中考数学真题分类汇编150套专题十八二次函数的图象和性质2

中考数学真题分类汇编150套专题十八二次函数的图象和性质2

‎28．（2010广东中山）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得ΔFMN，过ΔFMN三边的中点作ΔPQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：‎ ‎（1）说明ΔFMN∽ΔQWP；‎ ‎（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，ΔPQW为直角三角形？当x在何范围时，ΔPQW不为直角三角形？‎ ‎（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．‎ ‎．‎ ‎【答案】解：（1）由题意可知P、W、Q分别是ΔFMN三边的中点，‎ ‎∴PW是ΔFMN的中位线，即PW∥MN ‎∴ΔFMN∽ΔQWP ‎（2）由题意可得 DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，‎ 由勾股定理分别得 =，‎ ‎=+‎ ‎=+‎ ‎①当=+时，+=++‎ 解得 ‎ ‎②当=+时，+=++‎ 此方程无实数根 ‎③=+时，=+++‎ 解得 （不合题意，舍去），‎ 综上，当或时，ΔPQW为直角三角形；‎ 当0≤x＜或＜x＜4时，ΔPQW不为直角三角形 ‎（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2；‎ ‎②当4＜x≤6时，=+=+‎ ‎=‎ 当x=5时，取得最小值2，‎ ‎∴当x=5时，线段MN最短，MN=．‎ ‎29．（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线与轴交于A (－4，0) 和B(1，0)两点，与轴交于C点．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标;‎ ‎（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．‎ x y O B C A 图9‎ ‎【答案】解：（1）由二次函数与轴交于、两点可得：‎ ‎　　　　　　　　　　解得：　‎ ‎　　　　　　故所求二次函数的解析式为． ‎ ‎（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴ ‎ ‎ ∵EF//AC, ∴,‎ ‎ ∴△BEF～△BAC, ‎ ‎∴得 ‎ 故E点的坐标为(,0). ‎ ‎　　　（3）解法一：由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，－2）．若设直线的解析式为，则有　解得： ‎ 故直线的解析式为． ‎ 若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（．则有：‎ ‎　　　　　　　＝‎ ‎＝‎ 即当时，线段取大值，此时点的坐标为（－2，－3）‎ 解法二：延长交轴于点，则．要使线段最长，则只须△的面积取大值时即可. ‎ 设点坐标为（，则有: ‎ ‎　　　 ‎ ‎ 　 ＝‎ ‎　 ＝‎ ‎ ＝‎ ‎＝‎ ‎＝ ＝－‎ 即时，△的面积取大值，此时线段最长，则点坐标 为（－2，－3） ‎ ‎30 ．（2010湖南郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？‎ ‎（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. ‎ 第26题 图（1）‎ 图（2）‎ ‎【答案】（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）‎ ‎（2）当b＝0时，直线为，由解得， ‎ 所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2） ‎ ‎，‎ 所以（利用同底等高说明面积相等亦可） ‎ 当时，仍有成立. 理由如下 由，解得， ‎ 所以B、C的坐标分别为（－，－+b），（，+b），‎ 作轴，轴，垂足分别为F、G，则，‎ 而和是同底的两个三角形，‎ 所以. ‎ ‎（3）存在这样的b.‎ 因为 所以 所以，即E为BC的中点 所以当OE=CE时，为直角三角形 ‎ 因为 所以 ，而 所以，解得，‎ 所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形. ‎ ‎31．（2010湖南怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).‎ ‎（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标； ‎ ‎（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的 坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，‎ 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此 图象有两个公共点时，的取值范围.‎ 图9‎ ‎【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，‎ 所以 ‎ 令解之得.‎ ‎∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）‎ ‎(2) 在二次函数的图象上存在点P，使 设则，又,‎ 图1‎ ‎∴‎ ‎∵二次函数的最小值为-4，∴.‎ 当时，.‎ 故P点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分 ‎（3）如图1，当直线经过A点时，可得……………8分 ‎ 当直线经过B点时，可得 由图可知符合题意的的取值范围为 ‎32．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．‎ ‎（1）求点C的坐标．‎ ‎（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．‎ ‎（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．‎ ‎（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）点C的坐标是（4，0）；‎ ‎（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点A、B、C三点的坐标代入得：‎ 解得，∴抛物线的解析式是：y= x2+x+2．‎ ‎（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t．以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．‎ ‎①若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t．∴有2t=BC=，∴t=．‎ ‎②若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQ⊥BC交CB于点D，则有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=，∴，解得t=．‎ ‎③若PQ=PC，如图所示，过点P作PE⊥AC交AC于点E，则EC=QE=PC，∴t=‎ ‎（-t），解得t=．‎ ‎（4）当CQ=PC时，由（3）知t=，∴点P的坐标是（2，1），∴直线OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1±，∴直线OP与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1-，）．‎ ‎33．（2010湖北省咸宁）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值．‎ ‎【答案】（1）证明：依题意，，是一元二次方程的两根．‎ 根据一元二次方程根与系数的关系，得，．‎ ‎∴，． ∴．‎ ‎（2）解：依题意，，∴．‎ 由（1）得．‎ ‎∴．‎ ‎∴二次函数的最小值为．‎ ‎34．（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式．‎ ‎（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎ ‎【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入得 ‎ 解得： ‎ 所以二次函数的表达式为： ‎ ‎（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），‎ PP交CO于E 若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．‎ 连结PP 则PE⊥CO于E，‎ ‎∴OE=EC=‎ ‎∴=．‎ ‎∴= ‎ 解得=，=（不合题意，舍去）‎ ‎∴P点的坐标为（，）…………………………8分 ‎（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，‎ 设P（x，），‎ 易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为（x，x－3）.‎ ‎= ‎ 当时，四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为，四边形ABPC的 面积． ‎ ‎35．（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．‎ ‎（1）求B点的坐标；‎ ‎（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交与点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧做等等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．‎ ‎① 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；‎ ‎－1‎ y x O ‎（第24题）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎－2‎ ‎－4‎ ‎－3‎ ‎3‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎－3‎ ‎－4‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎② 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点做x轴的垂线，与直线AB交与点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线经过原点，‎ ‎∴m2—3m+2=0.‎ 解的m1=1，m2=2.