中考数学试题分类汇编二次函数

中考数学试题分类汇编二次函数

全国各地中考数学试题分类解析汇编二次函数 一、 选择题1. 抛物线=2﹣6+5的顶点坐标为( A )‎ ‎ A、（3，﹣4） B、（3，4） C、（﹣3，﹣4） D、（﹣3，4）‎ ‎2.抛物线＝－(＋2)2－3的顶点坐标是( D )‎ ‎(A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） (4)‎ ‎3.已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图(4)所示，则下列结论中，正确的是( D ) A、＞0 B、＜0 C、＜0 D、++＞0‎ ‎4.二次函数的图象（0≤≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( C ) A、有最小值0，有最大值3 B、有最小值﹣1，有最大值0‎ ‎ C、有最小值﹣1，有最大值3 D、有最小值﹣1，无最大值 ‎5.二次函数）图象如图所示，现有下列结论：①2－4＞0 ‎ ‎ ②＞0  ③＞0  ④＞0  ⑤9+3+＜0，则其中结论正确的个数是( B )‎ A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 ‎6.函数y＝ax－2 (a≠0)与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( A )‎ ‎7.已知二次函数的图象开口向上，则直线经过的象限是 ( D )‎ ‎ A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限 ‎8.已知拋物线，当时，y的最大值是 ( C ) A、2 B、 C、 D、 9．如图，关于抛物线，下列说法错误的是( D )‎ ‎ A．顶点坐标为(1，) B．对称轴是直线=l ‎ C．开口方向向上 D．当>1时，随的增大而减小 ‎10.由二次函数，可知( C ) A．其图象的开口向下 ‎ B．其图象的对称轴为直线 C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 ‎11.在同一坐标系中，一次函数=+1与二次函数=2+的图象可能是( C ) ‎ ‎12. 下列二次函数中，图象以直线为对称轴、且经过点(0，1)的是 ( C ) ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎13.已知二次函数，当自变量取时对应的值大于0，当自变量分别取、‎ 时对应的函数值为、，则、必须满足 ( B ) ‎ A．＞0、＞0 B．＜0、＜0 C．＜0、＞0 D．＞0、＜0‎ ‎14.已知二次函数的图象如图，则下列结论中正确的是( D )‎ A．＞0　 　B．当随的增大＞1时，随的增大而增大 C．＜0 D．3是方程的一个根 ‎15.如图平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( A ) A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h ‎ C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h ‎16.如图为抛物线的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是( B )‎ ‎ A、 B、　　　C、 D、‎ ‎17.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数 表达式为h＝t2＋t，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时 的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第( C )‎ A．3s B．3.5s C．4.2s D．6.5s[来 ‎18.已知一元二次方程的两个实数根、满足1＋2＝4和1•2＝3，那么二次函数的图象可能是.( C )‎ A. B. C. D ‎19．已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：点A(1，‎ ‎1)、‎ ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎…‎ B(2，2)在函数的图象上，则当1<1<2，3<2<4时，1 与2的大小关系正确的是( B )‎ A. 1 >2 B. 1 < 2 C. 1 ≥2 D. 1 ≤2 ‎ ‎20.若二次函数的与的部分对应值如下表：则当＝1时，的值为( D )‎ ‎－7‎ ‎－6‎ ‎－5‎ ‎－4‎ ‎－3‎ ‎－2‎ y ‎－27‎ ‎－13‎ ‎﹣3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎ A、5 B、﹣3 C、－13 D、－27‎ ‎21.二次函数=2 -2-3图象如图所示。当＜0时，自变量的取值范围是( A )‎ A．－1＜＜3 B．＜－1 C．＞3 D．＜－3或＞3‎ ‎22.对抛物线=－2＋2－3而言，下列结论正确的是( D )‎ A.与轴有两个交点 B.开口向上 C.与轴交点坐标是(0，3) D.顶点坐标是(1,-2)‎ ‎23.抛物线的顶点坐标是( B ) A、（2，8）B、（8，2）C、（—8，2）D、（—8，—2）‎ ‎24.二次函教有( D ) A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 ‎25．一小球被抛出后，距离地面的高度h (米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是( C )A、‎1米 B、‎5米 C、‎6米 D、‎‎7米 ‎26. 已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为(1,0),则它与x轴的另一个交点坐标是 ( C )‎ ‎ A .（1，0） B.（2，0） C.（－2，0） D.（－1，0）‎ ‎27.已知函数的图象与轴有交点，则取值范围是 ( B )‎ ‎ A、＜4 B、≤4 C、＜4且≠3 D、≤4且≠3‎ ‎28.函数，若使成立值恰好有三个，则的值为 ( D )‎ ‎ A、0 B、1 C、2 D、3 (28)‎ ‎29.如图，二次函数的图像与轴正半轴相交，其顶点坐标为（），‎ 下列结论：①；②; ③；④.其中正确结论 的个数是( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (29)‎ ‎30.二次函数的图象如图所示,对称轴为直线=1,则下列结论正确的是 ( B )‎ ‎ A， B．方程的两根是 ‎ C． D．当>0时，随的增大而减小． (30)‎ ‎31.已知二次函数y=ax2＋bx＋c同时满足下列条件：①对称轴是x=1；②最值是15；‎ ‎③二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15﹣a，则b的值是 ( C )‎ ‎ A、4或﹣30 B、﹣30 C、4 D、6或﹣20‎ ‎32.已知一元二次方程的一根为，在二次函数的图象上有三点、、，、、的大小关系是 ( A ) A. B. C. D. ‎ ‎33. 抛物线的顶点坐标 ( A ) A．( 1, 1 ) B．C． D. ‎ ‎34.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果①b2＞4ac；‎ ‎②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是 ( D )‎ ‎ A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D. ①④⑤ (34)‎ ‎35.二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m取值范围是( C ) ‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎36.若是方程（x－a）（x－b）= 1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为( C )‎ A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2‎ ‎37.已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：‎ ‎①abc＞0，②b2﹣4ac＜0，③a﹣b+c＞0，④4a﹣2b+c＜0，其中正确结论的个数是( A )‎ ‎ A、1 B、2 C、3 D、4 (37)‎ ‎38.若二次函数的图象经过A（－1，1）、B（2，2）、C（，3）三点，则关于1、2、3大小关系正确的是( B )A.1>2>3 B.1>3>2 C.2>1>3 D.3>1>2 ‎ ‎39.将二次函数y=x2－2x＋3化为y=（x－h）2＋k的形式，结果为 ( D )‎ ‎ A、y=（x＋1）2＋4 B、y=（x－1）2＋4 C、y=（x＋1）2＋2 D、y=（x－1）2＋2‎ ‎40.抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是 ( A )A、（1，0）B、（﹣1，0）C、（﹣2，1）D、（2，﹣1）‎ ‎41.如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：‎ ‎(1)b2﹣4ac＞0；(2)c＞1；(3)2a﹣b＜0；(4)a+b+c＜0．你认为其中错误的有( D ) ‎ ‎ A、2个 B、3个 C、4个 D、1个 (41)‎ ‎42.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是( C )‎ ‎ A、b2﹣4ac＜0 B、abc＜0 C、 D、a﹣b+c＜0 (42)‎ y B(0,3)‎ A(1,0)‎ x=－1‎ o x ‎43.如图，函数的部分图象与轴、轴的交点分别为A(1，0)，B(0，3)，对称轴是=－1．在下列结论中，错误的是( C )‎ A．顶点坐标为(－1，4) B．函数的解析式为 ‎ C．当时，随的增大而增大 D．抛物线与轴的另一个交点是(－3，0) (43)‎ ‎44.如图一次函数与二次函数的图象相交于A(，5)、B(9，2)两点，则关于的不等式解集为( A )‎ A、 B、 C、 D、或 二、填空题1.如图，一次函数的图象与二次函数图象的对称轴交于点B.‎ ‎（1）写出点B的坐标 ；（2）已知点P是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线沿y轴向上平移，分别交轴、轴于C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为 . ‎ ‎【答案】（）；，（2，2），，。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二元方程组。‎ ‎【分析】（1）由可知图象的对称轴为 ，将代入中，可求B点坐标（）。‎ ‎（2）设D（0，2），则直线CD解析式为，可知C（，0），即OC：OD=1：2。则OD=2，OC=，根据勾股定理可得CD=。则以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，因此分为∠CDP=90°和∠DCP=90°两种情况，分别求P点坐标：‎ 当∠CDP=90°时，若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=，‎ 设P的坐标是，则纵坐标是-‎ 根据题意得：，解得。则P的坐标为。‎ 若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2）。‎ 当∠DCP=90°时，若PD：DC=OC：OD=1：2，则P。‎ 若DC：PD=OC：OD=1：2，则P。‎ 综上所述，点P的坐标为，（2，2），，。‎ ‎2.（辽宁大连3分）如图5，抛物线＝－2+2+m（m＜0）与轴相交于点A（1，0）、B（2，0），点A在点B的左侧．当＝2－2时， 0（填“＞”“＝”或“＜”号）．‎ ‎【答案】＜。‎ ‎【考点】二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】∵抛物线（m＜0）与轴相交于点A（1，0）、B（2，0），∴有1＋2＝2，12＝－m＞0，∴1＝2－2，∴＝－1＜0，由图象知，当＜0时，＜0。‎ ‎3.（黑龙江龙东五市3分）抛物线y=－(x+1)2－1的顶点坐标为 ▲ 。 ‎ ‎【答案】（－1，－1）。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】根据二次函数顶点形式，直接可以得出二次函数的顶点坐标。‎ ‎4.（湖南怀化3分）出售某种手工艺品，若每个获利元，一天可售出个，则当= ▲ 元，一天出售该种手工艺品的总利润最大． ‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】二次函数的最值 ‎【分析】依题意得与的函数关系式=（8－）=－2＋8，化为顶点式为=－（－4）2＋16， ‎ ‎∴当=4时，取得最大值。‎ ‎5.（江苏淮安3分）抛物线的顶点坐标是 ▲ . ‎ ‎【答案】（1，－4）。‎ ‎【考点】二次函数的性质（顶点坐标），配方法求顶点式。‎ ‎【分析】对于二次函数一般式，总可以用配方法化为顶点式形式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标：‎ ‎，它的顶点坐标为（1，－4）。‎ ‎6．（山东济宁3分）将二次函数化成 的形式，则= ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】二次函数的配方法。‎ ‎【分析】。‎ ‎7.（山东枣庄4分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：‎ ‎…‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎…‎ 从上表可知，下列说法中正确的是 ▲　 ．（填写序号）‎ ‎①抛物线与轴的一个交点为（3,0）； ②函数的最大值为6；‎ ‎③抛物线的对称轴是；　 　　④在对称轴左侧，随增大而增大．‎ ‎【答案】①③④。‎ ‎【考点】二次函数的性质，解方程组。‎ ‎【分析】把表中任三点代入，即可求出，抛物线函数关系式为。据此即可作出判断：①（3,0）代入成立，选项正确；②函数的最大值为，‎ 选项错误；③抛物线的对称轴是，选项正确；④，所以在对称轴左侧，随增大而增大，选项正确。‎ ‎8. （河南省3分）点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1　 ▲ 　y2（填“＞”、“＜”、“=”）．‎ ‎【答案】＜。‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征。‎ ‎【分析】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系：‎ ‎∵二次函数y=x2﹣2x+1的图象的对称轴是x=1，在对称轴的右面y随x的增大而增大，‎ ‎∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，1＜2＜3，‎ ‎∴y1＜y2。故答案为：＜。‎ ‎9.（甘肃天水4分）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ▲ ．‎ ‎【答案】﹣3＜x＜1。‎ ‎【考点】二次函数的性质和图象。‎ ‎【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），根据抛物线的对称性，得另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时， x的取值范围是﹣3＜x＜1。‎ ‎10.（福建泉州4分）已知函数，当= ▲ 时，函数取得最大值为_ ▲ ‎ ‎【答案】2，4。‎ ‎【考点】二次函数的最值。‎ ‎【分析】由抛物线的顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（2，4），又=－3＜0，抛物线的开口向下，于是=2时，函数有最大值为4。‎ 三、解答题 ‎1.（浙江舟山、嘉兴6分）如图，已知直线经过点P（，），点 P关于轴的对称点P′在反比例函数（）的图象上．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）直接写出点P′的坐标；‎ ‎（3）求反比例函数的解析式．‎ ‎【答案】解：（1）把（﹣2，）代入中，得 ‎=﹣2×（﹣2）=4，∴=4。‎ ‎ （2）∵P点的坐标是（﹣2，4），‎ ‎ ∴点P关于轴的对称点P′的坐标是（2，4）；‎ ‎ （3）把P′（2，4）代入函数式= ，得4= ，∴=8 。‎ ‎ ∴反比例函数的解析式是=．‎ ‎【考点】待定系数法，一次函数图象上点的坐标特征，对称的性质。‎ ‎【分析】（1）把（﹣2，）代入=﹣2中即可求。‎ ‎ （2）坐标系中任一点关于轴对称的点的坐标，其中横坐标等于原来点横坐标的相反数，纵坐标不变。‎ ‎ （3）把P′代入=中，求出，即可得出反比例函数的解析式。‎ ‎2.（浙江温州10分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣2，4），过点A作AB⊥轴，垂足为B，连接OA．（1）求△OAB 的面积；（2）若抛物线经过点A．①求的值；②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．‎ ‎【答案】解：（1）∵点A的坐标是（﹣2，4），AB⊥轴，∴AB=2，OB=4，‎ ‎∴△OAB的面积为：×AB×OB=×2×4=4。‎ ‎（2）①把点A的坐标（﹣2，4）代入中，得﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+=4，‎ ‎∴=4。‎ ‎②m的取值范围是：1＜m＜3。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，图形的平移。‎ ‎【分析】（1）根据点A的坐标是（﹣2，4），得出AB，BO的长度，即可得出△OAB的面积。‎ ‎（2）①把点A的坐标（﹣2，4）代入中，直接得出即可。‎ ‎②利用配方法把二次函数解析式化为顶点式即可得出顶点坐标，根据AB的中点E的坐标以及F点的坐标即可得出m的取值范围：‎ ‎∵，‎ ‎∴抛物线顶点D的坐标是（﹣1，5）。‎ 又∵AB的中点E的坐标是（﹣1，4），OA的中点F的坐标是（﹣1，2），‎ ‎∴m的取值范围是：1＜m＜3。‎ ‎3.（黑龙江龙东五市6分）已知：抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线x=－2。‎ ‎（1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标。‎ ‎（2）试确定抛物线的解析式。‎ ‎（3）观察图象，请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围。‎ ‎【答案】解：（1）在＝+3中，‎ 当＝0时, ＝3， ∴点A的坐标为(－3，0)。 ‎ 当＝0时, ＝3，∴点C坐标为（0，3）。‎ ‎ ∵抛物线的对称轴为直线＝－2，∴点A与点B关于直线＝－2对称。‎ ‎ ∴点B的坐标是（－1，0）。‎ ‎（2）∵抛物线的对称轴为直线＝－2，∴设二次函数的解析式为 ‎∵二次函数的图象经过点C（0，3）和点A(－3,0)，‎ ‎∴可得方程组： ，解得。‎ ‎∴二次函数的解析式为，即。‎ ‎（3）由图象观察可知，当－3＜＜0时，二次函数值小于一次函数值。‎ ‎【考点】待定系数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，一、二次函数的图象。‎ ‎【分析】（1）根据已知得出点A、C的坐标，再由点A与点B关于直线＝－2对称，即可求出B点坐标。‎ ‎（2）利用待定系数法求二次函数解析式，即可得出答案。‎ ‎（3）由图象观察可知，当－3＜＜0时，二次函数的图象在一次函数值的图象下方，即二次函数值小于一次函数值，从而得出的取值范围。‎ ‎4.（黑龙江牡丹江6分）如图，抛物线经过A(－1，O)，B(4，5)两点，请解答下列问题：‎ ‎ (1)求抛物线的解析式；‎ ‎ (2)若抛物线的顶点为点D，对称轴所在的直线交轴于点E，连接AD，点F为AD的中点，求出线段EF的长．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线经过A(－1，0)，B(4，5)两点 ‎∴，解得。∴抛物线的解析式为。‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为D（1，－4）。∴E（1，0）。‎ ‎∴在Rt△AED中， AE=2，ED=4，AD=。‎ 又∵AO=OE，OF⊥AE，∴EF=AF=AD=。‎ ‎【考点】二次函数综合题，点的坐标与方程的关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质。‎ ‎【分析】（1）将A（-1，O），B（4，5）两点代入中，求出、的值即可。‎ ‎（2）根据抛物线顶点式可求D、E两点的坐标，根据勾股定理可求AD，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质和点F为AD的中点可求线段EF的长度。‎ ‎5.（江苏南京7分）已知函数（是常数）．‎ ‎⑴求证：不论为何值，该函数的图象都经过轴上的一个定点；‎ ‎⑵若该函数的图象与轴只有一个交点，求的值．‎ ‎【答案】解：⑴当=0时，。‎ ‎ ∴不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）。‎ ‎ ⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；‎ ‎ ②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，‎ ‎ 则方程有两个相等的实数根，所以，。 ‎ ‎ 综上所述，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9。‎ ‎【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系， 二次函数与一元二次方程的关系。‎ ‎【分析】⑴由于二次函数的常数项为1, 故=0时，而得证。‎ ‎⑵考虑一次函数和二次函数两种情况： 时，函数为一次函数, 与轴有一个交点。时，函数为二次函数，由函数与轴有一个交点的要求, 对应的一元二次方程有两个相等的实数根, 即根的判别式等于0, 从而求解。也可以考虑二次函数顶点的纵坐标为0求解, 即。‎ ‎6.（江苏南通12分）已知A(1，0)、B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)、E(4，2)五个点，抛物线 (＞0)经过其中的三个点．‎ ‎(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线 (＞0)上；‎ ‎(2)点A在抛物线 (＞0)上吗？为什么？‎ ‎(3)求和的值．‎ ‎【答案】解：(1)证明：用反证法。假设C(－1，2)和E(4，2)都在抛物线 (＞0)上，‎ ‎ 联立方程 ， 解之得＝0，＝2。这与要求的＞0不符。‎ ‎ ∴C、E两点不可能同时在抛物线 (＞0)上。‎ ‎ (2)点A不在抛物线 (＞0)上。这是因为如果点A在抛物线上，则＝0。这时，若B(0，－1)在抛物线上，得到＝－1，D(2，－1)在抛物线上，得到＝－1，这与已知＞0不符；而由(1)知，C、E两点不可能同时在抛物线上。‎ ‎ 因此点A不在抛物线 (＞0)上。‎ ‎ (3)综合(1)(2)，分两种情况讨论：‎ ‎ ①抛物线 (＞0)经过B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)三个点，‎ 联立方程 ，解之得＝1，＝－2。‎ ‎ ②抛物线 (＞0)经过B(0，－1)、D(2，－1)、E(4，2)三个点，‎ ‎ ‎ ‎ 联立方程， 解之得＝，＝。‎ ‎ 因此，抛物线经过B、C、D三个点时，＝1，＝－2。抛物线经过B、D、E三个点时，‎ ‎＝，＝。‎ ‎【考点】二次函数，二元一次方程组。‎ ‎【分析】(1)用反证法证明只要先假设结论成立，得到与已知相矛盾的结论即可。‎ ‎ (2)要证点A不在抛物线上，只要证点A和其他任意两点不在同一抛物线上即可。‎ ‎ (3)分别列出任意三点在抛物线上的所有情况，由(2)去掉点A，还有B、C、D、E四个点，可能情况有 ①B、C、D， ②B、C、E， ③B、D、E和④C、D、E。而由(1)去掉②B、C、E和④C、D、E两种C、E两点同时在抛物线上的情况。这样只剩下①B、C、D和③B、D、E两种情况，分别联立方程求解即可。‎ ‎7.（广东省6分）已知抛物线与轴没有交点．‎ ‎（1）求c的取值范围；‎ ‎（2）试确定直线经过的象限，并说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线与轴没有交点，‎ ‎ ∴对应的一元二次方程没有实数根。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ （2）顺次经过三、二、一象限。因为对于直线，所以根据一次函数的图象特征，知道直线顺次经过三、二、一象限。‎ ‎【考点】二次函数与一元二次方程的关系，一次一次函数的图象特征。‎ ‎【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系知，二次函数的图象与x轴没有交点，对应的一元二次方程没有实数根，其根的判别式小于0。据此求出c的取值范围。‎ ‎ （2）根据一次函数的图象特征，即可确定直线经过的象限。‎ ‎8.（广东佛山8分）如图，已知二次函数的图象经过、、；‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）画出二次函数的图象；‎ ‎【答案】解：（1）根据题意，得 ‎ ，解得，。‎ ‎ ∴二次函数的解析式为。‎ ‎ （2）二次函数的图象如图：‎ ‎【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系，待定系数法，解二元一次方程组，作二次函数图象。‎ ‎【分析】（1）根据点A，B，C在二次函数的图象上，点的坐标满足方程的关系，将、、代入即可求出，从而求得二次函数的解析式。‎ ‎ （2）描点作图。‎ ‎9.（内蒙古巴彦淖、赤峰尔12分）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；‎ ‎（2）求证：四边形ABCD是直角梯形．‎ ‎【答案】解：（1）∵y=x+3与坐标轴分别交与A、B两点，‎ ‎∴A点坐标（﹣3，0）、B点坐标（0，3）。‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A、B两点，‎ ‎∴，解得。∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3。‎ ‎∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，‎ ‎∴顶点C的坐标为（﹣1，4）。‎ ‎（2）∵B、D关于MN对称，C（﹣1，4），B（0，3），∴D（﹣2，3）。‎ ‎∵B（3，0），A（﹣3，0），∴OA=OB。‎ 又∠AOB=90°，∴∠ABO=∠BAO=45°。‎ ‎∵B、D关于MN对称，∴BD⊥MN。‎ 又∵MN⊥X轴，∴BD∥X轴。‎ ‎∴∠DBA=∠BAO=45°。∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°。‎ ‎∴∠ABC=180°﹣∠DBO=90°。∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°。‎ ‎∵CM⊥BD，∴∠MCB=45°。‎ ‎∵B，D关于MN对称，∴∠CDM=∠CBD=45°，CD∥AB。‎ 又∵AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形。‎ ‎∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是直角梯形。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的顶点和对称轴，轴对称的性质，平行的判定和性质，直角梯形的判定。‎ ‎【分析】（1）先根据直线y=x+3求得点A与点B的坐标，然后代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得其顶点坐标即可。‎ ‎（2）根据B、D关于MN对称，C（﹣1，4），B（0，3）求得点D的坐标，然后得到AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形，再根据∠ABC=90°得到四边形ABCD是直角梯形。‎ ‎10.（新疆自治区、兵团8分）已知抛物线与轴交于A、B两点（A点在B点左侧），‎ 顶点为P．[来源:学|科|网]‎ ‎（1）求A、B、P三点的坐标；‎ ‎（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出取何值时，函数值大于零；‎ ‎（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平称后图象的函数表达 式 ‎【答案】解;（1）∵，∴P（2，1）。‎ 令，得，解得，。‎ ‎∵A点在B点左侧。∴A(1，0)，B(3，0)。‎ ‎（2）列表：‎ ‎···‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎···‎ ‎···‎ ‎－3‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－3‎ ‎···‎ 描点作图如下：‎ 由图象可知，当时，函数值大于零。‎ ‎（3）向下平移一个单位后图象的函数表达式。‎ ‎【考点】抛物线与轴的交点，二次函数的图象，二次函数图象与平移变换。‎ ‎【分析】（1）令求得点A、B的坐标，根据抛物线的顶点公式求得点P的坐标。‎ ‎（2）首先写出以顶点为中心的5个点的坐标，从而画出图象，结合与轴的交点，写出取何 值时，函数值大于零。‎ ‎（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，即对应点的纵坐标少1，从而写出函数解析式。‎ ‎2011年全国2011年中考数学试题分类解析汇编 二次函数(2)‎ 一、选择题 ‎1.（广西梧州3分）‎2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼 杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛 物线y=－x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，‎ 球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是 ‎（A）y=－x2+x+1 （B）y=－x2+x－1 （C）y=－x2－x+1 （D）y=－x2－x－1‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】由已知知，点A和B的坐标分别为（4，0），（0，1）。根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的 关系将它们分别代入抛物线y=－x2+bx+c可求出b＝，c＝1。因此这条抛物线的解析式是y=－x2+x+1。‎ 故选A。‎ ‎2.（湖南株洲3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 ‎ A．米 B．米 C．米 D．米 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】二次函数的应用。‎ ‎【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即可：∵，∴抛物线顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米。故选A。‎ ‎3.（山东聊城3分）某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形 构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距‎0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部‎0.5m(如 图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 A．‎50m B．100m C．‎160m D．‎‎200m ‎【答案】C。‎ ‎【考点】二次函数的应用。‎ ‎【分析】建立如图所示的直角坐标系，由于抛物线的顶点为（0，0.5），所以可设抛物线函数表达式为。则由于点（1，0）在抛物线上，代入后得，从而抛物线函数表达式为。‎ 当时，；当时，。则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为：‎ ‎100×2×（0.48＋0.32）＝160（m）。故选C。‎ ‎4.（广东台山3分）如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH,设小正方形EFGH的面积为Y，AE为X，则Y关于X的函数图象大致是 ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】二次函数的应用和图象，勾股定理。‎ ‎【分析】根据已知可得二次函数关系式：Y＝X2＋（1－X）2＝2X2－2X＋1，它是开口向上的抛物线,且经过点（1，1）。故选B。‎ ‎5, （甘肃兰州4分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是 ‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，‎ ‎∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG。‎ 设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2，‎ 即s=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1。‎ ‎∴所求函数是一个开口向上，对称轴是x=的抛物线在0＜x ＜1部分。故选B。‎ ‎6.（青海西宁3分）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3‎ 米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式 是 A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x＋)2＋3 ‎ C．y＝－12(x－)2＋3 D．y＝－12(x＋)2＋3‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】二次函数的应用。‎ ‎【分析】∵一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，‎ ‎∴顶点坐标为（，3）。‎ ‎∴设抛物线的解析式为y=a（x－ ）2＋3，而抛物线还经过（0，0），‎ ‎∴0=a（－）2＋3，∴a=－12。∴抛物线的解析式为y＝－12(x－)2＋3。故选C。‎ 二、填空题 ‎1.（浙江舟山、嘉兴4分）如图，已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当随的增大而增大时，的取值范围是　▲　． ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】待定系数法，二次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】先把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数中，得到关于b、‎ c的方程 ，求出b=-1、c=-2 ，即可求解析式：。它的 对称轴为。根据二次函数图象和的性质，当时，随的增大而增大。‎ ‎2.（四川泸州2分）如图，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是　 ▲ 　‎ ‎【答案】10。‎ ‎【考点】二次函数的最值，等腰梯形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】∵圆心为O，则OA=OB=OC=OD=2，设腰长为x 设上底长是2b，过C作直径的垂线，垂足是P，‎ 则x2﹣（2﹣b）2=22﹣b2=CP2‎ 整理得b=2﹣。‎ ‎∴梯形周长=4+2x+2b=4+2x+4﹣=﹣+2x+8=‎ ‎∴该梯形周长的最大值是：10。‎ ‎3.（贵州安顺3分）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=．则y关于的函数图象大致是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】二次函数综合题。‎ ‎【分析】依题意，得y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH=1﹣4×（1﹣）=22﹣2+1，即y=22﹣2+1（0≤≤1），抛物线开口向上，对称轴为=。故选C。‎ 三、解答题 ‎1.（北京7分）在平面直角坐标系Oy中，二次函数的图象与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）当∠ABC=45°时，求m的值；‎ ‎（3）已知一次函数=k+b，点P（n，0）是轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数的图象于N．若只有当﹣2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．‎ ‎【答案】解：（1）∵点A、B是二次函数的图象与轴的交点，‎ ‎ ∴令=0，即m2+（m﹣3）﹣3=0解得1=﹣1，。 ‎ 又∵点A在点B左侧且m＞0，∴点A的坐标为（﹣1，0）。‎ ‎ （2）由（1）可知点B的坐标为，‎ ‎ ∵二次函数的图象与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣3）。‎ ‎ ∵∠ABC=45°，∴。∴m=1。‎ ‎ （3）由（2）得，二次函数解析式为=2﹣2﹣3。‎ ‎ 依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2和2。‎ ‎ 由此可得交点坐标为（﹣2，5）和（2，﹣3），‎ 将交点坐标分别代入一次函数解析式=k+b中，‎ 得解得：。‎ ‎ ∴一次函数解析式为y=﹣2+1。‎ 【考点】二次函数综合题。‎ ‎【分析】（1）令=0则求得两根，又由点A在点B左侧且m＞0，所以求得点A的坐标。‎ ‎ （2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由∠ABC=45°，从而求得。‎ ‎ （3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得。‎ ‎2. （天津8分）‎ ‎ 注意：为了使同学们更好她解答本题，我们提供了—种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答．也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．‎ ‎ 某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?‎ 设每件商品降价元．每天的销售额为元．‎ ‎(I) 分析：根据问题中的数量关系．用含的式子填表：‎ ‎ (Ⅱ) (由以上分析，用含的式子表示，并求出问题的解) ‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）根据题意，每天的销售额 ‎ 整理配方，得。‎ ‎ ∴当=5时，取得最大值1800。‎ ‎ 答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元。‎ ‎【考点】列函数关系式，二次函数的应用。‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，可分析出结果。‎ ‎ （Ⅱ）列函数关系式是找出等量关系：‎ ‎ 每天的销售额=每件售价×每天销量 ‎ ‎ ‎ 求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式的形式即可求出。‎ ‎ （Ⅱ）列函数关系式是找出等量关系：‎ ‎ 每天的销售额=每件售价×每天销量 ‎ ‎ ‎ 求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式的形式即可求出。‎ ‎3.