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文档介绍
上海市杨浦区中考数学二模试卷含答案解析
2016年上海市杨浦区中考数学二模试卷 一、选择题 1.下列等式成立的是( ) A. =±2 B. =π C. D.|a+b|=a+b 2.下列关于x的方程一定有实数解的是( ) A.2x=m B.x2=m C. =m D. =m 3.下列函数中,图象经过第二象限的是( ) A.y=2x B.y= C.y=x﹣2 D.y=x2﹣2 4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.正五边形 B.正六边形 C.等腰三角形 D.等腰梯形 5.某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示,该选手训练成绩的中位数是( ) 成绩(环) 6 7 8 9 10 次数 1 4 2 6 3 A.2 B.3 C.8 D.9 6.已知圆O是正n边形A1A2…An的外接圆,半径长为18,如果弧A1A2的长为π,那么边数n为( ) A.5 B.10 C.36 D.72 二、填空题 7.计算: = . 8.写出的一个有理化因式: . 9.如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根,那么实数m的值是 . 10.函数y=+x的定义域是 . 11.如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点,那么m= . 12.在分别写有数字﹣1,0,2,3的四张卡片中随机抽取一张,放回后再抽取一张,如果以第一次抽取的数字作为横坐标,第二次抽取的数字作为纵坐标,那么所得点落在第一象限的概率为 . 13.在△ABC中,点M、N分别在边AB、AC上,且AM:MB=CN:NA=1:2,如果,那么= (用表示). 14.某大型超市有斜坡式的自动扶梯,人站在自动扶梯上,沿着斜坡向上方向前进13米时,在铅锤方向上升了5米,如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1:m,那么m= . 15.某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间,对本校全体学生进行了调查,并绘制如图所示的频率分布直方图(不完整),则图中m的值是 . 16.如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2.写出一个函数y= (k≠0),使它的图象与正方形OABC有公共点,这个函数的表达式为 . 17.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点O为边AD的中点,如果以点O为圆心,r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切,那么r的值是 . 18.如图,将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置,其中点B、C、D分别落在点E、F、G处,且点B、E、D、F在一直线上,如果点E恰好是对角线BD的中点,那么的值是 . 三、解答题 19.计算:. 20.解不等式组:,并写出它的所有非负整数解. 21.已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点M、N分别是边AC、AB的中点,点D是线段BM的中点. (1)求证:; (2)求∠NCD的余切值. 22.某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路,小李沿此路从M走到N,停留后再原路返回,期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分(x>0)之间的函数关系如图中折线OABCD所示. (1)求上山时y关于x的函数解析式,并写出定义域: (2)已知小李下山的时间共26分钟,其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2:3,试求点C的纵坐标. 23.已知:如图,在直角梯形纸片ABCD中,DC∥AB,AB>CD>AD,∠A=90°,将纸片沿过点D的直线翻折,使点A落在边CD上的点E处,折痕为DF,联结EF并展开纸片. (1)求证:四边形ADEF为正方形; (2)取线段AF的中点G,联结GE,当BG=CD时,求证:四边形GBCE为等腰梯形. 24.已知在直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣8ax+3(a<0)与y轴交于点A,顶点为D,其对称轴交x轴于点B,点P在抛物线上,且位于抛物线对称轴的右侧. (1)当AB=BD时(如图),求抛物线的表达式; (2)在第(1)小题的条件下,当DP∥AB时,求点P的坐标; (3)点G在对称轴BD上,且∠AGB=∠ABD,求△ABG的面积. 25.