 。
（2）在 C 外任取一点，过 O 作直线 OA，OB，OC，在 OA、OB、OC 的另一侧取 A B C' ' '， ， ，使
A O AO B O OB' ' 1
2
1
2
， ， C O OC' 1
2
。 连 结 A B' ' 、 B C' ' 、 C A' ' ， 则 可 证 ABC A B C~ ' ' ' ， 且
A B AB' '： ： 1 2 。
练习．下列说法正确的是（ ）
A．分别在△ABC 的边 AB、AC 的反向延长线上取点 D、E，使 DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大后的图形；
B．两个位似图形的面积比等于位似比；
C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比；
D．位似图形的周长之比等于位似比的平方
答案：C
最新考题
中考要求及命题趋势
1 理解轴对称及轴对称图形的联系和区别；2 掌握轴对称的性质；根据要求正确地作出轴对称图形。3 理解图形的平
移性质；4 会 按要求画出平移图形；5 会利用平移进行图案设计。6 理解图形旋转的有关性质；7 掌握基本中心对
称图形；8 会运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计
2010 年将继续考查图形的轴对称，图形的平移，要求画出平移后图形，设计图案是考查的重点。图形的旋转的性质
及应用是考试的重点。
应试对策
1 要掌握轴对称问题的特征及其规律，熟练掌握基本图形的轴对称性，能结合实际图形予以辨认轴对称图形，并能
按要求作图。
2 要理解图形平移的性质，掌握平移图形图案设计，对实际中平移图形要后会灵活运用。
3 要理解图形旋转的性质，掌握基本图形旋转形成过程，能运用轴对称、平移和旋转的有关知识进行图案设计。
考查目标一、平移变换问题
例 1(09.盐城)在 5×5 方格纸中，将图 1 中的图形 N 平移后的位置如图 2 中所示，那么正确的平移方法是( ).
A.先向下移动 1 格，再向左移动 1 格
B.先向下移动1 格，再向左移动 2 格
C.先向下移动 2 格，再向左移动 1 格
D.先向下移动 2 格，再向左移动 2 格
解题思路： 利用方格很容易判断图形的平移过程，先向下平移 2 格，再向左平移 1 格或先向左
平移 1 格，再向下平移 2 格均可.选 C.
例 2(2009 扬州) 如图在△AOB 中，AO=AB.在直角坐标系中，点 A 的坐标是(2,2)，点 O 的坐标是
(0,0)，将△AOB 平移得到△A′O′B′，使得点 A′在 y 轴上.点 O′、B′在 x 轴
上.则点 B′的坐标是____.
解题思路：△AOB 是等腰三角形，容易得到 B 点坐标为(4,0)，将△AOB 平移
得到△A′O′B′，使得点 A′在 y 轴上是将图形向左平移 2 个单位长度.根据平
移特点，平移后对应线段相等，因此点 B 也向左平移 2 个单位长度，所以点 B′
的坐标为(2,0).
考查目标二、旋转变换问题
例 1（08 徐州） 如图所示，在图甲中，Rt△OAB 绕其直角顶点 O 每次旋转 90°，旋转三次得到右边的图形.在图
乙中，四边形 OAB 绕 O 点每次旋转 120°，旋转二次得到右边的图形.
下列图形中，不能通过上述方式得到的是( ).
解题思路：(A)、图(B)、图(C)都可以用一个基本图形绕中心旋转一定角度、一定次数得到，而图(D)不能由旋转
得到.故选(D).
例 2 （09.宿迁）如图 5 所示，把一个直角三角形尺 ABC 绕着 30°角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 A 与 CB 的
延长线上的点 E 重合.
(1)三角尺旋转了多少度？ (2)连结 CD，试判断△CBD 的形状； (3)求∠BDC 的度数.
解题思路：(1)顶点 A 顺时针旋转后与点 E 重合，∠ABE 和∠CBD 都等于旋转角.∠ABC=30°，
所以∠ABE=180°-30°=150°，所以三角尺旋转了 150°.
(2)BC 和 BD 是对应边，BC=BD，所以△CBD 是等腰三角形.
(3)△CBD 是等腰三角形，∠CBD=150°，所以 .
考查目标三、折叠问题
例 1 如图 6，梯形纸片 ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6.将纸片折叠，使点 B
与点 D 重合，折痕为 AE，则 CE=____.
解题思路：折叠后点 B 与点 D 重合，∠BAE=∠DAE.∵∠B=60°，∴∠BAE=60°.△ABE
是等边三角形.BE=AB=2，∴CE=CB-BE=6-2=4.
例 2．（09 苏州）在矩形 ABCD 中，如图， AB 3 ， BC 4 ，将矩形折叠，使点C 与
点 A 重合，求折痕 EF 的长．
解题思路：连结CE ，则CE = AE
设 AE = x ，则 DE = 4 x
在 Rt △CDE 中， 2 2 2CE DE DC
所以 2 2 2(4 ) 3x x
解得 25
8x 即 25
8CE
在 Rt ABC 中， 2 2 2 23 4 5AC AB AC
由题意知： 5
2 2
ACAO CO 所以，在 Rt △CEO 中， 2 2 15
8EO CE CO
又因为 AOE ≌ EOC 所以，OE OF 所以， 152 4EF OE
相似图形是在全等的基础上进行学习的，在中考中出现的也比较多，大都是一些开放性的题型，分值一般在 3-6
分左右。
例 2：两个相似三角形周长的比为 2:3，则其对应的面积比为___________.