（辽宁沈阳12分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2‎ 万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本 增加0.7倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5倍，则预计今年年销售量将比去年 年销售量增加倍（本题中0＜≤11）．‎ ‎⑴用含的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的这种玩具每件 的出厂价为_________元．‎ ‎⑵求今年这种玩具的每件利润元与之间的函数关系式．‎ ‎⑶设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售 利润是多少万元？‎ 注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．‎ ‎【答案】解：⑴10＋7 ； 2＋6。‎ ‎⑵由⑴，得=(12＋6)－（10＋7）。即=2－。‎ ‎∴年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式为=2－。‎ ‎⑶∵w=2（1＋）（2－）=－22＋2＋4，∴w=－2(－0.5)2＋4.5。‎ ‎∵－2＜0，0＜≤11，∴w有最大值。‎ ‎∴当=0.5时，w最大=4.5（万元）。‎ 答：当为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元。‎ ‎【考点】二次函数的应用。‎ ‎【分析】（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7倍，即为（10＋10•0.7）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5倍，即为（12＋12•0.5）元/件。‎ ‎（2）今年这种玩具的每件利润等于每件的出厂价减去每件的成本价，即=（12＋6）－（10＋7），然后整理即可。‎ ‎（3）今年的年销售量为（2＋2）万件，再根据年销售利润=（每件玩具的出厂价-每件玩具的成本）×年销售量，得到w=-2（1＋）（－2），然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案。‎ ‎4.（辽宁本溪12分）我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量（件）是售价（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．‎ ‎（1）求y与的函数关系式；‎ ‎（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价－成本）‎ ‎【答案】解：（1）设与的函数关系式为，‎ 把=22，=780和=25，=750代入，得，‎ 解得， 。‎ ‎∴与的函数关系式为。‎ ‎（2）设该工艺品每天获得的利润为w元，‎ 则，‎ ‎∵，∴当时，w随x的增大而增大。‎ 所以当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大。‎ 元。‎ 答：当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为7000元。‎ ‎【考点】待定系数法求一次函数解式，解二元一次方程组，二次函数性质的应用。‎ ‎【分析】（1）用待定系数法将=22，=780和=25，=750代入即可求得与的函数关系式。‎ ‎（2）先求得每天获得的利润w关于的函数关系式，再利用二次函最大值的性质求出当=30时获得的利润最大。‎ ‎5.（吉林长春7分）如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于点 A．P为抛物线上一点，且与点A不重合．连结AP，以AO、AP为邻边作OAPQ，‎ PQ所在直线与轴交于点B．设点P的横坐标为．‎ ‎（1）点Q落在x轴上时m的值．‎ ‎（3）若点Q在轴下方，则为何值时，线段BQ的长取最大值，并求出这个最大值．‎ ‎【参考公式：二次函数的顶点坐标为（）】‎ ‎【答案】解：（1）令=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在轴上时，PQ=OA=3。‎ 在= 2－2＋3中，令=3可求得点P横坐标m=4。‎ ‎（2）∵QB=OA-PB=3-PB，∴当PB取最小值时，QB最大。‎ 当=2时，二次函数= 2－2＋3有最小值y=1。‎ ‎∴当m=2时，QB的最大值为2。‎ ‎【考点】二次函数综合题，点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。‎ ‎【分析】（1）可以令=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在轴上时，PQ=OA=3，即可得出y=3时m的值。‎ ‎（2）根据当PB取最小值时，QB最大，当=2时，二次函数= 2－2＋3有最小值即可得出答案。‎ ‎6.（黑龙江哈尔滨3分）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为‎60cm,菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长 (单位：cm)的变化而变化．‎ ‎ (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；‎ ‎ (2)当是多少时，菱形风筝面积S最大?最大面积是多少? ‎ ‎【答案】解：（1）。‎ ‎（2）把化为顶点式：‎ ‎∵＜0，‎ ‎∴当时，S有最大值，最大值为450。‎ ‎∴当为30cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450cm 2。‎ ‎【考点】二次函数的应用，菱形的性质，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出S与之间的函数关系式。‎ ‎（2）把二次函数化为顶点式，根据二次函数的最值原理，即可求出。‎ ‎7.（黑龙江大庆7分）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件．经过调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少时，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【答案】解：设销售单价定为元（），每天所获利润为元，‎ 则 ‎ ‎∴将销售定价定为14元时，每天所获利润最大，且最大利润是360元。‎ ‎【考点】二次函数的应用。‎ ‎【分析】根据题意列出二次函数，将函数化为顶点式，便可知当=14时，所获得的利润最大。‎ ‎8.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西6分）已知：二次函数，其图象对称轴为直线＝1，且经过点（2，－）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积． 注：二次函数的对称轴是直线＝－．‎ ‎【答案】解：（1）由二次函数的图象对称轴为直线＝1，且经过点（2，－）得 ‎，解得，。∴此二次函数的解析式为。‎ ‎（2）∵由得1＝－1，2＝3。‎ ‎∴B（－1，0），C（3，0）。∴BC=4。‎ ‎ 又∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，‎ ‎∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，－3）。‎ ‎∴△EBC的最大面积= 。 ‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。‎ ‎【分析】（1）利用二次函数上点的坐标与方程的关系将点（2，－））代入二次函数解析式和对称轴为直线＝1，得二元一次方程组，即可求得。‎ ‎（2）利用二次函数与轴相交即＝0，求出即可，再利用E点在轴下方，且E为顶点坐标时△EBC面积最大，求出即可。‎ ‎9．（湖南长沙10分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数，令=0，可得=1，我们就说1是函数的零点。‎ ‎ 己知函数 (为常数)。‎ ‎ （1）当=0时，求该函数的零点；‎ ‎（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；‎ ‎（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式。‎ ‎【答案】解：（1）当=0时，该函数为，令=0，可得，‎ ‎∴当=0时，求该函数的零点为和。‎ ‎（2）令=0，得△=，‎ ‎∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根。‎ 即无论取何值，该函数总有两个零点。‎ ‎（3）依题意有，‎ 由得，即，解得。‎ ‎∴函数的解析式为。‎ 令=0，解得。‎ ‎∵点A在点B左侧，∴A()，B(4，0)。‎ 作点B关于直线的对称点B’，连结AB’，‎ 则AB’与直线的交点就是满足条件的M点。‎ 易求得直线与轴、轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）。‎ 连结CB’，则∠BCD=45°，∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°。‎ ‎∴∠BCB’=90°，即B’（）。‎ 设直线AB’的解析式为，则 ‎，解得 ‎∴直线AB’的解析式为，即AM的解析式为。‎ ‎【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，等量代换，对称的性质，线段垂直平分线的性质，待定系数法，曲线上的点与方程的关系，解二元一次方程组。‎ ‎【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将=0代入，然后令=0即可解得函数的零点；‎ ‎（2）令=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可。‎ ‎（3）根据题中条件求出函数解析式从而求得A、B两点坐标，作点B关于直线的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标，应用待定系数法即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式。‎ ‎10.（湖南永州10分）如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0，7）两点．‎ ‎⑴求该抛物线的解析式及对称轴；‎ ‎⑵当为何值时，？‎ ‎⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）把A（－2，－1），B（0，7）两点的坐标代入， ‎ ‎ 得， 解得。∴该抛物线的解析式为。‎ 又∵，所以对称轴为直线。‎ ‎（2）当函数值时，的解为。‎ ‎∴结合图象，容易知道时，。‎ ‎（3）当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为（m，n），‎ 则，即。‎ ‎∵C，D两点的纵坐标相等，所以C，D两点关于对称轴对称，设点D的横坐标为，‎ 则，∴，∴CD=。‎ ‎∵CD=CF，∴，整理，得，解得或5。‎ ‎∵点C在对称轴的左侧，∴只能取－1。‎ 当时，， ‎ ‎∴点C的坐标为（－1，4）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程，正方形的性质，对称的性质。‎ ‎【分析】（1）根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，求二次函数解析式，再用配方法或公式法求出对称轴即可。‎ ‎（2）求出二次函数与轴交点坐标即可，再利用函数图象得出取值范围；‎ ‎（3）利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案。‎ ‎11.（江苏常州、镇江7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售。这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第天的总销量（千克）与的关系为；乙级干果从开始销售至销售的第天的总销量（千克）与的关系为，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎21‎ ‎44‎ ‎69‎ ‎⑴求、的值；‎ ‎⑵若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？‎ ‎⑶问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？‎ ‎（说明：毛利润=销售总金额-进货总金额。这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）‎ ‎【答案】解：⑴选取表中任两组数据，代入，得 ‎ ， 解得，。‎ ‎ ⑵设甲级干果与乙级干果天销完这批货。‎ ‎ 则有，‎ ‎ 当 ‎ 毛利润＝399×8＋741×6－1140×6＝798（元）‎ ‎ ⑶第天甲级干果的销售量为 ‎ ， ‎ ‎ 第天乙级干果的销售量为 ‎ ‎。‎ ‎ 依题意有。‎ 答：从第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克。‎ ‎【考点】二次函数的应用，解二元一次方程组和一元一次不等式，待定系数法。‎ ‎【分析】⑴用待定系数法得二元一次方程组直接求解。‎ ‎ ⑵列方程解应用题。关键是找出等量关系：‎ ‎ 天甲级干果销量＋天乙级干果销量＝总销量 ‎ ‎ ‎ ⑶关键在表示第天干果的销售量，然后列不等式求解。‎ ‎12.（江苏徐州8分）某网店以每件60元的价格进一批商品, 若以单价80元销售,每月可售出300件, 调查表明:单价每上涨1元,该商品每月的销量就减少10件。‎ ‎（1）请写出每月销售该商品的利润（元）与单价上涨（元）间的函数关系式；‎ ‎（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？‎ ‎【答案】解：（1）每月销售该商品的利润（元）与单价上涨（元）间的函数关系式为。‎ ‎ （2）∵‎ ‎ ∴ 当时，即单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元。‎ ‎【考点】列二次函数关系式，二次函数的顶点式，求二次函数的最大（小）值。‎ ‎【分析】（1）关键是找出等量关系：利润=收入—成本，即 ‎ ‎ ‎ （2）根据二次函数的最大（小）值的概念，二次函数 故只要通过配方法把化为即可。‎ ‎13. （山东济南9分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0)．抛物线经过点A、C，与AB交于点D．‎ ‎(1)求抛物线的函数解析式；‎ ‎(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设 CP＝m，△CPQ的面积为S．‎ ‎①求S关于m的函数表达式；‎ ‎②当S最大时，在抛物线的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，‎ 请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：(1)由点A、C在抛物线上，得 ‎ ，解之，得 。‎ ‎ ∴抛物线的函数解析式为。‎ ‎(2) ①作QE⊥X轴于E，QF⊥Y轴于F。‎ ‎∵OC＝6，OA＝8，∴AC＝10。‎ 由△AFQ∽△AOE，有。‎ ‎∴EC＝OC－OE＝OC－FQ＝6－。‎ ‎∴。‎ ‎②存在。坐标为（）,（），（）或（）。‎ ‎【考点】二次函数的性质和应用，点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理的逆定理。‎ ‎【分析】(1)根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，可求出抛物线的函数解析式。‎ ‎ （2）①把△CPQ的高表示成m的函数即可求出S关于m的函数表达式。‎ ‎②∵‎ ‎ ∴当m＝5时，S最大。此时点Q的坐标为（3，4）。（这一点同①用相似三角形可证）‎ ‎ 又∵点D在抛物线上，‎ ‎∴有，解之可得点D横坐标3。‎ ‎∴当S最大时，点D和点Q在直线＝3上。‎ 又∵，‎ ‎∴抛物线对称轴l为。‎ ‎∴如果DQ是直角边，则当点F的纵坐标与点D或点Q在同一水平线，即时，△DFQ为直角三角形。此时点F的坐标为（）或（）。‎ 如果DQ是斜边，则当点F的坐标满足时，△DFQ为直角三角形。‎ 设点F的坐标为（）则DQ2＝16，，‎ ‎。‎ ‎ ∴，即，解之，得。‎ ‎ ∴此时点F的坐标为（）或（）。‎ 综上所述，对称轴l上，使△DFQ为直角三角形的点F的坐标为：‎ ‎（）,（），（）或（）。‎ ‎14．（山东潍坊10分）2010年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬. 8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落. 已知1月份至7月份，该农产品的月平均价格元/千克与月份呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份满足二次函数关系式. 其中1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.‎ ‎（1）分别求出当1≤≤7和7≤≤12时，关于的函数关系式；‎ ‎（2）2010年1月至12月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？‎ ‎（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？‎ ‎【答案】解：（1）当1≤≤7时，设 将点（1，8）、（7，26）分别代入得：，解之得，。‎ ‎∴函数的解析式为：。‎ 当7≤≤12时，将点（7，26）、（9，14）、（12，11）代入得：‎ ‎，解之得，。‎ ‎∴函数的解析式为。‎ ‎（2）当1≤≤7时，为增函数，∴当=1时，有最小值8。‎ 当7≤≤12时，，∴当=11时，有最小值10。‎ ‎∴该农产品月平均价格最低的是1月，最低为8元/千克。‎ ‎（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，∴=4时的月平均价格17是前7个月的平均值。‎ 将=8和=10分别代入得=19和=11。‎ ‎∴后5个月的月平均价格分别为19、14、11、10、11。‎ ‎∴年平均价格为≈15.3（元/千克）。‎ 又当=3时，=14＜15.3，‎ ‎∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格。‎ ‎【考点】一、二次函数的应用（销售问题），待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一、二次函数的性质，加权平均数。‎ ‎【分析】（1）根据自变量的不同取值范围内不同的函数关系设出不同的函数的解析式，利用待定系数法求得函数的解析式即可。‎ ‎（2）根据一次函数的增减性和二次函数的最值确定该农产品的最低月份和最低价格即可。‎ ‎（3）分别计算5个月的平均价格和年平均价格，比较得到结论即可。‎ ‎15．（山东泰安10分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．‎ ‎（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？‎ ‎（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？‎ ‎【答案】解：（1）获利：（30－20）[105－5（30－25）]=800。‎ ‎（2）设售价为每件元时，一个月的获利为元，‎ 由题意，得=（－20）[105－5（－25）]=－52＋330－4600=－5（－33）2＋845。‎ ‎∵－5＜0，∴当=33时，的最大值为845。‎ 故当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元。‎ ‎【考点】二次函数的应用（销售问题）。‎ ‎【分析】（1）当售价定为30元时，可知每一件赚10元钱，再有售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．可计算出一个月可获利多少元。‎ ‎（2）设售价为每件元时，一个月的获利为元，得到与的二次函数关系式求出函数的最大值即可。‎ ‎16.（山东青岛10分）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．