已知:半圆O的直径AB=6,点C在半圆O上,且tan∠ABC=2,点D为弧AC上一点,联结DC(如图) (1)求BC的长; (2)若射线DC交射线AB于点M,且△MBC与△MOC相似,求CD的长; (3)联结OD,当OD∥BC时,作∠DOB的平分线交线段DC于点N,求ON的长. 2016年上海市杨浦区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1.下列等式成立的是( ) A. =±2 B. =π C. D.|a+b|=a+b 【考点】实数的运算;绝对值. 【专题】推理填空题;实数. 【分析】A:根据求一个数的算术平方根的方法计算即可. B:分别把、π化成小数,判断出它们的大小关系即可. C:根据8=23,可得=,据此判断即可. D:①当a+b是正有理数时,a+b的绝对值是它本身a+b;②当a+b是负有理数时,a+b的绝对值是它的相反数﹣(a+b);③当a+b是零时,a+b的绝对值是零. 【解答】解:∵ =2, ∴选项A不正确; ∵≈3.142857,π≈3.1415927, ∴≠π, ∴选项B不正确; ∵8=23, ∴=, ∴选项C正确; 当a+b是正有理数时,|a+b|=a+b; 当a+b是负有理数时,|a+b|=﹣(a+b); 当a+b是零时,|a+b|=0; ∴选项D不正确. 故选:C. 【点评】(1)此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用. (2)此题还考查了绝对值的含义和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①当a是正有理数时,a的绝对值是它本身a;②当a是负有理数时,a的绝对值是它的相反数﹣a;③当a是零时,a的绝对值是零. 2.下列关于x的方程一定有实数解的是( ) A.2x=m B.x2=m C. =m D. =m 【考点】无理方程;一元一次方程的解;根的判别式;分式方程的解. 【分析】根据一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程的解的特点分别对每一项进行判断即可. 【解答】解:A.2x=m,一定有实数解; B.x2=m,当m<0时,无解; C. =m,当m=0或﹣时无解; D. =m,当m<0时,无解; 故选A. 【点评】本题考查了一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程,关键是灵活运用有关知识点进行判断. 3.下列函数中,图象经过第二象限的是( ) A.y=2x B.y= C.y=x﹣2 D.y=x2﹣2 【考点】二次函数的性质;一次函数的性质;正比例函数的性质;反比例函数的性质. 【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行解答. 【解答】解:A、∵y=2x的系数2>0, ∴函数图象过一三象限,故本选项错误; B、∵y=中,2>0, ∴函数图象过一、三象限,故本选项错误; C、在y=x﹣2中,k=1>0,b=﹣2<0, 则函数过一三四象限,故本选项错误; D、∵y=x2﹣2开口向上, 对称轴是y轴,且函数图象过(0,﹣2)点, 则函数图象过一、二、三、四象限,故本选项正确; 故选D. 【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质,关键是根据系数的符号判断图象的位置. 4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.正五边形 B.正六边形 C.等腰三角形 D.等腰梯形 【考点】中心对称图形;轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求即可. 【解答】解:A、是轴对称图形.不是中心对称图形,故A错误; B、是轴对称图形,也是中心对称图形.故B正确; C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故C错误; D、是轴对称图形.不是中心对称图形,故D错误. 故选:B. 【点评】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形,掌握中心对称图形与轴对称图形的特点是解题的关键. 5.某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示,该选手训练成绩的中位数是( ) 成绩(环) 6 7 8 9 10 次数 1 4 2 6 3 A.2 B.3 C.8 D.9 【考点】中位数. 【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列,找出最中间的数或中间两数的平均数即可. 【解答】解:∵共16次射击, ∴中位数是第8和第9的平均数,分别为9环、9环, ∴中位数为9环, 故选:D. 【点评】此题考查了中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数. 6.已知圆O是正n边形A1A2…An的外接圆,半径长为18,如果弧A1A2的长为π,那么边数n为( ) A.5 B.10 C.36 D.72 【考点】正多边形和圆. 【分析】设正多边形的中心角的度数是x,根据弧长公式即可求得x的值,然后利用360度除以x即可得到. 