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文档介绍
2020年四川省凉山州中考数学试卷(含解析)
2020年四川省凉山州中考数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置. 1.(4分)﹣12020=( ) A.1 B.﹣1 C.2020 D.﹣2020 2.(4分)如图,下列几何体的左视图不是矩形的是( ) A. B. C. D. 3.(4分)点P (2,3)关于x轴对称的点P'的坐标是( ) A.(2,﹣3) B.(﹣2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(3,2) 4.(4分)已知一组数据1,0,3,﹣1,x,2,3的平均数是1,则这组数据的众数是( ) A.﹣1 B.3 C.﹣1和3 D.1和3 5.(4分)一元二次方程x2=2x的根为( ) A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=0或x=﹣2 6.(4分)下列等式成立的是( ) A.81=±9 B.|5-2|=-5+2 C.(-12)﹣1=﹣2 D.(tan45°﹣1)0=1 7.(4分)若一次函数y=(2m+1)x+m﹣3的图象不经过第二象限,则m的取值范围是( ) A.m>-12 B.m<3 C.-12<m<3 D.-12<m≤3 8.(4分)点C是线段AB的中点,点D是线段AC的三等分点.若线段AB=12cm,则线段BD的长为( ) A.10cm B.8cm C.10cm 或8cm D.2cm 或4cm 9.(4分)下列命题是真命题的是( ) A.顶点在圆上的角叫圆周角 B.三点确定一个圆 C.圆的切线垂直于半径 D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 第23页(共23页) 10.(4分)如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tanA的值为( ) A.12 B.22 C.2 D.22 11.(4分)如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O,则AD:AB=( ) A.22:3 B.2:3 C.3:2 D.3:22 12.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有如下结论: ①abc>0; ②2a+b=0; ③3b﹣2c<0; ④am2+bm≥a+b(m为实数). 其中正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 13.(4分)函数y=x+1中,自变量x的取值范围是 . 14.(4分)因式分解:a3﹣ab2= . 15.(4分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE∥AB交AD于点E,若OA= 第23页(共23页) 1,△AOE的周长等于5,则▱ABCD的周长等于 . 16.(4分)如图,点C、D分别是半圆AOB上的三等分点,若阴影部分的面积是32π,则半圆的半径OA的长为 . 17.(4分)如图,矩形OABC的面积为1003,对角线OB与双曲线y=kx(k>0,x>0)相交于点D,且OB:OD=5:3,则k的值为 . 三、解答题(本大题共5小题,共32分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(5分)解方程:x-x-22=1+2x-13. 19.(5分)化简求值:(2x+3)(2x﹣3)﹣(x+2)2+4(x+3),其中x=2. 20.(7分)如图,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少? 21.(7分)某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛,分三批对全 第23页(共23页) 校20个班的作品进行评比.在第一批评比中,随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品,对其数量进行统计后,绘制如图两幅不完整的统计图. (1)第一批所抽取的4个班共征集到作品 件;在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 ; (2)补全条形统计图; (3)第一批评比中,A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖.现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出,用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率. 22.(8分)如图,AB是半圆AOB的直径,C是半圆上的一点,AD平分∠BAC交半圆于点D,过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H. (1)求证:DH是半圆的切线; (2)若DH=25,sin∠BAC=53,求半圆的直径. 四、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分) 23.(5分)若不等式组2x<3(x-3)+13x+24>x+a恰有四个整数解,则a的取值范围是 . 24.(5分)如图,矩形ABCD中,AD=12,AB=8,E是AB上一点,且EB=3,F是BC上一动点,若将△EBF沿EF对折后,点B落在点P处,则点P到点D的最短距离为 . 