2016中考数学四边形证明题

2016中考数学四边形证明题

中考数学（三角形、四边形）常见题型 ‎1如在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）如果∠G=90°，∠C=60°，BC=2，求四边形DEBF的面积． ‎ ‎2．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.‎ ‎（1）证明：∠DFA＝∠FAB；（2）证明：△ABE≌△FCE．‎ ‎3.在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G．‎ A B C D G E F ‎(第23题)‎ ‎（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．‎ ‎ ‎ ‎4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，且BE=AD ，点F 在AD上，AF=AB,‎ 求证：AEF≌DFC ‎5. 如图，将?ABCD的边BA延长到点E，使AE=AB，连接EC，交AD于点F，连接AC、ED． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若∠AFC=2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．‎ ‎6.如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．‎ D C F B A E ‎7如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，且AF=CE，BH=DG，‎ 求证：AG∥HE ‎(17（3）题图)‎ ‎8.如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF。‎ ‎⑴求证：四边形AECF是平行四边形；‎ ‎⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长。‎ B A D C E F ‎（第22题图）‎ ‎9.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º，‎ EF⊥AB，垂足为F，连结DF。‎ A B C D E F 第18题图 ‎（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。‎ ‎10.如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°。‎ ‎(1)求证：AC∥DE；(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由。‎ ‎11.如图5，在平行四边形中，平分交于点，平分交于点.‎ 求证：（1）；（2）若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论.‎ 图5‎ ‎ ‎ ‎12如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上， CE∥BF，连接BE、CF．‎ ‎ (1)求证：△BDF≌△CDE；(2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．‎ ‎13．如7，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，‎ ‎（1）求证：△BEC≌△DEC：（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE的度数．‎ ‎ ‎ ‎14、如图，在□ABCD中，E,F分别是BC，AD中点。‎ ‎（1）求证：△ABE≌△CDF（2）当BC=2AB=4，且△ABE的面积为，求证：四边形AECF是菱形。‎ ‎15．四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F。（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由。‎ ‎16.已知正方形ABCD的边长为，两条对角线AC、BD交于点O，P是射线AB上任意一点．过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F。‎ ‎ （1）如图l．当P点在线段AB上时．求PE+PF的值。‎ ‎{2) 如图2．当P点在线段AB的延长线上时．求PE+PF的值。‎ ‎17在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．‎ ‎（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；‎ ‎（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．(写出你添加的条件，不要求证明)‎ D G C F B E A H 图（七）‎ ‎18在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B,D两点分别作BE⊥AG,DF⊥AG,垂足分别为E,F两点，求证：△ADF≌△BAE ‎19如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．‎ ‎（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．‎ ‎20已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF。‎ ‎（1求证：BE=DF；‎ ‎（2连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论。‎ ‎21已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点， 过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． 【小题1】（1）求证：EG=CG； 【小题2】（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．      【小题3】（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）‎ ‎22在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG.‎ ‎（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.‎ ‎（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.‎ ‎23如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG． (1)求证：①DE=DG； ②DE⊥DG (2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)； (3)连接(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想： (4)当时，请直接写出的值． ‎ ‎24如图l0，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．‎ ‎ （1）求证：△BDQ≌△ADP；‎ ‎ （2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值(结果保留根号)． ‎ ‎25如图，点是正方形内一点，是等边三角形，连接、，延长交边于点.‎ ‎ （1）求证:；(5分) （2）求的度数.(5分)‎ ‎26如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。‎ A D F E B C 求证：△ACE≌△ACF ‎27如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE， PE交边BC于点F．连接BE、DF。‎ ‎（1）求证：∠ADP=∠EPB；‎ ‎（2）求∠CBE的度数；‎ ‎（3）当的值等于多少时．△PFD∽△BFP？并说明理由．