2014江西省中考数学

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2014江西省中考数学

‎2014年江西省中考数学 ‎(满分120分,时间120分钟)‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)‎ ‎1.(2014江西省 1,3分)下列四个数中,最小的数是(  )‎ A.-  B.0  C.-2  D.2‎ ‎【答案】C ‎2.(2014江西省 2,3分)某市6月份某周气温(单位:℃)为23,25,28,25,28,31,28,则这组数据的众数和中位数分别是(  )‎ A.25,25  B.28,28  C.25,28  D.28,31‎ ‎【答案】B ‎3.(2014江西省 3,3分)下列运算正确的是(  )‎ A.a2+a3=a5  B.(-2a2)3=-6a6  ‎ C.(2a+1)(2a-1)=2a2-1  D.(2a3-a2)÷a2=2a-1‎ ‎【答案】D ‎4.(2014江西省 4,3分)直线y=x+1与y=-2x+a的交点在第一象限,则a的取值可以是(  )‎ A.-1  B.0  C.1  D.2‎ ‎【答案】D ‎5.(2014江西省 5,3分)如图,贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩,做好后发现上口太小了,于是他把纸灯罩对齐压扁,剪去上面一截后,正好合适.以下裁剪示意图中,正确的是(  )‎ ‎(第5题)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎6.(2014江西省 6,3分)已知反比例函数y=的图象如图所示,则二次函数y=2kx2-4x+k2的图象大致为(  )‎ O x y ‎-1‎ ‎1‎ ‎(第6题)‎ y O ‎1‎ x ‎-1‎ y O ‎1‎ x ‎-1‎ y O ‎1‎ x ‎1‎ y O ‎1‎ x ‎-1‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎7.(2014江西省 7,3分)计算:=______.‎ ‎【答案】3‎ ‎8.(2014江西省 8,3分)据相关报道,截止到今年四月,我国已完成5.78万个农村教学点的建设任务.5.78万可用科学记数法表示为______.‎ ‎【答案】5.78×104‎ ‎9.(2014江西省 9,3分)不等式组的解集是______. ‎ ‎【答案】x>‎ ‎10.(2014江西省 10,3分)若α,β是方程x2-2x-3=0的两个实数根,则α2+β2______.‎ ‎【答案】10‎ ‎11.(2014江西省 11,3分)如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后,得到△A′B′C′,连接A′C,则△A′B′C的周长为______.12‎ A B C A′‎ B′‎ C′‎ ‎(第11题)‎ ‎【答案】12‎ ‎12.(2014江西省 12,3分)如图,△ABC内接于⊙O,AO=2,BC=2,则∠BAC 的度数为______.‎ A B C O ‎(第12题)‎ ‎【答案】60°‎ ‎13.(2014江西省 13,3分)如图,是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°,180°,270°后形成的图形.若∠BAD=60°,AB=2,则图中阴影部分的面积为______. ‎ ‎(第13题)‎ O A B C D ‎【答案】12-4‎ ‎14.(2014江西省 14,3分)在Rt△ABC中,∠A=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30°,则CP的长为______.‎ ‎【答案】2,4,6‎ 三、(本大题共4小题,每小题6分,共24分)‎ ‎15.(2014江西省 15,6分)计算:(-)÷.‎ ‎【答案】解:(-)÷‎ ‎=· 4分 ‎=x-1. 6分 ‎16.(2014江西省 16,6分)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯.小锦买了20支笔和2盒笔芯,用了56元;小丽买了2支笔和3盒笔芯,仅用了28元.求每去中性笔和生盒笔芯的价格.‎ ‎【答案】解:设每支中性笔x元,每盒笔芯y元,根据题意得 ‎ 3分 解这个方程组,得 答:每支中性笔2元,每盒笔芯8元. 6分 ‎17.(2014江西省 17,6分)已知梯形ABCD,请使用无刻度直尺画图.‎ ‎(1)在图1中画一个与梯形ABCD面积相等,且以CD为边的三角形;‎ ‎(2)在图2中画一个与梯形ABCD面积相等,且以AB为边的平行四边形.‎ A B C D A B C D 图1 图2‎ ‎(第#题)‎ ‎【答案】解:(1)如图1所示,△CDE即为所求(答案不唯一). 3分 ‎(1)如图2所示,平行四边形ABFE即为所求(答案不唯一). 6分 A B C D E 图1‎ ‎ ‎A B C D E F 图2‎ ‎18.(2014江西省 18,6分)有六张完全相同的卡片,分A,B两组,每组三张,在A组的卡片上分别画上“√,×,√”,B组的卡片上分别画上“√,×,×”,如图1所示.‎ ‎(1)若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上,再分别从两组卡片中随机各抽取一张,求两张卡片上标记都是“√”的概率(请用“树形图法”或“列表法”求解).