第23页(共23页) 五、解答题(本大题共4小题,共40分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.(8分)如图,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P、点Q以相同的速度,同时从点A、点B出发. (1)如图1,连接AQ、CP.求证:△ABQ≌△CAP; (2)如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,AQ、CP相交于点M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数; (3)如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时,直线AQ、CP相交于M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数. 26.(10分)如图,已知直线l:y=﹣x+5. (1)当反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时,求k的取值范围. (2)若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与直线l在第一象限内相交于点A(x1,y1)、B(x2,y2),当x2﹣x1=3时,求k的值,并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5<kx的解集. 第23页(共23页) 27.(10分)如图,⊙O的半径为R,其内接锐角三角形ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c. (1)求证:asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R; (2)若∠A=60°,∠C=45°,BC=43,利用(1)的结论求AB的长和sin∠B的值. 28.(12分)如图,二次函数y=ax2+bx+x的图象过O(0,0)、A(1,0)、B(32,32)三点. (1)求二次函数的解析式; (2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD的解析式; (3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ⊥x轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长最大时,求点P的坐标. 第23页(共23页) 2020年四川省凉山州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置. 1.(4分)﹣12020=( ) A.1 B.﹣1 C.2020 D.﹣2020 【解答】解:﹣12020=﹣1. 故选:B. 2.(4分)如图,下列几何体的左视图不是矩形的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:A、圆柱的左视图是矩形,故本选项不符合题意; B、三棱锥的左视图是三角形,故本选项符合题意; C、三棱柱的左视图是矩形,故本选项不符合题意; D、正方体的左视图是正方形,故本选项不符合题意. 故选:B. 3.(4分)点P (2,3)关于x轴对称的点P'的坐标是( ) A.(2,﹣3) B.(﹣2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(3,2) 【解答】解:点P(2,3)关于x轴对称的点P'的坐标是(2,﹣3). 故选:A. 4.(4分)已知一组数据1,0,3,﹣1,x,2,3的平均数是1,则这组数据的众数是( ) A.﹣1 B.3 C.﹣1和3 D.1和3 【解答】解:∵数据1,0,3,﹣1,x,2,3的平均数是1, ∴1+0+3﹣1+x+2+3=7×1, 解得x=﹣1, 则这组数据为1,0,3,﹣1,﹣1,2,3, ∴这组数据的众数为﹣1和3, 故选:C. 第23页(共23页) 5.(4分)一元二次方程x2=2x的根为( ) A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=0或x=﹣2 【解答】解:∵x2=2x, ∴x2﹣2x=0, 则x(x﹣2)=0, ∴x=0或x﹣2=0, 解得x1=0,x2=2, 故选:C. 6.(4分)下列等式成立的是( ) A.81=±9 B.|5-2|=-5+2 C.(-12)﹣1=﹣2 D.(tan45°﹣1)0=1 【解答】解:A.81=9,此选项计算错误; B.|5-2|=5-2,此选项错误; C.(-12)﹣1=﹣2,此选项正确; D.(tan45°﹣1)0无意义,此选项错误; 故选:C. 7.(4分)若一次函数y=(2m+1)x+m﹣3的图象不经过第二象限,则m的取值范围是( ) A.m>-12 B.m<3 C.-12<m<3 D.-12<m≤3 【解答】解:根据题意得2m+1>0m-3≤0, 解得-12<m≤3. 故选:D. 8.(4分)点C是线段AB的中点,点D是线段AC的三等分点.若线段AB=12cm,则线段BD的长为( ) A.10cm B.8cm C.10cm 或8cm D.2cm 或4cm 【解答】解:∵C是线段AB的中点,AB=12cm, ∴AC=BC=12AB=12×12=6(cm), 点D是线段AC的三等分点, 第23页(共23页) ①当AD=13AC时,如图, BD=BC+CD=BC+23AC=6+4=10(cm); ②当AD=23AC时,如图, BD=BC+CD′=BC+13AC=6+2=8(cm). 所以线段BD的长为10cm或8cm, 故选:C. 9.