‎ ‎28、已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． ‎ ‎（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证； ‎ ‎（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； ‎ ‎（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．‎ ‎29 在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。‎ ‎（1）在图1中证明；‎ ‎（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；‎ ‎（3）若，FG∥CE，，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。‎ ‎ ‎ ‎30.丹山以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．‎ ‎（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；‎ ‎（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），‎ ‎① 试用含的代数式表示∠HAE；‎ ‎② 求证：HE=HG；‎ ‎③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由． ‎ ‎（第23题图2）‎ ‎（第23题图3）‎ ‎（第23题图1）‎ ‎[来源:Z,xx,k.Com]‎ 中考数学（三角形、四边形）常见题型 ‎1、已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． ‎ ‎（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证； ‎ ‎（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； ‎ ‎（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．‎ 解析：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°， ‎ ‎ ∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴．‎ ‎（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立，证明如下： ‎ ‎ 在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．‎ ‎ ∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，‎ ‎ ∵∠B+∠EGC＝180°，‎ ‎∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．‎ ‎ ∴△ADE∽△DCM，‎ ‎∴，即．‎ ‎（3）．‎ ‎2．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，AG∥BD交CB的延长线于点G．‎ ‎(1)求证：△ADE∽≌△CBF；‎ ‎(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特A G E B C F D 殊四边形？请说明你的理由．‎ ‎3．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.‎ ‎（1）证明：∠DFA＝∠FAB；‎ ‎（2）证明：△ABE≌△FCE．‎ ‎（1）∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边，∴AB∥CD，（1分）∴∠F=∠FAB．（3分）（2）在△ABE和△FCE中，‎ ‎   ∵   ∠FAB=∠F （4分） ∠AEB=∠FEC  （5分） BE=CE （6分）‎ ‎   ∴ △ABE≌△FCE． （7分）‎ ‎4.如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G．‎ A B C D G E F ‎(第23题)‎ ‎（1）求证：DE∥BF；‎ ‎（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．‎ ‎23．解：(1)在□ABCD中，AB∥CD，AB=CD　　　　　　　 　 ‎ ‎∵E、F分别为边AB、CD的中点 ∴DF=DC，BE=AB∴DF∥BE，DF=BE ‎ ‎∴四边形DEBF为平行四边形 ∴DE∥BF ‎ ‎(2) 证明： ∵AG∥BD∴∠G=∠DBC=90°　　　　 ∴△DBC为直角三角形 ‎ 又∵F为边CD的中点∴BF=CD=DF 又∵四边形DEBF为平行四边形 ‎∴四边形DEBF是菱形 ‎ ‎5. 在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。‎ ‎（1）在图1中证明；‎ ‎（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；‎ ‎（3）若，FG∥CE，，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。‎ ‎ ‎ ‎(1) 证明：如图1.‎ ‎ ∵ AF平分ÐBAD，∴ÐBAF=ÐDAF，‎ ‎ ∵ 四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎ ∴ AD//BC，AB//CD。‎ ‎ ∴ ÐDAF=ÐCEF，ÐBAF=ÐF，‎ ‎ ∴ ÐCEF=ÐF，∴ CE=CF。‎ ‎ (2) ÐBDG=45°.‎ ‎ (3) [解] 分别连结GB、GE、GC(如图2).‎ ‎ ∵ AB//DC，ÐABC=120°，‎ ‎ ∴ ÐECF=ÐABC=120°，‎ ‎ ∵ FG //CE且FG=CE,‎ ‎ ∴ 四边形CEGF是平行四边形.‎ ‎ 由(1)得CE=CF, ∴□·CEGF是菱形,‎ ‎ ∴ EG=EC，ÐGCF=ÐGCE=ÐECF=60°.‎ ‎ ∴ △ ECG是等边三角形.‎ ‎ ∴ EG=CG…j,‎ ‎ ÐGEC=ÐEGC=60°,‎ ‎ ∴ÐGEC=ÐGCF,‎ ‎ ∴ÐBEG=ÐDCG…k,‎ ‎ 由AD//BC及AF平分ÐBAD可得ÐBAE=ÐAEB，‎ ‎ ∴AB=BE.‎ ‎ 在□ ABCD中，AB=DC.‎ ‎ ∴BE=DC…l,‎ ‎ 由jkl得△BEG @ △DCG.‎ ‎ ∴ BG=DG，Ð1=Ð2,‎ ‎ ∴ ÐBGD=Ð1+Ð3=Ð2+Ð3=ÐEGC=60°.‎ ‎ ∴ ÐBDG=(180°-ÐBGD)=60°.‎ ‎6.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，且BE=AD ，点F 在AD上，AF=AB,‎ 求证：AEF≌DFC ‎20.证明：∵BE=AD,AF=AB ‎ ∴AE=DF ‎∵四边形ABCD 是平行四边形 ‎∴AB=CD,AB∥CD ‎∴AF=CD, ∠EAF=∠D ‎∴AEF≌DFC ‎7.如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．‎ A B C D E F ‎(第21题)‎ ‎⑴求证：△ABF≌△ECF ‎⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．‎ ‎21.证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.‎ ‎∵EC=DC, ∴AB=EC．‎ 在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，‎ ‎∴⊿ABF≌⊿ECF．‎ ‎（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．‎ ‎∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB． ‎ ‎∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．‎ 解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．