2009年新疆乌鲁木齐市高中招生考试数学试题及答案

2009年新疆乌鲁木齐市高中招生考试数学试题及答案

新疆乌鲁木齐市2009年高中招生考试 数学试卷（问卷）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．本卷共4页，满分150分．考试时间120分钟．考试时可使用科学计算器．‎ ‎ 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试卷指定的位置上．‎ ‎ 3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚．‎ ‎ 4．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效．在草稿纸、本试卷上答题无效．‎ ‎ 5．作图可先用2B铅笔绘出图，确定后必须用0.5毫米的黑色字迹的签字笔描黑．‎ ‎ 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）每题的选项中只有一项符合题目要求．‎ ‎1．的绝对值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列运算中，正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．若相交两圆的半径分别为1和2，则此两圆的圆心距可能是（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎4．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）‎ A．5 B．‎6 ‎ C．7 D．8‎ ‎5．下列几何体中，其主视图、左视图与俯视图均相同的是（ ）‎ A．正方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 O x y B 图1‎ ‎6．如图1，正比例函数与反比例函数（是 非零常数）的图象交于两点．若点的坐标为（1，2），‎ 则点的坐标是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．要得到二次函数的图象，需将的图象（ ）‎ A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案直接填在答题卡的相应位置处．‎ A D E C B 图2‎ ‎8．在平面直角坐标系中，点在第四象限，则实数的取值范围是 ．‎ ‎9．如图2，在中，，若，则 ．‎ ‎10．化简： ．‎ B O D A C 图3‎ ‎11．某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量（张）满足的不等式为 ．‎ ‎12．瑞瑞有一个小正方体，6个面上分别画有平行四边形、圆、等腰梯形、菱形、等边三角形和直角梯形这6个图形．抛掷这个正方体一次，向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．‎ ‎13．如图3，点在以为直径的上，且平分，若，则的长为 ．‎ 三、解答题（本大题Ⅰ-Ⅴ题，共10小题，共98分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ Ⅰ．（本题满分12分，第14题6分，第15题6分）‎ ‎14．计算：．‎ ‎15．解方程．‎ Ⅱ．（本题满分28分，第16题7分，第17题10分，第18题11分）‎ ‎16．如图4，将的对角线向两个方向延长至点和点，使，求证四边形是平行四边形．‎ A F C E B D 图4‎ ‎17．某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对、两种商品实行打折出售．打折前，购买5件商品和1件商品需用84元；购买6件商品和3件商品需用108元．而店庆期间，购买50件商品和50件商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？‎ ‎18．如图5，在中，，以为直径的交于点， 于点．‎ ‎（1）求证是的切线；‎ A O B M N C 图5‎ ‎（2）若，求图中阴影部分的面积．‎ Ⅲ．（本题满分34分，第19题12分，第20题10分，第21题12分）‎ ‎19．某中学组织全校4 000名学生进行了民族团结知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图6的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．‎ 分组 频数 频率 ‎50.5~60.5‎ ‎0.05‎ ‎60.5~70.5‎ ‎70.5~80.5‎ ‎80‎ ‎80.5~90.5‎ ‎0.26‎ ‎90.5~100.5‎ ‎148‎ ‎0.37‎ 合计 ‎1‎ 图6‎ 频数 ‎160‎ ‎140‎ ‎120‎ ‎100‎ ‎80‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎0‎ 成绩/分 ‎50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5‎ 请根据以上提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）补全频数分布表；‎ ‎（2）补全频数分布直方图；‎ ‎（3）上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内？‎ ‎（4）学校将对成绩在90.5~100.5分之间的学生进行奖励，请估计全校4 000名学生中约有多少名获奖？‎ B A D C 图7‎ 北 东 西 南 ‎20．九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A处测得南岸的一尊石雕C在其东南方向，再向正北方向前进‎10米到达B处，又测得石雕C在其南偏东30°方向．你认为此方案能够测得该公园的湖心亭A处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？