【解答】解:设正多边形的中心角的度数是x, 根据题意得: =π, 解得:x=10. 则n==36. 故选C. 【点评】本题考查了正多边形的计算以及扇形的弧长公式,正确求得中心角的度数是关键. 二、填空题 7.计算: = ﹣1 . 【考点】分式的加减法. 【分析】把原式化为﹣,再根据同分母的分式相加减进行计算即可. 【解答】解:原式=﹣ = =﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查了分式的加减法则,注意:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减. 8.写出的一个有理化因式: +b . 【考点】分母有理化. 【分析】根据这种式子的特点:﹣b和+b的互为有理化因式解答即可. 【解答】解:的一个有理化因式: +b; 故答案为: +b. 【点评】本题主要考查分母有理化的方法,分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一项)或与原分母组成平方差公式. 9.如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根,那么实数m的值是 4 . 【考点】根的判别式;一元二次方程的定义. 【分析】根据方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac=0,列出m的方程,求出m的值即可. 【解答】解:∵关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根, ∴△=(﹣m)2﹣4×m=0,且m≠0, 解得m=4. 故答案是:4. 【点评】本题考查了根的判别式.一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根; (2)△=0⇔方程有两个相等的实数根; (3)△<0⇔方程没有实数根. 10.函数y=+x的定义域是 x≠2 . 【考点】函数自变量的取值范围. 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解. 【解答】解:由题意得,2﹣x≠0, 解得x≠2. 故答案为:x≠2. 【点评】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负. 11.如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点,那么m= 4 . 【考点】二次函数图象与几何变换. 【专题】几何变换. 【分析】先确定抛物线y=x2﹣m的顶点坐标为(0,m),再利用点平移的规律得到把点(0,﹣m)平移后的对应点的坐标为(﹣2,﹣m),接着利用顶点式写出平移后的抛物线解析式为y=(x+2)2﹣m,然后把原点坐标代入可求出m的值. 【解答】解:函数y=x2﹣m的顶点坐标为(0,m),把点(0,﹣m)向左平移2个单位后所得对应点的坐标为(﹣2,﹣m),所以平移后的抛物线解析式为y=(x+2)2﹣m, 把点(0,0)代入=(x+2)2﹣m得4﹣m=0,解得m=4. 故答案为4. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式. 12.在分别写有数字﹣1,0,2,3的四张卡片中随机抽取一张,放回后再抽取一张,如果以第一次抽取的数字作为横坐标,第二次抽取的数字作为纵坐标,那么所得点落在第一象限的概率为 . 【考点】列表法与树状图法;点的坐标. 【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与所得点落在第一象限的情况,再利用概率公式求解即可求得答案. 【解答】解:画树状图得: ∵共有16种等可能的结果,所得点落在第一象限的有4种情况, ∴所得点落在第一象限的概率为: =. 故答案为:. 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 13.在△ABC中,点M、N分别在边AB、AC上,且AM:MB=CN:NA=1:2,如果,那么= ﹣ (用表示). 【考点】*平面向量. 【分析】首先根据题意画出图形,由AM:MB=CN:NA=1:2,可表示出与,再利用三角形法则求解即可求得答案. 【解答】解:∵AM:MB=CN:NA=1:2, ∴AM=AB,AN=AC, ∵, ∴=, =, ∴=﹣=﹣. 故答案为: ﹣. 【点评】此题考查了平面向量的知识.注意掌握三角形法则的应用是关键. 14.某大型超市有斜坡式的自动扶梯,人站在自动扶梯上,沿着斜坡向上方向前进13米时,在铅锤方向上升了5米,如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1:m,那么m= . 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【分析】根据在一个斜面上前进13米,铅锤方向上升了5米,可以计算出此时的水平距离,水平高度与水平距离的比值即为坡度,从而可以解答本题. 【解答】解:设在自动扶梯上前进13米,在铅锤方向上升了5米,此时水平距离为x米, 根据勾股定理,得x2+52=132, 解得,x=12(舍去负值), 故该斜坡坡度i=5:12=1:m. 