‎ ‎(2)若把A,B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片,其正、反面标记如图2所示,将卡片正面朝上摆在桌上,并用瓶盖盖住标记.‎ ‎①若随机揭开其中一个盖子,看到的标记是“√”的概率是多少?‎ ‎②若揭开盖子,看到的卡片下面标记是“√”后,猜想它的反面也是“√”,求猜对的概率.‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ A组 ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ B组 ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ 正面 ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ 反面 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ 图1 图2‎ ‎(第18题)‎ ‎【答案】解:(1)解法一:根据题意可画出如下树形图:‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ A组 B组 ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ 从树形图可以看出,所有可能结果共有9种,且每种结果出现的可能性相等,其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种.‎ ‎∴P(两张都是“√”)=. 4分 解法二:根据题意,可列表如下:‎ B组 A组 ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎(√,√)‎ ‎(√,×)‎ ‎(√,×)‎ ‎×‎ ‎(×,√)‎ ‎(×,×)‎ ‎(×,×)‎ ‎√‎ ‎(√,√)‎ ‎(√,×)‎ ‎(√,×)‎ 从上表可以看出,所有可能结果共有9种,且每种结果出现的可能性相等,其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种.‎ ‎∴P(两张都是“√”)=. 4分 ‎(2)①∵三张卡片上正面的标记有三种可能,分别为“√,×,√”,‎ ‎∴随机揭开其中一个盖子,看到的标记是“√”的概率为. 5分 ‎②∵正面标记为“√”的卡片,其反面标记情况有两种可能,分别为“√”和“×”.‎ ‎∴猜对反面也是“√”的概率为. 6分 四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎19.(2014江西省 19,8分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,AB=5.点D在反比例函数y=(k0)的图象上,DA⊥OA,点P在y轴负半轴上,OP=7.‎ ‎(1)求点B的坐标及线段PB的长;‎ ‎(2)当∠PDB=90°时,求反比例函数的解析式.‎ x O y A D B P ‎(第19题)‎ x O y A D B E P 图3‎ ‎【答案】解:(1)在Rt△OAB中,OA=4,AB=5,‎ ‎∴OB===3.‎ ‎∴点B的坐标为(0,3). 2分 ‎∵OP=7,‎ ‎∴PB=OB+OP=3+7=10. 3分 ‎(2)如图3,过点D作DE⊥OB,垂足为E,由DA⊥OA可得矩形OADE.‎ ‎∴DE=OA=4,∠BED=90°.‎ ‎∴∠BDE+∠EBD=90°.‎ 又∵∠BDP=90°,‎ ‎∴∠BDE+EDP=90°.‎ ‎∴∠EBO=∠EDP.‎ ‎∴△BED∽△DEP. 4分 ‎∴=.设点D(4,m),由k>0,得m>0,‎ 则有OE=AD=m,BE=3-m,EP=m+7,‎ ‎∴=.‎ 解得m1=1,m2=-5(不合题意,舍去). 6分 ‎∴m=1,点D的坐标为(4,1).‎ ‎∴k=4,反比例函数的解析式为y=. 8分 ‎20.(2014江西省 20,8分)某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状,随机抽取某校部分初中学生进行了调查.依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表,请根据图表中的信息解答下列问题:‎ 重视 一般 不重视 说不清楚 类别 人数 ‎57‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎20‎ ‎0‎ 某校初中生阅读数学教科书情况统计图表 重视 一般 不重视 说不清楚 a ‎57‎ b ‎9‎ ‎0.3‎ ‎0.38‎ c ‎0.06‎ 类别 人数 占总人 数比例 ‎(1)求样本容量及表格中a,b,c的值,并补全统计图;‎ ‎(2)若该校共有初中生2300名,请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数;‎ ‎(3)①根据上面的统计结果,谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议;‎ ‎②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况,你认为应该如何进行抽样?