思路点拨：相似三角形的周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，所以面积之比也等于周长之比
的平方，因为两个相似三角形周长的比为 2:3，所以对应的面积比为 4:9
O
F
E
D
C
B
A
答案：4:9
考点 2：相似图形的判定
例 1：在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，CE 和 BD 交于点 O，设△OCD 的面积为 m，△OEB 的面积为 5 ，
则下列结论中正确的是（ ）
A． 5m B． 4 5m C． 3 5m D． 10m
思路点拨：本题考查相似三角形的判定和性质，解题时先根据题意得出两三角形相似及相似比，然后利用它们
的面积比等于相似比的平方得出结果。
答案：B
例 2：已知如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C 是线段 BD 的中点，且 AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么
AB=
思路点拨：本题主要考查相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识。因为 AB⊥BD，ED⊥
BD，所以∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°，又因为 AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°，所以∠A=∠ECD，
所以△ABC∽△CDE，故
DE
BC
CD
AB ，易求出 AB=4。
考点 3：相似三角形的应用
例 1：如图，有两个形状相同的星星图案，则 x 的值为 （ ）
Ａ．15 B. 12 Ｃ. 10 D. 8
思路点拨：根据题意，两个星星图案是相似形，根据相似形的性质，对应边成
比例，可以得出 8,6
20
15 xx
答案：选D
例 2：小刚身高 1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85m，紧接着他把手
臂竖直举起，测得影子长为 1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m
思路点拨：太阳光是平行的，可借助相似三角形的有关知识来解决。设小刚举
起的手臂超出头顶 xm，则
x
7.1
1.1
7.1
85.0 ，解之得 x=0.5m.答案：A
第二关：难点攻克
例 1 如图 9-1，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（ ）
图 9-1
【考点要求】本题考查学生轴对称知识的灵活应用。
【思路点拔】通过实物的演示或者操作以及空间想象，不难得到正确答案。
【方法点拨】在解答图形的折叠问题时，有时可借助实物进行操作、演示，帮助理解，从而弥补空间思维上出
现的盲区。
例 2 如图 9-2，一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像，此时，它所看到的全身像（ ）
图 9-2
【考点要求】本题考查平面镜的轴对称变换。
【思路点拔】观察所给的“小狗照镜子”图，可以发现小狗的尾巴向左，并且正面向镜子，由于平面镜成像是
轴对称变换，由性质可知，像的尾巴应向左且正面向前。
【答案】选 A。
【错解剖析】部分学生未能抓住平面镜成像的轴对称变换特性而选择错误答案。
解题关键：先分析清问题是何种对称变换，然后利用性质解题。
例 3 如图 9-3，下列图案②③④⑤⑥⑦中， 是由①平移得出的， 是由①平移
且旋转得出的。
图 9-3
【考点要求】本题考查平移、旋转的定义。
【思路点拔】图①中的鸽子是头向左，尾巴向右展翅飞翔，平移后的图形应与其方向保持一致，而如果经过旋
转后则会发生方向上的改变。
【答案】③⑤是由①平移得出的，②④⑥⑦是由①平移且旋转得出的。
【错解剖析】本题需熟悉平移与旋转的性质，同时还需要一定的空间想象能力。
例 4 已知三个数 1,2, 3 ,请你再添上一个(只填一个)数, 使它们能构成一个比例式,则这个数是_________.
【考点要求】本题考查比例式的概念。
【思路点拔】因为所添数字位置未作要求，因而有多种可能性，设所添数字为 x，则有以下几种可能， 2
13
x ，
1
23
x ， 2
1 3
x 。
【答案】2 3 或 3
2
或 2 3
3
。
【思路点拔】这是一道开放型试题，由于题中没有告知构成比例的各数顺序, 故应考虑各种可能位置.
解题关键：以 x 为比例外项，则另一个比例外项可能是 1、2 或 3 .
例 5 如图 9-4,在△ABC 中,AC>AB,点 D 在 AC 边上(点 D 不与 A、C 重合),若再增加
上条件就能使△ABD∽△ACB,则这个条件可以是_______.
【考点要求】本题考查三角形相似的判定方法的运用。
【思路点拔】由于所识别的两三角形隐含着一个公共角∠A,因此依照识别方法,
只要再附加条件∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,或 AD AB
AB AC
即可.
【答案】∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC, AD AB
AB AC
。
【错解剖析】部分学生不熟悉三角形相似的判定方法，易错用“边边角”进行判定，也有学生不注意两个三角
形顶点的对应。突破方法：本题答案只要求填写一个，为确保正确，可根据△ABD∽△ACB 找出一对相等的对应角。
例 6 如图 9-6,AD 是直角△ABC 斜边上的高,DE⊥DF,且 DE 和 DF 分别交 AB、AC 于 E、F.
求证: AF BE
AD BD
。
【考点要求】本题考查利用相似证明比例线段问题。
【思路点拔】∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°.
∴∠B=∠DAC.
同理∠C=∠BAD.
又∵∠ADE+∠ADF=90°,∠CDF+∠ADF=90°,
∴∠ADE=∠CDF.
又∵∠BED=∠BAD+∠ADE,∠AFD=∠C+∠CDF.
∴∠BED=∠AFD.∴△BED∽△AFD.∴ AF BE
AD BD
。
【方法点拔】所证比例式中四条线段为△AFD 与△BDE 的边,只需证△AFD 与△BDE 相似即可.
解题关键：证明比例式或等积式的基本方法是证明包含比例式或等积式中的四条线段所在的两三角形相似.如
果直接证明不容易,则可等线段转化或等比转化.
●难点突破方法总结
图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践
能力，因此在解题时应注意以下方面：
1.熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法。
2.结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法。
D
C
B
A
图 9-4
F
D
C
B
A
E
图 9-6
3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等。
相似形内容难度与前几年相比，有所降低，主要解题方法可归纳如下：
1.准确掌握图形相似的概念、性质、判定和应用是应考的基本战略。
2.把握基本图形，实现对等转化是解决与相似三角形有关问题的重要方法，如通过平行线构造相似三角形；利
用“A”型、“X”型找相似三角形；利用中间比实现转化等。
3.熟练掌握图形的相似各类应用问题，从中提炼出解题的基本方法，如类比法、设比值法、数形结合法等。
4.注重基础，不断创新，利用相似解决实际生活中的测量、设计等问题。
●锐角三角函数与解直角三角形
例 1 已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是
A、 2sin 3B B、 2cos 3B C、 2
3tgB D、 2
3ctgB
【考点要求】本题考查锐角三角函数的概念。
【思路点拨】根据题目所给条件，可画出直角三角形，结合图形容易判断 2
3
是∠B 的正切值。
【答案】选 C。
【方法点拨】部分学生会直接凭想象判断并选择结果，从而容易导致错误。突破方法：这类题目本身难度不大，
但却容易出现错误，关键是要画出图形，结合图形进行判断更具直观性，可减少错误的发生。
例 2 某山路坡面坡度 1: 399i ,某人沿此山路向上前进 200 米,那么他在原来基础上升高了__________米．
【考点要求】本是考查坡度与坡角正切值关系。
【思路点拨】坡度 1: 399i 即坡角的正切值为 1
399
，所以坡角的正弦值可求得等于 1
20
，所以沿着山路前
进 200 米，则升高 200× 1
20
=10（米）。
【答案】填 10。
【方法点拨】少数学生因为未能正确理解坡度的意义，而出现使用错误。突破方
法：牢记坡度 1: 399i 表示坡角的正切值即坡角的对边：坡角的邻边= 1
399
，然
后再结合直角三角形，可求出坡角的正弦值，从而容易求得结果。
例 3 如图 8-1，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝4，AD＝BC，
cos∠ADC= 3
5
．求：（1）DC 的长；（2）sinB 的值．
【考点要求】本题考查锐三角函数概念的相关知识及其简单运用。
【思路点拨】（1）∵在 Rt△ABC 中，cos∠ADC＝ 3
5
＝ CD
AD
，设 CD＝3k，∴AD
＝5k
又∵BC＝AD，∴3k+4＝5k，∴k＝2． ∴CD＝3k＝6
（2）∵BC＝3k＋4＝6＋4＝10，AC＝ 2 2AD CD ＝4k＝8
∴AB＝ 2 2 2 28 10 2 41AC BC
∴sinB= 8 4 41
412 41
AC
AB
【答案】（1）CD＝6；（2）sinB= 4 41
41
。
【方法点拨】本题的关键是抓住“AD＝BC”这一相等的关系，应用锐角
三角函数的定义及勾股定理解题．
例 4 如图所示，秋千链子的长度为 3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）
距地面 0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹
角）约为 53 ，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据： 53sin ≈
0.8, 53cos ≈0.6)
【考点要求】本题考查利用锐角三角函数知识和解直角三角形解决实际生
活中的直角三角形问题．
【思路点拨】设秋千链子的上端固定于 A 处，秋千踏板摆动到最高位置时
踏板位于 B 处．过点 A，
0.5m
53 3m
图 8-3-1
图 8-1
B 的铅垂线分别为 AD，BE，点 D，E 在地面上，过 B 作 BC⊥AD 于点 C．
在 Rt ABC 中，∵ 3AB ， 53CAB ，
∴ AC= 53cos3 ≈ 6.03 =1.8（m）．
∴ CD ≈ 7.18.15.03 （m）．
∴ CDBE ≈ 7.1 （m）．
【答案】秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为 7.1 m．
【方法点拨】部分学生想直接求出踏板离地最高的距离即 BE，但却缺少条件。
突破方法：通过作辅助线，将 BE 转化到 CD 位置上，根据题目所给条件容易求
出 AC，从而可求得 CD 的长。
解题关键：利用解直角三角形求解实际问题的关键在于构造适当的直角三角
形。
例 5 如图 8-5，一条渔船某时刻在位置 A 观测灯塔 B、C(灯塔 B 距离 A 处较近)，
两个灯塔恰好在北偏东 65°45′的方向上，渔船向正东方向航行 l 小时
45 分钟之后到达 D 点，观测到灯塔 B 恰好在正北方向上，已知两个灯塔
之间的距离是 12 海里，渔船的速度是 16 海里／时，又知在灯塔 C 周围
18.6 海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的
危险?