‎ 由题意知m≠1.‎ ‎∴m=2，‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎∵点B（2，n）在抛物线，‎ n=4.‎ ‎∴B点的坐标为（2，4）‎ ‎（2）①设直线OB的解析式为y=k1x 求得直线OB的解析式y=2x ‎∵A点是抛物线与x轴的一个交点，‎ 可求得A点的坐标为（10，0），‎ 设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a）．‎ 根据题意做等腰直角三角形PCD，如图1. ‎ 可求得点C的坐标为（3a，2a），‎ 有C点在抛物线上，‎ 得2a=－x（3a）2+x3a.‎ 即a2— a=0‎ 解得 a1=，a2=0（舍去）‎ ‎∴OP= ‎ ‎②依题意作等腰直角三角形QMN.‎ 设直线AB的解析式y=k2x+b 由点A(10 ，0)，点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=－x+5‎ 当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：‎ 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上，如图2所示，‎ 可证△DPQ为等腰直角三角形．此时QP、OP、AQ的长可依次表示为t 、4t、 2t个单位．‎ ‎∴PQ = DP = 4t ‎∴t+4t+2t=10‎ ‎∴t=‎ 第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示．可证△PQM为等腰直角三角形．‎ 此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位，‎ ‎∴OQ = 10 － 2t ‎∵F点在直线AB上 ‎∴FQ=t ‎∵MQ=2t ‎∴PQ=MQ=CQ=2t ‎∴t+2t+2t=10‎ ‎∴t=2.‎ 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示，此时OP、AQ 的长依次表示为t、2t个单位．‎ ‎∴t+2t=10‎ ‎∴t=‎ 综上，符合题意的值分别为，2，．‎ ‎36．（2010云南红河哈尼族彝族自治州）二次函数的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.‎ ‎ （1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.‎ ‎ （2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？‎ ‎【答案】解：画图如图所示：‎ 依题意得：‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎∴平移后图像的解析式为：‎ ‎（2）当y=0时，=0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴平移后的图像与x轴交与两点，坐标分别为（，0）和（，0）‎ 由图可知，当x<或x>时，二次函数的函数值大于0.‎ ‎37．（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线与轴相交于两点A(1，0)，‎ B(3，0).与轴相较于点C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）若点D（）是抛物线上一点，请求出的值，并求处此时△ABD 的面积．‎ ‎【答案】解：（1）由题意可知 解得 所以抛物线的函数关系式为．‎ ‎（2）把D（）代人函数解析式中，得．‎ 所以．‎ ‎38．（2010湖北随州）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.‎ ‎（1）求字母a，b，c的值；‎ ‎（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；‎ ‎（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.‎ ‎【答案】（1）a＝－1，b＝2，c＝0‎ ‎（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.‎ ‎（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.‎ ‎39．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎ (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.‎ ‎【答案】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则有 ‎ 解得 ‎ ∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4‎ ‎ （2）过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为（m，n）.‎ ‎ 则AD=m+4，MD=﹣n，n=m2＋m－4 .‎ ‎ ∴S = S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO ‎ = ( m+4) (﹣n)＋(﹣n＋4) (﹣m) －×4×4‎ ‎ = ﹣2n-2m-8‎ ‎ = ﹣2(m2＋m－4) -2m-8‎ ‎ = ﹣m2-4m (－4< m < 0)‎ ‎∴S最大值 = 4 ‎ ‎ （3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），‎ ‎（-2+，2－），（-2－，2＋）‎ ‎40．（2010四川乐山）如图(13.1)，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，若tan∠OAC＝2．‎ ‎(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；‎ ‎(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC＝90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎(3)如图(13.2)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线y=x2＋bx＋c过点C(0,2). ∴x=2‎ 又∵tan∠OAC==2, ∴OA=1,即A(1,0).‎ 又∵点A在抛物线y=x2＋bx＋2上. ∴0=12＋b×1＋2,b=－3‎ ‎∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2－3x＋2‎ ‎（2）存在 过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,‎ ‎∴x=－.∴AE=OE-OA=-1=,∵∠APC=90°,‎ ‎∴tan∠PAE= tan∠CPD∴,即，解得PE=或PE=，‎ ‎∴点P的坐标为（，）或（，）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）‎ ‎（3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-x＋2，‎ ‎∵点M是直线l′和线段BC的交点，∴M点的坐标为（t，-t+2）(0＜t＜2)‎ ‎∴MN=-t+2-(t2－3t＋2)=- t2＋2t ‎∴S△BCM= S△MNC+S△MNB=MN▪t+MN▪(2-t)‎ ‎=MN▪(t+2-t)=MN=- t2＋2t(0＜t＜2),‎ ‎∴S△BCN=- t2＋2t=-(t-1)2+1‎ ‎∴当t=1时，S△BCN的最大值为1。‎ ‎41．（2010江苏徐州）如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴 ‎ 交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC． 全品中考网 ‎ (1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；‎ ‎ (2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎ (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?‎ ‎【答案】‎ ‎42．（2010云南昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） ‎ ‎【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：‎ ‎ 由题意得： ‎ 解得： ‎ ‎∴抛物线的解析式为： ‎ ‎（2）存在 ‎ ‎ ‎ l′‎ 抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），‎ 设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D ‎ ‎∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC ‎∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) ‎ ‎ 在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°‎ ‎∴DM = 1, CD = = ∴ C (1, )‎ 设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得：‎ ‎ 解得： ‎ ‎∴切线BC的解析式为：‎ ‎∵点P为抛物线与切线的交点 由 解得： ‎ ‎∴点P的坐标为：， ‎ ‎∵ 抛物线的对称轴是直线 此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′(如图)‎ 得到B、C关于直线的对称点B1、C1‎ l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：‎ ‎ ，即为所求的点.‎ ‎∴这样的点P共有4个：，，，‎ ‎43．（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—1，0），B（3，0），C（0，—1）三点。‎ ‎ （1）求该抛物线的表达式；‎ ‎ （2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。 ‎ ‎【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为。根据题意，得、‎ 解之，得 ‎ ‎∴所求抛物线的表达式为 ‎ （2）①当AB为边时，只要PQ//AB，且PQ=AB=4即可，‎ 又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时，将 合条件的点P有两个，分别记为P1，P2。