2010年广东省河源市中考数学试题

2010年广东省河源市中考数学试题

‎2010年河源市初中毕业生学业考试 数 学 试 题 一、选择题（每小题3分，共15分）‎ ‎1．－2的相反数是（ ）‎ A．2 B．－‎1 ‎‎ C．－ D． ‎2．右图所示几何体的正视图是（ ）‎ A B C D 温度/℃‎ 时间/时 ‎26‎ ‎24‎ ‎22‎ ‎20‎ ‎18‎ ‎16‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2 4 6 8‎ ‎10 12 14 16 18 20 22 24‎ O ‎3．如图是我市某一天内的气温变化图，根据图形，下列说法中错误的是（ ）‎ A．这一天中最高气温是‎24℃‎ B．这一天中最高气温与最低气温的差为‎16℃‎ C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低 ‎4．函数的自变量x的取值范围是（ ）‎ A．x≥1 B．x≥－‎1 C．x≤1 D．x≤－1‎ ‎5．下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）‎ A．圆 B．正方形 C．矩形 D．正三角形 二、填空题（每小题4分，共20分）‎ A B C E F ‎6．如图，在△ABC中，BC＝‎6cm，E、F分别是AB、AC的中点，‎ 则EF＝_______cm．‎ ‎7．已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(1，－1)，‎ 则k＝___________．‎ ‎8．甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中的进球数分别为：9、9、11、7，则这组数据的：①众数为_____________；②中位数为____________；③平均数为__________．‎ ‎9．若x1、x2是一元二次方程x2―2x―1＝0的两个根，则x1＋x2的值等于__________．‎ ‎10．平面内不过同一点的n条直线两两相交，它们的交点个数记作an，并且规定a1＝0．那么：①a2＝_____；②a3－a2＝_______；③an－an-1＝______(n≥2，用含n的代数式表示)．‎ 三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎11．分解因式：a3－ab2．‎ A B C D E F P ‎12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．按以下步骤作图：‎ ①以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC、AB于点E、D；‎ ②分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于点P；‎ ③连结AP交BC于点F．‎ 那么：‎ ‎(1)AB的长等于__________(直接填写答案)；(2)∠CAF＝_________°(直接填写答案)．‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．解方程：．‎ ‎15．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(―1，3)和点B(2，―3)．‎ ‎(1)求这个一次函数的表达式；‎ ‎(2)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积．‎ 四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）‎ ‎16．在平面直角坐标系中，点M的坐标为(a，1－‎2a)．‎ ‎(1)当a＝－1时，点M在坐标系的第___________象限(直接填写答案)；‎ ‎(2)将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．‎ ‎17．(1)如图①，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B．求证：PA＝PB．‎ ‎(2)如图②，过⊙O外一点P的两条直线分别与⊙O相交于点A、B和C、D．则当 时，PB＝PD(不添加字母符号和辅助线，不需证明，只需填上符合题意的一个条件)．