【考点要求】本题考查解直角三角形在航海问题中的运用，解决这
类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．
【思路点拨】在 Rt△ABD 中， 716 284AD （海里），
∠BAD=90°-65°45′=24°15′.
∵cos24°15′= AD
AB
， ∴ 28 30.71cos24 15 0.9118
ADAB (海
里).
AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).
在 Rt△ACE 中，sin24°15′= CE
AC
，
∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).
∵17.54＜18.6，∴有触礁危险。
【答案】有触礁危险，不能继续航行。
【方法点拨】本题有两个难点，一是要能将实际问题抽象为数学问题，二是构造合适的直角形。突破方法：有
无触礁危险，关键看离灯塔 C 最近的距离与 18.6 的大小关系，如果最近的距离大于 18.6，则不会有触礁危险。
解题关键：离灯塔最近的距离是从灯塔向航线作垂线段。
例 6 某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树 AB 的影长 AC 为 9 米，并测出此时太阳光线与地面成 30°
夹角．
（1）求出树高 AB；
（2）因水土流失，此时树 AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地
面夹角保持不变，试求树影的最大长度．
（计算结果精确到 0.1 米，参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732）
【考点要求】本题考查解直角三角形在测量中的实际运用．
【思路点拨】（1）在 Rt△A BC 中，∠BAC＝90°，∠C＝30°
∵tanC＝ AB
AC
∴AB＝AC·tanC＝9× 3
3
≈5.2（米）
（2）以点 A 为圆心，以 AB 为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影
ED
C B
A
图 8-3-2
图 8-6-1
图 8-4
EA
C
B
D
北
东
图 8-5-1 图 8-5-2
最长，点 D 为切点，DE⊥AD 交 AC 于 E 点，（如图 2）
在 Rt△ADE 中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝2×5.2＝10.4（米）
【答案】树高 AB 约为 5.2 米，树影有最长值，最长值约为 10.4 米。
【方法点拨】部分学生第（1）问没有太大困难，第（2）问中树在倾倒过程中，确定何处树影最长比较困难。
突破方法：以 A 为圆心，AB 为半径作圆弧，其中与圆弧相切的太阳光线所照射得到的树影最长。
解题关键：如何用直观的方式将树倾倒过程体现出来，这是解决该题的关键所在。
例 7 初三（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图 1A、D 是人工湖边的两座雕塑，AB、BC 是
湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B 点在 A 点北偏东 60o 方向，C 点在 B 点北偏东 45o 方向，C 点在 D 点
正东方向，且测得 AB=20 米，BC=40 米，求 AD 的长．（ 414.12,732.13 ，结果精确到 0.01 米）
【考点要求】本题考查解直角三角形在实际生活当中的综合运用．要求
学生能根据问题实际快速确定正确解决问题的方法．
【思路点拨】过点 B 作 BE⊥D，BF⊥D，垂足分别为 E，F，如图 2
由题意知，AD⊥CD
∴四边形 BFDE 为矩形
∴BF=ED
在 Rt△ABE 中，AE=AB·cos∠EAB
在 Rt△BCF 中，BF=BC·cos∠FBC
∴AD=AE+BF=20·cos60o+40·cos45o
=
2
2402
120 = 22010
=10+20×1.414
=38.28（米）
【答案】38.28 米。
【方法点拨】部分学生知道需要利用解直角三角形来解题，但却又不知从何处入手。突破方法：在无法直接求
出 AD 长的情况下，可考虑分段计算，也就是构造多个直角三角形，化整为零，各个突破，再积零为整，求得结果。
●难点突破方法总结
锐角三角函数与解直角三角形在近年的中考中，难度比以前有所降低，与课改相一致的是提高了应用的要求，
强调利用解直角三角形知识解决生活实际中的有关测量、航海、定位等方面的运用。因此，在本专题中，有以下几
点应加以注意。
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、
方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问
题，这也是以后中考命题的趋势。
第三关：五年真题详解与规律探析
2009 年
19．计算：
1
2009 3 11 sin 602 2
°
= 3 31 22 2
= 1 2 3
22．已知 ABC△ 在平面直角坐标系中的位置如图 10 所示．
（1）分别写出图中点 A C和点 的坐标；
（2）画出 ABC△ 绕点C 按顺时针方向旋转90 A B C °后的△ ；
（3）求点 A 旋转到点 A所经过的路线长（结果保留 π ）．
解：（1） 0 4A ， 、 31C ， ；（2）图略．（3） 3 2AC 90 3 2 π
180AA 3 2 π2
10 分
图 8-6-2
图 10
y
x
8
7
6
5
4
3
2
1
0 87654321
B
C
A
2008 年
3． 下列图案中是轴对称图形的有：
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个
解析：本题考察轴对称图形的识别，判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图
形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合，所以第 2 个、第 3 个、第 4 个都是轴对称图形，应选 C。
8．如图 2，将矩形纸片 ABCD（图 1）按如下步骤操作：（1）以过点 A 的直线为折痕折叠纸片，使点 B 恰好落在
AD 边上，折痕与 BC 边交于点 E（如图 2）；（2）以过点 E 的直线为折痕折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上，折
痕 EF 交 AD 边于点 F（如图 3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为：
（A）60° （B）67.5° （C）72° （D）75°
答案：B 解析：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，可知第一次折叠后，∠EAD=45°，∠AEC=135°，第二次折叠后，∠AEF=67.5°，∠FAE=45°，故由三
角形内角和定理知，∠AFE=67.5
14．如图 4，已知 AB⊥BD，ED⊥BD，C 是线段 BD 的中点，且 AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么 AB=
答案：4 解析：本题主要考查相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识。因为 AB⊥BD，ED⊥BD，所以
∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°，又因为 AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°，所以∠A=∠ECD，所以△ABC