所以m=. 故答案为:m=. 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是明确坡度的定义. 15.某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间,对本校全体学生进行了调查,并绘制如图所示的频率分布直方图(不完整),则图中m的值是 0.05 . 【考点】频数(率)分布直方图. 【分析】利用1减去其它组的频率即可求得. 【解答】解:m=1﹣0.2﹣0.3﹣0.25﹣0.075=0.05. 故答案是:0.05. 【点评】本题考查了频率分布直方图,了解各组的频率的和是1是关键. 16.如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2.写出一个函数y= (k≠0),使它的图象与正方形OABC有公共点,这个函数的表达式为 y=,y=(0<k≤4)(答案不唯一) . 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征. 【专题】开放型. 【分析】先根据正方形的性质得到B点坐标为(2,2),然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B点的反比例函数解析式即可. 【解答】解:∵正方形OABC的边长为2, ∴B点坐标为(2,2), 当函数y= (k≠0)过B点时,k=2×2=4, ∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=. 故答案为:y=,y=(0<k≤4)(答案不唯一). 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k. 17.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点O为边AD的中点,如果以点O为圆心,r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切,那么r的值是 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】根据题意画出图形,当以点O为圆心,r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切,再利用△ODE∽△BDA,求出答案. 【解答】解:如图所示:当以点O为圆心,r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切, 则OE⊥BD,且OE=r, ∵∠OED=∠A=90°, ∠ADE=∠EDO, ∴△ODE∽△BDA, ∴=, ∵AB=3,AD=4, ∴BD=5, ∴=, 解得:EO=. 故答案为:. 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质,正确得出△ODE∽△BDA是解题关键. 18.如图,将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置,其中点B、C、D分别落在点E、F、G处,且点B、E、D、F在一直线上,如果点E恰好是对角线BD的中点,那么的值是 . 【考点】旋转的性质;平行四边形的性质. 【专题】计算题. 【分析】先利用旋转的性质得∠1=∠2,BE=BD,AB=AE,再证明∠1=∠3,则可判断△BAE∽△BDA,利用相似比可得=,然后证明AD=BD即可得到的值. 【解答】解:∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置,点E恰好是对角线BD的中点, ∴∠1=∠2,BE=BD,AB=AE, ∵EF∥AG, ∴∠2=∠3, ∴∠1=∠3, ∵∠ABE=∠DBA, ∴△BAE∽△BDA, ∴AB:BD=BE:AB,∠AEB=∠DAB, ∴AB2=BD2, ∴=, ∵AE=AB, ∴∠AEB=∠ABD, ∴∠ABD=∠DAB, ∴DB=DA, ∴=. 故答案为. 【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.解决本题的关键是证明△BAE∽△BDA, 三、解答题 19.计算:. 【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 【专题】计算题. 【分析】根据实数的运算顺序,首先计算乘方、开方、乘法,然后从左向右依次计算,求出算式的值是多少即可. 【解答】解: =1+9+6×﹣|| =10﹣2 =10 【点评】(1)此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用. (2)此题还考查了零指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a0=1(a≠0);②00≠1. (3)此题还考查了负整数指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a﹣p=(a≠0,p为正整数);②计算负整数指数幂时,一定要根据负整数指数幂的意义计算;③当底数是分数时,只要把分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数. (4)此题还考查了特殊角的三角函数值,要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值. 20.