中考数学复习专题 圆的有关性质

中考数学复习专题 圆的有关性质

专题22 圆的有关性质 ‎☞解读考点 知　识　点 名师点晴 垂径定理 ‎1．垂径定理 能运用垂径定理解决有关问题．‎ ‎2．垂径定理逆定理 能运用垂径定理的逆定理解决有关问题．‎ 圆心角、弧、弦之间相等关系的定理 ‎1．圆心角 了解圆心角的概念 ‎2．圆心角、弧、弦之间相等关系的定理 应用弧、弦、圆心角的关系进行证明和计算．‎ 圆周角 ‎1．圆周角 了解圆周角的概念 ‎2．圆周角的定理 理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．‎ ‎☞2年中考 ‎【2015年题组】‎ ‎1．（2015梧州）如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（　　）‎ ‎　 A． 20° B． 30° C． 40° D． 70°‎ ‎【答案】A．‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎2．（2015河池）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD=48°，则∠BAC的大小是（　　）‎ A．60° B．48° C．30° D．24°‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵直径AB⊥CD，∴，∴∠BAC=∠BOD=×48°=24°．故选D．‎ 考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．‎ ‎3．（2015淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是（　　）‎ A．100° B．110° C．120° D．130°‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠A=180°，∴∠A=180°﹣70°=110°．故选B．‎ 考点：圆内接四边形的性质．‎ ‎4．（2015巴中）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（　　）‎ A．25° B．50° C．60° D．30°‎ ‎【答案】A．‎ 考点：1．圆周角定理；2．平行线的性质．‎ ‎5．（2015凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（　　）‎ A．80° B．100° C．110° D．130°‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连接OC，如图所示，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=100°，∵∠1+∠BOC=360°，∴∠1=260°，∵∠A=∠1，∴∠A=130°．故选D．‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎6．（2015遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（　　）‎ A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，故选B．‎ 考点：1．垂径定理；2．勾股定理．‎ ‎7．（2015襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（　　）‎ A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°‎ ‎【答案】C．‎ 考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论．‎ ‎8．（2015白银）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　）‎ A．80° B．160° C．100° D．80°或100°‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎9．（2015兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（　　）‎ A．80° B．90° C．100° D．无法确定 ‎【答案】B．‎ 考点：1．圆周角定理；2．坐标与图形性质．‎ ‎10．（2015甘南州）⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB，∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3，∴OD=AD﹣OA=2，Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB=‎ ‎=．故选C．‎ 考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．等腰直角三角形．‎ ‎11．（2015莆田）如图，在⊙O中，，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（　　）‎ A．50° B．40° C．30° D．25°‎ ‎【答案】D．‎ 考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．‎ ‎12．（2015龙东）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）‎ A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°‎ ‎【答案】C．‎ 考点：1．圆周角定理；2．含30度角的直角三角形；3．垂径定理；4．分类讨论．‎ ‎13．（2015南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（　　）‎ A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图1，连接BD、CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD===，∵弦AD平分∠BAC，∴CD=BD=，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，∵∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，∴△ABD∽△BED，∴，即，解得DE=，∴AE=AB﹣DE=5﹣=2.8．故选B．‎ 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．综合题．‎ ‎14．（2015扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（　　）‎ A．①② B．②③ C．①②③ D．①③‎ ‎【答案】D．‎ 考点：1．锐角三角函数的增减性；2．圆周角定理．‎ ‎15．（2015南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．轴对称-最短路线问题；2．圆周角定理；3．综合题．‎ ‎16．（2015雅安）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．‎ 其中正确结论的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，∴AD=BD，，∠MAN=90°，故①②③正确；‎ ‎∵，∴，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB，故④正确；‎ ‎∵∠MAE=∠AME，∴AE=ME，∠EAF=∠AFM，∴AE=EF，∴AE=MF，故⑤正确．‎ 正确的结论共5个．故选D．‎ 考点：1．圆周角定理；2．垂径定理；3．压轴题．‎ ‎17．（2015南通）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD= cm．‎ ‎【答案】8．‎ 考点：1．垂径定理；2．勾股定理．‎ ‎18．（2015甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为 度．‎ ‎【答案】30．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，∴OE=OC，∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，∴∠ABC=30°．故答案为：30．‎ 考点：1．垂径定理；2．含30度角的直角三角形；3．圆周角定理．‎ ‎19．（2015兰州）已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A 的度数是 ．‎ ‎【答案】30°或150°．‎ 考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等边三角形的判定与性质；3．圆周角定理；4．分类讨论．‎ ‎20．（2015天水）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由图可得，∠AED=∠ABC，∵⊙O在边长为1的网格格点上，∴AB=2，AC=1，则tan∠ABC==，∴tan∠AED=．故答案为：．‎ 考点：1．圆周角定理；2．锐角三角函数的定义；3．网格型．‎ ‎21．（2015漳州）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为 ．‎ ‎【答案】61°．‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎22．（2015长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 ．‎ ‎【答案】4．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案为：4．