‎ 而当x=4时，‎ 此时 ‎ ‎②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，‎ 又知点Q在y轴上，且线段AB中点的横坐标为1，‎ ‎∴点P的横坐标为2，这时，符合条件的点P只有一个，记为P3，‎ 而当x=2时，y=-1，此时P3（2，-1）‎ 综上，满足条件的点 ‎44．（2010四川内江）如图，抛物线y＝mx2―2mx―3m(m＞0)与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C点.‎ ‎（1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；‎ ‎（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；‎ ‎（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由..‎ x M A B C y O ‎【答案】解：（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m(x2―2x―3)＝m(x－1)2―4m,‎ ‎∴抛物线顶点M的坐标为（1，―4m） 2分 ‎∵抛物线y＝mx2―2mx―3m(m＞0)与x轴交于A、B两点，‎ ‎∴当y＝0时，mx2―2mx―3m＝0，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴x2―2x―3＝0，‎ 解得x1＝－1，x,2＝3，‎ ‎∴A，B两点的坐标为（－1,0）、（3,0）. 4分 ‎（2）当x＝0时，y＝―3m，‎ ‎∴点C的坐标为（0，－3m）,‎ ‎∴S△ABC＝×|3－(－1)|×|－3m|＝6|m|＝6m， 5分 过点M作MD⊥x轴于D，则OD＝1，BD＝OB－OD＝2，MD＝|－4m |＝4m.‎ x M A B C y O D N ‎∴S△BCM＝S△BDM ＋S梯形OCMD－S△OBC ‎＝BD·DM＋(OC＋DM)·OD－OB·OC ‎＝×2×4m＋(3m＋4m)×1－×3×3m＝3m， 7分 ‎∴ S△BCM：S△ABC＝1∶2. 8分 ‎（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线. ‎ 过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN＝OD＝1，DN＝OC＝3m,‎ ‎∴MN＝DM－DN＝m,‎ ‎∴CM2＝CN2＋MN2＝1＋m2， ‎ 在Rt△OBC中，BC2＝OB2＋OC2＝9＋9m2，‎ 在Rt△BDM中，BM2＝BD2＋DM2＝4＋16m2.‎ ‎①如果△BCM是Rt△，且∠BMC＝90°时，CM2＋BM2＝BC2,‎ 即1＋m2＋4＋16m2＝9＋9m2，‎ 解得　m＝±,‎ ‎∵m＞0，∴m＝.‎ ‎∴存在抛物线y＝x2－x－使得△BCM是Rt△; 10分 ‎②①如果△BCM是Rt△，且∠BCM＝90°时，BC2＋CM2＝BM2.‎ 即9＋9m2＋1＋m2＝4＋16m2，‎ 解得　m＝±1,‎ ‎∵m＞0，∴m＝1.‎ ‎∴存在抛物线y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△; ‎ ‎③如果△BCM是Rt△，且∠CBM＝90°时，BC2＋BM2＝CM2.‎ 即9＋9m2＋4＋16m2＝1＋m2，‎ 整理得　m2＝－，此方程无解,‎ ‎∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.‎ ‎（或∵9＋9m2＞1＋m2，4＋16m2＞1＋m2，∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.）‎ 综上的所述，存在抛物线y＝x2－x－和y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△.‎ ‎45．（2010广东东莞）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为（－1，0），与轴的交点坐标为（0，3）‎ ‎⑴求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；‎ ‎⑵根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．‎ x y ‎3‎ ‎－1‎ O ‎【答案】⑴根据题意，得：，解得，所以抛物线的解析式为 ‎⑵令，解得；根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜＜3．‎ ‎46．（2010 福建三明）已知抛物线经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线。‎ ‎ （1）求抛物线与轴的另一交点A坐标；（2分）‎ ‎ （2）求此抛物线的解析式；（3分）‎ ‎ （3）连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B）不重合，过点E作EF∥AC交BC于点F，连结CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；‎ ‎（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若 存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的 坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请 说明理由。‎ ‎【答案】（1）∵抛物线的对称轴是直线 ‎∴由对称性可得A点的坐标为（-6，0） …………2分 ‎ （2）∵点C（0，8）在抛物线的图象上 将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式得 解得 ∴所求解析式为 ‎[也可用] …………5分 ‎ （3）依题意，AE=m，则BE=8-m ‎∵OA=6，OC=8，∴AC=10‎ ‎∵EF//AC ∴≌‎ 过点F作FG⊥AB，垂足为G，则 ‎ …………10分 ‎ （4）存在.理由如下：‎ ‎∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8 …………12分 ‎∵m=4‎ ‎∴点E的坐标为（——-2，0）‎ 为等腰三角形 …………14分 ‎47．（2010湖北襄樊）如图7，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．‎ ‎ （1）求抛物线的解析式；‎ ‎ （2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？‎ ‎ （3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？‎ 图7‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OC=AB=4．‎ ‎∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c过点B，∴c=2．‎ 由题意，有 解得 ‎∴所求抛物线的解析式为．‎ ‎（2）将抛物线的解析式配方，得．‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=2．‎ ‎∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．‎ 欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．即BP=FQ．‎ ‎∴t=6－3t，即t=．‎ ‎ （3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，‎ ‎∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有或，‎ 即PB=OQ或OB2=PB·QO．‎ ‎①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2．‎ 当OB2=PB·QO时，t(8－3t)=4，即3t2－8t+4=0．‎ 解得．‎ ‎②若P、Q在y轴的异侧．当PB=OQ时，3t－8=t，∴t=4．‎ 当OB2=PB·QO时，t(3t－8)=4，即3t2－8t－4=0．解得．‎ ‎∵t=<0．故舍去，∴t=．‎ ‎∴当t=2或t=或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似． ‎ ‎48．（2010 山东东营） 如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点 B（0，-5）．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．‎ x O A ‎（第23题图）‎ B y ‎【答案】解：（1）根据题意，得…2分 解得 …………………………3分 x O A ‎（第23题图）‎ B y C P x=2‎ ‎∴二次函数的表达式为．……4分 ‎（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴 ‎ 的另一个交点坐标C（5, 0）.……………5分 由于P是对称轴上一点，‎ 连结AB，由于，‎ 要使△ABP的周长最小，只要最小.…………………………………6分 由于点A与点C关于对称轴对称，连结BC交对称轴于点P，则= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为BC.‎ 因而BC与对称轴的交点P就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC的解析式为，根据题意，可得解得 所以直线BC的解析式为.…………………………………………………9分 因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得 所求的点P的坐标为（2，-3）.……………………………10分 ‎49．（2010 四川绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；‎ ‎（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；‎ ‎（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，‎ ‎△EFK的面积最大？并求出最大面积．‎ C E D G A x y O B F ‎【答案】（1）由题意，得 解得，b =－1．‎ 所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．‎ ‎（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．‎ ‎∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．