中考专题垂直平分线与角平分线

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中考专题垂直平分线与角平分线

线段的垂直平分线 知识要点详解 ‎1、线段垂直平分线的性质 ‎(1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示:如图1,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且AD=BD,若点C在直线m上,则AC=BC.定理的作用:证明两条线段相等 ‎(2)线段关于它的垂直平分线对称.‎ ‎2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 ‎(1)线段垂直平分线的逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示:如图2,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且AD=BD,若AC=BC,则点C在直线m上.定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上.‎ ‎3、关于三角形三边垂直平分线的定理(1)关于三角形三边垂直平分线的定理:三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示:如图3,若直线分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线,则直线相交于一点O,且OA=OB=OC.‎ 定理的作用:证明三角形内的线段相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之,三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部,则该三角形是锐角三角形;三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上,则该三角形是直角三角形;三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部,则该三角形是钝角三角形.‎ 经典例题:‎ 例1 如图1,在△ABC中,BC=‎8cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,△BCE的周长等于‎18cm,则AC的长等于(  )‎ ‎  A.‎6cm     B.‎8cm C.‎10cm   D.‎‎12cm B 针对性练习:‎ 已知:1)如图,AB=AC=‎14cm,AB的垂直 平分线交AB于点D,交BC于点 A E,如果△EBC的周长是24cm,那么BC= D 2) 如图,AB=AC=‎14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点 E,如果BC=‎8cm,E B C 那么△EBC的周长是 ‎ 如图,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果∠A=28度,‎ 那么∠EBC是 ‎ ‎ ‎ 例2. 已知:如图所示,AB=AC,DB=DC,E是AD上一点,求证:BE=CE。‎ B 针对性练习:‎ 已知:在△ABC中,ON是AB的垂直平分线,OA=OC ‎ 求证:点O在BC的垂直平分线 N A ‎ ‎ ‎ ‎ O C B 例3. 在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°,△ABC的底角∠B的大小为_______________。‎ B 针对性练习:‎ ‎1. 在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°,则底角B的大小为________________。‎ 例4、如图8,已知AD是△ABC的BC边上的高,且∠C=2∠B,‎ 求证:BD=AC+CD.‎ 证明:‎ 课堂练习:‎ ‎1.如图,AC=AD,BC=BD,则( )‎ A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD ‎ C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对 ‎2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,‎ 那么,这个三角形是( )‎ A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 ‎3.下列命题中正确的命题有( )‎ ‎①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;③经过线段中点的直线只有一条;④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线;⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎4.如图,△ABC中,AB的垂直平分线交AC于D,‎ 如果AC=‎5 cm,BC=‎4cm,那么△DBC的周长是( )‎ A‎.6 cm B‎.7 cm C‎.8 cm D‎.9 cm ‎5.已知如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,‎ 求证:AO⊥BC.‎ ‎6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线 MN分别交BC、AB于点M、N. 求证:CM=2BM. ‎ 课后作业:‎ ‎1. 如图7,在△ABC中,AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△ACE的周长为50,求BC边的长.‎ ‎2. 已知:如图所示,∠ACB,∠ADB都是直角,且AC=AD,P是AB上任意一点,求证:CP=DP。‎ 角平分线 知识要点详解 ‎4、角平分线的性质定理:‎ 角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ‎ 定理的数学表示:如图4,已知OE是∠AOB的平分线,F是OE上一点,若CF⊥OA于点C,DF⊥OB于点D,则CF=DF. ‎ 定理的作用:①证明两条线段相等;②用于几何作图问题;‎ 角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.‎ ‎5、角平分线性质定理的逆定理:‎ 角平分线性质定理的逆定理:在角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. ‎ 定理的数学表示:如图5,已知点P在∠AOB的内部,且PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,若PC=PD,则点P在∠AOB的平分线上. ‎ 定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 ‎ 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.‎ ‎6、关于三角形三条角平分线的定理:‎ ‎(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:‎ 三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.‎ 定理的数学表示:如图6,如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线,那么:① AP、BQ、CR相交于一点I;② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F,则DI=EI=FI. ‎ 定理的作用:①用于证明三角形内的线段相等;②用于实际中的几何作图问题.‎ ‎(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:‎ 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.‎ ‎7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:(1)会作已知线段的垂直平分线 (2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.‎ 经典例题:已知:如图,点B、C在∠A的两边上,且AB=AC,P为∠A内一点,PB=PC, PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别是E、F。求证:PE=PF B 针对性练习:‎ 已知:如图所示PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线,它们交于P,PD⊥BM于D,PF⊥BN于F,求证:BP为∠MBN的平分线。‎ 例2、如图10,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,E为BC中点,连接AE、DE,DE平分∠ADC,求证:AE平分∠BAD.‎ 课堂笔记:‎ B 针对性练习:‎ 如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:DE=DF。‎ 例3、如图11-1,已知在四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,且∠BAD与∠BCD互补,‎ 求证:AD=CD.‎ ‎1. △ABC中,AB=AC,AC的中垂线交AB于E,△EBC的周长为‎20cm,AB=2BC,则腰长为________________。‎ ‎2. 如图所示,AB//CD,O为∠A、∠C的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=2,则AB与CD之间的距离等于______________。‎ ‎3已知:如图,∠B=∠C=900,DM平分∠ADC, ‎ AM平分∠DAB 。求证: M B=MC 课后作业:‎ ‎1.如右图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD.‎ 求证:AD平分∠BAC.‎ ‎2. 如图所示,直线表示三条互相交叉的公路,现在要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )‎ ‎ A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处
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