(4分)下列命题是真命题的是( ) A.顶点在圆上的角叫圆周角 B.三点确定一个圆 C.圆的切线垂直于半径 D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 【解答】解:A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角,原命题是假命题; B、不在同一直线上的三点确定一个圆,原命题是假命题; C、圆的切线垂直于过切点的半径,原命题是假命题; D、三角形的内心到三角形三边的距离相等,是真命题; 故选:D. 10.(4分)如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tanA的值为( ) A.12 B.22 C.2 D.22 【解答】解:如图,连接BD,由网格的特点可得,BD⊥AC, AD=22+22=22,BD=12+12=2, ∴tanA=BDAD=222=12, 故选:A. 第23页(共23页) 11.(4分)如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O,则AD:AB=( ) A.22:3 B.2:3 C.3:2 D.3:22 【解答】解:连接OA、OB、OD,过O作OH⊥AB于H,如图所示: 则AH=BH=12AB, ∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O, ∴∠AOB=120°,∠AOD=90°, ∵OA=OD=OB, ∴△AOD是等腰直角三角形,∠AOH=∠BOH=12×120°=60°, ∴AD=2OA,AH=OA•sin60°=32OA, ∴AB=2AH=2×32OA=3OA, ∴ADAB=2OA3OA=23, 故选:B. 12.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有如下结论: ①abc>0; 第23页(共23页) ②2a+b=0; ③3b﹣2c<0; ④am2+bm≥a+b(m为实数). 其中正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解答】解:①∵对称轴在y轴右侧, ∴a、b异号, ∴ab<0, ∵c<0 ∴abc>0 故①正确; ②∵对称轴x=-b2a=1, ∴2a+b=0; 故②正确; ③∵2a+b=0, ∴a=-12b, ∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0, ∴-12b﹣b+c>0 ∴3b﹣2c<0 故③正确; ④根据图象知,当x=1时,y有最小值; 当m为实数时,有am2+bm+c≥a+b+c, 所以am2+bm≥a+b(m为实数). 故④正确. 第23页(共23页) 本题正确的结论有:①②③④,4个; 故选:D. 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 13.(4分)函数y=x+1中,自变量x的取值范围是 x≥﹣1 . 【解答】解:由题意得,x+1≥0, 解得x≥﹣1. 故答案为:x≥﹣1. 14.(4分)因式分解:a3﹣ab2= a(a+b)(a﹣b) . 【解答】解:a3﹣ab2=a(a2﹣b2)=a(a+b)(a﹣b). 15.(4分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE∥AB交AD于点E,若OA=1,△AOE的周长等于5,则▱ABCD的周长等于 16 . 【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,OB=OD, ∵OE∥AB, ∴OE是△ABD的中位线, ∴AB=2OE,AD=2AE, ∵△AOE的周长等于5, ∴OA+AE+OE=5, ∴AE+OE=5﹣OA=5﹣1=4, ∴AB+AD=2AE+2OE=8, ∴▱ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×8=16; 故答案为:16. 16.(4分)如图,点C、D分别是半圆AOB上的三等分点,若阴影部分的面积是32π,则半圆的半径OA的长为 3 . 第23页(共23页) 【解答】解:连接OC、OD、CD. ∵△COD和△CBD等底等高, ∴S△COD=S△BCD. ∵点C,D为半圆的三等分点, ∴∠COD=180°÷3=60°, ∴阴影部分的面积=S扇形COD, ∵阴影部分的面积是32π, ∴60π⋅r2360=32π, ∴r=3, 故答案为3. 17.(4分)如图,矩形OABC的面积为1003,对角线OB与双曲线y=kx(k>0,x>0)相交于点D,且OB:OD=5:3,则k的值为 12 . 【解答】解:设D的坐标是(3m,3n),则B的坐标是(5m,5n). ∵矩形OABC的面积为1003, ∴5m•5n=1003, ∴mn=43. 第23页(共23页) 把D的坐标代入函数解析式得:3n=k3m, ∴k=9mn=9×43=12. 故答案为12. 三、解答题(本大题共5小题,共32分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(5分)解方程:x-x-22=1+2x-13. 【解答】解:去分母,得:6x﹣3(x﹣2)=6+2(2x﹣1), 去括号,得:6x﹣3x+6=6+4x﹣2, 移项,得:6x﹣3x﹣4x=6﹣6﹣2, 合并同类项,得:﹣x=﹣2, 系数化为1,得:x=2. 19.(5分)化简求值:(2x+3)(2x﹣3)﹣(x+2)2+4(x+3),其中x=2. 【解答】解:原式=4x2﹣9﹣(x2+4x+4)+4x+12 =4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12 =3x2﹣1, 当x=2时, 原式=3×(2)2﹣1 =3×2﹣1 =6﹣1 =5. 