‎ 又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，‎ ‎∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．‎ 又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形． ‎ ‎8.如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．‎ D C F B A E ‎【答案】解：由□ABCD得AB∥CD，‎ ‎∴∠CDF=∠F，∠CBF=∠C．‎ 又∵E为BC的中点，‎ ‎∴△DEC≌△FEB．‎ ‎∴DC=FB．‎ 由□ABCD得AB=CD，‎ ‎∵DC=FB，AB=CD，‎ ‎∴AB=BF．‎ B C D E F A ‎20题图 ‎9.如图，是平行四边形的对角线上的点，，请你猜想：线段与线段有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。‎ 猜想：。‎ ‎ 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ，·················2分 ‎ ∴，∥。 ‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ 在和，‎ ‎ ‎ ‎ ∴≌。 ···········5分 ‎ ∴，，‎ ‎ ∴∥。‎ 即 。·····················‎ ‎(17（3）题图)‎ ‎10如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，且AF=CE，BH=DG，‎ 求证：AG∥HE ‎(3)证明：∵平行四边形ABCD中，OA=OC， (1分)‎ ‎ 由已知：AF=CE ‎ AF–OA= CE – OC ∴OF=OE (3分)‎ ‎ 同理得：OG=OH ‎ ∴四边形EGFH是平行四边形 (4分)‎ ‎(17（3）题图)‎ ‎ ∴GF∥HE (5分) ‎ ‎11.如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF。‎ ‎⑴求证：四边形AECF是平行四边形；‎ ‎⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长。‎ B A D C E F ‎（第22题图）‎ ‎【答案】22．（本小题10分）‎ ‎⑴证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，且AD=BC，…………………………………………………………………2分 ‎∴AF∥EC，………………………………………………………………………………1分 ‎∵BE=DF，‎ ‎∴AF=EC……………………………………………………………………………………1分 ‎∴四边形AECF是平行四边形……………………………………………………………1分 B A D C E F ‎（第22题图）‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎⑵解：∵四边形AECF是菱形，‎ ‎∴AE=EC，………………………………………1分 ‎∴∠1=∠2，…………………………………………1分 ‎∵∠3=90°－∠2，∠4=90°－∠1，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∴AE=BE，…………………………………………2分 ‎∴BE=AE=CE=BC=5………………………………1分 A B C D E F 第18题图 ‎12.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º，‎ EF⊥AB，垂足为F，连结DF。‎ ‎（1）试说明AC=EF；‎ ‎（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。‎ ‎18、（1）提示： ‎ ‎（2）提示：，AD∥EF且AD=EF ‎13.如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°。‎ ‎(1)求证：AC∥DE；‎ ‎(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由。‎ ‎14.如图5，在平行四边形中，平分交于点，平分交于点.‎ 求证：（1）；（2）若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论.‎ 图5‎ ‎ ‎ ‎15如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上， CE∥BF，连接BE、CF．‎ ‎ (1)求证：△BDF≌△CDE；‎ ‎ (2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．‎ ‎2．2011丹山以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．‎ ‎（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；‎ ‎（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），‎ ‎① 试用含的代数式表示∠HAE；‎ ‎② 求证：HE=HG；‎ ‎③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由． ‎ ‎（第23题图2）‎ ‎（第23题图3）‎ ‎（第23题图1）‎ ‎[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎20．如罔7，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，‎ ‎（1）求证：△BEC≌△DEC：（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE的度数．‎ ‎9．2011宜昌如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.‎ ‎（1）证明：∠DFA＝∠FAB；‎ ‎（2）证明：△ABE≌△FCE．‎ ‎(2011宜宾)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，且AF=CE，BH=DG，‎ 求证：AG∥HE ‎(17（3）题图)‎ ‎10、（2011雅安）如图，在□ABCD中，E,F分别是BC，AD中点。‎ ‎（1）求证：△ABE≌△CDF ‎（2）当BC=2AB=4，且△ABE的面积为，求证：四边形AECF是菱形。‎ ‎18. （2011潍坊）‎ ‎ 已知正方形ABCD的边长为，两条对角线AC、BD交于点O，P是射线AB上任意一点．过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F。‎ ‎ （1）如图l．当P点在线段AB上时．求PE+PF的值。‎ ‎{2) 如图2．当P点在线段AB的延长线上时．求PE+PF的值。‎ ‎11．（2011泰州）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F。‎ ‎（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？‎ ‎（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由。‎ ‎1‎ ‎14．(2011邵阳)在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．‎ ‎（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；‎ ‎（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．(写出你添加的条件，不要求证明)‎ D G C F B E A H 图（七）‎ ‎16（2011陕西）‎ 在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B,D两点分别作BE⊥AG,DF⊥AG,垂足分别为E,F两点，求证：△ADF≌△BAE ‎17（2011日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．