‎ ‎(1)写出销售量件与销售单价元之间的函数关系式；‎ ‎(2)写出销售该品牌童装获得的利润元与销售单价元之间的函数关系式；‎ ‎(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场 销售该品牌童装获得的最大利润是多少？‎ ‎【答案】解：(1)由题意，得：＝200＋（80－）·20＝－20＋1800，‎ ‎ ∴销售量件与销售单价元之间的函数关系式为：＝－20＋1800。‎ ‎ (2) 由题意，得：＝（－60）（－20＋1800）＝－202＋3000 －108000，‎ ‎ ∴利润元与销售单价元之间的函数关系式为：＝－202＋3000 －108000。‎ ‎ (3) 由题意，得：，解得76≤≤78。‎ ‎ 对于＝－202＋3000 －108000，对称轴为＝，‎ ‎ ∴当76≤≤78时，随增大而减小。‎ ‎ ∴当＝76时，＝（76－60）（－20×76＋1800）＝4480。‎ ‎ ∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元。‎ ‎【考点】列一次、二次函数关系式，二次函数的性质。‎ ‎【分析】(1) (2)根据已知条件，直接得出结果。‎ ‎ （3）根据已知条件，求出的取值范围，然后根据二次函数的性质求出函数的最大值。‎ ‎17.（广东佛山10分）商场对某种商品进行市场调查，1至6月份该种商品的销售情况如下：[来源:Z_‎ ‎①销售成本（元/千克）与销售月份的关系如图所示：‎ ‎②销售收入（元/千克）与销售月份满足；‎ ‎③销售量（千克）与销售月份满足；‎ 试解决以下问题：‎ （1） 根据图形，求与之间的函数关系式；‎ （2） 求该种商品每月的销售利润（元）与销售月份的函数关系式，并求出哪个月的 销售利润最大？‎ ‎【答案】解：（1）根据图形，知与之间的函数关系是一次函数关系，‎ ‎ 故设为，并有 ‎，解之得 。‎ ‎ 故与之间的函数关系式为。‎ ‎ （2）依题意，月销售利润，‎ ‎ 化简，得。‎ ‎ 所以4月份的销售利润最大。‎ ‎【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系，待定系数法，解二元一次方程组，列二次函数关系式，二次函数最大值。‎ ‎【分析】（1）根据点（1，9），（6，4）在一次函数的图象上，点的坐标满足方程的关系，将（1，9），（6，4）代入即可求出，从而求得一次函数的解析式。‎ ‎ （2）根据“销售利润=（单位销售收入—单位销售成本）×销售量”这一等量关系列出该种商品每月的销售利润（元）与销售月份的函数关系式。然后利用二次函数最大值求法求出求出哪个月的销售利润最大。‎ ‎18..（广东广州14分）已知关于的二次函数的图象经过点C（0，1），且与轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的取值范围；‎ ‎（3）该二次函数的图象与直线＝1交于C、D两点，设A、B、C、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．‎ ‎【答案】解：（1）把C（0，1）代入二次函数得：1＝0＋0＋，解得：＝1。‎ ‎ ∴的值是1。‎ ‎ （2）由（1）二次函数为，把A（1，0）代入得：0＝＋＋1，‎ ‎ ∴＝－1－。‎ ‎ ∵二次函数为与轴有两个交点，‎ ‎ ∴ 一元一次方程根的判别式∆＞0，即 ‎ ＞0，‎ ‎ ∴≠1且＞0。 ∴的取值范围是≠1且＞0。‎ ‎ （3）证明：∵0＜＜1，‎ ‎ ∴B在A的右边，设A（1，0），B（，0），‎ ‎ ∵‎ ‎ 由根与系数的关系得：1＋＝，∴。 ‎ ‎ ∴AB＝。‎ ‎ 把＝1代入二次函数得：解得：1＝0，2＝， ‎ ‎ ∴CD＝。‎ ‎ 过P作MN⊥CD于M，交轴于N，则MN⊥轴，‎ ‎ ∵CD∥AB，∴△CPD∽△BPA。‎ ‎ 。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ 即不论为何值，S1－S2的值都是常数。这个常数是1。‎ ‎【考点】二次函数综合题，解一元一次方程，解二元一次方程组，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出。‎ ‎ （2）把A（1，0）代入得到0＝＋＋1，推出＝－1－，求出方程的∆‎ 的值即可。‎ ‎ （3）设A（1，0），B（，0），由根与系数的关系求出AB，把＝1代入抛物线得到方程，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交轴于N，根据△CPD∽△BPA，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1－S2的值即可。‎ ‎19. （江西省B卷10分）已知：抛物线 的顶点为A，与x轴的交点为B，C ‎（点B在点C的左侧）.‎ ‎(1)直接写出抛物线对称轴方程；‎ ‎（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求，的值；‎ ‎（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出，满足的关系式；若不能，说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）抛物线对称轴方程：。‎ ‎（2）设直线与轴交于点E，则E（2，0）。‎ ‎∵抛物线经过原点，∴B(0，0)，C(4，0)。‎ ‎∵△ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知AB=AC，‎ ‎∴AE=BE=EC。∴A(2，－2)或(2，2)。‎ 当抛物线的顶点为A(2，－2))时，，把(0，0)代入，得：，此时， 。‎ O x y A B C E 当抛物线的顶点为A(2，2)时，，把(0，0)代入，得：，此时，。‎ ‎∴，或，。‎ ‎（3）依题意，B、C关于点E中心对称，当A,D也关于点E对称，且BE=AE时， 四边形ABDC是正方形。‎ ‎ ∵， ∴。∴。‎ 把代入，得，‎ ‎∵，∴。‎ ‎【考点】抛物线的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质。‎ ‎【分析】（1）根据直接得出答案。‎ ‎（2）根据直线与轴交于点E，则E（2，0），以及抛物线经过原点，得出B（0，0），C（4，0），从而求出AE=BE=EC，当抛物线的顶点为A（2，﹣2）或A（2，2）时求出即可。‎ ‎（3）根据B、C关于点E中心对称，当A，D也关于点E对称，且BE=AE时，四边形ABDC是正方形，即可求出。‎ ‎20.（湖北武汉10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米.‎ ‎（1）若平行于墙的一边的长为米，直接写出与之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；‎ ‎（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；‎ ‎（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出的取值范围. ‎ ‎【答案】解：（1）=30－2 (6≤<15)。‎ ‎（2）设矩形苗圃园的面积为S，‎ 则S== (30－2)=－22＋30，‎ ‎∴S=－2(－7.5)2＋112.5。‎ 由（1）知，6≤<15，∴当=7.5时,S最大值＝112.5。‎ ‎ 即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5。‎ ‎（3）6≤≤11。‎ ‎【考点】二次函数的应用（几何问题）。‎ ‎【分析】（1）根据题意即可求得与的函数关系式为=30－2与自变量的取值范围为6≤＜15。‎ ‎（2）设矩形苗圃园的面积为S，由S=，即可求得S与的函数关系式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值。‎ ‎（3）根据题意得－2（－7.5）2＋112.5≥88，根据图象，即可求得的取值范围。‎ ‎21.（湖北荆州10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投 资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示 的函数对应关系. ‎ 型号 金额 Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 投资金额（万元）‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎4‎ 补贴金额（万元）‎ ‎2‎ ‎2.4‎ ‎3.2‎ ‎（1）分别求和的函数解析式； ‎（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方 案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.‎ ‎【答案】解：（1）由题意得：①5=2，=， ∴ 。‎ ‎②∴， . ∴。 ‎ ‎（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10－t）万元，共获补贴Q万元。 ‎∴ ，‎ ‎∴ 。‎ ‎∵＜0，∴Q有最大值，即当时，Q最大＝。‎ ‎∴ (万元) 。‎ 即投资7万元购Ⅰ型设备， 3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元。‎ ‎【考点】二次函数的应用，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可。‎ ‎（2）根据得出关于的二次函数，求出二次函数最值即可。‎ ‎22.（湖北黄冈、鄂州12分随州14分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入万元，可获得利润P=（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入万元，可获利润Q=（万元）．‎ ‎（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？‎ ‎（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？‎ ‎（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？‎ ‎【答案】解：（1）∵每投入万元，可获得利润P=（万元），‎ ‎∴当=60时，所获利润最大，最大值为41万元。‎ ‎∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5=205（万元）。‎ ‎（2）前两年：0≤≤50，此时因为P随的增大而增大，‎ 所以=50时，P值最大，‎ 即这两年的获利最大为：2×[ ]=80（万元）。‎ 后三年：设每年获利，设当地投资额为，则外地投资额为100－，‎ ‎∴=P+Q=[]+[]‎ ‎=﹣2+60+165=﹣（﹣30）2+1065。‎ ‎∴当=30时，y最大且为1065。‎ ‎∴这三年的获利最大为1065×3=3195（万元）。‎ ‎∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3495﹣50×2=3175（万元）。‎ ‎（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值。‎ ‎【考点】二次函数的应用（销售问题）。‎ ‎【分析】（1）由可获得利润P=（万元），即可知当=60时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值；‎ ‎（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤≤50，此时因为P随的增大而增大，所以=50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设每年获利，设当地投资额为，则外地投资额为100－，即可得函数=P+Q=[]+[]，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值。‎ ‎（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值。‎ ‎23.（湖北荆门10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投 资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示 的函数对应关系. ‎ 型号 金额 Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 投资金额（万元）‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎4‎ 补贴金额（万元）‎ ‎2‎ ‎2.4‎ ‎3.2‎ ‎（1）分别求和的函数解析式； ‎（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方 案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.‎ ‎【答案】解：（1）由题意得：①5=2，=， ∴ 。‎ ‎②∴， . ∴。 ‎ ‎（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10－t）万元，共获补贴Q万元。 ‎∴ ，‎ ‎∴ 。‎ ‎∵＜0，∴Q有最大值，即当时，Q最大＝。‎ ‎∴ (万元) 。‎ 即投资7万元购Ⅰ型设备， 3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元。‎ ‎【考点】二次函数的应用，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可。‎ ‎（2）根据得出关于的二次函数，求出二次函数最值即可。‎ ‎24.（湖北咸宁9分）某农机服务站销售一批柴油，平均每天可售出20桶，每桶盈利40元．为了支援我市抗旱救灾，农机服务站决定采取降价措施．经市场调研发现：如果每桶柴油降价1元，农机服务站平均每天可多售出2桶．‎ ‎（1）假设每桶柴油降价元，每天销售这种柴油所获利润为元，求与之间的函数关系式；‎ ‎（2）每桶柴油降价多少元后出售，农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润？此时，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利多少元？‎ ‎【答案】解：（1）。 ‎ ‎（2）∵．‎ ‎∴当时，有最大值1250．‎ 因此，每桶柴油降价15元后出售，可获得最大利润。‎ ‎∵，‎ ‎∴与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利450元。‎ ‎【考点】二次函数的应用。‎ ‎【分析】（1）根据每桶柴油的利润乘以销售量等于销售利润，可以得到与的函数关系式。‎ ‎（2）根据二次函数的性质，用顶点式表示二次函数，可以求出最大利用和降价数。‎ ‎25. （四川成都8分）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．‎ ‎（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；‎ ‎（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（l）中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵AB=x，∴BC=120﹣2x。‎ ‎∴S=x（120﹣2x）=﹣2x2+120x。‎ ‎∴当x=时，S有最大值为。‎ ‎（2）设圆的半径为r，路面宽为a，‎ 根据题意得：，解得：。 ‎∵路面宽至少要留够0.5米宽，∴这个设计不可行。‎ ‎【考点】二次函数的应用，相切两圆的性质。‎ ‎【分析】（1）表示出BC的长120﹣2x，由矩形的面积公式得出答案。‎ ‎（2）设出圆的半径和药材种植区外四中平面路面的宽，利用题目中的等量关系列出二元一次方程组，求得半径和路面宽，当路面宽满足题目要求时，方案可行，否则不行。‎ ‎26.（辽宁盘锦10分）如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过A(1，－1)、B(4，0)两点．‎ ‎(1)求这个二次函数解析式；‎ ‎(2)点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．‎ ‎【答案】解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx的图象经过A(1，－1)、B(4，0)两点，‎ ‎∴　，解得。∴二次函数的解析式为y＝x2－x。‎ ‎(2)M1(3，1)、M2(－3，－1)、M3(5，－1)。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定，点的对称，坐标平移的性质。‎ ‎【分析】(1) 由二次函数的图象经过A、B两点，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将A、B两点代入二次函数表达式即可求解。‎ ‎ （2）若AB是平行四边形的对角线，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定，只要求出点A（1，－1）关于OB中点（2，0）的对称点M1（2＋1，－（－1））即（1，3），得到的四边形OAB M1即是平行四边形。‎ ‎ 若AB是平行四边形的边，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，只要将点A（1，－1）向左或右平移OA＝4个单位得M2(－3，－1)、M3(5，－1)，得到的四边形OM2AB 和OA M3B即是平行四边形。‎ ‎ 综上所述，以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形的点M为 M1(3，1)、M2(－3，－1)、M3(5，－1)。‎ ‎27.（辽宁盘锦12分） 如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上．若AB＝6m，AD＝4m，设AM的长为xm，矩形AMPQ的面积为S平方米．‎ ‎(1)求S与x的函数关系式；‎ ‎(2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值．‎ ‎【答案】解：(1)∵四边形AMPQ是矩形，∴PQ＝AM＝x。‎ ‎∵PQ∥AB，∴△PQD∽△BAD。∴＝。 ‎ ‎∵AB＝6，AD＝4，∴DQ＝x。∴AQ＝4－x。‎ ‎∴S＝AQ·AM＝x＝－x2＋4x(0＜x＜6)‎ ‎(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6，又－＜0，‎ ‎∴S有最大值。‎ ‎∴当x＝3时，S的最大值为6。‎ 答：当AM的长为3米时，矩形AMPQ的面积最大；最大面积为6平方米。‎ ‎【考点】二次函数的应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。‎ ‎【分析】(1)由△PQD∽△BAD得＝，把AQ用x不表示，即可求出S与x的函数关系式。‎ ‎ （2）把函数关系式化为顶点式，根据二次函数的最值原理即可求出答案。‎ ‎28.（云南曲靖9分）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，铅球运行路线如图。‎ ‎（1）求铅球推出的水平距离；‎ ‎（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m。‎ ‎【答案】解：（1）由＝0，得，解之，得 ‎ （不合题意，舍去）。‎ ‎ ∴铅球推出的水平距离是10m。‎ ‎ （2）∵，‎ ‎ ∴函数的最大值为3m。‎ ‎ ∴铅球行进高度不能达到4m。‎ ‎【考点】二次函数点的坐标和性质。‎ ‎【分析】（1）根据点A在轴上，＝0即可求。‎ ‎ （2）根据二次函数最大值的求法，比较4m和函数的最大值的关系即可得出结论。‎ ‎29.（贵州贵阳10分）如图所示，二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）求点B的坐标；‎ ‎（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0） 使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），‎ ‎∴﹣9+2×3+m=0，解得：m=3。