‎ 设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3．‎ 所以直线BD的解析式为y =x + 3．‎ 由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，‎ 得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．‎ 同理可求得直线EF的解析式为y =x +．‎ 联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．‎ ‎（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．‎ 则 KN = yK－yN =－（t +）=．‎ 所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．‎ 即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．‎ ‎50．（2010 湖北孝感） 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线与二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上。‎ ‎ （1）二次函数的解析式为y= ；（3分）‎ ‎ （2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图像上；（3分）‎ ‎ （3）若C为线段AB的中点，过C点作轴于E点，CE与二次函数的图像交于D点。‎ ‎ ①y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是 ；（2分）‎ ‎ ②二次函数的图像上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。（4分）‎ ‎【答案】（1）解： …………3分 ‎ （2）证明：设点的图像上，‎ 则有： …………4分 整理得 ‎∴原方程无解 …………5分 的图象上 …………6分 说明：由 从而判断点不在二次函数图像上的同样给分。‎ ‎ （3）解：①； …………8分 ‎②二次函数的图象上存在点P，使得 如图，过点B作轴于F，则BF//CE//AO，又C为AB中点，‎ ‎ …………9分 设，由题意有：‎ ‎ …………10分 解得 …………11分 ‎ ………………12分 说明：在求出得到 ‎△POE的边OE上的高为16，即点P的纵坐标为16，‎ 然后由可求出P点坐标。‎ ‎51．（2010 江苏镇江）运算求解 ‎ 已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点.‎ ‎ （1）求C1的顶点坐标；‎ ‎ （2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（—3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；‎ ‎ （3）若的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （1分）‎ 轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0.‎ ‎∴C1的顶点坐标为（—1，0） （2分）‎ ‎ （2）设C2的函数关系式为 把A（—3，0）代入上式得 ‎∴C2的函数关系式为 （3分）‎ ‎∵抛物线的对称轴为轴的一个交点为A（—3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）. （4分）‎ ‎ （3）当的增大而增大，‎ 当 （5分）‎ ‎52．(2010江苏苏州) (本题满分9分)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．‎ ‎ (1)求抛物线的解析式；‎ ‎ (2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；‎ ‎ (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是 否总成立?请说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎53．（2010广东广州，21，12分）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．‎ ‎（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；‎ ‎（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；‎ x ‎…‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎…‎ ‎（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．‎ ‎【答案】解：（1）x＝1；（1，3）‎ ‎（2）‎ x ‎…‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎－1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎－1‎ ‎…‎ ‎（3）因为在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2．‎ ‎54．（10湖南益阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.‎ ‎(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎(2)过Ｃ点作CD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；‎ ‎(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.‎ ‎【答案】解：⑴ 由于抛物线经过点，可设抛物线的解析式为，则，　　　　　　　　　‎ ‎　解得 ‎∴抛物线的解析式为　　　……………………………4分 ‎⑵ 的坐标为 ……………………………5分 直线的解析式为 直线的解析式为 ‎　由 ‎　求得交点的坐标为　　　　　　　 ……………………………8分 ‎⑶　连结交于，的坐标为 又∵，‎ ‎　　∴，且 ‎　　　　∴四边形是菱形　　　　　　　　　　……………………………12分 ‎55．（2010江苏南京）（7分）已知点A（1，1）在二次函数图像上。‎ ‎（1）用含的代数式表示；‎ ‎（2）如果该二次函数的图像与轴只有一个交点，求这个二次函数的图像的顶点坐标。‎ ‎【答案】‎ ‎56．（2010江苏盐城）（本题满分12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．‎ ‎（1）求这个函数关系式；‎ ‎（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；‎ ‎（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．‎ A x y O B ‎【答案】解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)‎ 当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．‎ ‎∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1……（3分）‎ ‎ （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x ‎ 轴于点C．‎ ‎∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为：‎ y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点 坐标为A（0，1）………（4分）‎ ‎∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ‎ ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ‎ ∴，故PC=2BC，……………………………………………………（5分）‎ 设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2‎ ‎∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)‎ ‎∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1…………………（6分）‎ 解之得：x1=-2，x2=-10‎ ‎∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）‎ ‎（3）点M不在抛物线上……………………………………………（8分）‎ 由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ ‎ ‎∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE ‎∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ‎∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE= ‎∴Q点的坐标为(-，)‎ 可求得M点的坐标为(，)…………………………………………………（11分）‎ ‎∵=≠ ‎∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………（12分）‎ ‎(其它解法，仿此得分)‎ ‎1‎ ‎-2‎ ‎1‎ A x y O B P M C Q E D ‎57．（2010辽宁丹东市）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．‎ ‎（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；‎ ‎（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； ‎ ‎（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；‎ ‎ （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．‎ 第26题图 ‎ ‎ ‎【答案】（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． 1分 ‎∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，‎ ‎∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分 ‎（写错一个点的坐标扣1分）‎ O M N H A C E F D B ‎↑‎ ‎→‎ ‎－8‎ ‎(－6，－4)‎ x y ‎（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，‎ ‎∵抛物线过点A（0，4）， ‎ ‎∴．