‎ ‎（1）求证：DE平分∠BDC；‎ ‎（2）若点M在DE上，且DC=DM，‎ 求证： ME=BD．‎ ‎18．（2011青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．‎ ‎（1）求证：BE = DF；‎ D A ‎（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．‎ 证明：（1）‎ F O C E B ‎19（2011宁波）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：DE∥BF；‎ ‎（2）若∠G＝90º，，求证：四边形DEBF是菱形．‎ A B C D E F ‎(第21题)‎ ‎22．（2011南京）如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．‎ ‎⑴求证：△ABF≌△ECF ‎⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．‎ ‎24（2011黑河）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG.‎ ‎（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.‎ ‎（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.‎ 第26题图 图（1） 图（2） 图（3）‎ ‎25、（2011呼和浩特）如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG.‎ ‎（1）求证：EG=CF；‎ ‎（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系.‎ ‎28（2011河源）如图5，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连结BP并延长与 AD的延长线交于点Q．‎ ‎ （1）求证：△DQP∽△CBP；‎ ‎ （2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．‎ ‎30如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG． (1)求证：①DE=DG； ②DE⊥DG (2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)； (3)连接(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想： (4)当时，请直接写出的值． ‎ 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°． 又∵CE=AG， ∴△DCE≌△DAG， ∴DE=DG， ∠EDC=∠GDA， 又∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠ADE+∠GDA=90° ∴DE⊥DG． （2）解：如图． （3）解：四边形CEFK为平行四边形． ‎ 证明：设CK、DE相交于M点 ∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG， ∵BK=AG， ∴KG=AB=CD， ∴四边形CKGD是平行四边形， ∴CK=DG=EF，CK∥DG， ∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°， ∴∠KME+∠DEF=180°， ∴CK∥EF，‎ ‎∴四边形CEFK为平行四边形． （4）解：∵， ∴设CE=x，CB=nx， ∴CD=nx， ∴DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2， ∵BC2=n2x2， ∴==．‎ ‎31（2011海南) 如图l0，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．‎ ‎ （1）求证：△BDQ≌△ADP；‎ ‎ （2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值(结果保留根号)． ‎ ‎32（2011贵阳）如图，点是正方形内一点，是等边三角形，连接、，延长交边于点.‎ ‎ （1）求证:；(5分)‎ ‎（2）求的度数.(5分)‎ ‎33（2011广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。‎ A D F E B C 求证：△ACE≌△ACF A B C D E F 第18题图 ‎34（2011广东）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º，‎ EF⊥AB，垂足为F，连结DF。‎ ‎（1）试说明AC=EF；‎ ‎（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。‎ ‎37（2011襄阳0如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE， PE交边BC于点F．连接BE、DF。‎ ‎（1）求证：∠ADP=∠EPB；‎ ‎（2）求∠CBE的度数；‎ ‎（3）当的值等于多少时．△PFD∽△BFP？并说明理由．‎ 已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点， 过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． 【小题1】（1）求证：EG=CG； 【小题2】（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．      【小题3】（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）‎ ‎【小题1】（1）证明：如图①，在Rt△FCD中，  ∵ G为DF的中点， ∴CG=FD．…………………………………………..1分 同理，在Rt△DEF中，EG=FD．  ∴‎ ‎ CG=EG．…………………………………………….2分 【小题2】（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………….3分 证法一：如图②(一)，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中， ∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴△DAG≌△DCG． ∴ AG=CG．…………………………………………………..4分 在△DMG与△FNG中， ∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG ………………………………………………5分 在矩形AENM中，AM=EN．  在Rt△AMG与Rt△ENG中， ∵AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG． ∴ AG=EG． ∴EG=CG． …………………………………………………… 6分 证法二：如图②(二)，延长CG至M，使MG=CG， 连接MF，ME，EC，  在△DCG 与△FMG中， ∵ FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴ △DCG ≌△FMG． ∴ MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ………………………………..4分 ∴ MF∥CD∥AB． ∴ ． 在Rt△MFE与Rt△CBE中，……………………………………….5分 ∵MF=CB，EF=BE， ∴ △MFE≌△CBE．. ∴ ． ‎ ‎∴ ∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．  ∴ △MEC为直角三角形． ∵ MG = CG，∴ EG=MC． ∴ ．……………………………………………6分 【小题3】（3）如图③，（1）中的结论仍然成立，即EG=CG． 其他的结论还有：EG⊥CG． ………………………..7分 解析