‎ ‎【答案】解:(1)由统计表可知,样本容量为57÷0.38=150.‎ ‎∴a=150×0.3=45,‎ c=1-0.3-0.38-0.06=0.26,‎ b=150×0.26=39. 2分 补全统计图如图4所示. 4分 重视 一般 不重视 说不清楚 类别 人数 ‎45‎ ‎57‎ ‎39‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎20‎ ‎0‎ 图4‎ ‎(2)2300×0.26=598,‎ ‎∴可估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数约为598人. 6分 ‎(3)①从该校初中生重视阅读数学教科书的人数比例来看,该校初中生对阅读数学教科书的重视程度不够,建议数学教师在课内外加强引导学生阅读数学教科书,逐步提高学生数学阅读能力,重视数学教材在数学学习过程中的作用;‎ ‎②考虑到样本具有的随机性、代表性和广泛性,要了解全省初中生阅读数学教科书的情况,抽样时要选择城市、乡镇不同层次的学校. 8分 ‎(只要给出合理建议即可给分)‎ ‎21.(2014江西省 21,8分)图象中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成,每相邻两个菱形均成30°的夹角,示意图如图2所示.在图2中,每个菱形的边长为10cm,锐角为60°.‎ ‎(1)连接CE,EB,猜想它们的位置关系并加以证明;‎ ‎(2)求A,B两点之间的距离(结果取整数,可以使用计算器).‎ 参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)‎ 图1‎ A C ‎30°‎ ‎30°‎ ‎30°‎ E B D 图2‎ ‎(第21题)‎ ‎【答案】解:(1)CD∥EB.‎ 证明:连接AC,DE.‎ ‎∵四边形AGCH是菱形,且∠GCH=60°,‎ ‎∴∠1=∠GCH=30°.‎ 同理∠2=30°.‎ ‎∴∠ACD=90°. 2分 同理可得∠CDE=∠DEB=90°.‎ ‎∴CD∥EB. 3分 ‎(2)方法一:‎ 如图5,连接AD,BD.‎ 由(1)知∠ACD=90°.‎ ‎∵CA=CD,‎ ‎∴∠CDA=∠CAD=45°.‎ 同理∠EDB=∠EBD=45°,又由(1)知∠CDE=90°.‎ ‎∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°,‎ 即点A,D,B在同一直线上. 4分 连接GH交AC于点M.‎ 由菱形的性质可知∠CMH=90°,CM=AC.‎ 在Rt△CMH中,CM=CH·cos∠1=10·cos30°=5,‎ ‎∴CD=AC=2CM=10. 6分 ‎∴在Rt△ACD中,AD==10. 7分 同理BD=10.‎ ‎∴AB=AD+DB=20≈20×2.45=49.‎ 答:A,B两点之间的距离约为49cm. 8分 H G C M ‎1‎ ‎2‎ ‎30°‎ ‎30°‎ ‎30°‎ E B D 图5‎ A H G C M ‎1‎ ‎2‎ ‎30°‎ ‎30°‎ ‎30°‎ E B D F 图6‎ A 方法二:如图6,连接AB,延长AC交BE的延长线于点F.‎ 由(1)知∠ACD=∠CDE=∠DEB=90°,‎ ‎∴四边形CDEF是矩形.‎ ‎∵四个菱形全等,‎ ‎∴AC=CD=DE=EB.‎ ‎∴四边形CDEF是正方形. 4分 ‎∴CF=FE=CD且∠F=90°.‎ ‎∴AF=BF=2AC. 5分 在菱形AGCH中,连接GH交AC于点M,‎ ‎∴AC⊥GH.‎ 在Rt△CMH中,CM=CH·cos∠1=10·cos30°=5, 6分 ‎∴AC=2CM=10,AF=BF=2AC=20. 7分 ‎∴在Rt△AFB中,AB==20≈20×2.45=49.‎ 答:A,B两点之间的距离约为49cm. 8分 五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)‎ ‎22.(2014江西省 22,9分)如图1,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是⊙O上半部分的一个动点,连接OP,CP.‎ ‎(1)求△OPC的最大面积;‎ ‎(2)求∠OCP的最大度数;‎ ‎(3)如图2,延长PO交⊙O于点D,连接DB.当CP=DB时,求证:CP是⊙O的切线.‎ A O B C P A O B C P D 图1 图2‎ ‎(第22题)‎ A O B C P D 图7‎ ‎【答案】解:(1)∵△OPC的边长OC的是定值,‎ ‎∴当OP⊥OC时,OC边上的高为最大值,此时△OPC的面积最大. 1分 ‎∵AB=4,BC=2,‎ ‎∴OP=OB=2,OC=OB+BC=4.‎ ‎∴S△OPC=OC·OP=×4×2=4.‎ 即△OPC的最大面积为4. 2分 ‎(2)当PC与⊙O相切即OP⊥PC时,∠OCP的度数最大. 3分 在Rt△OPC中,∠OPC=90°,OC=4,OP=2,‎ ‎∴sin∠OCP==.‎ ‎∴∠OCP=30°. 5分 ‎(3)连接AP,BP.如图7,‎ ‎∵∠AOP=∠DOP,‎ ‎∴AP=DB. 6分 ‎∵CP=DB,‎ ‎∴AP=PC.‎ ‎∴∠A=∠C.‎ ‎∵∠A=∠D,‎ ‎∴∠C=∠D. 7分 ‎∵OC=PD=4,PC=DB,‎ ‎∴△OPC≌△PBD.‎ ‎∴∠OPC=∠PBD. 8分 ‎∵PD是⊙O的直径,‎ ‎∴∠PBD=90°.