2009年辽宁省锦州市中考数学试题及答案

2009年辽宁省锦州市中考数学试题及答案

2009 年辽宁省锦州市中考数学试题、答案及评分标准 ★考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分 一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入题 后括号内，每小题 3 分，共 24 分) 1.太阳的直径约为 1390000 千米，这个数用科学记数法表示为( ) A.0.139×107 千米 B.1.39×106 千米 C.13.9×105 千米 D.139×104 千米 2.-6 的倒数是( ) A.6 B.-6 C. D.- 3.图 1 是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是( ) 4.不等式组 的解集是( ) A.x≤3 B.1＜x≤3 C.x≥3 D.x＞1 5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) 6.如图 2，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A 的度数是( ) A.61° B.60° C.37° D.39° 7.图 3 是由四个全等的直角三角形围成的，若两条直角边分别为 3 和 4， 则向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是(不考虑落在线上的 情形)( ) A. B. C. D. 8.如图 4 所示，在△ABC 中，AB=AC，M、N 分别是 AB、 AC 的中点，D、E 为 BC 上的点，连接 DN、EM，若 AB=5cm， BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为( ) A.1cm2 B.1.5cm2 C.2cm2 D.3cm2 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 9.函数 中自变量 x 的取值范围是__________. 10.分解因式：a2b-2ab2+b3=____________________. 11.反比例函数 的图象经过点(-2,3)，则 k 等于____. 12.小亮练习射击，第一轮 10 枪打完后他的成绩如图 5，他 10 次成绩的方差是 ___________. 13.将一块含 30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是 3 ， 则圆锥的侧面积是____. 14.为了估计不透明的袋子里装有多少白球，先从袋中摸出 10 个球都做上标记，然后放 回袋中去，充分摇匀后再摸出 10 个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有 ______个白球. 15.如图 6 所示，点 A、B 在直线 MN 上，AB=11cm，⊙A、 ⊙B 的半径均为 1cm，⊙A 以每秒 2cm 的速度自左向右运动， 与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径 r(cm)与时间 t(秒)之间的关系式为 r=1+t(t≥0)，当点 A 出发后____秒 两圆相切. 16.图 7-1 中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的 面积为 S1；图 7-2 中的四个圆的半径相等，并依次外切， 且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为 S2；图 7-3 中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形的各 边相切，设这九个圆的面积之和为 S3，……依此规律， 当正方形边长为 2 时，第 n 个图中所有圆的面积之和 Sn=________. 三、(每题 8 分，共 16 分) 17.先化简 ，再任选一个你喜欢的数代入求值. 18.△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图 8 所示，其 中每个小正方形的边长为 1 个单位长度. (1)将△ABC 向右移平 2 个单位长度，作出平移后的 △A1B1C1，并写出△A1B1C1 各顶点的坐标； (2)若将△ABC 绕点(-1,0)顺时针旋转 180°后得到 △A2B2C2，并写出△A2B2C2 各顶点的坐标； (3)观察△A1B1C1 和△A2B2C2，它们是否关于某点成中心对称？若是，请写出对称中心的 坐标；若不是，说明理由. 四、(每题 10 分，共 20 分) 19.某校开展以“庆国庆 60 周年”为主题的艺术活动，举办了四个项目的比赛.它们分 别是：A 演讲、B 唱歌、C 书法、D 绘画.要求每位同学必须参加且限报一项.以九年(一)班为 样本进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图 9 中所给出的信息解答下列 问题： (1)求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比； (2)求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在的扇形圆心角的度数； (3)若该校九年级学生共有 500 人，请你估计这次活动中参加演讲和唱歌的学生共有多 少人？ 