‎ O O A B P B A P C D 图①‎ 图②‎ ‎18．如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用‎40m长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．‎ 教学楼 x ‎(1)求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；‎ ‎(2)生物园的面积能否达到‎210m2‎?说明理由．‎ 人数 分数 O ‎2‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎49.5‎ ‎59.5‎ ‎69.5‎ ‎79.5‎ ‎89.5‎ ‎100.5‎ ‎19．某校九年级有200名学生参加了全国初中数学联合竞赛的初赛，为了了解本次初赛的成绩情况，从中抽取了50名学生，将他们的初赛成绩(得分为整数，满分为100分)分成五组：第一组49.5～59.5；第二组59.5～69.5；第三组69.5～79.5；第四组79.5～89.5；第五组89.5～100.5．统计后得到图8所示的频数分布直方图(部分)．观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎(1)第四组的频数为_____(直接写答案)．‎ ‎(2)若将得分转化为等级，规定：得分低于59.5分评为“D”，59.5～69.5分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”，89.5～100.5分评为“A”．那么这200名参加初赛的学生中，参赛成绩评为“D”的学生约有________个(直接填写答案)．‎ ‎(3)若将抽取出来的50名学生中成绩落在第四、‎ 第五组的学生组成一个培训小组，再从这个培训小组中随机挑选2名学生参加决赛．用列表法或画树状图法求：挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的概率．‎ 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎21．河东中学初三(1)班学生到万绿湖春游，有一项活动是划船、游船有两种，甲种船每条船最多只能坐4个人，乙种船每条船最多只能坐6个人．已知初三(1)班学生的人数是5的倍数，若仅租甲种船，则不少于12条；若仅租乙种船，则不多于9条．‎ ‎(1)求初三(1)班学生的人数；‎ ‎(2)如果甲种船的租金是每条船10元，乙种船的租金是每条船12元．应怎样租船，才能使每条船都坐满，且租金最少？说明理由．‎ ‎22．如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．‎ ‎(1)求证：PE＝PF；‎ ‎(2)当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由；‎ B C A M N P F E ‎(3)若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且＝．求此时∠A的大小．‎ ‎23．如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C(0，3)，B(4，1)，以BC为直径的圆交x轴于E、D两点(D点在E点右方)．‎ ‎(1)求点E、D 的坐标；‎ ‎(2)求过B、C、D三点的抛物线的函数关系式；‎ O D A B C y x ‎(3)过B、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．‎ 河源市2010年初中毕业生学业考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题(每小题3分共15分)‎ ‎1．A 2．A 3．D 4．B 5．D 二、填空题(每小题4分，共20分)‎ ‎6．3；7．―1；8．9，9，9；9．―2；10．1，2，(前2空每空1分，后一空2分，共4分)‎ 三、解答题(本大题5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎11．解：原式＝┄┄(3′)＝┄┄(6′)‎ ‎12．⑴ 4 ┄┄(3′ ⑵ 30┄┄(3′‎ ‎13．