则抛物线关系式为． 4分 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 ‎ 5分 ‎ 解得 6分 所求抛物线关系式为：． 7分 ‎（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． 8分 ‎ ∴ ‎ ‎ OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA ‎ ‎ ‎ （ 0＜＜4） 10分 ‎∵． ∴当时，S的取最小值．‎ 又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． 12分 ‎（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG． 14分 ‎58．（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；‎ ‎(第23题)‎ ‎（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）解：设抛物线为.‎ ‎∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.‎ ‎∴抛物线为. ……………………………3分 ‎ (2) 答：与⊙相交. …………………………………………………………………4分 证明：当时，，.‎ ‎ ∴为（2，0），为（6，0）.∴.‎ 设⊙与相切于点，连接，则.‎ ‎∵，∴.‎ 又∵，∴.∴∽.‎ ‎∴.∴.∴.…………………………6分 ‎∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.‎ ‎∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分 ‎(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.‎ 可求出的解析式为.…………………………………………8分 设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴当时，的面积最大为.‎ ‎ 此时，点的坐标为（3，）. …………………………………………10分 ‎(第23题)‎ ‎59．（2010甘肃兰州）（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）‎ ‎（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？‎ ‎（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ‎ ‎① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；‎ ‎② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．‎ 图1 图2‎ ‎【答案】解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）‎ 故可得c=0,b=4‎ 所以抛物线的解析式为…………………………………………1分 由 得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分 ‎（2）① 点P不在直线ME上. ‎ 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，‎ 设直线ME的关系式为y=kx+b.‎ 于是得 ，解得 所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分 由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分 ‎∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴ 当时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ‎②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5‎ ‎∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ‎ ‎∴ OA=AP=t.‎ ‎∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6分 ‎∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,‎ ‎∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t ‎ ‎…………………………………………………………………………………7分 ‎（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3. ‎ ‎（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ‎∵ PN∥CD，AD⊥CD，‎ ‎∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8分 当-t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分 ‎ 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5‎ 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，‎ 当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分 当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分 说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）‎ ‎60．（2010山东青岛）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．‎ 如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？‎ ‎（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．‎ A D B C F ‎（‎ E ‎）‎ 图（1）‎ A D B C F E 图（2）‎ P Q ‎（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）‎ A B C 图（3）‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，‎ ‎∴AP = AQ.‎ ‎ ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，‎ ‎∴∠EQC = 45°.‎ ‎ ∴∠DEF =∠EQC.‎ ‎ ∴CE = CQ. ‎ ‎ 由题意知：CE = t，BP =2 t， ‎ ‎ ∴CQ = t.‎ ‎ ∴AQ = 8－t.‎ ‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .‎ ‎ 则AP = 10－2 t.‎ ‎ ∴10－2 t = 8－t.‎ ‎ 解得：t = 2.‎ ‎ 答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分 图（2）‎ Q A D B C F E P M ‎ （2）过P作，交BE于M，‎ ‎∴.‎ 在Rt△ABC和Rt△BPM中，，‎ ‎ ∴ . ∴PM = .‎ ‎ ∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.‎ ‎ ∴y = S△ABC－S△BPE =－= －‎ ‎= = .‎ ‎∵，∴抛物线开口向上.‎ ‎∴当t = 3时，y最小=.‎ 答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分 ‎ （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.‎ 过P作，交AC于N，‎ C E A D B F 图（3）‎ P Q N ‎∴.‎ ‎∵，∴△PAN ∽△BAC.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴，.‎ ‎∵NQ = AQ－AN，‎ ‎∴NQ = 8－t－() = ．‎ ‎∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，‎ ‎∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.‎ ‎∵∠FQC = ∠PQN，‎ ‎∴△QCF∽△QNP .‎ ‎∴ . ∴ . ‎ ‎∵ ∴‎ 解得：t = 1.‎ 答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分 ‎61．（2010山东烟台）（本题满分14分）‎ 如图，△ABC中AB=AC,BC=6,点D位BC中点，连接AD，AD=4,AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E。‎ ‎（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由。‎ ‎（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A’D’C’E’与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎62．（2010山东威海）（1）探究新知：‎ ‎①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．‎ A B D C M N 图 ①‎ 求证：△ABM与△ABN的面积相等． ‎ ‎②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由． ‎ C 图 ②‎ A B D M F E G ‎（2）结论应用： ‎ 如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． ‎ ‎﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚ ‎ A 图 ③‎ C D B O x y A 备用图 C D B O x y ‎【答案】‎ ‎﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F． ‎ A B D C M N 图 ①‎ E F ‎∵ AD∥BC，AD＝BC， ‎ ‎∴ 四边形ABCD为平行四边形． ‎ ‎∴ AB∥CD． ‎ ‎∴ ME= NF． ‎ ‎∵S△ABM＝，S△ABN＝， ‎ ‎∴ S△ABM＝ S△ABN． ……………………………………………………………………1分 ‎②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．