德州市2015年中考数学卷

德州市2015年中考数学卷

绝密★启用前 试卷类型:A ‎ 德州市二○一五年初中学业水平考试 ‎ 数 学 试 题 ‎ 本试题分选择题36分；非选择题84分；全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的县（市、区）、学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上．‎ ‎2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．‎ ‎3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共36分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． ‎ ‎1．的结果是 A． B． C．-2 D．2‎ ‎2．某几何体的三视图如图所示，则此几何体是 第2题图 A．圆锥 ‎ B．圆柱 ‎ C．长方体 D．四棱柱 ‎ ‎3. 2014年德州市农村中小学校舍标准化工程开工学校项目356个，开工面积56.2万平方米，开工面积量创历年最高．56.2万平方米用科学记数法表示正确的是 A．m2 B． m2 C． m2 D． m2‎ ‎4．下列运算正确的是 A． B． C． D．‎ ‎5．一组数1，1，2，x，5，y，…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为 A．8 B．9 C．13 D．15‎ A B C B′‎ C′‎ 第6题图 ‎6．如图，在△ABC中，∠CAB=65°．将△ABC在平面内绕点A旋转到△的位置，使得∥AB，则旋转角的度数为 A．35°‎ B．40°‎ C．50°‎ D．65°‎ ‎7．若一元二次方程有实数解，则a的取值范围是 A．a<1 B．a4 C． a1 D． a 1‎ ‎8．下列命题中，真命题的个数是 ‎①若 ，则；②若，则；‎ ‎③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎9．如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5．那么所需扇形铁皮的圆心角应为 第9题图 A．288° B．144° ‎ C．216° D．120°‎ ‎10．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转．如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是 A． B． C． D．‎ 第11题图 A B C D E F O ‎11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；‎ ‎③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；‎ ‎④．上述结论中正确的是 ‎ A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④‎ ‎12．如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n）在直线上运 动，设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是 ‎2‎ x A y O P ‎（第12题图）‎ ‎1‎ m S O B m S O A C m ‎1‎ S O m S O ‎1‎ D 第Ⅱ卷（非选择题 共84分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．‎ ‎13．计算+=_______．‎ ‎14．方程 的解为x=_______．‎ A B D C 第16题图 ‎15．在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8，10，8，9，6﹒计算这组数据的方差为_________．‎ ‎16．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50º，观测旗杆底部B的仰角为45º，则旗杆的高度约为________m．(结果精确到0.1m．参考数据：sin50º0.77，cos50º0.64，tan50º1.19)‎ ‎17． 如图1，四边形中，AB∥CD，，．取的中点，连接，再分别取、的中点，，连接，得到四边形，如图2；同样方法操作得到四边形，如图3；…，如此进行下去，则四边形的面积为 ． ‎ ‎…‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ 第17题图 C ‎2‎ D ‎2‎ A ‎2‎ D C B A A ‎1‎ D ‎1‎ C ‎1‎ C ‎1‎ D ‎1‎ A ‎1‎ A B C D D C B A ‎ ‎ 三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎18． (本题满分6分) ‎ 先化简，再求值： ，其中 ，．‎ ‎19． (本题满分8分)‎ ‎2014年1月，国家发改委出台指导意见，要求2015年底前，所有城市原则上全面实行居民阶梯水价制度．小明为了解市政府调整水价方案的社会反响，随机访问了自己居住小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1、图2．‎ 图1‎ 每月每户用水量（m3）‎ 户数 ‎5‎ ‎25‎ ‎22‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎18‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎30°‎ 视调价涨幅采取相应的 用水方式改变 不管调价涨幅如何都要改变用水方式 用水方式改变 对调价涨幅抱无所谓，不会考虑用水方式改变 用水方式改变 图2‎ n°‎ ‎120°‎ 第19题图 小明发现每月每户的用水量在5m3—35 m3之间，有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓，不会考虑用水方式的改变．