20.(7分)如图,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少? 【解答】解:∵四边形EGFH为正方形, ∴BC∥EF, 第23页(共23页) ∴△AEF∽△ABC; 设正方形零件的边长为x mm,则KD=EF=x,AK=80﹣x, ∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∵AD⊥BC, ∴EFBC=AKAD, ∴x120=80-x80, 解得:x=48. 答:正方形零件的边长为48mm. 21.(7分)某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛,分三批对全校20个班的作品进行评比.在第一批评比中,随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品,对其数量进行统计后,绘制如图两幅不完整的统计图. (1)第一批所抽取的4个班共征集到作品 24 件;在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 150° ; (2)补全条形统计图; (3)第一批评比中,A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖.现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出,用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率. 第23页(共23页) 【解答】解:(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%=24(件), 则C班级作品数为24﹣(4+6+4)=10(件), ∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°×1024=150°, 故答案为:24、150°; (2)补全图形如下: (3)列表如下: A B B C C D A BA BA CA CA DA B AB BB CB CB DB B AB BB CB CB DB C AC BC BC CC DC C AC BC BC CC DC D AD BD BD CD CD 由表可知,共有30种等可能结果,其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果, ∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为2630=1315. 第23页(共23页) 22.(8分)如图,AB是半圆AOB的直径,C是半圆上的一点,AD平分∠BAC交半圆于点D,过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H. (1)求证:DH是半圆的切线; (2)若DH=25,sin∠BAC=53,求半圆的直径. 【解答】(1)证明:连接OD, ∵OA=OD, ∴∠DAO=∠ADO, ∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠OAD, ∴∠CAD=∠ADO, ∴AH∥OD, ∵DH⊥AC, ∴OD⊥DH, ∴DH是半圆的切线; (2)解:连接BC交OD于E, ∵AB是半圆AOB的直径, ∴∠ACB=90°, ∴四边形CEDH是矩形, ∴CE=DH=25,∠DEC=90°, ∴OD⊥BC, ∴BC=2CE=45, ∵sin∠BAC=BCAB=53, ∴AB=12, 即半圆的直径为12. 第23页(共23页) 四、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分) 23.(5分)若不等式组2x<3(x-3)+13x+24>x+a恰有四个整数解,则a的取值范围是 -114≤a<-52 . 【解答】解:解不等式2x<3(x﹣3)+1,得:x>8, 解不等式3x+24>x+a,得:x<2﹣4a, ∵不等式组有4个整数解, ∴12<2﹣4a≤13, 解得:-114≤a<-52, 故答案为:-114≤a<-52. 24.(5分)如图,矩形ABCD中,AD=12,AB=8,E是AB上一点,且EB=3,F是BC上一动点,若将△EBF沿EF对折后,点B落在点P处,则点P到点D的最短距离为 10 . 【解答】解:如图,连接PD,DE, ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=90°, ∵AB=8,BE=3, ∴AE=5, 第23页(共23页) ∵AD=12, ∴DE=52+122=13, 由折叠得:EB=EP=3, ∵EP+DP≥ED, ∴当E、P、D共线时,DP最小, ∴DP=DE﹣EP=13﹣3=10; 故答案为:10. 五、解答题(本大题共4小题,共40分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.(8分)如图,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P、点Q以相同的速度,同时从点A、点B出发. (1)如图1,连接AQ、CP.求证:△ABQ≌△CAP; (2)如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,AQ、CP相交于点M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数; (3)如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时,直线AQ、CP相交于M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数. 