20.为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥.如图 10 所示，测量队 在点 A 处观测河对岸水边有一点 C，测得 C 在北偏东 60°的方向上，沿河岸向东前行 30 米 到达 B 处，测得 C 在北偏东 45°的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河 的宽度.(结果保留根号) 五、(每题 10 分，共 20 分) 21.小刚和小明玩“石头”、“剪子”、“布”的游戏，游戏的规则为：“石头”胜“剪 子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”，若两人所出手势相同，则为平局. (1)玩一次小刚出“石头”的概率是多少？ (2)玩一次小刚胜小明的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明. 22.根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长 300 米的盲道.铺设了 60 米后， 由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 10 米，结果共用了 8 天完 成任务，该工程队改进技术后每天铺设盲道多少米？ 六、(每题 10 分，共 20 分) 23.如图 11，AB 为⊙O 的直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点 D，DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E，FB 是⊙O 的切线交 AD 的延长线于点 F. (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若 DE=3，⊙O 的半径为 5，求 BF 的长. 24.某商场购进一批单价为 50 元的商品，规定销售 时单价不低于进价，每件的利润不超过 40%.其中销售量 y(件)与所售单价 x(元)的关系可以近似的看作如图 12 所表示的一次函数. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值 范围； (2)设该公司获得的总利润(总利润=总销售额-总成本)为 w 元，求 w 与 x 之间的函数关 系式.当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？ 七、(本题 12 分) 25.如图 13，直角梯形 ABCD 和正方形 EFGC 的边 BC、 CG 在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC 于点 B，AD=4，AB=6， BC=8，直角梯形 ABCD 的面积与正方形 EFGC 的面积相等， 将直角梯形 ABCD 沿 BG 向右平行移动，当点 C 与点 G 重 合时停止移动.设梯形与正方形重叠部分的面积为 S. (1)求正方形的边长； (2)设直角梯形 ABCD 的顶点 C 向右移动的距离为 x，求 S 与 x 的函数关系式； (3)当直角梯形 ABCD 向右移动时，它与正方形 EFGC 的重叠部分面积 S 能否等于直角梯 形 ABCD 面积的一半？若能，请求出此时运动的距离 x 的值；若不能，请说明理由. 八、(本题 14 分) 26.如图 14，抛物线与 x 轴交于 A(x1,0)，B(x2,0)两点， 且 x1＞x2，与 y 轴交于点 C(0,4)，其中 x1,x2是方程 x2-2x-8=0 的两个根. (1)求这条抛物线的解析式； (2)点 P 是线段 AB 上的动点，过点 P 作 PE∥AC，交 BC 于点 E，连接 CP，当△CPE 的面积最大时，求点 P 的坐标； (3)探究：若点 Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这 样的点 Q，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若 不存在，请说明理由. 参考答案及评分标准 一、选择题 1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.C 7.D 8.B 二、填空题 9.x＞3 10.b(a-b)2 11.-6 12.5.6 13.18π 14.100 15.3 秒， ，11 秒，13 秒 16.π 三、 17.解： = ……3 分 = ……4 分 = ……5 分 = . ……6 分 (x 只要不取 0，±2 均可) 如当 x=1 时， ……7 分 原式= =0. ……8 分 18.解：(1)图略，A1(0,4)， B1(-2,2)， C1(-1,1). ……3 分(图形正确给 2 分，坐标正 确给 1 分) (2)图略， A2(0,-4)， B2(2,-2)， C2(1,-1). ………6 分(图形正确给 2 分，坐标正确 给 1 分) (3)△A1B1C1 与△A2B2C2 关于点(0，0)成中心对称. ……8 分(指出是中心对称给 1 分，写 出点的坐标给 1 分) 四、19.解：(1)∵参加唱歌的 B 项人数为 25 人 ,占全班人数的百分比为 50%， ∴九年(一)班学生数为 25÷50%=50(人) .……2 分 ∴参加绘画的 D 项人数占全班总人数的百分比为 2÷50=4%.……3 分 (2)360°×(1-26%-50%-4%)=72°.……5 分 ∴参加书法比赛的 C 项所在的扇形圆心角的度数是 72°.