∽△CDE，故
DE
BC
CD
AB ，易求出 AB=4。
15．一个矩形绕着它的一边旋转一周，所得到的立体图形是
答案：圆柱体；解析：根据圆柱体的形成可作出判断。
19．计算： 4245tan2
1)1( 10 。 22
112
11 3
方法点拨：本题考察了零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值和平方根四个方面的知识。解决此类题目的关键
是熟记三角形函数值，理解负整数指数幂、零指数幂和平方根的含义。各地中考题中象这样考察基础运算的题目较
为常见。
2007 年
19．计算： 20071 9 ( 1) cos602
°． 1 13 ( 1)2 2
3 1 2
23．如图 11 所示，点 P 表示广场上的一盏照明灯．（1）请你在图中画出小敏在照明灯 P 照射下的影子（用线段表
示）；（2）若小丽到灯柱 MO 的距离为 4.5 米，照明灯 P 到灯柱的距离为 1.5 米，小丽目测照明灯 P 的仰角为55°，
她的目高 QB 为 1.6 米，试求照明灯 P 到地面的距离（结果精确到 0.1 米）．（参考数据： tan55 1.428° ，
sin55 0.819° ， cos55 0.574° ）
解：（1）如图线段 AC 是小敏的影子，（画图正确）
（2）过点Q 作QE MO⊥ 于 E ，
过点 P 作 PF AB⊥ 于 F ，交 EQ 于点 D ，则 PF EQ⊥
在 Rt PDQ△ 中， 55PQD ，
DQ EQ ED 4.5 1.5 3 （米）
tan55 PD
DQ
3tan55 4.3PD （米）
1.6DF QB 米 4.3 1.6 5.9PF PD DF （米）
2006 年
2．如图 1，已知 AB CD， 相交于点 O ，OE AB⊥ ， 28EOC ，
则 AOD 度．62
19．计算：
1
011 3 ( 2 sin30 )2
3
21．正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O 为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是 2:1（不
要求写作法）．
标出 A C， 的对应点各得 2 分，标出 D B， 的对应点及连对应线段各得 1 分，共 10 分
2005 年
19．计算： 03 tan 60 ( 3) (6 ) π
原式 3 3 3 1 3 3 1 1
小 小4.5ＯA
M P
Ｑ55°
Ｂ
图
灯
28
E
B
D
A O
图 1
Ｃ
C A O B
Q
DE
PM
55
4.5 米
小丽灯柱小敏
图 11
22．：如图 11，石头 A 和石头 B 相距 80cm，且关于竹竿 l 对称，一只电动青蛙在距竹竿 30cm，
距石头Ａ为 60cm 的 1P 处，按如下顺序循环跳跃：
（１） 请你画出青蛙跳跃的路径（画图工具不作限制）．
（２） 青蛙跳跃 25 次后停下，此时它与石头 A 相距
cm，与竹竿l 相距 cm．
（１）图略，每画对一条线给１分，共 4 分 （２）60，50；每空３分，共６分．
第六讲：统计与概率
第一关：考点点睛
统计生活、生产有着密切的关系，所以在中考中的出现也是司空见惯，常常会联系实际最新的背景，充分考查
了学生解决问题的能力，题型多样，分值在 6 分左右。
考点 1：数据的收集、整理
例 1.下列调查中，哪些适合抽样调查？哪些适合全面调查？为什么？
（1）工厂准备对一批即将出口的饮料中含有的细菌总数的情况进行调查；（2）小明准备对全班同学喜爱球类运
动的情况进行调查；（3）了解全市九年级同学的视力情况；（4）某农田保护区对区内的小麦的高度进行调查
思路点拨：全面调查是指对所有考察对象进行的调查，而抽样调查则是从总体中抽取一个样本来进行调查。全
面调查的优点是能反映总体的真实情况，缺点是费时、费力、具有破坏性等；而抽样调查的优点是既省时省力又比
较经济，缺点是抽查的结果与真实情况存在一定的误差。本题中（1）（4）因为具有破坏性，且费时等原因，所以
适合做抽样调查，而（3）中的调查因为工作量等原因也适合做抽样调查；（2）中的调查因为数量少，并且易于调
查，所以适合做全面调查。
例 2.为了了解某一批次（共 20000 台）电视机的质量情况，从中随机抽取了 400 台电视机进行质量检测，有关
这个问题的下列说法：①20000 台电视机是总体；②每台电视机是个体；③400 台电视机是总体的一个样本；④样
本容量是 400，其中正确说法的个数是（ ）
A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
思路点拨：本题主要考查对总体、个体、样本、样本容量的概念的理解：每一个考察对象为个体；所有被考察
的对象为总体；由总体中的一部分个体组成总体的一个样本；样本中个体的数目是样本容量。本题中，总体是这一
批次（共 20000 台）电视机的质量；个体是每一台电视机的质量；样本是 400 台电视机的质量；样本容量是 400，
故说法④正确，故选 A
考点 2：几种统计图
例 1．某学校在七年级的一次考试后，随机抽取了 40 名学生的数学试卷作为样本进行分析：其中第 18 题（满
分为 5 分）的得分如下（单位：分）请补全下表：
4，2，4，3，3，3，5，4，3，3，3，4，4，4，5，2，4，2，3，4，
1，3，5，2，4，4，3，1，4，4，4，3，0，2，2，3，3，3，4，2
得分 0 1 2 3 4 5
频数 1 2 14 3
频率 0.25 0.5 3.25 3.5 0.75
思路点拨：本题考查了频数与频率。频率是频数与数据的总数的比，频率反映了各组频数的大小在总数中所占
的分量。各组频数之和等于数据的总数，频率之和等于 1.通过划记“正”字的方法可以查出得分为 2 分、3 分的频
数，相应的频率可以根据频率的意义计算得出，也可以根据“各组频率之和等于 1”计算得出。易知成绩为 2 分的
频数为 7，成绩为 3 分的频数为 13.2 分相应的频率为 75.140
7 ，
例 2. 下列说法不正确的是( )
A．条形统计图能清楚地反映出各项目的具体数量 B．折线统计图能清楚地反映事物的变化情况
从 1P 点以Ａ为对
称中心跳至Ｐ2 点
从 2P 点以 l 为对
称轴跳至Ｐ３点
从 4P 点以 l 为对
称轴跳至Ｐ1 点
从 3P 点以Ｂ为对
称中心跳至Ｐ４点
Ｂ
1P
l竹竿
石头 石头Ａ
图 11
C．扇形统计图能清楚地表示出各个部分在总体中所占的百分比 D．统计图只有以上三种
考点 3：数据的分析
例 1. 下面的图表是护士统计的一位病人一天的几个时刻体温变化情况：
时间 6:00 10:00 14:00 18:00 22:00
体温/℃ 37.6 38.3 38.0 39.1 37.9
（1）通过图表，估计这个病人下午 16:00 时的体温是（ ）
A．38.0℃ B．39.1℃ C．37.6℃ D．38.6℃
（2）计算这几个时刻体温的极差为 和中位数 。
思路点拨:本题主要考查：（1）从统计图中获取信息的能力,统计图主要有折线图、条形图和扇形图,其中折线图
易于表示数据的变化趋势.由图表可知,下午 14 时的温度是 38.0℃,18 时的温度是 39.1℃,因此 16 时的温度在这两
者之间,符合条件的只有 D.（2）本题还考察了极差与中位数的概念。极差为最大值与最小值的差。39.1-37.6=1.5。
一组数据按大小顺序排列后，处在最中间位置的一个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数。将 5 个
数据按大小顺序排列为：37.6、37.9、38.0、38.6、39.1 位置处于中间的是 38.0 即中位数。
一般步骤是:(1)把数据排序;(2)如果是奇数个数据,最中间的数为中位数;如果是偶数个数据,中间两数的平均
数为中位数. 答案:A.