‎ ‎∴∠OPC=90°.‎ ‎∴OP⊥PC.‎ 又∵OP是⊙O的半径,‎ ‎∴CP是⊙O的切线. 9分 ‎23.(2014江西省 23,9分)如图1,边长为4的正方形ABCD中,点E在AB边上(不与点A,B重合),点F在BC边上(不与点B,C重合).‎ 第一次操作:将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形上时,记为点G;‎ 第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形上时,记为点H;‎ 依此操作下去…‎ A B F C D G H E A B F C D E A B F C D E 图1 图2 备用图 ‎(第23题)‎ ‎(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的,其形状为________,求此时线段EF的长;‎ ‎(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.‎ ‎①请判断四边形EFGH的形状为________,此时此刻AE与BF的数量关系是________;‎ ‎②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)等边三角形;‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD=CD=BC=AB,∠A=∠B=∠C=90°.‎ ‎∵DE=DF,‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△CDF.‎ ‎∴AE=CF.‎ ‎∴BE=BF.‎ ‎∴△BEF是等腰直角三角形.‎ 设EF长为x,则BE=x,‎ ‎∴AE=4-x.‎ ‎∵在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,DE=EF,‎ ‎∴x2=42+(4-x)2.‎ ‎∴x2+8x-64=0. 2分 解得x1=-4+4,x2=-4-4(不合题意,舍去).‎ ‎∴EF=-4+4. 3分 ‎(2)①正方形(如图8);AE=BF; 5分 A B F C D G H E 图8‎ ‎②∵AE=x,‎ BE=4-x.‎ ‎∵在Rt△BEF中,EF2=BE2+BF2,‎ ‎∴y=(4-x)2+x2=2x2-8x+16(0<x<4). 7分 ‎∵y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,‎ ‎∴当x=2时,y取得最小值;当x=0时,y=16.‎ ‎∴y的取值范围是8≤y<16. 9分 六、(本大题共12分)‎ ‎24.(2014江西省 24,12分)如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为抛物线对应的准碟形,线段AB称为碟宽,顶点M称为碟顶,点M到线段AB的距离为碟高.‎ ‎(1)抛物线y=x2对应的碟宽为______;抛物线y=4x2对应的碟宽为______;抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为______;抛物线y=a(x-2)2+3(a>0)对应的碟宽为______;‎ ‎(2)若抛物线y=ax2-4ax-(a>0)对应的碟宽为6,且在x轴上,求a的值;‎ ‎(3)将抛物线yn=anx2+nbx+cn(an>0)的对应准碟形记为Fn(n=1,2,3,…),定义F1,F2,…,Fn为相似准碟形,相应的碟宽之比即为相似比.若Fn与Fn-1的相似比为,且Fn的碟顶是Fn-1碟宽的中点,现将(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准碟形记为F1.‎ ‎①求抛物线y2的表达式;‎ ‎②若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2,…,Fn的碟高为hn,则hn=______,Fn的碟宽右端点横坐标为______;F1,F2,…,Fn的碟宽右端点是否在一条直线上?若是,直接写出该直线的表达式;若不是,请说明理由.‎ x O y A B M 准碟形AMB 图1 备用图 ‎(第#题)‎ x O y A B y=m M ‎【答案】解:(1)4,,,; 4分(每空1分)‎ ‎(2)解法一:‎ 由(1)可知,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)对应的准碟形碟宽为,‎ 所以=6,a=. 6分 解法二:‎ 由y=ax2-4ax-=a(x-2)2-4a-,又已知碟宽在x轴上,‎ 所以碟高|-4a-|==3,又a>0,解得a=. 6分 ‎(3)①由(2)知,y1=(x-2)2-3,碟顶M1的坐标为(2,-3).‎ ‎∵F2的碟顶是F1的碟宽的中点,‎ ‎∴F2的碟顶M2的坐标为(2,0),可设y2=a2(x-2)2.‎ ‎∵F2与F1的相似比为,F1的碟宽为6,‎ ‎∴F2的碟宽为6×=3,即=3,a2=.‎ ‎∴y2=(x-2)2=x2-x+. 8分 ‎②;2+; 10分 F1,F2,…,Fn的碟宽右端点是在一条直线上,该直线的表达式为y=-x+5. 12分
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