‎ 考点：1．垂径定理；2．勾股定理．‎ ‎23．（2015曲靖）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD= ．‎ ‎【答案】．‎ 考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．‎ ‎24．（2015包头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为 ．‎ ‎【答案】2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=，在Rt△ACD中，∵sinD==，∴AC=AD=×8=2．故答案为：2．‎ 考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．‎ ‎25．（2015山西省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点．若∠A=40°，则∠B= 度．‎ ‎【答案】70°．‎ 考点：1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系．‎ ‎26．（2015陕西省）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=，∴MN=AD=，故答案为：．‎ 考点：1．三角形中位线定理；2．等腰直角三角形；3．圆周角定理；4．最值问题．‎ ‎27．（2015青海省）如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D= ．‎ ‎【答案】28°．‎ 考点：1．圆周角定理；2．等腰三角形的性质．‎ ‎28．（2015常州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 ．‎ ‎【答案】．‎ 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．圆心角、弧、弦的关系；4．圆周角定理；5．综合题；6．压轴题．‎ ‎29．（2015百色）已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．‎ ‎（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；‎ ‎（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC于F．‎ ‎①求证：OD⊥BC；‎ ‎②求EF的长．‎ ‎【答案】（1）作图见试题解析；（2）①证明见试题解析；②．‎ ‎（2）①如图2，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD，∴， ∵OD过圆心，∴OD⊥CB；‎ ‎②∵AB为直径，∴∠C=90°，∵OD⊥CB，∴∠OFB=90°，∴AC∥OD，∴，，即，∴OF=2，∵FD=5﹣2=3，在RT△OFB中，BF===，∵OD⊥BC，∴CF=BF=，∵AC∥OD，∴△EFD∽△ECA，∴，∴，∴EF=CF==．‎ 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．‎ ‎30．（2015南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．‎ ‎（1）求证：∠A=∠AEB；‎ ‎（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．‎ ‎【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．‎ 考点：1．圆内接四边形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．圆周角定理；4．综合题．‎ ‎31．（2015凉山州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点．‎ ‎（1）求证：PA•PB=PD•PC；‎ ‎（2）若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见试题解析；（2）3．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先连接AD，BC，由圆内接四边形的性质可知∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，故可得出△PAD∽△PCB，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；‎ ‎（2）由PA•PB=PD•PC，求出CD，根据垂径定理可得点O到PC的距离．‎ 试题解析：（1）连接AD，BC，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，∴△PAD∽△PCB，∴，∴PA•PB=PC•PD；‎ ‎（2）连接OD，作OE⊥DC，垂足为E，∵PA=，AB=，PD=DC+2，∴PB=16，PC=2DC+2，∵PA•PB=PD•PC，∴×16=（DC+2，第1题，2DC+2），解得：DC=8或DC=﹣11（舍去），∴DE=4，∵OD=5，∴OE=3，即点O到PC的距离为3．‎ 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．圆周角定理；3．综合题．‎ ‎32．（2015安徽省）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．‎ ‎（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；‎ ‎（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，PQ==，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP=OB=，∴PQ长的最大值为=．‎ 考点：1．圆周角定理；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．最值问题；5．压轴题．‎ ‎33．（2015镇江）‎ ‎【发现】‎ 如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）‎ ‎【思考】‎ 如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？‎ 请证明点D也不在⊙O内．‎ ‎【应用】‎ 利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．‎ ‎（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；‎ ‎（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=，AD=1，求DG的长．‎ ‎【答案】【思考】证明见试题解析；【应用】（1）证明见试题解析；（2）．‎ ‎【应用】‎ ‎（1）如图2，取CD的中点O，则点O是RT△ACD的外心，∵∠CAD=∠DEC=90°，∴点E在⊙O上，∴∠ACD=∠AED，∵∠FDA=∠AED，∴∠ACD=∠FDA，∵∠DAC=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°，∴∠FDA+∠ADC=90°，∴OD⊥DF，∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线；‎ ‎（2）∵∠BGE=∠BAC，∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图3，又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆，即⊙O，∴点G在⊙O上，∵CD是直径，∴∠DGC=90°，∵AD∥BC，∴∠ADG=90°，∵∠DAC=90°，∴四边形ACGD是矩形，∴DG=AC，∵sin∠AED=，∠ACD=∠AED，∴sin∠ACD=，在RT△ACD中，AD=1，∴=，∴CD=，∴AC==，∴DG=．‎ 考点：1．切线的判定；2．圆周角定理；3．圆的综合题；4．压轴题．‎ ‎【2014年题组】‎ ‎1．（2014·四川省乐山市）在△ABC中，AB=AC=5，sinB=，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=，则OA的值（　　）‎ ‎　 A． 3或5 B． 5 C． 4或5 D． 4‎ ‎【答案】A．‎ 考点：1．垂径定理；2．等腰三角形的性质；3．勾股定理；4．解直角三角形．‎ ‎2．（2014·嘉兴）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【答案】C．‎ 考点：1．勾股定理；2．垂径定理．‎ ‎3．（2014·凉山）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）‎ A． B． C．或 D. 或 ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论 连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm．‎ 当C点位置如答图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴cm．‎ ‎∴CM=OC+OM=5+3=8cm．∴在Rt△AMC中，cm．‎ 当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm．‎ ‎∴在Rt△AMC中，cm．‎ 综上所述，AC的长为或．‎ 故选C．‎ 考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．分类思想的应用．‎ ‎4．