概率作为新课程改革中新增加的内容，与现实生活有着密切的联系，事件的可能性的大小、游戏是否公平等
等都离开对事件概率的考查，在中考中概率的出现也很出彩，新颖的背景，别致的题型一再成为中考的一大亮点，
出现形式有选择、填空、方案设计等等，分值一般在 3-9 分左右。
考点 1：事件的可能性
例 1．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
体温/℃
时刻/时6 10 14 18 22
37
38
39
40
37.6 38.3 38.0
39.1
37.9
A. 掷一枚普通正六面体骰子，所得点数不超过 6 B.买一张彩票中奖
C. 太阳从西边落下 D.口袋中装有 10 个红球，从中摸出一个是白球
思路点拨：解答本题的关键是分清可能发生、不可能发生、必然发生的意义及它们的区别，对于事件 A，由于普
通正六面体骰子上六个面的数字分别为 1，2，3，4，5，6，都不超过 6，所以事件 A 必然发生；对于事件 B，虽然
买一张体育彩票中奖的可能性很小，但也有中奖的可能，所以事件 B 可能发生；事件 C：“太阳从西边落下”这是公
认的事实，所以事件 C 必然发生；对于 D，由于口袋中中只有红球，所以无法摸出白球，故事件 D 不可能发生。综
上可知，只有 B 是随机事件。
例 2：下列事件是必然事件的是（ ）
A．阴天一定会下雨
B．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放篮球比赛节目
C．某种彩票的中奖率为 1%，买 100 张彩票一定中奖
D．13 名学生中一定有两个人在同一个月过生日
思路点拨：由必然事件、不可能事件、不确定事件等的定义可知，A、B、C 均为不确定事件，D 为必然事件．
考点 2：概率
例 1：在一个不透明的盒子中装有 4 个黑球，n 个红球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个
球，它是黑球的概率为 2
3
，则 n ．
思路点拨：本题主要考查概率的计算. 本题主要考查概率的概念和计算方法，我们可以用数值来刻画事件发生
的可能性大小，这个数值就是概率。一般地，如果一个实验有 n 个等可能的结果，而事件 A 包含其中 k 个结果，我
们这样来计算概率 AP A k
n
事件 包含的可能结果数（ ） 所有可能结果数 .利用上面的公式可得
3
2
4
4 n
，所以.n=2
例 2.小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果他第四次抛硬币，那么硬币正面朝
上的概率为（ ）
A． 1
2
B． 1
4
C．1 D． 3
4
思路点拨：对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，并且是客观存在的，概率是随
机事件自身的属性，并不因为之前事件发生的情况而改变．第四次抛硬币，其实与之前的三次无关，
硬币落地依然有两种等可能的情况：正面朝上、反面朝上．故硬币正面朝上的概率仍是 1
2
．答案：A
考点 3：用频率估计概率
例 1：一个口袋中有 3 个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用
了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，，
不断重复上述过程．小明共摸了 100 次，其中 20 次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（ ）
A．18 个 B．15 个 C．12 个 D．10 个
思路点拨：本题考查了利用实验估计已知数目物体出现的频率的平均值来估计总体数目，此类问题一般用方程
来求解.设口袋中的白球有 x 个，由题意，得
100
20
3
3 x
，解得 x=12.所以应选 C.
例 2：“迎奥运，我为先”联欢会上，班长准备了若干张相同的卡片，上面写的是联欢会上同学们要回答的问题．联
欢会开始后，班长问小明：你能设计一个方案，估计联欢会共准备了多少张卡片？小明用 20 张空白卡片（与写有
问题的卡片相同），和全部写有问题的卡片洗匀，从中随机抽取 10 张，发现有 2 张空白卡片，马上正确估计出了写
有问题卡片的数目，小明估计的数目是（ ）
A．60 张 B．80 张 C．90 张 D．110 张
思路点拨：本题考查了利用实验估计已知数目物体出现的频率的平均值来估计总体数目，此类问题一般用方程
来求解.设有问题卡片的数目 x 个，由题意，得
10
2
20
20 x
，解得 x=80.所以应选 B.