‎ H C 图 ②‎ A B D M F E G K 则∠DHA=∠EKB=90°． ‎ ‎∵ AD∥BE， ‎ ‎∴ ∠DAH=∠EBK． ‎ ‎∵ AD＝BE， ‎ ‎∴ △DAH≌△EBK． ‎ ‎∴ DH=EK． ……………………………2分 ‎ ‎∵ CD∥AB∥EF， ‎ ‎∴S△ABM＝，S△ABG＝， ‎ ‎∴ S△ABM＝ S△ABG. ………………………………………………………………………3分 ‎﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分 解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.‎ 又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.‎ ‎∴ 该抛物线的表达式为，即． ………………………5分 ‎∴ D点坐标为（0，3）．‎ 设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.‎ ‎∴ 直线AD的表达式为． ‎ 过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为． ‎ ‎∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． …………………………………………………………6分 设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为． ‎ 过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．‎ A 图 ③-1‎ C D B O x y H P G F P E 由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等． ‎ ‎①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，‎ 则PF=，EF＝． ‎ ‎∴ EP＝EF－PF＝=． ‎ ‎∴ ． ‎ 解得，． ……………………………7分 ‎ 当时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． ‎ ‎∴ E点坐标为（2，3）． ‎ 同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合． ………………………………8分 ‎②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚， ‎ 则． ……………………………………………9分 ‎∴．解得，． ………………………………10分 当时，E点的纵坐标为； ‎ 当时，E点的纵坐标为． ‎ A 图③－3‎ C D B O x y H P G F P E A 图③－2‎ C D B O x y H P G F P E ‎∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；． ……………………12分 ‎﹙其他解法可酌情处理﹚ ‎ ‎63．（2010四川凉山）已知：抛物线，顶点，与轴交于A、B两点，。‎ （1） 求这条抛物线的解析式；‎ （1） 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作于，于，请判断是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；‎ （2） 在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作，分别与边、相交于、，（与、不重合，与、不重合），请判断是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。‎ 第26题图 A B x G F M H E N Q O D C ‎ y ‎【答案】‎ ‎64．（2010四川眉山）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交 CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．‎ ‎【答案】‎ 解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 …（1分）‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ ……………………………………………………………（3分）‎ ‎ ∴所求函数关系式为： …………（4分）‎ ‎ （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，‎ ‎∴‎ ‎∵四边形ABCD是菱形 ‎∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5分）‎ ‎∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7分）‎ ‎（3）设直线CD对应的函数关系式为，则 解得：．‎ ‎∴ ………（9分）‎ ‎∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，‎ ‎∴N点的横坐标也为t．‎ 则， ，……………………（10分）‎ ‎∴‎ ‎∵， ∴当时，，‎ 此时点M的坐标为（，）． ………………………………（12分）‎ ‎65．（2010浙江杭州） (本小题满分12分) ‎ ‎（第24题）‎ 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，‎ 点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物 线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点 P(t，0)在x轴上. ‎ ‎ (1) 写出点M的坐标； ‎ ‎ (2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.‎ ‎① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；‎ ‎② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.‎ ‎【答案】‎ ‎(本小题满分12分)‎ ‎（第24题）‎ ‎(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，‎ ‎∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，‎ ‎∴ A，B的横坐标分别是2和– 2， ‎ 代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，‎ ‎∴M (0，2)， ---2分 ‎ (2) ① 过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，‎ 由△HQP∽△OMC，得：, 即： t = x – 2y ,‎ ‎ ∵ Q(x,y) 在y = +1上， ∴ t = –+ x –2. ---2分 当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±,‎ 当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2‎ ‎∴x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数. ---2‎ 分 ‎② 分两种情况讨论： ‎ ‎1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上， ‎ ‎ ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，‎ ‎∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，‎ ‎∴t = –+ 0 –2 = –2 . --- 2分 ‎2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，‎ ‎ ∵CM∥PQ，CM = PQ，‎ ‎∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2´2，解得： x = ±. ---2分 ‎ 当x = –时，得t = –––2 = –8 –, ‎ 当x=时， 得t =–8. ---2分 ‎ ‎66．（2010浙江嘉兴）如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；‎ ‎（2）设（）是直线上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF．若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．‎ ‎（第24题）‎ ‎【答案】（1）令，得，即，‎ 解得，，所以．令，得，所以．‎ 设直线AB的解析式为，则，解得，‎ 所以直线AB的解析式为． …5分 ‎（2）当点在直线AB上时，，解得，‎ 当点在直线AB上时，，解得．‎ 所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则． …4分 ‎（3）当点在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上）‎ ‎，解得．‎ ‎①当时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，‎ ‎（第24题）‎ 此时，，‎ 又，‎ 所以，‎ 从而，‎ ‎．‎ 因为，所以当时，．‎ ‎②当时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，‎ ‎（第24题 备用）‎ 此时，，‎ 又，‎ 所以，‎ 即．‎ 其中当时，．‎ 综合①②得，当时，． …5分 ‎67．（2010浙江宁波）如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点.‎ ‎ (1)求这个二次函数的解析式；‎ ‎ (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积.‎ ‎(第20题)‎ ‎【答案】‎ ‎ 解：(1)把A(2，0)、B(0，-6)代入 ‎ 得: 1分 ‎ 解得 ‎ ∴这个二次函数的解析式为.　　　　　　 3分 ‎ (2) ∵该抛物线对称轴为直线 4分 ‎　 ∴点C的坐标为(4，0) ‎ ‎ ∴AC=OC－OA=4－2=2‎ ‎ ∴　　 6分　　　‎ ‎68．