根据小明绘制的图表和发现的信息，完成下列问题：‎ ‎（1）n=_______，小明调查了_______户居民，并补全图1；‎ ‎（2）每月每户用水量的中位数和众数分别落在什么范围？‎ ‎（3）如果小明所在小区有1800户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少？ ‎ ‎20．(本题满分8分)‎ 第20题图 x y O A C B E D 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，BE∥AC，AE∥OB．‎ ‎（1）求证：四边形AEBD是菱形； ‎ ‎（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．‎ ‎21． (本题满分10分)‎ 如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．‎ ‎（1）判断ABC的形状：______________；‎ ‎（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．‎ B C P O A A C B O 第21题图 第21题备用图 ‎22． (本题满分10分) ‎ 第22题图 ‎40‎ ‎120‎ x（元/千克）‎ y（千克）‎ ‎160‎ O 某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． ‎ ‎（1）根据图象求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？‎ 23． ‎ (本题满分10分) ‎ ‎（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点为上一点， ．‎ 求证：AD·BC=AP·BP．‎ ‎（2）探究 如图2，在四边形ABCD中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．‎ ‎（3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题：‎ 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5， 点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPD=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，‎ 图1‎ A P B C D 图2‎ P A C B D 图3‎ P D A C B 第23题图 DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．‎ ‎24． (本题满分12分) ‎ 已知抛物线 y=mx2+4x+2m与x轴交于点A（，0）、B(，0)，且．‎ ‎（1）求抛物线的解析式． ‎ ‎（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l对称点为E．是否存在 x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标．‎ x O A B C D l y 第24题备用图 x O A B C D l y 第24题图 E E 德州市二○一五年初中学业水平考试 数学试题参考解答及评分意见 评卷说明：‎ ‎1．选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分．‎ ‎2．解答题每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分数．本答案对每小题只给出一种解法，对考生的其他解法，请参照评分意见进行评分．‎ ‎3．如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分．‎ 一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B C D A C C B A C D B 二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分)‎ ‎13． ；14．2； 15． ； 16．7.2；17． ．‎ 三、解答题：(本大题共7小题, 共64分)‎ ‎18. (本题满分6分) ‎ ‎ 解：原式=‎ ‎ = …………………………………………2分 ‎ =． …………………………………………4分 ‎∵ ，，‎ ‎∴ ，． …………………………………………5分 原式== ． …………………………………………6分 ‎19．(本题满分8分)‎ 解：（1）210 96 …………………………………………2分 补全图1为：‎ 每月每户用水量（m3）‎ 户数 ‎5‎ ‎25‎ ‎22‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎18‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎ …………………………………………4分 ‎（2）中位数落在15—20之间，众数落在10—15之间；………………………6分 ‎（3）视调价涨幅采取相应的用水方式改变的户数为：‎ ‎1800× =1050（户）． ……………………………………………8分 ‎20 ．(本题满分8分)‎ （1） 证明：∵ BE∥AC，AE∥OB，‎ ‎∴四边形AEBD是平行四边形． …………………………………………2分 又∵四边形OABC是矩形，‎ ‎∴OB=AC，且互相平分，‎ ‎∴DA=DB．‎ ‎∴四边形AEBD是菱形． …………………………………………4分 x y O A C B E D F ‎（2）连接DE，交AB于点F．‎ 由（1）四边形AEBD是菱形，‎ ‎∴AB与DE互相垂直平分．………………………5分 又∵OA=3，OC=2，‎ ‎∴EF=DF=OA= ，AF=AB=1 ．‎ ‎∴E点坐标为（ ，1）．…………………………………………7分 设反比例函数解析式为 ，‎ 把点E（ ，1）代入得． ‎ ‎∴所求的反比例函数解析式为．