第二关：难点攻克
例 1 六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为 2、3、5、13、3、10，这六个数的中位数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点要求】本题考查统计的基本概念中位数的意义．
【思路点拔】中位数是把数据按一定顺序排列后位于中间位置的一个数或两个数的平均数，本题共 6 个数据，
按从小到大顺序排列后，中间位置的两个数是第 3、4 个，分别是 3 和 5，它们的平均数为 4，所以中位数是 4．
【答案】选 B．
212
1050
2158
690
1313
2515
1173
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
舟山 嘉兴 宁波 湖州 绍兴 杭州 台州
亿元
17 16.5 15.5 15.4 15.3 15 13.6
0
5
10
15
20
舟山 嘉兴 宁波 湖州 绍兴 杭州 台州
%
图 1 图 4-2 图 2
【错解剖析】不能正确理解中位数的意义，简单的理解成中间位置上的一个数或两个数的平均数．突破方法：
判断中位数时，必须先按一定顺序排列．
解题关键：要看清一组数据是否按一定顺序排列．
例 2 如图 4-1 是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图．根
据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ）
A．甲户比乙户多 B．乙户比甲户多
C．甲、乙两户一样多 D．无法确定哪一户多
【考点要求】本题考查扇形统计图的意义．
【思路点拔】因为扇形统计图中的数据只能反映各组数据所占的百分
比的大小，题目中并没有提供支出的总费用，所以不能确定全年食品支出
的具体大小．
【答案】选 D．
【错解分析】部分学生简单地从所占百分比进行比较判断．突破方法：具体费用的多少，必须用总费用乘各项
支出的百分比．
解题关键：扇形图中各项的百分比表示各组数据所占的比例大小，但不能表示具体的数值．
例 3 “长三角”16 个城市中浙江省有 7 个城市．图 4-2 中，图 1、图 2 分别表示 2004 年这 7 个城市 GDP（国
民生产总值）的总量和增长速度．则下列对嘉兴经济的评价，错误．．的是
A．GDP 总量列第五位 B．GDP 总量超过平均值
C．经济增长速度列第二位 D．经济增长速度超过平均值
【考点要求】本题考查条形统计知识，要求能根据统计分析相关数据，得出信息．
【思路点拔】由条形图 1 可知，嘉兴 GDP 总量在杭州、宁波、绍兴、台州之后，位列第 5，而由条形图 2 可知
GDP 增长速度位于舟山之后，列第 2；由图 1，可算得 GDP 总量平均值为 1301.6 亿元，由条形图 2 可算得增长速
度平均值为 15.5%．
【答案】选 B．
【方法点拨】本题以计算为主．突破方法：要做出正确选择，必须求出两个条形图中提供信息的平均值．
例 4 一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对 9 位学生的鞋号进行了抽样调查. 其号码为：24、22、21、24、
23、20、24、23、24. 经销商最感兴趣的是这组数据中的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【考点要求】本题考查统计知识在生活中的应用．
【思路点拔】因为经销商所关心的是哪种号码的鞋最好销售，也就是各种号码中卖出最多的．
【答案】选 B．
【规律总结】本题是一道联系生活实际的问题．突破方法：销售商最想知道的是哪种号码的鞋最好卖，能反应
出这一点的是众数．
例 5 甲、乙、丙三台机床生产直径为 60mm 的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床生产的螺丝中各抽查了 20
个测量其直径，进行数据处理后，发现这三组数据的平均数都是 60mm，它们的方差依次为 S2 甲=0.162，S2 乙=0.058，
S2 丙=0.149.根据以上提供的信息，你认为生产螺丝质量最好的是__ __机床.
【考点要求】本题考查方差的有关知识，方差越小，说明数据波动越小，比较稳定．
【思路点拔】因为 S2 乙＜S2 丙＜S2 甲，所以乙机床生产的螺丝质量比较稳定．
【答案】填乙．
【错解剖析】不能正确理解方差与波动之间的关系．突破方法：正确理解方差越大，波动越大，说明数据越不
稳定．
例 6 以下说法合理的是（ ）
A、小明在 10 次抛图钉的试验中发现 3 次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 30%
B、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现 6 的概率是 1/6 的意思是每 6 次就有 1 次掷得 6
C、某彩票的中奖机会是 2%，那么如果买 100 张彩票一定会有 2 张中奖．
其他
衣着食品
教育其他教育
食品衣着
乙甲
24%19%
23% 34%
21%23%
25% 31%
图 4-1
D、在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为 0.48 和 0.51．
【考点要求】本题考查对概率意义的理解．
【思路点拔】A 项中实验次太少；B 项应该是经过大量实验平均每 6 次有一次掷得 6；C 不一定，彩票数量很
大，这 100 张中可能一张也不会中奖，也可能不止一张中奖；D 项两组概率接近 0.5，所以正确．
【答案】选 D．
【错解剖析】容易错选 B，主要是由于未能正确理解概率的意义，必须是在大量试验的前提下，平均每 6 次就
有 1 次．
例 7 如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得 1 分；抛出其
他结果，甲得 1 分. 谁先累积到 10 分，谁就获胜.你认为 （填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大.
【考点要求】本题考查利用概率判断规则的公平性．
【思路点拔】两枚硬币抛掷的所有可能结果是：正正、正反、反正、反反，其中两个正面的概率是 P（两个正
面）= 1
4
，所以甲的积分为： 3
4
×1= 3
4
，乙的积分为： 1
4
×1= 1
4
.因此甲获胜可能性更大．
【答案】填甲．
【错解剖析】部分学生易错误的认为其它他结果为一正一反即正反与反正，从而把甲得分概率错求为 1
2
．突破
方法：两个正面之外的其他结果包括一正一反、反反．
解题关键：用列举法把各种结果全部表示出来．
例 8 用 6 个球（除颜色外没有区别）设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为 1
2
，摸到红球的概率为 1
3
，
摸到黄球的概率为 1
6
，则应设 个白球， 个红球， 个黄球．
【考点要求】本题考查概率实验中小球数目的确定．
【思路点拔】因为一共有 6 个球，需满足条件：摸到白球的概率为 1
2
，摸到红球的概率为 1
3
，摸到黄球的概率
为 1
6
，则白球有 6× 1
2
=3 个，红球有 6× 1
3
=2 个，黄球有 6× 1
6
=1 个．
【答案】填 3，2，1．
【错解剖析】部分学生容易忽视总共是 6 个球，而只考虑三种颜色球之比为 3：2：1.
例 9 在中考体育达标跳绳项目测试中，1 分钟跳 160 次为达标，小华记录了她预测时 1 分钟跳的次数分别为 145，
156，143，163，166，则他在该次预测中达标的概率是
【考点要求】本题主要考查计算简单事件发生的概率．
【思路点拔】这个事件的所有可能出现的结果有 5 种，其中达标的结果有 2 种，所以他达标的概率是 2
5
.
【答案】 2
5
【方法点拔】由预测的达标概率来估计中考达标原概率．
例 10 我市部分学生参加了 2005 年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩. 已知竞赛成绩分数都是整数，试
题满分为 140 分，参赛学生的成绩分数分布情况如下：
分数段 0－19 20－39 40－59 60－79 80－99 100－119 120－140
人 数 0 37 68 95 56 32 12
请根据以上信息解答下列问题：
（1） 全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？
（2） 经竞赛组委会评定，竞赛成绩在 60 分以上 (含 60 分)的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次
竞赛决赛考生的获奖比例；
（3） 决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？
（4） 上表还提供了其他信息，例如：“没获奖的人数为 105 人”等等. 请你再写出两条此表提供的信息.
【考点要求】本题考查利用统计知识对所给数据进行分析，并解决相关问题．
【思路点拔】（1）全市共有 300 名学生参加本次竞赛决赛，最低分在 20－39 之间，最高分在 120－140 之间
（2） 本次决赛共有 195 人获奖，获奖率为 65％ .