（2010浙江绍兴）如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.‎ 第24题图 ‎ （1）求的值及点B的坐标； ‎ ‎（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,‎ 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的 直线为,且与x轴交于点N.‎ ‎① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为 ‎(1, 2)，求点N的横坐标；‎ ‎② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵ 点A在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入得 =1. ‎ ‎∴ 抛物线C1的解析式为,‎ ‎ 设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) . ‎ ‎（2）①如图1，‎ ‎∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5. ‎ 过点G作GE⊥DH,垂足为E,‎ 第24题图1‎ 由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，‎ ‎∴ ME＝4. ‎ 设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,‎ 由△MEG∽△MHN,得 ,‎ ‎∴ , ∴ ,‎ ‎∴ 点N的横坐标为． ‎ 第24题图2‎ ‎② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，‎ 直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．‎ 过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,‎ 设Ｎ（x，0），‎ ‎∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),‎ ‎∴ NQ=，ＮF =, GQ=2, MF =5.‎ ‎∵ △NGQ∽△NMF，‎ ‎∴ ,‎ 第24题图3‎ 图4‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ . ‎ 当点D移到与点B重合时,如图3，‎ 直线与DG交于点D,即点B, ‎ 此时点N的横坐标最小.‎ ‎ ∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),‎ 设N（x，0）， ‎ ‎∵ △BHN∽△MFN， ∴ ，‎ ‎∴ , ∴ . ‎ ‎∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤. ‎ ‎69．（2010 嵊州市提前招生）（14分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（－1，0），如图所示：抛物线经过点B。‎ ‎（1）写出点B的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若三角板ABC从点C开始以每秒1个单位长度的速度向轴正方向平移，求点A落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程扫过的面积。‎ ‎（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】（1）B（－3，1）‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）略 ‎ （4）P（1，－1）‎ ‎70．（2010 浙江省温州市）(本题l2分)如图，抛物线y=ax2+bx经过点A(4，0)，B(2，2)。连结OB，AB．‎ ‎ (1)求该抛物线的解析式； 全品中考网 ‎ (2)求证：△OAB是等腰直角三角形；‎ ‎ (3)将△OAB绕点0按顺时针方向旋转l35°得到△0A′B′，写出△0A′B′的中点 ‎ P的出标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎71．（2010 浙江义乌）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．‎ ‎（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；‎ ‎（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；‎ ‎（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 解：（1）对称轴：直线 解析式：或 ‎ 顶点坐标：M（1，）‎ ‎ （2）由题意得 ‎ ‎3‎ 得：①‎ ‎ ‎ 得： ②‎ 把②代入①并整理得：(S＞0) (事实上，更确切为S＞6)‎ 当时， 解得： ‎ ‎ 把代入抛物线解析式得 ∴点A1（6，3）‎ ‎（3）存在 ‎ 解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的 交点E的坐标为 C B A O y x 图1-1‎ D M E P Q F G ‎∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ= t ‎ 当∥时，‎ ‎ 得 ………2分 ‎ 下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G ‎①当时，如图1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA＝∠FEQ ‎ ∴∠DPQ＝∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴‎ ‎∴ 得 ∴(舍去)…………………………3分 C B A O y x 图1-2‎ D M E F P Q G ② 当时，如图1-2‎ ‎∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG＝∠FQE ‎ ∵∠DQP＝∠FQE ∠FAG＝∠EBD ‎∴∠DQP＝∠DBE 易得△DPQ∽△DEB ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴， ∴‎ ‎ ∴当秒时，使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分 ‎ (注:未求出能得到正确答案不扣分)‎ ‎ 解法二：可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得 ‎ , , ‎ ‎ ∴ , .‎ ‎72．（2010 重庆）已知：如图（1），在直角坐标系xOy中，边长为2的等边△的顶点在第一象限，顶点在轴的正半轴上. 另一等腰△的顶点在第四象限，，．现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒1个单位的速度沿向点运动，点以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．‎ ‎ ‎ ‎（1）求在运动过程中形成的△的面积与运动的时 间之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（2）在等边△的边上（点除外）存在点，使得△为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；‎ ‎（3）如图(2)，现有，其两边分别与， 交于点，，连接．将绕着 点旋转（旋转角），使得，始终在边和边上．试判断在这一过程中，△的周长是否发生变化？若没变化，请求出 其周长；若发生变化，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）过点作于点．（如图①）‎ ‎26题答图①‎ ‎∵，，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∵，， ∴．‎ ‎ 在Rt中，． （1分）‎ ‎26题答图②‎ ‎ （ⅰ）当时，,,；‎ 过点作于点．（如图①）‎ ‎ 在Rt中，∵，∴，‎ ‎∴．‎ ‎ 即 ． （3分）‎ ‎ （ⅱ）当时，（如图②）‎ ‎，．‎ ‎∵，，∴．‎ ‎∴．‎ 即．‎ 故当时，，当时，． （5分）‎ ‎26题答图③‎ ‎（2）或或或． （9分）‎ ‎（3）的周长不发生变化．‎ 延长至点，使，连结．（如图③）‎ ‎∵，‎ ‎∴≌．‎ ‎∴，． （10分）‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴．‎ 又∵．‎ ‎ ∴≌．∴． （11分）‎ ‎∴．‎ ‎∴的周长不变，其周长为4． （12分）‎ ‎73．（2010重庆市潼南县）（12分）如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE 的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)‎ ‎∴‎ ‎ 解得： b=－ c=－1-------------------2分 ‎∴二次函数的解析式为 --------3分 ‎（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）‎ ‎∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得， --------------4分 ‎∴‎ ‎∴DE=-----------------------------------5分 ‎∴△CDE的面积=××m ‎==‎ 当m=1时，△CDE的面积最大 ‎∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分 ‎（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 设y=0则 解得：x1=2 x2=－1‎ ‎∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）‎ 设直线BC的解析式为：y=kx＋b ‎∴ 解得：k=-1 b=-1‎ ‎∴直线BC的解析式为: y=－x－1‎ 在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1‎ 由勾股定理得：AC=‎ ‎∵点B(－1,0) 点C（0，－1）‎ ‎∴OB=OC ∠BCO=450‎ ‎①当以点C为顶点且PC=AC=时，‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PH⊥y轴于H ‎∴∠HCP=∠BCO=450‎ CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1=， k2=－‎ ‎∴P1（，－） P2（－，）---10分 ‎②以A为顶点，即AC=AP=‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣‎ 在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2‎ ‎（2－k)2+(－k－1)2=5‎ 解得：k1=1,k2=0(舍)‎ ‎∴P3(1, －2) ----------------------------------11分 ‎③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)‎ 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ‎∴L(k,0)‎ ‎∴△QPC为等腰直角三角形 ‎ PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=k ‎ ‎∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜‎ 在Rt△PLA中 ‎(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2‎ 解得：k=∴P4(,－) ------------------------12分 综上所述： 存在四个点：P1（，－） ‎ P2（-，） P3(1, －2) P4(,－)‎ ‎74．