…………………………………………8分 ‎21．(本题满分10分) ‎ 解：（1）等边三角形．…………………………………………2分 ‎（2）PA+PB=PC． …………………………………………3分 证明：如图1，在PC上截取PD=PA，连接AD．……………………………4分 B C P O A D 图1‎ ‎∵∠APC=60°，‎ ‎∴△PAD是等边三角形． ‎ ‎∴PA=AD，∠PAD=60°．‎ 又∵∠BAC=60°，‎ ‎∴∠PAB=∠DAC．‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴△PAB≌△DAC．…………………………………………6分 ‎∴PB=DC．‎ ‎∵PD+DC=PC，‎ ‎∴PA+PB=PC．…………………………………………7分 ‎（3）当点P为的中点时，四边形APBC面积最大．…………………8分 A C B O P E F 图2‎ 理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，‎ 过点C作CF⊥AB，垂足为F，‎ ‎∵， ．‎ ‎∴S四边形APBC= ．‎ ‎∵当点P为弧AB的中点时，PE+CF =PC， PC为⊙O直径，‎ ‎∴四边形APBC面积最大．‎ 又∵⊙O的半径为1，‎ ‎∴其内接正三角形的边长AB= ．………………………………………………9分 ‎∴S四边形APBC= =．………………………………………………10分 ‎40‎ ‎120‎ x（元/千克）‎ y（千克）‎ ‎160‎ O ‎22．(本题满分10分) ‎ 解：（1）设y与x函数关系式为y=kx+b，把点 ‎（40，160），（120， 0）代入得，‎ ‎ ………………………3分 解得 ‎ ‎∴y与x函数关系式为y=-2x+240（ ）．………………………5分 （1） 由题意，销售成本不超过3000元，得40（-2x+240） 3000．‎ 解不等式得，．‎ ‎∴．………………………7分 根据题意列方程得（x-40）（-2x+240）=2400．………………………8分 即：．‎ 解得 ， ．………………………9分 ‎∵60<82.5，故舍去．‎ ‎∴销售单价应该定为100元．………………………10分 ‎23. (本题满分10分)‎ ‎（1）证明：如图1‎ ‎∵∠DPC=∠A=∠B=90°，‎ ‎∴∠ADP+∠A PD=90°．‎ ‎∠BPC+∠APD=90°．‎ ‎∴∠ADP=∠BPC，‎ ‎∴△ADP∽△ BPC．………………………………………………………1分 ‎∴．‎ ‎∴ADBC=APBP ．………………………………………………………2分 图2‎ P A C B D ‎(2)结论ADBC=APBP仍成立. ‎ 理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，‎ 又∵∠BPD=∠A+∠ADP，‎ ‎∴∠A+∠ADP =∠DPC+∠BPC．‎ ‎∵∠DPC=∠A= ，‎ ‎∴∠BPC=∠ADP．………………………………………3分 又∵∠A=∠B=，‎ ‎∴△ADP∽△ BPC．………………………………………4分 ‎∴．‎ ‎∴ADBC=APBP．………………………………………5分 ‎（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E．‎ ‎∵AD=BD=5，‎ ‎∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4. ………………………………………6分 图3‎ P D A C B E P1‎ ‎∵以D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，‎ ‎∴DC＝DE＝4，‎ ‎∴BC＝5－4＝１．‎ 又∵AD=BD，‎ ‎∴∠A=∠B．‎ 由已知，∠CPD=∠A，‎ ‎∴∠DPC=∠A=∠B．‎ 由（1）、（2）的经验可知ADBC=APBP . ………………………7分 又AP＝t，BP＝6－t，‎ ‎∴t（6－t）＝5×１．…………………………………………………8分 解得t１＝１，t２＝5．‎ ‎∴t的值为1秒或5秒．…………………………………………………10分 ‎24．(本题满分12分)‎ x O A B C D l y M N D′′‎ E′′‎ F′‎ G′‎ 图1‎ E ‎（1）由题意可知，， 是方程 的两根，由根与系数的关系可得，+= ，=-2．………………………1分 ‎∵ ，‎ ‎∴ ．即：．‎ ‎∴m=1．………………………2分 ‎∴抛物线解析式为． ………………………3分 （2） 存在x轴，y轴上的点M，N，使得四边形DNME的周长最小．‎ ‎∵，‎ ‎∴抛物线的对称轴为 ，顶点D的坐标为（2，6）．………………………4分 又抛物线与y轴交点C的坐标为（0，2），点E与点C关于对称，‎ ‎∴E点坐标为（4，2）． ‎ 作点D关于y轴的对称点D′，作点E关于x轴的对称点E′，…………………………5分 则D′坐标为（-2，6），E′坐标为（4，-2）．连接D′E′，交x轴于M，交y轴与N．‎ 此时，四边形DNME的周长最小为D′E′+DE．（如图1所示）‎ 延长E′E， D′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8．‎ ‎∴D′E′= = ．…………………………6分 O x y D E Q1‎ P1‎ Q2‎ Q3‎ P3‎ P4‎ Q4‎ P2‎ O x 图2‎ G H 设对称轴与CE交于点G，在Rt△DG E中，DG=4，EG=2．‎ ‎∴DE= =．‎ ‎∴四边形DNME的周长的最小值为 ‎10+ ．…………………………8分 ‎（3）如图2， P为抛物线上的点，过P作PH⊥x轴，垂足为H．若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE．‎ ‎∴PH=DG=4． …………………………9分 即 =4．‎ ‎∴当y=4时， =4，解得．…………………………10分 当y=-4时， =-4，解得．‎ ‎∴点P的坐标为（ ，4），（，4），（，-4），（，-4）．‎ ‎……………………………12分