（3） 决赛成绩的中位数落在 60—79 分数段内.
（4） 如“120 分以上有 12 人；60 至 79 分数段的人数最多；……”等.
【答案】（1）最低分在 20－39 之间，最高分在 120－140 之间；
（2）获奖率为 65％；
（3）60 至 79 分；
（4）120 分以上有 12 人；60 至 79 分数段的人数最多．
【方法点拔】从问题出发，对表格中的数据进行分析，找出对解题有用的信息．
例 11 市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了 8 次
选拔比赛．他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67
乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75
(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？
(2)哪位运动员的成绩更为稳定？
(3)若预测，跳过 1.65m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳过 1.70m
才能得冠军呢？
【考点要求】本题考查平均数、方差等知识，并能利用方差判断成绩的稳定性，从而帮助作出决策的实际应用
问题．
【思路点拔】（1） 1.69 1.68x x 乙甲
（2） 2 0.0006s 甲
2 0.0035s 乙
2 2s s 乙甲 故甲稳定
（3）可能选甲参加，因为甲 8 次成绩都跳过 1.65m 而乙有 3 次低于 1.65m；
也可能选乙参加，因为甲仅 3 次超过 1.70m．（答案不唯一，言之有据即可）
【答案】（1） 1.69 1.68x x 乙甲 ；
（2）甲稳定；
（3）答案不唯一，言之有据即可
【方法点拔】回答第（3）问时，并无固定答案，从不同角度可做出不同回答．
例 12 如图所示，A、B 两个旅游点从 2002 年至 2006 年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根
据图中所示解答以下问题：
（1）B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）求 A、B 两个旅游点从 2002 到 2006 年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对
这两个旅游点的情况进行评价；
（3）A 旅游点现在的门票价格为每人 80 元，为保护旅游点环境和游客的安全，A 旅游点的最佳接待人数为 4
万人，为控制游客数量，A 旅游点决定提高门票价
格．已知门票价格 x（元）与游客人数 y（万人）满足
函数关系 5 100
xy ．若要使 A 旅游点的游客人数
不超过 4 万人，则门票价格至少应提高多少？
【考点要求】本题考查从折线图中获取信息，并结合信息加以评价，解决相关问题．
(1)B 旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是 2005 年．
(2) AX ＝
5
54321 ＝3（万元）， BX ＝
5
34233 ＝3（万元）
2
AS ＝
5
1 [(-2) 2 ＋(-1) 2 ＋0 2 ＋1 2 ＋2 2 ]＝2， 2
BS ＝
5
1 [0 2 ＋0 2 ＋(-1) 2 ＋1 2 ＋0 2 ]＝
5
2
从 2002 至 2006 年，A、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为 3 万人，但 A 旅游点较 B 旅游点的旅游人数波动
大．
(3)由题意，得 ５－
100
x ≤４ 解得 x≥100 100-80＝20
【答案】（1）2005 年；
（2）从 2002 至 2006 年，A、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为 3 万人，但 A
旅游点较 B 旅游点的旅游人数波动大；
（3）至少要提高 20 元．
【方法点拔】完成第（3）问时要先确定票价与游客人数的函数关系，然后根据题
图 4-5
2002 2003 2004 2005 2006 年
6
5
4
3
2
1
万人
A
B
图 4-4
目要求列出不等式，求出相应的票价，再计算出票价提高多少．
例 13 小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别 2ｍ和 3ｍ的同心圆（如图 4-5），蒙上眼在一定距
离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判．
（1）你认为游戏公平吗？为什么？
（2）游戏结束后，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”．请
你设计方案，解决这一问题．（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）
【考点要求】本题考查设计用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积的方案，即用概率知识进行方案
设计．
【思路点拔】（1）不公平
∵P(阴)=
9
5
9
49
，即小红胜率为
9
5 ，小明胜率为
9
4
∴游戏对双方不公平
（2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积．
设计方案：① 设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来（如正方形，
其面积为 S）．如图 4-6 所示；
② 往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子，掷在图外不作记录)．
③ 当掷点数充分大（如 1 万次），记录并统计结果，设掷入正方形内 m 次，其
中 n 次掷图形内．
④ 设非规则图形的面积为 S＇，用频率估计概率，即频率 P＇（掷入非规则图形
内）=
m
n 概率 P(掷入非规则图形内)=
S
S1 ，
故
m
n
m
SnSS
S 1
1
【答案】（1）不公平；
（2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积．
【方法点拔】本题第（2）问的解决是在第（1）问的逆向思维基础上进行，只有正确解决了第（1）问并能正
逆理解才能有第（2）问的方案设计思路．
● 难点突破方法总结
统计与概率问题中，中考考查以基础题主为，难题一般为实际运用，解题时应注意以下几点．
1．提高运算技能，平均数、中位数、极差、方差、频率等数值都要定的数学运算得到，而运算的结果将会影
响到统计的预测．
2．提高阅读理解和识别图表的能力，统计问题的试题中，许多问题都是以社会热点为背景，形式灵活多样，
综合性较强，强调课内知识和课外活动相结合，调查分析和收集整理相结合；
3．注重在具体情境中体会概率的意义，理解概率对生活指导的现实作用；
4．加强统计与概率之间的关系，同时要避免将概率内容的学习变成数字运算的练习；
5．加强训练，能用规范的语言表述自己的观点．
第三关：五年真题详解与规律探析
2009 年
16．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现
将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是 ． 4
5
21．为迎接国庆 60 周年，某校举行以“祖国成长我成长”为主题的图片制作比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并
制作成图表如下：
分数段 频数 频率
60≤x＜70 30 0.15
70≤x＜80 m 0.45
80≤x＜90 60 n
90≤x＜100 20 0.1
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中 m n和 所表示的数分别为： __________m n ， __________ ；
（2）请在图 9 中，补全频数分布直方图；
图 4-6
图 9
频数
120
90
60
30
0
分数（分）90 1008060 70
（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）如果比赛成绩 80 分以上（含 80 分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？
21．解：（1） 90 0.3m n ， ；········································································4 分
（2）图略．··································································································· 6 分