（2010山东聊城）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．‎ ‎（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A 的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；‎ ‎（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．‎ E ‎【答案】解：（1）∵抛物线经过点C（0，－3）∴C＝－3，∴y＝ax2+bx-3，又抛物线经过点A（－1，0），对称轴为x=1，所以 ‎∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x-3‎ ‎（2）∵点A（－1,0），对称轴为x=1，∴点B（2，0）．‎ 设直线BC的函数关系式为y=kx+b，根据题意得　‎ ‎∴直线BC的函数关系式为y=－3x－3，当x=1时，y＝－6，∴点P的坐标为（1，－6）．‎ ‎（3）如图，过点P作PD⊥OC，设P（1，y），则PE＝|y|，DC＝｜－3－y｜，‎ 在Rt△PEB中，PB2＝22+|y|2＝4+y2，在Rt△PCD中PC2＝12+|－3－y|2＝10+6y+y2,在Rt△OBC中，BC2＝32+32＝18，∵∠PCD＝90º，∴PB2+PC2＝BC2，∴4+y2+10+6y+y2＝18，整理得y2+3y-2＝0解得y1＝，y2＝．‎ ‎75．（2010 福建德化）（12分）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.‎ ‎（1）求该抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ‎ ‎① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；‎ ‎② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ 图2‎ B C O A D E M y x P N ‎·‎ 图1‎ B C O ‎(A)‎ D E M y x ‎【答案】解：（1）‎ ‎（2）①点P不在直线ME上 ‎②依题意可知：P（,），N（，）‎ 当时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：‎ ‎ =+=+=‎ ‎=‎ ‎∵抛物线的开口方向：向下，∴当=，且时，=‎ 当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形 依题意可得，==3‎ 综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值．‎ ‎76．（2010 福建晋江）（13分）已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.‎ ‎(1)试直接写出点的坐标；‎ ‎(2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.‎ ‎①若以、、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标；‎ ‎②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.‎ A O x B C M y ‎【答案】‎ A O x D B C M y E P T Q 解：(1)依题意得：；…………………………………………………（3分）‎ ‎(2) ① ∵，，∴.‎ ‎ ∵抛物线经过原点，‎ ‎∴设抛物线的解析式为 又抛物线经过点与点 ‎∴ 解得：‎ ‎∴抛物线的解析式为.…………………（5分）‎ ‎∵点在抛物线上，‎ ‎∴设点.‎ ‎1)若∽，则， ，解得：(舍去)或 ‎，‎ ‎∴点.………………………………………………………………（7分）‎ ‎2)若∽，则， ，解得：(舍去)或，‎ ‎∴点.……………………………………………………………………（9分）‎ ‎②存在点，使得的值最大.‎ 抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.………………………………………………………………………（10分）‎ ‎∵点、点关于直线对称，‎ ‎∴……………………………………………………………………（11分）‎ 要使得的值最大，即是使得的值最大，‎ 根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大. ……………………………………………………………………………（12分）‎ 设过、两点的直线解析式为，‎ ‎∴ 解得：‎ ‎∴直线的解析式为.‎ 当时，.‎ ‎∴存在一点使得最大.………………………（13分）‎ ‎77．（2010湖南长沙）已知：二次函数的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中a>b>0且a、b为实数．‎ ‎（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；‎ ‎（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；‎ ‎（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为、，求的范围．‎ ‎【答案】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx(k为常数，k≠0) ．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b），∴把点（1，－b），代入y＝kx，得－b＝k,即k ＝－b ‎．∴一次函数的表达式为y＝－bx． ‎ ‎（2）∵二次函数的图象过点（1，0），∴a＋b＝2, ∴ a ＝2－b．‎ 将二次函数与一次函数联立，得 整理，得(2－b）x2＋2bx－2＝0．‎ ‎∵b>0，∴k ＝－b＜0．‎ ‎∴△＝（2b）2－4(2－b）（－2）＝4b2+16－8b＞0．‎ ‎∴这两个函数的图象交于不同的两点． ‎ ‎（3）∵（2）中的两个交点的横坐标分别为、，∴＋＝，＝‎ ‎∴‎ ‎∵，∵．‎ ‎78．（2010湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；‎ ‎（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；‎ ‎（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．‎ ‎【答案】解：（1）由题意知，OQ＝8－t,OP＝t,‎ ‎ ∴．‎ ‎（2）由题意知，AB＝OC＝8,CQ＝ t, CB＝OA＝8,PA＝8－t,‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∴四边形OPBQ的面积是一个定值，这个定值为32．‎ ‎（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，应满足．‎ 整理，得，‎ 解得，（不合题意）．‎ 此时P(,0),B(,8) ．‎ 因抛物线经过B、P两点，所以将B、P两点的坐标代入，得 解得 所以经过B、P两点的抛物线为．‎ 设过B、P两点的直线为y＝kx+b, 将B、P两点的坐标代入，得 解得 所以过B、P两点的直线为y＝x－8．‎ 依题得，动点M的坐标（x, x－8），N的坐标（x, ）‎ MN＝（x－8）－（）＝‎ 当时，MN的长最大，此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3：1．‎ ‎79．（2010江苏宿迁）（本题满分12分）已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D． ‎ ‎（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．‎ 求证：四边形ODBE是等腰梯形；‎ ‎（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2 ‎ ‎(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）‎ 设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE ‎∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），‎ ‎∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD ‎∴四边形ODBE是梯形 ………………5分 在和中，‎ OD= ，BE=‎ ‎∴OD= BE ‎∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分 ‎(3) 存在， ………………8分 由题意得： ………………9分 设点Q坐标为（x，y），‎ 由题意得：=‎ ‎∴‎ 当y=1时，即，∴ ， ，‎ ‎∴Q点坐标为（2+，1）或(2-，1) ………………11分 当y=-1时，即， ∴x=2，‎ ‎∴Q点坐标为（2，-1）‎ 综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）‎ 使得=． ………………12分 E F Q1‎ Q3‎ Q2‎ ‎80．已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）． ‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移 ‎ ▲ 个单位． ‎ ‎ 【答案】解：(1)由已知，有，即，解得 ‎∴所求的二次函数的解析式为. ‎ ‎(2) 4 ‎