解不等式组:,并写出它的所有非负整数解. 【考点】解一元一次不等式组;一元一次不等式组的整数解. 【分析】首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集,然后确定非负整数解即可. 【解答】解:, 解①得x<2, 解②得x>﹣. 则不等式组的解集是:﹣<x<2. 则非负整数解是:0,1. 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观察不等式的解,若x>较小的数、<较大的数,那么解集为x介于两数之间. 21.已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点M、N分别是边AC、AB的中点,点D是线段BM的中点. (1)求证:; (2)求∠NCD的余切值. 【考点】相似三角形的判定与性质;解直角三角形. 【分析】(1)根据直角三角形的性质即可得到结论; (2)过M作MN⊥AB于H,由直角三角形的性质得到CN=AN=AB,由等腰三角形的性质得到∠ACN=∠A=30°,解直角三角形即可得到结论. 【解答】解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点N分别是边AB的中点,点D是线段BM的中点, ∴=, =, ∴; (2)过M作MN⊥AB于H, ∵点N分别是边AB的中点, ∴CN=AN=AB, ∴∠ACN=∠A=30°, ∴∠NCD=∠MCD﹣30°=∠CMB﹣30°=∠MBA, ∴设BC=2k,则MA=k,MH=k,HB=4k﹣k=k, ∴cos∠NCD===. 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,解直角三角形,直角三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键. 22.某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路,小李沿此路从M走到N,停留后再原路返回,期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分(x>0)之间的函数关系如图中折线OABCD所示. (1)求上山时y关于x的函数解析式,并写出定义域: (2)已知小李下山的时间共26分钟,其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2:3,试求点C的纵坐标. 【考点】一次函数的应用. 【分析】(1)由OA过原点O,故设上山时y关于x的函数解析式为y=kx,将点A的坐标代入函数解析式得出关于k的一元一次方程,解方程即可得出函数解析; (2)根据比例关系设下山前18分钟内的平均速度为2am/min,后8分钟内的平均速度为3am/min,结合路程=速度×时间,得出关于a的一元一次方程,解方程可求出a的值,再根据路程=速度×时间可得出C点的纵坐标. 【解答】解:(1)设上山时y关于x的函数解析式为y=kx, 根据已知可得:600=20k, 解得:k=30. 故上山时y关于x的函数解析式为y=30x(0≤x≤20). (2)设下山前18分钟内的平均速度为2am/min,后8分钟内的平均速度为3a/min, 由已知得:18×2a+8×3a=600, 解得:a=10. 故8×3a=8×3×10=240(米). 答:点C的纵坐标为240. 【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)待定系数法求函数解析式;(2)根据数量关系列出关于a的一元一次方程.本题属于基础题,难度不大,(1)没有难度;(2)巧用比例关系设未知数,解该类型题目时,由数量关系列出方程(或方程组)是关键. 23.已知:如图,在直角梯形纸片ABCD中,DC∥AB,AB>CD>AD,∠A=90°,将纸片沿过点D的直线翻折,使点A落在边CD上的点E处,折痕为DF,联结EF并展开纸片. (1)求证:四边形ADEF为正方形; (2)取线段AF的中点G,联结GE,当BG=CD时,求证:四边形GBCE为等腰梯形. 【考点】翻折变换(折叠问题);正方形的判定;等腰梯形的判定. 【分析】(1)由题意知,AD=DE,易证四边形AFED是矩形,继而证得四边形AFED是正方形; (2)由BG与CD平行且相等,可得四边形BCDG是平行四边形,即证得CB=DG,在正方形AFED中,易证△DAG≌△EFG,则可得DG=EG=BC,即四边形GBCE是等腰梯形. 【解答】(1)证明:∵DC∥AB,∠A=90°, ∴∠ADE=90°, 由折叠的性质可得:∠A=∠DEF=90°,AD=ED,AF=EF, ∵四边形ADEF为矩形, ∴四边形ADEF为正方形; (2)连接EG,DG, ∵BG∥CD,且BG=CD, ∴四边形BCDG是平行四边形. ∴CB=DG. ∵四边形ADEF是正方形, ∴EF=DA,∠EFG=∠A=90°. ∵G是AF的中点, ∴AG=FG. 