‎ ‎（2）由m=3得，二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3。‎ 当y=0时，﹣x2+2x+3=0，‎ 解得：x=3或x=﹣1，‎ ‎∴B（﹣1，0）。‎ ‎（3）过点D作DE⊥AB，‎ ‎∵当x=0时，y=3，∴C（3，0）。‎ 若S△ABD=S△ABC，‎ ‎∵D（x，y）（其中x＞0，y＞0），则可得OC=DE=3。‎ ‎∴当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得：x=0或x=2，‎ ‎∴点D的坐标为（2，3）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）由二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式即可求得m的值。‎ ‎（2）根据（1）求得二次函数的解析式，然后将y=0代入函数解析式，即可求得点B的坐标。‎ ‎（3）根据（2）中的函数解析式求得点C的坐标，由二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），可得点D在第一象限，又由S△ABD=S△ABC，可知点D与点C的纵坐标相等，代入函数的解析式即可求得点D的坐标。‎ ‎30.（福建三明12分）如图，抛物线y=ax2﹣4ax+c（a≠0）经过A（0，﹣1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）求a，c的值；‎ ‎（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；‎ ‎（3）以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．（不必写过程）‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2－4ax＋c过A（0，－1），B（5，0），‎ ‎∴ ，解得：。‎ ‎（2）∵直线AB经过A（0，－1），B（5，0），∴直线AB的解析式为y＝x －1。‎ 由（1）知抛物线的解析式为：y＝x2－x－1。‎ ‎∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQ⊥x轴，‎ ‎∴P（m，m 2－m－1），Q（m，m －1）。‎ ‎∴S＝PQ＝（m －1）－（m 2－m－1）。‎ 即S＝－m 2＋m（0＜m＜5）。‎ ‎（3）抛物线的对称轴l为：x＝2。‎ 以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有：相离、相切、相交三种关系。‎ 相离时：0＜m＜或 ＜m＜5；‎ 相切时：m＝ m＝；‎ 相交时：＜m＜。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，直线与圆的位置关系。‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法把点A、B的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可。‎ ‎（2）先求出直线AB的解析式，然后分别求出点P与点Q的坐标，则PQ的长度S就等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，然后整理即可。‎ ‎（3）根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况，又点P可以在对称轴左边也可以在对称轴右边，进行讨论列式求解即可。‎ ‎2012年全国各地中考数学真题分类汇编 第13章 二次函数 一.选择题 ‎1．（2012菏泽）已知二次函数的图像如图所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（　　）‎ A．　　B．　　‎ C．　　D．‎ 考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象。‎ 解答：解：∵二次函数图象开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵对称轴x=﹣＜0，‎ ‎∴b＜0，‎ ‎∵二次函数图象经过坐标原点，‎ ‎∴c=0，‎ ‎∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数位于第二四象限，‎ 纵观各选项，只有C选项符合．‎ ‎2．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（　　）‎ ‎　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 考点：‎ 二次函数的性质。‎ 专题：‎ 常规题型。‎ 分析：‎ 结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．‎ 解答：‎ 解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；‎ ‎②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；‎ ‎③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；‎ ‎④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；‎ 综上所述，说法正确的有④共1个．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的性质，主要考查了函数图象的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，以及函数的增减性，都是基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．‎ ‎3．（2012•广州）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（　　）‎ ‎　　A．y=x2﹣1　　B．y=x2+1　　C．y=（x﹣1）2　　D．y=（x+1）2‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换。‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ 直接根据上加下减的原则进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．‎ ‎4．（2012泰安）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ 考点：二次函数图象与几何变换。‎ 解答：解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；‎ 由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：．‎ 故选A．‎ ‎5．（2012泰安）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为（　　）‎ ‎　　A．　　B．3　　C．　　D．9‎ 考点：抛物线与x轴的交点。‎ 解答：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，‎ ‎∴a＞0.，即，‎ ‎∵一元二次方程有实数根，‎ ‎∴△=，即，即，解得，‎ ‎∴m的最大值为3．‎ 故选B．‎ ‎6．（2012泰安）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（　　）‎ ‎　　A．第一、二、三象限　　B．第一、二、四象限　　C．第二、三、四象限　　D．第一、三、四象限 考点：二次函数的图象；一次函数的性质。‎ 解答：解：∵抛物线的顶点在第四象限，‎ ‎∴﹣m＞0，n＜0，‎ ‎∴m＜0，‎ ‎∴一次函数的图象经过二、三、四象限，‎ 故选C．‎ ‎7．（2012泰安）设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ 考点：二次函数图象上点的坐标特征。‎ 解答：解：∵函数的解析式是，如右图，‎ ‎∴对称轴是，‎ ‎∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），‎ 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，‎ 于是．‎ 故选A．‎ ‎8．（2012•乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（　　）‎ ‎　　A．0＜t＜1　　B．0＜t＜2　　C．1＜t＜2　　D．﹣1＜t＜1‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系。‎ 分析：‎ 由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=t=a+b+1．把点（﹣1，0）代入y=ax2‎ ‎+bx+1，a﹣b+1=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t=a+b+1的变化范围．‎ 解答：‎ 解：∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，‎ 且经过点（﹣1，0），‎ ‎∴易得：a﹣b+1=0，a＜0，b＞0，‎ 由a=b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，‎ 由b=a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，‎ ‎∴由①②得：﹣1＜a+b＜1，且c=1，‎ 得到0＜a+b+1＜2，‎ ‎∴0＜t＜2．‎ 故选：B．‎ ‎9．（2012•衢州）已知二次函数y=﹣x2﹣7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）‎ ‎　　A．y1＞y2＞y3　　B．y1＜y2＜y‎3　‎　C．y2＞y3＞y1　　D．y2＜y3＜y1‎ 考点：‎ 二次函数图象上点的坐标特征。‎ 分析：‎ 根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系．‎ 解答：‎ 解：∵二次函数y=﹣x2﹣7x+，‎ ‎∴此函数的对称轴为：x=﹣=﹣=﹣7，‎ ‎∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，‎ ‎∴对称轴右侧y随x的增大而减小，‎ ‎∴y1＞y2＞y3．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．‎ ‎10．（2012义乌市）如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：‎ ‎①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；‎ ‎③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．‎ 其中正确的是（　　）‎ ‎　　A．①②　　B．①④　　C．②③　　D．③④‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：∵①当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴此选项错误；‎ ‎∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；‎ ‎∴②当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴此选项错误；‎ ‎∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；‎ ‎∴③使得M大于2的x值不存在，此选项正确；‎ ‎∵使得M=1时，可能是y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣，‎ 当y2=2x+2=1，解得：x=﹣，‎ 由图象可得出：当x=＞0，此时对应y2=M，‎ ‎∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），‎ ‎∴当﹣1＜x＜0，此时对应y1=M，‎ 故M=1时，x1=，x=﹣，‎ 故④使得M=1的x值是或．此选项正确；‎ 故正确的有：③④．‎ 故选：D．‎ ‎11．（2012•杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（　　）‎ ‎　　A．2　　B．3　　C．4　　D．5‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点。‎ 分析：‎ 根据抛物线的解析式可得C（0，3），再表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，再根据ABC是等腰三角形分三种情况讨论，求得k的值，即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：根据题意，得C（0，﹣3）．‎ 令y=0，则k（x+1）（x﹣）=0，‎ x=﹣1或x=，‎ 设A点的坐标为（﹣1，0），则B（，0），‎ ‎①当AC=BC时，‎ OA=OB=1，‎ B点的坐标为（1，0），‎ ‎=1，‎ k=3；‎ ‎②当AC=AB时，点B在点A的右面时，‎ ‎∵AC==，‎ 则AB=AC=，‎ B点的坐标为（﹣1，0），‎ ‎=﹣1，‎ k=；‎ ‎③当AC=AB时，点B在点A的左面时，‎ B点的坐标为（，0），‎ ‎=，‎ k=；‎ 所以能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是3条；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了抛物线与x轴的交点，此题要能够根据解析式分别求得抛物线与坐标轴的交点，结合等腰三角形的性质和勾股定理列出关于k的方程进行求解是解题的关键．‎ ‎12．(2012•扬州)将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是(　　)‎ ‎　‎ A．‎ y＝(x＋2)2＋2‎ B．‎ y＝(x＋2)2－2‎ C．‎ y＝(x－2)2＋2‎ D．‎ y＝(x－2)2－2‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换。‎ 分析：‎ 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位所得抛物线的函数关系式是：y＝(x＋2)2＋1；‎ 将抛物线y＝(x＋2)2＋1先向下平移3个单位所得抛物线的函数关系式是：y＝(x＋2)2＋1－3，即y＝(x＋2)2－2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．‎ ‎13．（2012•资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1＜x＜5‎ B．‎ x＞5‎ C．‎ x＜﹣1且x＞5‎ D．‎ x＜﹣1或x＞5‎ 考点：‎ 二次函数与不等式（组）。‎ 分析：‎ 利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2‎ ‎+bx+c＜0的解集．‎ 解答：‎ 解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），‎ ‎∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．‎ 利用图象可知：‎ ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，‎ ‎∴x＜﹣1或x＞5．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．‎ ‎14．（2012•德阳）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣1，1）‎ B．‎ ‎（1，﹣2）‎ C．‎ ‎（2，﹣2）‎ D．‎ ‎（1，﹣1）‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换。‎ 分析：‎ 易得原抛物线的顶点坐标，根据横坐标与纵坐标“左加右减”可得到平移后的顶点坐标．‎ 解答：‎ 解：∵y=2x2+4x+1=2（x2+2x）+1=2[（x+1）2﹣1]+1=2（x+1）2﹣1，‎ ‎∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），‎ ‎∵将二次函数y=2（x+1）2﹣1，的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，‎ ‎∴y=2（x+1﹣2）2﹣1﹣1=2（x﹣1）2﹣2，‎ 故得到图象的顶点坐标是（1，﹣2）．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数的平移问题；用到的知识点为：二次函数的平移，看顶点的平移即可；上下平移只改变顶点的纵坐标，上加下减．‎ ‎15．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ c=3‎ B．‎ c≥3‎ C．‎ ‎1≤c≤3‎ D．‎ c≤3‎ 考点：‎ 二次函数的性质。‎ 分析：‎ 因为当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，所以函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，有题意可知当x=3时，y=9+3b+c≤0②，所以①②联立即可求出c的取值范围．‎ 解答：‎ 解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，‎ ‎∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，‎ ‎∵当1≤x≤3时，总有y≤0，‎ ‎∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，‎ ‎①②联立解得：c≥3，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是有给出的条件得到抛物线过（1，0），再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系．‎ ‎16．（2012•兰州）抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是(　　)‎ ‎　‎ A．‎ 直线 B．‎ 直线 C．‎ y轴 D．‎ 直线x＝2‎ 考点：‎ 二次函数的性质。‎ 分析：‎ 已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．‎ 解答：‎ 解：∵抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标为(0，1)，‎ ‎∴对称轴是直线x＝0(y轴)，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 主要考查了求抛物线的顶点坐标与对称轴的方法．‎ ‎17．（2012张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是（　　）‎ ‎ A． B．CD 考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。‎ 解答：解：当a＞0时，y=ax+1过一．二．三象限，y=过一．三象限；‎ 当a＜0时，y=ax+1过一．二．四象限，y=过二．四象限；‎ 故选C．‎ ‎18．（2012宜宾）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，只这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：‎ ‎①直线y=0是抛物线y=x2的切线 ‎②直线x=﹣2与抛物线y=x2 相切于点（﹣2，1）‎ ‎③直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1）‎ ‎④若直线y=kx﹣2与抛物线y=x2 相切，则实数k=‎ 其中正确命题的是（　　）‎ ‎　 A． ①②④ B． ①③ C． ②③ D． ①③④‎ 考点：二次函数的性质；根的判别式。