……6 分 (3)根据题意：A 项和 B 项学生的人数和占全班总人数的 76%，……7 分 ∴500×76﹪=380(人). ……9 分 ∴估计这次活动中参加演讲和唱歌的学生共有 380 人. ……10 分 20.解：过点 C 作 CD⊥AB 于 D. ……1 分 设 CD=x 米. 在 Rt△BCD 中，∠CBD=45°， ∴BD=CD=x 米. ……4 分 在 Rt△ACD 中，∠DAC=30°，AD=AB+BD=(30+x)米. ∵tan∠DAC= ， ……7 分 ∴ . ……8 分 ∴x= . ……9 分 答:这条河的宽度为( )米. ……10 分 五．21.解：(1) . ……3 分 由树状图可知，可能出现的结果有 9 种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜 小明的结果有 3 种，所以 . …………10 分 或列表： 小刚 小明 石头 剪子 布 石头 (石,石) (石，剪) (石,布) 剪子 (剪,石) (剪,剪) (剪,布) ……5 分 ……7 分 布 (布,石) (布,剪) (布,布) ……9 分 由列表可知，可能出现的结果有 9 种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小 明的结果有 3 种，所以 . ……10 分 22.解：设该工程队改进技术后每天铺设盲道 x 米，则改进技术前每天铺设(x-10)米.…1 分 根据题意，得 . ……5 分 整理，得 2x2-95x+600=0. ……6 分 解得 x1=40 ,x2=7.5. ……8 分 经检验 x1=40 ,x2=7.5 都是原方程的根，但 x2=7.5 不符合实际意义，舍去， ∴x=40. ……9 分 答：该工程队改进技术后每天铺设盲道 40 米. ……10 分 (注:解法不唯一,请参照给分) 六、23．解：(1)连接 OD. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠1=∠2. 又∵OA=OD ，∴∠1=∠3. ∴∠2=∠3. ……2 分 ∴OD∥AE. ∵DE⊥AE， ∴DE⊥OD. ……3 分 而 D 在⊙O 上， ∴DE 是⊙O 的切线. ……4 分 (2)过 D 作 DG⊥AB 于 G. ……5 分 ∵DE⊥AE ，∠1=∠2. ∴DG=DE=3 ，半径 OD=5. 在 Rt△ODG 中，根据勾股定理: ， ∴AG=AO+OG=5+4=9. ……6 分 ∵FB 是⊙O 的切线， AB 是直径， ∴FB⊥AB.而 DG⊥AB， ∴DG∥FB. ……8 分 △ADG∽△AFB， ∴ . ……9 分 ∴ . ∴BF= .……10 分 24.解(1) 最高销售单价为 50(1+40%)=70(元).……1 分 根据题意，设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b(k≠0). ……2 分 ∵函数图象经过点(60，400)和(70，300)， ∴ ……3 分 解得 ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=-10x+1000， x 的取值范围是 50≤x≤70.……5 分 (2)根据题意，w=(x-50)(-10x+1000)， ……6 分 W=-10x2+1500x-50000,w=-10(x-75)2+6250. ……7 分 ∵a=-10 ，∴抛物线开口向下. 又∵对称轴是 x=75，自变量 x 的取值范围是 50≤x≤70 ， ∴y 随 x 的增大而增大. ……8 分 ∴当 x=70 时，w 最大值=-10(70-75)2+6250=6000(元). ∴当销售单价为 70 元时，所获得利润有最大值为 6000 元. ……10 分 七、25.解： (1) . ……1 分 设正方形边长为 x， ∴x2=36. ∴x1=6, x2=-6(不合题意,舍去). ∴正方形的边长为 6.……3 分 (2)①当 0≤x＜4 时，重叠部分为△MCN. ……4 分 过 D 作 DH⊥BC 于 H，可得△MCN∽△DHN， ∴ . ∴ ………5 分 ∴ . ∴ . ……6 分 ②当 4≤x≤6 时，重叠部分为直角梯形 ECND. ……7 分 . ∴S=6x-12. ……9 分 (3)存在. ……10 分 ∵S 梯形 ABCD=36，当 0≤x＜4 时， ， ∴ (取正值)＞4. ∴此时 x 值不存在. ……11 分 当 4≤x≤6 时，S=6x-12， ∴ . ∴x=5. 综上所述，当 x=5 时，重叠部分面积 S 等于直角梯形的一半. ……12 分 八、26.解：(1) ∵x2-2x-8=0 ，∴(x-4)(x+2)=0 .∴x1=4,x2=-2. ∴A(4,0) ,B(-2,0). ……1 分 又∵抛物线经过点 A、B、C,设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c (a≠0)， ∴ ∴ ……3 分 ∴所求抛物线的解析式为 . ……4 分 (2)设 P 点坐标为(m,0),过点 E 作 EG⊥x 轴于点 G. ∵点 B 坐标为(-2，0)，点 A 坐标(4,0)， ∴AB=6， BP=m+2. ∵PE∥AC， ∴△BPE∽△BAC. ∴ . ∴ . ∴S△CPE= S△CBP- S△EBP = . ∴ . ∴ . ……7 分 又∵-2≤m≤4， ∴当 m=1 时，S△CPE 有最大值 3. 此时 P 点的坐标为(1，0). ……9 分 (3)存在 Q 点，其坐标为 Q1(1，1)， ， ， ， .……14 分