解：原式＝┄┄4′＝1+2┄┄5′＝3┄┄6′‎ ‎14．解：原方程变形为 ┄┄2′‎ 方程两边都乘以去分母得：x―1＝2X ┄┄4′‎ 解这个整式方程得x＝―1 ┄┄5′‎ 经检验：x＝―1是原方程的根 ┄┄6′‎ ‎15．解：⑴依题意得 ┄┄1′ 解得 ┄┄2′‎ ‎∴所求一次函数的表达式是 ┄┄3′‎ ‎⑵令X＝0，由得，y＝1，令y＝0，由，得X＝┄┄4′‎ ‎ ∴直线AB与坐标轴的交点坐标分别是和┄┄5′‎ ‎ 所以所围成的三角形面积为：＝┄┄6′‎ 四、解答题(二)(本大题4小题，每小题7分，共28分)‎ ‎16．⑴ 2 ┄┄3′‎ ‎⑵解：依题意得 ┄┄5′解得 ┄┄7′‎ ‎17．证明：⑴ 连接OA，OB，‎ ‎∵PA，PB分别是⊙O的切线，‎ ‎∴OA⊥PA，OB⊥PB ┄┄2′‎ 在Rt△POA和Rt△POB中，‎ ‎∵ ┄┄3′‎ ‎∴Rt△POA≌Rt△POB┄┄4′‎ ‎∴PA＝PB┄┄5′‎ ‎⑵ AB＝CD ┄┄7′‎ ‎18．解：⑴依题意得： ┄┄1′‎ ‎ ∴ ＝┄┄2′‎ ‎ 的取值范围是 ┄┄3′‎ ‎ ‎ ‎⑵当时，由⑴可得， ┄┄4′‎ ‎ 即┄┄5′‎ ‎ ∵ ∴ ┄┄6′‎ ‎ ∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．┄┄7′‎ ‎19．解：⑴ 2 ┄┄1′⑵ 64 ┄┄2′ ‎ ‎⑶依题得第四组的频数是2，第五组的频数也是2，设第四的2名学生分别为．第五组的2名学生为．，列表(或画树状图)如下，‎ A1‎ A2‎ B1‎ B2‎ A1‎ ‎――‎ A1、A2‎ A1、B1‎ A1、B2‎ A2‎ A2、A1‎ ‎――‎ A2、B1‎ A2、B2‎ B1‎ B1、A1‎ B1、A2‎ ‎――‎ B1、B2‎ B2‎ B2、A1‎ B2、A2‎ B2、B1‎ ‎――‎ ‎┄┄5′‎ 由上表可知共有12种结果，其中两个都是90分以上的有两种结果，所以恰好都是在90分以上的概率为 ┄┄7′‎ ‎20．解：⑴设初三(1)有5人，依题意得， ┄┄2′‎ 解得， ┄┄3′‎ ‎∵5是正整数，∴取10， ‎ 所以初三(1)的学生人数为50人．┄┄4′‎ ‎ ⑵设租甲船x条，租乙船y条，租金为P，则 ‎ ‎ ‎ ∴ ， ┄┄6′‎ ‎ 又∵都是非负整数，即 ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴的取值是0．1．2┄┄12，┄┄8′‎ ‎ ∵∴当取最小值，且为非负整数时，P的值也为最小． ‎ ‎∴‎ 所以应租甲船5条，乙船5条．┄┄9′‎ ‎21．⑴，证明：∵CE平分∠BCA ，‎ ‎∴∠BCE＝∠PCE 又MN∥BC，‎ ‎∴∠BCE＝∠PEC ‎∴∠PCE＝∠PEC ‎∴PE＝PC┄┄2′‎ 同理PF＝PC ‎∴PE＝PF┄┄3′‎ ‎⑵不能．┄┄4′，理由是：‎ ‎∵由⑴可知，PE＝PF＝PC，‎ 又PC+PF>CF，‎ ‎∴PE+PF>CF 即EF>CF┄┄5′‎ 又菱形的四条边都相等，‎ 所以四边形BCFE不可能是菱形．┄┄6′‎ ‎⑶若四边形AECF 是正方形．则AP＝CP， ∠ACE＝‎ ‎∵∠BCE＝∠PCE ‎∴∠BCA＝┄┄7′‎ 又∵‎ ‎∴即tan∠B＝┄┄8′‎ ‎∴∠B＝60°∴∠A＝90°―∠B＝30°┄┄9′‎ ‎22．解：⑴，在BC上取中点G，并过G作GH⊥x轴于H ，连接GD，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴G∴H(2，0) ┄┄1′‎ ‎∵BC＝，GH＝2―0＝2‎ 又DG＝BG＝‎ ‎∴HD＝‎ ‎∴D(3，0)，E(1，0) ┄┄2′‎ ‎⑵设过B、C、D三点的抛物线表达式为则，‎ ‎ ┄┄3′‎ 解得， ┄┄4′‎ ‎∴┄┄5′‎ ‎⑶设Q，由(2)可得Q．过Q作QN⊥X轴于N 分2种情况：‎ ‎①当∠BDQ＝90 º时，∴∠NDQ+∠BDA＝90° ‎ ‎∵∠DNQ＝∠BAD＝90 º∴∠NDQ+∠NQD＝90°∴∠NQD＝∠BDA ‎∴△NDQ∽△ABD ∴┄┄6′‎ 即 解得，‎ 当，当，‎ ‎∴，(与点D重合，舍去) ┄┄7′‎ ‎② 当∠DBQ＝90º时，则有 ，‎ ‎∵B(4，1)，D(3，0)，Q， ‎ ‎∴BD＝‎ ‎∴+2＝‎ 整理得，，解得，┄┄8′‎ ‎∴当时，＝1，(此时，Q点与B点重合，舍去)当时，‎ ‎∴(与点B重合，舍去)，‎ 综上所述符合条件的点有2个，分别是，．┄┄9′‎