‎ 解答：解：①∵直线y=0是x轴，抛物线y=x2的顶点在x轴上，∴直线y=0是抛物线y=x2的切线，故本小题正确；‎ ‎②∵抛物线y=x2的顶点在x轴上，开口向上，直线x=2与y轴平行，∴直线x=﹣2与抛物线y=x2 相交，故本小题错误；‎ ‎③∵直线y=x+b与抛物线y=x2相切，∴x2﹣4x﹣b=0，∴△=16+4b=0，解得b=﹣4，把b=﹣4代入x2﹣4x﹣b=0得x=2，把x=2代入抛物线解析式可知y=1，∴直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1），故本小题正确；‎ ‎④∵直线y=kx﹣2与抛物线y=x2 相切，∴x2=kx﹣2，即x2﹣kx+2=0，△=k2﹣2=0，解得k=±，故本小题错误．‎ 故选B．‎ ‎19．（2012潜江）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎1个 D．‎ ‎0个 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系。‎ 分析：‎ 首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=﹣，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＞0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用b﹣2a=0时，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，得出8a+c＞0．‎ 解答：‎ 解：根据图象可得：a＞0，c＞0，‎ 对称轴：x=﹣＞0，‎ ‎①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），‎ ‎∴对称轴是x=1，‎ ‎∴﹣=1，‎ ‎∴b+2a=0，‎ 故①错误；‎ ‎②∵a＞0，‎ ‎∴b＜0，‎ ‎∴abc＜0，故②正确；‎ ‎③a﹣2b+4c＜0；‎ ‎∵b+2a=0，‎ ‎∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c，‎ ‎∵a﹣b+c=0，‎ ‎∴4a﹣4b+4c=0，‎ ‎∴﹣4b+4c=﹣4a，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0，‎ 故此选项正确；‎ ‎④根据图示知，当x=4时，y＞0，‎ ‎∴16a+4b+c＞0，‎ 由①知，b=﹣2a，‎ ‎∴8a+c＞0；‎ 故④正确；‎ 故正确为：①②③三个．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．‎ 二.填空题 ‎1．（2012绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是 m。‎ 考点：二次函数的应用。‎ 解答：解：令函数式中，，‎ ‎，‎ 解得，（舍去），‎ 即铅球推出的距离是10m。‎ 故答案为：10。‎ ‎2．(2012•扬州)如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　1　．‎ 考点：‎ 二次函数的最值；等腰直角三角形。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 设AC＝x，则BC＝2－x，然后分别表示出DC、EC，继而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE的表达式，利用函数的知识进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：如图，连接DE．‎ 设AC＝x，则BC＝2－x，‎ ‎∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝(2－x)，‎ ‎∴∠DCE＝90°，‎ 故DE2＝DC2＋CE2＝x2＋(2－x)2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，‎ 当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1．‎ 故答案为：1．‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是表示出DC、CE，得出DE的表达式，还要求我们掌握配方法求二次函数最值．‎ ‎3．（2012无锡）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　y=﹣x2+4x﹣3　．‎ 考点：待定系数法求二次函数解析式。‎ 专题：计算题。‎ 分析：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式．‎ 解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，‎ 将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，‎ a=﹣1，‎ 函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，‎ 展开得y=﹣x2+4x﹣3．‎ 故答案为y=﹣x2+4x﹣3．‎ 点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键，要注意，最后结果要化为一般式．‎ ‎4．（2012广安）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　　．‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换。‎ 分析：‎ 根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可．‎ 解答：‎ 解：过点P作PM⊥y轴于点M，‎ ‎∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），‎ ‎∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3，‎ 得出二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，‎ 将（﹣6，0）代入得出：‎ ‎0=（﹣6+3）2+h，‎ 解得：h=﹣，‎ ‎∴点P的坐标是（3，﹣），‎ 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，‎ ‎∴S=3×|﹣|=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．‎ ‎5．（2012苏州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1　＞　y2（填“＞”、“＜”或“=”）．‎ 考点：‎ 二次函数图象上点的坐标特征。‎ 分析：‎ 先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论．‎ 解答：‎ 解：由二次函数y=（x﹣1）2+1可，其对称轴为x=1，‎ ‎∵x1＞x2＞1，‎ ‎∴两点均在对称轴的右侧，‎ ‎∵此函数图象开口向上，‎ ‎∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，‎ ‎∵x1＞x2＞1，‎ ‎∴y1＞y2．‎ 故答案为：＞．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键．‎ ‎6．（2012深圳）二次函数的最小值是 ▲ ．[来源:学。科。网]‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】∵，∴当时，函数有最小值5。‎ 三.解答题 ‎【1.2012临沂】http://www.21cnjy.com/‎ ‎26．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点：二次函数综合题；分类讨论。‎ 解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，‎ ‎∵∠AOB=120°，‎ ‎∴∠BOC=60°，‎ 又∵OA=OB=4，‎ ‎∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；‎ ‎（2）∵抛物线过原点O和点A．B，‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，‎ 将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得 ‎，‎ 解得，‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x ‎（3）存在，‎ 如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），‎ ‎①若OB=OP，（21世纪教育网版权所有）‎ 则22+|y|2=42，‎ 解得y=±2，‎ 当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，‎ ‎∴∠POD=60°，‎ ‎∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，‎ 即P、O、B三点在同一直线上，‎ ‎∴y=2不符合题意，舍去，‎ ‎∴点P的坐标为（2，﹣2）‎ ‎②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，‎ 解得y=﹣2，‎ 故点P的坐标为（2，﹣2），‎ ‎③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，‎ 解得y=﹣2，‎ 故点P的坐标为（2，﹣2），‎ 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），‎ ‎【2.2012菏泽】‎ ‎21．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．‎ ‎（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，‎ 又A（0，1），B（2，0），O（0，0），‎ ‎∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．‎ 设抛物线的解析式为：，‎ ‎∵抛物线经过点A′、B′、B，‎ ‎，解之得，‎ 满足条件的抛物线的解析式为.．‎ ‎（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，‎ 设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足．‎ 连接PB，PO，PB′，‎ ‎. ‎ 假设四边形的面积是面积的倍，则 ‎，‎ 即，解之得，此时，即.‎ ‎∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．‎ ‎（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．‎ ‎①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；‎ ‎③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．‎ 或用符号表示：‎ ‎①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．‎ ‎【3. 2012义乌市】‎ ‎24．如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．‎ ‎（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；‎ ‎（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；‎ ‎（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；‎ ‎∵6=3k，‎ ‎∴k=2，‎ ‎∴y=2x．（2012义乌市）‎ OA=．…（3分）‎ ‎（2）是一个定值，理由如下：‎ 如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．‎ ‎①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，‎ 此时；‎ ‎②当QH与QM不重合时，‎ ‎∵QN⊥QM，QG⊥QH 不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，‎ ‎∴∠MQH=∠GQN，‎ 又∵∠QHM=∠QGN=90°‎ ‎∴△QHM∽△QGN…（5分），‎ ‎∴，‎ 当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得． …（7分）①①‎ ‎（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R ‎∵∠AOD=∠BAE，‎ ‎∴AF=OF，‎ ‎∴OC=AC=OA=‎ ‎∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，‎ ‎∴△AOR∽△FOC，‎ ‎∴，‎ ‎∴OF=，‎ ‎∴点F（，0），‎ 设点B（x，），‎ 过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得x1=6，x2=3（舍去），‎ ‎∴点B（6，2），‎ ‎∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，‎ ‎∴AB=5 …（8分）；‎ ‎（求AB也可采用下面的方法）‎ 设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得 k=，b=10，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴（舍去），，‎ ‎∴B（6，2），‎ ‎∴AB=5…（8分）‎ ‎（其它方法求出AB的长酌情给分）‎ 在△ABE与△OED中 ‎∵∠BAE=∠BED，‎ ‎∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，‎ ‎∴∠ABE=∠DEO，‎ ‎∵∠BAE=∠EOD，‎ ‎∴△ABE∽△OED．…（9分）‎ 设OE=x，则AE=﹣x （），‎ 由△ABE∽△OED得，‎ ‎∴‎ ‎∴（）…（10分）‎ ‎∴顶点为（，）‎ 如答图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；‎ 当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．‎ ‎∴当时，E点只有1个…（11分）‎ 当时，E点有2个…（12分）．‎ ‎【4.2012•杭州】‎ ‎22．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．‎ ‎（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；‎ ‎（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y=，利用待定系数法即可求得答案；‎ ‎（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函数y=k（x2+x﹣1）的对称轴为x=﹣，可得x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大；‎ ‎（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（﹣，k），A（1，k），即可得=，继而求得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），‎ ‎∵A在反比例函数图象上，‎ ‎∴设反比例函数的解析式为：y=，‎ 代入A（1，﹣2）得：﹣2=，‎ 解得：m=﹣2，‎ ‎∴反比例函数的解析式为：y=﹣；‎ ‎（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，‎ ‎∴k＜0，‎ ‎∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=k（x+）2﹣k，的对称轴为：直线x=﹣，‎ 要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，‎ 即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大，‎ ‎∴综上所述，k＜0且x＜﹣；‎ ‎（3）由（2）可得：Q（﹣，k），‎ ‎∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）‎ ‎∴原点O平分AB，‎ ‎∴OQ=OA=OB，‎ 作AD⊥OC，QC⊥OC，‎ ‎∴OQ==，‎ ‎∵OA==，‎ ‎∴=，‎ 解得：k=±．‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应用．‎ ‎【5.2012•烟台】‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？‎ ‎（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；‎ ‎（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4﹣t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣、点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣；最后根据三角形的面积公式可以求得 S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣（t﹣2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，S△ACG的最大值为1；‎ ‎（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上．‎ 解答：‎ 解：（1）A（1，4）．…（1分）‎ 由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4‎ ‎∵抛物线过点C（3，0），‎ ‎∴0=a（3﹣1）2+4，‎ 解得，a=﹣1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．…（2分）‎ ‎（2）∵A（1，4），C（3，0），‎ ‎∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．‎ ‎∵点P（1，4﹣t）．…（3分） ‎∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．…（4分）‎ ‎∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．‎ ‎∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．…（5分）‎ 又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，‎ 即S△ACG=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）‎ ‎=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．…（7分）‎ 当t=2时，S△ACG的最大值为1．…（8分）‎ ‎（3）t=或t=20﹣8．…（12分）‎ ‎（说明：每值各占（2分），多出的值未舍去，每个扣1分）‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法．‎ ‎【6.2012•益阳】‎ ‎20．已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．‎ ‎（1）求原抛物线的解析式；‎ ‎（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号）‎ 考点：‎ 二次函数的应用。