在△DAG和△EFG中, , ∴△DAG≌△EFG(SAS), ∴DG=EG, ∴EG=BC. ∴四边形GBCE是等腰梯形. 【点评】此题考查了直角梯形的性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定.注意证得四边形BCDG是平行四边形与△DAG≌△EFG是关键. 24.已知在直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣8ax+3(a<0)与y轴交于点A,顶点为D,其对称轴交x轴于点B,点P在抛物线上,且位于抛物线对称轴的右侧. (1)当AB=BD时(如图),求抛物线的表达式; (2)在第(1)小题的条件下,当DP∥AB时,求点P的坐标; (3)点G在对称轴BD上,且∠AGB=∠ABD,求△ABG的面积. 【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标,对称轴,利用两点间距离,即可; (2)先确定出直线AB解析式,再由DP∥AB确定出直线DP解析式,利用方程组确定出交点坐标; (3)利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决,(选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线段作为底). 【解答】解:(1)∵y=ax2﹣8ax+3=a(x﹣4)2+3﹣16a, ∴对称轴为x=4,B(4,0),A(0,3), ∴AB=5, ∵AB=BD, ∴BD=5, ∵抛物线的顶点为D,其对称轴交x轴于点B, ∴3﹣16a=BD=5, ∴a=﹣, ∴y=x2+x+3, (2)∵B(4,0),A(0,3), ∴直线AB解析式为y=﹣x+3, ∵DP∥AB, 设直线DP解析式为y=﹣x+b, ∵D(4,5)在直线DP上, ∴b=8, ∴直线DP解析式为y=﹣x+8, 由, ∴x1=10,x2=4(舍), ∴P(10,); (3)如图 ①以B为圆心,BA为半径作圆,交DB延长线于G1, ∵BG=AB, ∴∠BAG1=∠BG1A, ∴∠AGB=∠ABD, ∵AB=5,点G在对称轴BD上x=4, ∴G1(4,﹣5), ∴S△ABG1=×BG1×AH=×5×4=10; ②以A为圆心,AG1为半径作圆,交BD延长线于G2, 过点A作AH⊥BD于H, ∴HG2=HG1=BH+BG1=8, ∴BG2=11, ∴G2(4,11), S△ABG2=×BG2×AH=×11×4=22; 即:S△ABG=10或22, 【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了抛物线的一般形式化成顶点形式的方法,图象交点坐标的确定,两直线平行的特点,坐标系中确定三角形面积的常用方法,解本题的关键是确定出抛物线的解析式. 25.已知:半圆O的直径AB=6,点C在半圆O上,且tan∠ABC=2,点D为弧AC上一点,联结DC(如图) (1)求BC的长; (2)若射线DC交射线AB于点M,且△MBC与△MOC相似,求CD的长; (3)联结OD,当OD∥BC时,作∠DOB的平分线交线段DC于点N,求ON的长. 【考点】圆的综合题. 【分析】(1)如图1中,根据AB是直径,得△ABC是直角三角形,利用勾股定理即可解决问题. (2)如图2中,只要证明△OBC≌△OCD得BC=CD,即可解决问题. (3)如图3中,延长ON交BC的延长线于G,作GH⊥OB于H,先求出BG,根据tan∠HBG=2,利用勾股定理求出线段HB、HG,再利用CG∥DO得,由此即可解决. 【解答】解;(1)如图1中,连接AC, ∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, ∵tan∠ABC=2, ∴可以假设AC=2k,BC=k, ∵AB=6,AB2=AC2+BC2, ∴36=8k2+k2, ∴k2=4, ∵k>0, ∴k=2,BC=2. (2)如图2中, ∵△MBC与△MOC相似, ∴∠MBC=∠MCO, ∵∠MBC+∠OBC=180°,∠MCO+∠OCD=180°, ∴∠OBC=∠OCD, ∵OB=OC=OD, ∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC, 在△OBC和△OCD中, , ∴△OBC≌△OCD, ∴BC=CD=2. (3)如图3中,延长ON交BC的延长线于G,作GH⊥OB于H. ∵BC∥OD, ∴∠DOG=∠OGB=∠GOB, ∴BO=BG=3, ∵tan∠HBG=,设GH=2a,HB=a, ∵BG2=GH2+HB2, ∴8a2+a2=9, ∴a2=1, ∵a>0, ∴a=1,HB=1,GH=2,OH=2,OG==2, ∵GC∥DO, ∴=, ∴ON=×=. 【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识,灵活应用这些知识解决问题是解题的关键,第三个问题的关键是利用平行线分线段成比例定理,属于中考压轴题. 查看更多