（3）比赛成绩的中位数落在：70 分~80 分．························································ 8 分
（4）获奖率为： 60 20 100200
%=40%（或 0.3+0.1=0.4）······································10 分
2008 年
4．小强同学投掷 30 次实心球的成绩如下表所示：
成绩/m 8 9 10 11 12
频数 1 6 9 10 4
由上表可知小强同学投掷 30 次实心球成绩的众数与中位数分别是：（ ）
（A）10，9 （B）10，11 （C）11，9 （D）11，10
解析：众数是指一组数据中出现次数最多的数据，而中位数是指将一组数据按从小（或大）到大（或小）的顺序
排列起来，位于最中间的数（或是最中间两个数的平均数），表格中的数据已经按从小到大排序，位于最中间的两
个数是第 15 个数和第 16 个数，都是 10，它们的平均数也是 10，故选 D。
12．在一个不透明的摇奖箱内装有 20 个形状、大小、质地等完全相同的小球，其中只有 5 个球标有中奖标志，那
么随机抽取一个小球中奖的概率是
解析：理论上中奖的概率是标有中奖标志的球的个数除以所有小球的个数，即
4
1
20
5
18．如图 7，一方形花坛分成编号为①、②、③、④四块，现有红、黄、蓝、紫四种颜色的花
供选种。要求每块只种一种颜色的花，且相邻的两块种不同颜色的花，如果编号为①的已
经种上红色花，那么其余三块不同的种法有 种
解析：若第②、④两块种相同颜色的花，则可分黄、蓝、紫三种颜色，这时第③块可种三种
不同颜色的花，合计 9 种；若第②、④两块种不同颜色的花，则可分黄蓝、黄紫、蓝紫三种情况，这时第③块可
种两种不同的颜色的花，合计 6 种，总计 15 种。
22．随着中国——东盟自由贸易区进程的加快和中国——东盟博览会永久落户南宁，东盟已成为广西的第一大贸易
伙伴，下面的统计图（部分）反映了 2003 年至 2007 年广西对东盟的进出口贸易总额变化情况，请你根据图中的信
息解答下列问题：
（1）2007 年广西对东盟的进出口贸易总额比 2006 年增加了 10.8 亿美元，达 亿美元，请补充完整条形
统计图；（2）2007 年广西对东盟的出口贸易总额约占进出口贸易总额的 60%，那么这一年广西对东盟的出口贸易总
额约为 亿美元（精确到 0.1）；（3）根据上面补充完整后的统计图判断广西对东盟的进出口贸易总额相对
上一年增长速度最快的是 年，2007 年进出口贸易总额相对于 2006 年的年增长率约为 59%，按照这样的
增长率，请你预测 2008 年广西对东盟的进出口贸易总额约为 亿美元（精确到 0.1）。
答案：（1）29.1；图略。
（2）17.5；
（3）2007；46.3。
方法点拨：本题考察条形统计图的知识。结合生活实际，绘制条形统
计图或从统计图中获取有用的信息，是今年中考的热点。
只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大。
2007 年
7．若 100 个产品中有 95 个正品，5 个次品，从中随机抽取一个，恰
好是次品的概率是 ． 1
20
（或 0.05）
22．2008 年奥运会即将在北京举行，南宁市某校学生会为了了解全校同学喜欢收看奥运会比赛项目的情况，随机调
查了 200 名同学，根据调查结果制作了频数分布表：
（1）补全频数分布表；
（2）在这次抽样调查中，最喜欢收看哪个奥运会比赛项目的同学最多？最喜欢收看哪个比赛项目的同学最少？
（3）根据以上调查，试估计该校 1800 名学生中，最喜欢收看羽毛球比赛的人数．
最 喜 欢 收 看 的
项目 频数（人数） 频率
足球 16%
篮球 56 28%
排球 20 10%
羽毛球 34 17%
乒乓球 20 10%
游泳
跳水 18 9%
田径 8 4%
合计 200
解：（1）足球的频数是 32，游泳的频数是 12，游泳的频率是 6%（或 0.06），
合计的频率是100% （或 1）（每空 1 分）······················································ 4 分
（2）篮球最多·························································································· 6 分
田径最少··································································································8 分
（3）1800 17% 306 （人）···································································10 分
2006 年
3．有关部门需要了解一批食品的质量情况，通常采用的调查方式是
（填：抽样调查或普查）．抽样调查
10．图 4 是小李发明的填图游戏，游戏规则是：把 5，6，7，8 四个数分别填入图中的空格
内，使得网格中每行、每列的数字从左至右和从上到下都按从小到大的顺序排列．那么一
共有 种不同的填法．6
22．某城区举行“八荣八耻”演讲比赛，中学组根据初赛成绩在七，八年级分别选出 10 名
同学参加决赛，这些选手的决赛成绩如图 7 所示：
团体成绩 众数 平均数 方差
七年级 85.7 39.6
八年级 85.7 27.81
根据图 7 和右表提供的信息，解答下列问题：
（1）请你把右边的表格填写完整；
（2）考虑平均数与方差，你认为 年级的团体成绩更好些；
（3）假设在每个年级的决赛选手中分别选出 3 人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强一些，请说明理由．
1 2
43
9
图 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分）
（1）七年级众数是 80，八年级众数是 85····························································· 4 分
（2）八·····································································································6 分
（3）解法一：七年级前三名总分：99 91 89 279 分··································· 8 分
八年级前三名总分：97 88 88 273 分··································· 9 分
七年级实力更强些··································································10 分
解法二：由图可以看出七年级的第一、二、三名的分数分别比八年级的一、二、三名分数高 9 分
所以七年级更强些··································································10 分
2005 年
４．小明的书包里装有外观完全相同的８本作业本，其中语文作业本３本，数学作业本３本，英语作业本２本．小
明从书包中随机抽出一本作业本是数学作业本的概率是 ． 3
8
８．某公司销售部有五名销售员，2004 年平均每人每月的销售额分别是 6、8、11、9、8（万元）．现公司需增加一
名销售员，三人应聘试用三个月，平均每人每月的销售额分别为：甲是上述数据的平均数，乙是中位数，丙是众数．最
后正式录用三人中平均月销售额最高的人是 ．甲
24．南宁市政府为了了解本市市民对首届中国－东盟博览会的总体印象，利用最新引进的
“计算机辅助电话访问系统”（简称 CATI 系统），采取电脑随机抽样的方式，对本市
年龄在 16～65 岁之间的居民，进行了 300 个电话抽样调查．并根据每个年龄段的抽查人数和该年龄段对博览
会总体印象感到满意的人数绘制了下面的图 12－1 和图 12－2（部分）
根据上图提供的信息回答下列问题：
（１）被抽查的居民中，人数最多的年龄段是 岁；
（２）已知被抽查的 300 人中有 83%的人对博览会总体印象感到满意，请你求出 21～30 岁
年龄段的满意人数，并补全图 12－2；
（３）比较 21～30 岁和 41～50 岁这两个年龄段对博览会总体印象满意率的高低（四
舍五入到 1%）．
注：某年龄段的满意率＝该年龄段满意人数 该年龄段被抽查人数100％．
（１）21～30 岁
（２）21～30 岁满意的人数为：
0 0300 83 (41 50 40 18 7) 93 （人） 画图
（３）21～30 岁的满意率： 0 0 00 0 000
93 93100 100 79300 39 117
41～50 岁的满意率： 0 0 00 0 000
40 40100 100 89300 15 45
因此 21～30 岁年龄段比 41～50 岁年龄段的满意率低
图 12－1 21～30 岁 31～40 岁 41～50 岁 51～60 岁 61～65 岁
０
20
40
60
80
100
41
50
40
18
7
16～20 岁
满意人数
年龄段
图 12－2