‎ 分析：‎ ‎（1）利用P与P′（1，3）关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；‎ ‎（2）根据已知得出C，D两点坐标，进而得出“W”图案的高与宽（CD）的比．‎ 解答：‎ 解：（1）∵P与P′（1，3）关于x轴对称，‎ ‎∴P点坐标为（1，﹣3）； …（2分）‎ ‎∵抛物线y=a（x﹣1）2+c过点A（，0），顶点是P（1，﹣3），‎ ‎∴；…（3分）‎ 解得；…（4分）‎ 则抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣3，…（5分）‎ 即y=x2﹣2x﹣2．‎ ‎（2）∵CD平行x轴，P′（1，3）在CD上，‎ ‎∴C、D两点纵坐标为3； …（6分）‎ 由（x﹣1）2﹣3=3，‎ 解得：，，…（7分）‎ ‎∴C、D两点的坐标分别为（，3），（，3）‎ ‎∴CD=…（8分）‎ ‎∴“W”图案的高与宽（CD）的比=（或约等于0.6124）…（10分）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的应用，根据已知得出C，D两点坐标是解题关键．‎ ‎【7.2012•广州】‎ ‎24．如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；‎ ‎（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解．‎ ‎（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．‎ 从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标．‎ 注意：这样的平行线有两条，如答图1所示．‎ ‎（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．‎ 因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解．‎ 注意：这样的切线有两条，如答图2所示．‎ 解答：‎ 解：（1）令y=0，即=0，‎ 解得x1=﹣4，x2=2，‎ ‎∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）．‎ ‎（2）S△ACB=AB•OC=9，‎ 在Rt△AOC中，AC===5，‎ 设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=．‎ 如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D．‎ 设l1交y轴于E，过C作CF⊥l1于F，则CF=h=，‎ ‎∴CE==．‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，‎ 得到，解得，∴直线AC解析式为y=x+3．[来源:21世纪教育网]‎ 直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，‎ ‎∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣．‎ 则D1的纵坐标为×（﹣1）﹣=，∴D1（﹣4，）．‎ 同理，直线AC向上平移个长度单位得到l2，可求得D2（﹣1，）‎ 综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）．‎ ‎（3）如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．‎ 连接FM，过M作MN⊥x轴于点N．‎ ‎∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3．‎ 又FE=5，则在Rt△MEF中，‎ ME==4，sin∠MFE=，cos∠MFE=．‎ 在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×=，‎ FN=MN•cos∠MFE=3×=，则ON=，‎ ‎∴M点坐标为（，）‎ 直线l过M（，），E（4，0），‎ 设直线l的解析式为y=kx+b，则有 ‎，解得，‎ 所以直线l的解析式为y=x+3．‎ 同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3．‎ 综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3．‎ 点评：‎ 本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用．难点在于第（3）问中对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解，这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决．本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用．‎ ‎【8. 2012成都】‎ ‎28． (本小题满分l2分)‎ ‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(‎ ‎，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．‎ ‎ （1）求的值及抛物线的函数表达式；‎ ‎ （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；‎ ‎ （3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 ，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）∵经过点（﹣3，0），‎ ‎∴0=+m，解得m=，‎ ‎∴直线解析式为，C（0，）．‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0），‎ 设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），‎ ‎∵抛物线经过C（0，），‎ ‎∴=a•3（﹣5），解得a=，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+x+；‎ ‎（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，‎ 则AC∥EF且AC=EF．如答图1，‎ ‎（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，‎ ‎∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，‎ 又∵，∴△CAO≌△EFG，‎ ‎∴EG=CO=，即yE=，‎ ‎∴=xE2+xE+，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去），‎ ‎∴E（2，），S▱ACEF=；‎ ‎（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，‎ 同理可求得E′（+1，），S▱ACE′F′=．‎ ‎（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．‎ 如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．‎ ‎∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，‎ ‎∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）．‎ 令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，‎ ‎∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+，‎ 联立化简得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，‎ ‎∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．‎ ‎∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．‎ 根据两点间距离公式得到：‎ M1M2===‎ ‎∴M1M2===4（1+k2）．‎ 又M1P===；‎ 同理M2P=‎ ‎∴M1P•M2P=（1+k2）•=（1+k2）•=（1+k2）•=4（1+k2）．‎ ‎∴M1P•M2P=M1M2，‎ ‎∴=1为定值．‎ ‎【9. 2012铜仁】‎ ‎25．如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式;‎ ‎（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）‎ ‎∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组 ‎ ‎ 解得：‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎ ‎（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，‎ 若△ABO∽△AP1D，则 ‎∴DP1=AD=4 ,‎ ‎∴P1（21世纪教育网版权所有）‎ 若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4, ‎ ‎∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）‎ ‎（3）如图设点E ，则 ‎ ‎①当P1(-1,4)时，‎ S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE ‎ = ‎ ‎ ∴ ∴‎ ‎∵点E在x轴下方 ∴‎ 代入得： ,即 ‎ ‎∵△=(-4)2-4×7=-12<0‎ ‎∴此方程无解 ‎②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = 21世纪教育网 ‎ ∴ ∴‎ ‎∵点E在x轴下方 ∴ 代入得：‎ 即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0‎ ‎∴此方程无解 综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。‎ ‎【10. 2012泰安】（21世纪教育网版权所有）‎ ‎29．如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线过A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；‎ ‎（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）如答图1，连接OB．‎ ‎∵BC=2，OC=1‎ ‎∴OB=‎ ‎∴B（0，）‎ 将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式 得 ，解得： ，‎ ‎∴．（21世纪教育网版权所有）‎ ‎（2）存在．‎ 如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．‎ ‎∵B（0，），O（0，0），‎ ‎∴直线l的表达式为．代入抛物线的表达式，‎ 得；‎ 解得，‎ ‎∴P（）．‎ ‎（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．‎ 设M（ ），‎ 则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB ‎=‎ ‎= （21世纪教育网版权所有）‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎= ‎ ‎∴当时，取得最大值，最大值为．（21世纪教育网版权所有）‎ ‎（21世纪教育网版权所有）‎ ‎【11. 2012•乐山】‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．‎ ‎①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；‎ ‎②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；‎ ‎（2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可；‎ ‎②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，进而得出最值即可．‎ 解答：‎ 解（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，‎ 得 x1=3，x2=﹣1．‎ ‎∵m＜n，‎ ‎∴m=﹣1，n=3…（1分）‎ ‎∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．‎ ‎∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．‎ ‎∴‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为．…（4分）‎ ‎（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．‎ ‎∴‎ 解得：，‎ ‎∴直线AB的解析式为．‎ ‎∴C点坐标为（0，）．…（6分）‎ ‎∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），‎ ‎∴直线OB的解析式为y=﹣x．‎ ‎∵△OPC为等腰三角形，‎ ‎∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．‎ 设P（x，﹣x），‎ ‎（i）当OC=OP时，．‎ 解得，（舍去）．‎ ‎∴P1（，）．‎ ‎（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，‎ ‎∴P2（，﹣）．‎ ‎（iii）当OC=PC时，由，‎ 解得，x2=0（舍去）．‎ ‎∴P3（，﹣）．‎ ‎∴P点坐标为P1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．…（9分）‎ ‎②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．‎ 设Q（x，﹣x），D（x，）．‎ S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH，‎ ‎=DQ（OG+GH），‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎∵0＜x＜3，‎ ‎∴当时，S取得最大值为，此时D（，﹣）．…（13分）‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知识，求面积最值经常利用二次函数的最值求法得出．‎ ‎【12. 2012•衢州】‎ ‎24．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．‎ ‎（1）求该抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；‎ ‎（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形；‎ ‎（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值．解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，‎ 可得c=0，∴，‎ 解得a=，b=，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+x．‎ ‎（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=‎ ‎∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．‎ 如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，‎ AG=yA﹣yM=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．‎ 当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，‎ ‎∴t2﹣t+2=，‎ 化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，‎ ‎∴点P的坐标为（，）‎ ‎∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．‎ ‎（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．‎ 求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），‎ 易知△OQT∽△OCD，可得QT=，‎ ‎∴点Q的坐标为（a，）．‎ 解法一：‎ 设AB与OC相交于点J，‎ ‎∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴=‎ ‎∴HT===2﹣a，‎ KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．‎ S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT ‎=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）‎ ‎=a2+a﹣=（a﹣）2+‎ 由于＜0，‎ ‎∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．‎ 解法二：‎ 过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得 ①‎ 由△RKH∽△A′O′B′，得 ②‎ 由①，②得KH=OH，‎ OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③‎ 由△A′KT∽△A′O′B′，得，‎ 则KT= ④‎ 由③，④得=a﹣OH，即OH=‎2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R的坐标为R（‎2a﹣2，a﹣1）‎ S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH ‎=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）‎ ‎=a2+a﹣=（a﹣）2+‎ 由于＜0，‎ ‎∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．‎ 解法三：‎ ‎∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，‎ ‎∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，‎ ‎∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，‎ 过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH 又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，‎ ‎∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），‎ ‎∴点R坐标R（‎2a﹣2，a﹣1）‎ S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（xQ﹣xR）‎ ‎=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）‎ ‎=a2+a﹣=（a﹣）2+‎ 由于＜0，‎ ‎∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．