‎ ‎21．有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：‎ ‎（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？‎ ‎（2）若此单位恰好花费7 500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？‎ Ⅳ．（本题满分10分）‎ ‎22．星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量（立方米）与时间（小时）的函数关系如图8所示．‎ ‎（1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？‎ ‎（2）当时，求储气罐中的储气量（立方米）与时间（小时）的函数解析式；‎ ‎（3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．‎ y(立方米)‎ x(小时)‎ ‎10 000‎ ‎8 000‎ ‎2 000‎ ‎0‎ ‎0.5‎ ‎10.5‎ 图8‎ Ⅴ．（本题满分14分）‎ ‎23．如图9，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．‎ ‎（1）试证明：无论点运动到何处，总与相等；‎ ‎（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；‎ ‎（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标．‎ y O x P D B 图9‎ 新疆乌鲁木齐市2009年高中招生考试 数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）‎ ‎1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．C 7．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎8． 9．8 10． 11． 12． 13．‎ 三、解答题（本大题共10小题，共98分）‎ Ⅰ．（本题满分12分，第14题6分，第15题6分）‎ ‎14．解：原式 3分 ‎ ． 6分 ‎15．解：方程两边同乘以，得，即，解得． 4分 检验：时，，‎ ‎∴原方程的解是． 6分 Ⅱ．（本题满分28分，第16题7分，第17题10分，第18题11分）‎ ‎16．证明：连接，设与交于点．‎ ‎∵四边形是平行四边形，∴， 5分 又∵，∴． 6分 ‎∴四边形是平行四边形． 7分 ‎17．解：设打折前A商品的单价为元，B商品的单价为元，根据题意有 解之，得 8分 打折前购买50件A商品和50件B商品共需元．‎ ‎∴打折后少花元．‎ 答：打折后少花40元． 10分 ‎18．（1）证明：连接．‎ ‎∵，∴，∵，∴．‎ ‎∴，∴．‎ 又，∴，点在上，∴是的切线． 5分 ‎（2）连接．∵为直径，点在上，∴．‎ ‎∵，∴，∴．‎ 又∵在中，于点，∴．‎ ‎，‎ ‎， 8分 ‎∴，，‎ ‎∴． 11分 Ⅲ．（本题满分34分，第19题12分，第20题10分，第21题12分）‎ ‎19．解：（1）‎ 分组 频数 频率 ‎50.5~60.5‎ ‎20‎ ‎60.5~70.5‎ ‎48‎ ‎0.12‎ ‎70.5~80.5‎ ‎0.2‎ ‎80.5~90.5‎ ‎104‎ ‎90.5~100.5‎ 合计 ‎400‎ ‎ （每空1分） 6分 ‎（2）略； 8分 ‎（3）80.5~90.5； 10分 ‎（4）1480人． 12分 ‎20．解：此方案能够测得该公园的湖心亭A处到南岸的距离．‎ 过点A作南岸所在直线的垂线，垂足是点D，AD的长即为所求．‎ 在中，∵，∴‎ 在中，∵，∴ 7分 由题意得：，解得 答：该公园的湖心亭A处到南岸的距离约是‎13.7米． 10色 ‎21．解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用（元）；在乙公司购买需要用（元）（元）．应去乙公司购买； 3分 ‎（2）设该单位买台，若在甲公司购买则需要花费元；若在乙公司购买则需要花费元；‎ ‎①若该单位是在甲公司花费7 500元购买的图形计算器，‎ 则有，解之得．‎ 当时，每台单价为，符合题意，‎ 当时，每台单价为，不符合题意，舍去． 10分 ‎②若该单位是在乙公司花费7 500元购买的图形计算器，则有，解之得，不符合题意，舍去．‎ 故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台． 12分 Ⅳ．（本题满分10分）‎ ‎22．解：（1）由图可知，星期天当日注入了立方米的天然气； 2分 ‎（2）当时，设储气罐中的储气量（立方米）与时间（小时）的函数解析式为：‎ ‎（为常数，且），∵它的图象过点，，‎ ‎∴ 解得 故所求函数解析式为：． 6分 ‎（3）可以．‎ ‎∵给18辆车加气需（立方米），储气量为（立方米），‎ 于是有：，解得：，‎ 而从8：00到10：30相差2.5小时，显然有：，‎ 故第18辆车在当天10：30之前可以加完气． 10分 Ⅴ．（本题满分14分）‎ ‎23．解：（1）∵点是的中点，∴，∴．‎ 又∵是的角平分线，∴，‎ ‎∴，∴． 3分 ‎（2）过点作的平分线的垂线，垂足为，点即为所求．‎ 易知点的坐标为（2，2），故，作，‎ ‎∵是等腰直角三角形，∴，‎ ‎∴点的坐标为（3，3）．‎ y O x D B P E F M ‎∵抛物线经过原点，‎ ‎∴设抛物线的解析式为．‎ 又∵抛物线经过点和点，‎ ‎∴有 解得 ‎∴抛物线的解析式为． 7分 ‎（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于的平分线的对称点即为点．‎ 连接，它与的平分线的交点即为所求的点（因为，而两点之间线段最短），此时的周长最小．‎ ‎∵抛物线的顶点的坐标，点的坐标，‎ 设所在直线的解析式为，则有，解得．‎ ‎∴所在直线的解析式为．‎ 点满足，解得，故点的坐标为．‎ 的周长即是．‎ ‎（4）存在点，使．其坐标是或． 14分