（2014·呼和浩特）已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎5．（2014·张家界）如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，，则PA+PC的最小值为 ．‎ ‎【答案】．‎ 考点：1．轴对称的应用（最短路线问题）；2．勾股定理；3．垂径定理．‎ ‎6．（2014·黑龙江省大庆市）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为　 ．‎ ‎【答案】2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图．∵M为AC中点，过M点最长的弦为BD，∴BD是直径，BD=4，且AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积=AC•BD=×1×4=2．‎ 考点：1．垂径定理；2．勾股定理．‎ ‎7．（2014·湖南省湘西州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE=　 　cm．‎ ‎【答案】4．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵CD⊥AB，∴CE=CD=×6=3cm，∵在Rt△OCE中，OE=cm．‎ 考点：1．垂径定理；2．勾股定理．‎ ‎8．（2014·湖南常德市）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O到弦CD的距离为　　 ．‎ ‎【答案】3．‎ 考点：1．垂径定理；2．勾股定理．‎ ‎9．（2014·湖南长沙市）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=　 度．‎ ‎【答案】50．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∠ACB=∠AOB=×100°=50°．‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎10．（2014·牡丹江）⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为　 　．‎ ‎【答案】1或3．‎ 考点：1．垂径定理；2．勾股定理．‎ ‎☞考点归纳 归纳 1：垂径定理及其推论 基础知识归纳：‎ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．‎ 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．‎ ‎（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．‎ ‎（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．‎ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．‎ 基本方法归纳：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．‎ 注意问题归纳：这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．‎ ‎【例1】如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．垂径定理；2．勾股定理．‎ 归纳 2：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 基础知识归纳：‎ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等．‎ 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．‎ 基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．‎ 注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．‎ ‎【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（　　）‎ ‎　 A． 30° B． 40° C． 50° D． 80°‎ ‎【答案】B．‎ 考点：圆心角、弧、弦的关系．‎ 归纳 3：圆周角定理 基础知识归纳：‎ 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．‎ 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．‎ 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．‎ 基本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．‎ 注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．‎ ‎【例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠BOC=（ ）‎ A．25° B．50° C.130° D.155°‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵CD⊥AB，∠DAB=65°，∴∠ADC=90°-∠DAB=25°．‎ ‎∴∠AOC=2∠ADC=50°．‎ ‎∴∠BOC=180°-∠AOC=130°．‎ 故选C．‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎☞1年模拟 ‎1．（2015届湖北省宜昌市调研考试）如图，用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心，这种方法应用的道理是（ ）‎ A．垂径定理 B．勾股定理 ‎ C．直径所对的圆周角是直角 ‎ D．900的圆周角所对的弦是直径 ‎【答案】D．‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎2．（2015届浙江省宁波市联考）如图，点A，B，C在⊙O上，已知∠ABC=130°，则∠AOC=（ ）‎ A．100° B．110° C．120° D．130°‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在优弧AC上取点D，连接AD，CD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=130°，∴∠D=180°-10°=50°．∵∠D与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠AOC=2∠D=100°．故选A．‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎3．（2015届江苏省盐城东台一模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（ ）‎ A．22 B．24 C． D．‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．‎ ‎4．（2015届湖北省武汉市联考）如图，AB是⊙O的直径且AB=，点C是OA的中点，过点C[，作CD⊥AB交⊙O于D点，点E是⊙O上一点，连接DE，AE交DC的延长线于点F，则AE·AF的值为（ ）．‎ A ． B． C． D． ‎ ‎【答案】B．‎ 考点：相似三角形的判定和性质；圆周角定理．‎ ‎5．（2015届陕西省西安市一模）如图，已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，连结OC、‎ AD，∠OCD=32°，则∠A=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连接OD，由题意，∠COB=90°-32°=58°，由垂径定理知∠COB=∠DOB，所以∠A=29°．故选B．‎ 考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．‎ ‎6．（2015届山西农业大学附属中校级模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连结AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（ ）‎ A、35° B、45° C、55° D、65°‎ ‎【答案】C．‎ 考点：圆周角的性质，直角三角形．‎ ‎7．（2015届山西农业大学附属中校级模拟）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM ‎＝3，则⊙O的半径等于（ ）‎ A、8 B、4 C、10 D、5‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连接OA，即可证得△OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM=4，根据勾股定理即可求得OA的长=5．‎ 考点：垂径定理， 勾股定理．‎ ‎8．（2015届广东省黄冈中学校级模拟）如图PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，若∠P=40°，∠ABP=____________°．‎ ‎【答案】70°．‎ 考点：切线的性质．‎ ‎9．（2015届江西省南昌市校级模拟）在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值是 cm．‎ ‎【答案】8．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，，∴，∵，AB为直径，∴C′D为直径，∴CM+DM的最小值是8cm．‎ 考点：1．轴对称-最短路线问题；2．勾股定理；3．垂径定理．‎