【解答】解:(1)证明:如图1,∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ=∠CAP=60°,AB=CA, 又∵点P、Q运动速度相同, ∴AP=BQ, 在△ABQ与△CAP中, AB=CA∠ABQ=∠CPAAP=BQ, ∴△ABQ≌△CAP(SAS); 第23页(共23页) (2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中,∠QMC不变. 理由:∵△ABQ≌△CAP, ∴∠BAQ=∠ACP, ∵∠QMC是△ACM的外角, ∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC ∵∠BAC=60°, ∴∠QMC=60°; (3)如图2,点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时,∠QMC不变 理由:同理可得,△ABQ≌△CAP, ∴∠BAQ=∠ACP, ∵∠QMC是△APM的外角, ∴∠QMC=∠BAQ+∠APM, ∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°, 即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,∠QMC的度数为120°. 26.(10分)如图,已知直线l:y=﹣x+5. (1)当反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与直线l 第23页(共23页) 在第一象限内至少有一个交点时,求k的取值范围. (2)若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与直线l在第一象限内相交于点A(x1,y1)、B(x2,y2),当x2﹣x1=3时,求k的值,并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5<kx的解集. 【解答】解:(1)将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得:x2﹣5x+k=0, 由题意得:△=25﹣4k≥0,解得:k≤254, 故k的取值范围0<k≤254; (2)设点A(m,﹣m+5),而x2﹣x1=3,则点B(m+3,﹣m+2), 点A、B都在反比例函数上,故m(﹣m+5)=(m+3)(﹣m+2),解得:m=1, 故点A、B的坐标分别为(1,4)、(4,1); 将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得:k=4×1=4, 观察函数图象知,当﹣x+5<kx时,0<x<1或x>4. 27.(10分)如图,⊙O的半径为R,其内接锐角三角形ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c. (1)求证:asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R; (2)若∠A=60°,∠C=45°,BC=43,利用(1)的结论求AB的长和sin∠B的值. 【解答】(1)证明:作直径BE,连接CE,如图所示: 第23页(共23页) 则∠BCE=90°,∠E=∠A, ∴sinA=sinE=BCBE=a2R, ∴asinA=2R, 同理:bsin∠B=2R,csin∠C=2R, ∴asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R; (2)解:由(1)得:ABsinC=BCsinA, 即ABsin45°=43sin60°=2R, ∴AB=43×2232=42,2R=4332=8, 过B作BH⊥AC于H, ∵∠AHB=∠BHC=90°, ∴AH=AB•cos60°=42×12=22,CH=22BC=26, ∴AC=AH+CH=2(2+6), ∴sin∠B=AC2R=2(2+6)8=2+64. 28.(12分)如图,二次函数y=ax2+bx+x的图象过O(0,0)、A(1,0)、B(32,32)三点. (1)求二次函数的解析式; (2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD的解析式; (3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ⊥x轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长最大时,求点P的坐标. 第23页(共23页) 【解答】解:(1)将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得c=0a+b+c=032=94a+32b+c,解得a=-233b=-233c=0, 故抛物线的表达式为:y=233x2-233x; (2)由点B的坐标知,直线BO的倾斜角为30°,则OB中垂线(CD)与x负半轴的夹角为60°, 故设CD的表达式为:y=-3x+b,而OB中点的坐标为(34,34), 将该点坐标代入CD表达式并解得:b=3, 故直线CD的表达式为:y=-3x+3; (3)设点P(x,233x2-233x),则点Q(x,-3x+3), 则PQ=-3x+3-(233x2-233x)=-233x2-33x+3, ∵-233<0,故PQ有最大值,此时点P的坐标为(-14,27316). 第23页(共23页)查看更多