‎ 点评：‎ 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、相似三角形、图形的平移以及几何图形面积的求法，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．‎ ‎【13. 2012绍兴】‎ ‎25．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点。‎ ‎（1）求A点坐标及线段AB的长；‎ ‎（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。‎ ‎①当PQ⊥AC时，求t的值；‎ ‎②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）由抛物线知：当x=0时，y=﹣2，‎ ‎∴A（0，﹣2）。‎ 由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同；‎ 当时，，解得，‎ ‎∴B（4，﹣2），‎ ‎∴AB=4。‎ ‎（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t，‎ Q点移动路程为。‎ 当Q点在OA上时，即，时，‎ 如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC。‎ ‎∴，即，‎ ‎∴。‎ ‎∵，‎ ‎∴此时t值不合题意。‎ 当Q点在OC上时，即，时，‎ 如图2，过Q点作QD⊥AB。‎ ‎∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9。‎ ‎∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t。‎ 若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴。‎ ‎∵，‎ ‎∴符合题意。‎ 当Q点在BC上时，即，时，‎ 如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，‎ 则QG⊥PG，即∠GQP=90°。‎ ‎∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，‎ 此时PQ不与AC垂直。‎ 综上所述，当时，有PQ⊥AC。‎ ‎②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC。‎ 此时AP=2，BQ=CQ=1，‎ ‎∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。‎ 抛物线对称轴的解析式为x=2，‎ 当H1为对称轴与OP的交点时，‎ 有∠H1OQ=∠POQ，‎ ‎∴当yH＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ。‎ 作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，‎ 过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，‎ 在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1。‎ ‎∴OQ=，‎ ‎∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3=OQ×PM，‎ ‎∴PM=，‎ ‎∴PP′=2PM=，‎ ‎∵NPP′=∠COQ。‎ ‎∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，，‎ ‎∴P′（），‎ ‎∴直线OP′的解析式为，‎ ‎∴OP′与NP的交点H2（2，）。‎ ‎∴当时，∠HOP＞∠POQ。‎ 综上所述，当或时，∠HOQ＞∠POQ。‎ ‎【14. 2012•扬州】‎ ‎27．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．‎ ‎(1)求抛物线的函数关系式；‎ ‎(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；‎ ‎(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 综合题；分类讨论。‎ 分析：‎ ‎(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．‎ ‎(2)由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．‎ ‎(3)由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．‎ 解答：‎ 解：(1)将A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得：‎ ‎，解得：‎ ‎∴抛物线的解析式：y＝－x2＋2x＋3．‎ ‎(2)连接BC，直线BC与直线l的交点为P；‎ 设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入上式，得：‎ ‎，解得：‎ ‎∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3；‎ 当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)．‎ ‎(3)抛物线的解析式为：x＝－＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)、C(0，3)，则：‎ MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10；‎ ‎①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：‎ m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1；‎ ‎②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：‎ m2＋4＝10，得：m＝±；‎ ‎③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：‎ m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6；‎ 当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；‎ 综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．‎ 点评：‎ 该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．‎ ‎【15.2012上海】(21世纪教育网版权所有)‎ ‎24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；(21世纪教育网版权所有)‎ ‎（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；‎ ‎（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理。‎ 解答：解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；‎ ‎（2）∵∠EFD=∠EDA=90°http://www.21cnjy.com/‎ ‎∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA ‎∴△EDF∽△DAO ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，∴EF=t．‎ 同理，‎ ‎∴DF=2，∴OF=t﹣2．‎ ‎（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，‎ ‎∴C（0，8），OC=8．‎ 如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．‎ ‎∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）；‎ 在△CAG与△OCA中，，‎ ‎∴△CAG≌△OCA，∴CG=4，AG=OC=8．‎ 如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，‎ ‎∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，‎ 由勾股定理得：‎ ‎∵AE2=AM2+EM2=；‎ 在Rt△AEG中，由勾股定理得：‎ ‎∴EG===‎ ‎∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=+4‎ 由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，‎ 即，‎ 解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6，(21世纪教育网版权所有)‎ ‎∴t=6．‎ ‎【16. 2012广东】‎ ‎22．如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．‎ ‎（1）求AB和OC的长；‎ ‎（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．‎ ‎(21世纪教育网版权所有)‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）已知：抛物线y=x2﹣x﹣9；‎ 当x=0时，y=﹣9，则：C（0，﹣9）；‎ 当y=0时，x2﹣x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，则：A（﹣3，0）、B（6，0）；‎ ‎∴AB=9，OC=9．‎ ‎（2）∵ED∥BC，‎ ‎∴△AED∽△ABC，‎ ‎∴=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0＜m＜9）．‎ ‎（3）S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2；‎ 则：S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+；‎ ‎∴△CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=．‎ 过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：‎ ‎=，即：=‎ ‎∴EF=；‎ ‎∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=．‎ ‎【17. 2012嘉兴】‎ ‎24．在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）如图1，当m=时，‎ ‎①求线段OP的长和tan∠POM的值；‎ ‎②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；‎ ‎（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．‎ ‎①用含m的代数式表示点Q的坐标；‎ ‎②求证：四边形ODME是矩形．(21世纪教育网版权所有)‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）①把x=代入 y=x2，得 y=2，∴P（，2），∴OP=‎ ‎∵PA丄x轴，∴PA∥MO．∴tan∠P0M=tan∠0PA==．‎ ‎②设 Q（n，n2），∵tan∠QOB=tan∠POM，‎ ‎∴．∴n=‎ ‎∴Q（，），∴OQ=．‎ 当 OQ=OC 时，则C1（0，），C2（0，）；‎ 当 OQ=CQ 时，则 C3（0，1）．(21世纪教育网版权所有)‎ ‎（2）①∵P（m，m2），设 Q（n，n2），∵△APO∽△BOQ，∴‎ ‎∴，得n=，∴Q（，）．‎ ‎②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：‎ 解得b=1，∴M（0，1）‎ ‎∵，∠QBO=∠MOA=90°，‎ ‎∴△QBO∽△MOA ‎∴∠MAO=∠QOB，‎ ‎∴QO∥MA 同理可证：EM∥OD 又∵∠EOD=90°，‎ ‎∴四边形ODME是矩形．‎ ‎【18. 2012贵州安顺】(21世纪教育网版权所有)‎ ‎26．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．‎ ‎①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．‎ ‎②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 由题意知点A（0，﹣12），‎ 所以c=﹣12，‎ 又18a+c=0，‎ ‎，‎ ‎∵AB∥OC，且AB=6，‎ ‎∴抛物线的对称轴是，‎ ‎∴b=﹣4，‎ 所以抛物线的解析式为；‎ ‎（2）①，（0＜t＜6）‎ ‎②当t=3时，S取最大值为9．‎ 这时点P的坐标（3，﹣12），‎ 点Q坐标（6，﹣6）‎ 若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：‎ ‎（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，﹣18），将（3，﹣18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，﹣18），‎ ‎（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，﹣6），将（3，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．‎ ‎（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，﹣6），将（9，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．‎ 综上所述，点R坐标为（3，﹣18）．‎ ‎【19. 2012•资阳】(21世纪教育网版权所有)‎ ‎25．抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．‎ ‎（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；‎ ‎（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；‎ ‎（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 压轴题。‎ 分析：‎ ‎（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；‎ ‎（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案；‎ ‎（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）y=x2+x+m=（x+2）2+（m﹣1）‎ ‎∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）‎ ‎∵顶点在直线y=x+3上，‎ ‎∴﹣2+3=m﹣1，‎ 得m=2；‎ ‎（2）∵点N在抛物线上，‎ ‎∴点N的纵坐标为：a2+a+2，‎ 即点N（a，a2+a+2）‎ 过点F作FC⊥NB于点C，‎ 在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB=a2+a，‎ ‎∴NF2=NC2+FC2=（a2+a）2+（a+2）2，‎ ‎=（a2+a）2+（a2+4a）+4，‎ 而NB2=（a2+a+2）2，‎ ‎=（a2+a）2+（a2+4a）+4‎ ‎∴NF2=NB2，‎ NF=NB；‎ ‎（3）连接AF、BF，‎ 由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，‎ ‎∴∠MAF=∠MFA，‎ ‎∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，‎ ‎∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°‎ ‎∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，‎ ‎∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，‎ ‎∵∠MAB+∠NBA=180°，‎ ‎∴∠FBA+∠FAB=90°，‎ 又∵∠FAB+∠MAF=90°，‎ ‎∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，‎ 又∵∠FPA=∠BPF，‎ ‎∴△PFA∽△PBF，‎ ‎∴=，PF2=PA×PB=，‎ 过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，‎ PG==，‎ ‎∴PO=PG+GO=，‎ ‎∴P（﹣，0）‎ 设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，‎ 解得k=，b=，‎ ‎∴直线PF：y=x+，‎ 解方程x2+x+2=x+，‎ 得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），‎ 当x=﹣3时，y=，‎ ‎∴M（﹣3，）．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，（3）题通过构建相似三角形将PA•PB转化为PF的值是解题的关键，也是该题的难点．‎ ‎【20. 2012•湘潭】‎ ‎26．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；‎ ‎（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 转化思想。‎ 分析：‎ ‎（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．‎ ‎（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△‎ ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．‎ ‎（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．‎ 解答：‎ 解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：‎ ‎0=‎16a﹣×4﹣2，即：a=；‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．(21世纪教育网版权所有)‎ ‎（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；‎ ‎∴OA=1，OC=2，OB=4，‎ 即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，‎ ‎∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；‎ ‎∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；‎ 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．‎ ‎（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；‎ 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：‎ x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；‎ ‎∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=4；‎ ‎∴直线l：y=x﹣4．‎ 由于S△MBC=BC×h，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：‎ ‎，‎ 解得：‎ 即 M（2，﹣3）．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．‎