2020年河南省中考数学试卷(含解析）

2020年河南省中考数学试卷(含解析）

第 1 页（共 26 页） 2020 年河南省中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确 的． 1．（3 分）2 的相反数是（　　） A．﹣2 B． - 1 2 C．1 2 D．2 2．（3 分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（　　） A． B． C． D． 3．（3 分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（　　） A．中央电视台《开学第一课》的收视率 B．某城市居民 6 月份人均网上购物的次数 C．即将发射的气象卫星的零部件质量 D．某品牌新能源汽车的最大续航里程 4．（3 分）如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2 的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 5．（3 分）电子文件的大小常用 B，KB，MB，GB 等作为单位，其中 1GB＝210MB，1MB＝ 210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为 1GB，1GB 等于（　　） A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B 6．（3 分）若点 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y = - 6 푥的图象上， 则 y1，y2，y3 的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 7．（3 分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程 1☆x ＝0 的根的情况为（　　） 第 2 页（共 26 页） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 8．（3 分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017 年至 2019 年我国 快递业务收入由 5000 亿元增加到 7500 亿元．设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的 年平均增长率为 x，则可列方程为（　　） A．500（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500 C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500 9．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为 （﹣2，6）和（7，0）．将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（　　） A．（3 2，2） B．（2，2） C．（11 4 ，2） D．（4，2） 10．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝BC = 3，∠BAC＝30°，分别以点 A，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点 D，连接 DA，DC，则四边形 ABCD 的面积为（　　） A．6 3 B．9 C．6 D．3 3 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．（3 分）请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数　 　． 12．（3 分）已知关于 x 的不等式组{x＞a， 푥＞푏，其中 a，b 在数轴上的对应点如图所示，则这个 不等式组的解集为　 　． 第 3 页（共 26 页） 13．（3 分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种 颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域 分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是　 　． 14．（3 分）如图，在边长为 2 2的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，连 接 EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，连接 GH，则 GH 的长度为　 　． 15．（3 分）如图，在扇形 BOC 中，∠BOC＝60°，OD 平分∠BOC 交BC于点 D，点 E 为半 径 OB 上一动点．若 OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　 　． 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16．（8 分）先化简，再求值：（1 - 1 푎 + 1） ÷ 푎 푎2 ― 1 ，其中 a = 5 + 1． 17．（9 分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台 分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分 装的标准质量为每袋 500g，与之相差大于 10g 为不合格．为检验分装效果，工厂对这两 台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下： [收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取 20 袋，测得实际质量（单位：g） 如下： 甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 第 4 页（共 26 页） [整理数据]整理以上数据，得到每袋质量 x（g）的频数分布表． 质量 频数 机器 485≤x＜ 490 490≤x＜ 495 495≤x＜ 500 500≤x＜ 505 505≤x＜ 510 510≤x＜ 515 甲 2 2 4 7 4 1 乙 1 3 5 7 3 1 [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量． 统计量 机器 平均数 中位数 方差 不合格率 甲 499.7 501.5 42.01 b 乙 499.7 a 31.81 10% 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 a＝　 　，b＝　 　； （2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由． 18．（9 分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文 化遗产之一． 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在 地面一条水平步道 MP 上架设测角仪，先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 22°， 然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处，测得点 A 的仰角为 45°．测角仪的高度为 1.6m． （1）求观星台最高点 A 距离地面的高度（结果精确到 0.1m．参考数据：sin22°≈0.37， cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， 2 ≈ 1.41）； （2）“景点简介”显示，观星台的高度为 12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一 条减小误差的合理化建议． 19．（9 分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 第 5 页（共 26 页） 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身 x（次），按照方案一所需费用为 y1（元），且 y1＝k1x+b；按照方案二 所需费用为 y2（元），且 y2＝k2x．其函数图象如图所示． （1）求 k1 和 b 的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和 k2 的值； （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8 次，应选择哪种方案所需费用更少？ 说明理由． 20．（9 分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意 角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要， 发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图 1 是它的示意图，其中 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上，且 AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与 AC 垂直于点 B，DB 足够长． 使用方法如图 2 所示，若要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使 DB 经过∠MEN 的顶点 E，点 A 落在边 EM 上，半圆 O 与另一边 EN 恰好相切，切点为 F，则 EB，EO 就把∠MEN 三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求 证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图 2，点 A，B，O，C 在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点 B，　 　． 第 6 页（共 26 页） 求证：　 　． 21．（10 分）如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OA ＝OB，点 G 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点 G 的坐标； （2）点 M，N 为抛物线上两点（点 M 在点 N 的左侧），且到对称轴的距离分别为 3 个单 位长度和 5 个单位长度，点 Q 为抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N）的一个动点，求 点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围． 22．（10 分）小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，点 D 是BC上一动点，线段 BC＝8cm，点 A 是线段 BC 的中点，过点 C 作 CF∥ BD，交 DA 的延长线于点 F．当△DCF 为等腰三角形时，求线段 BD 的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经 验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点 D 在BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 BD，CD，FD 的长度， 得到下表的几组对应值． BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①“当点 D 为BC的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中 a 的值是　 　； ②“线段 CF 的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由． （2）将线段 BD 的长度作为自变量 x，CD 和 FD 的长度都是 x 的函数，分别记为 yCD 和 yFD，并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yFD 的图象，如图所示．请在同一坐标系中 第 7 页（共 26 页） 画出函数 yCD 的图象； （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF 为等腰 三角形时，线段 BD 长度的近似值（结果保留一位小数）． 23．（11 分）将正方形 ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB′，记旋转角为 α，连接 BB′， 过点 D 作 DE 垂直于直线 BB′，垂足为点 E，连接 DB′，CE． （1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为　 　，连接BD，可求出 퐵퐵′ 퐶퐸 的值为　 　； （2）当 0°＜α＜360°且 α≠90°时， ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图 2 的情形进行证明；如果不成 立，请说明理由； ②当以点 B′，E，C，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出퐵퐸 퐵′퐸的值． 第 8 页（共 26 页） 2020 年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确 的． 1．（3 分）2 的相反数是（　　） A．﹣2 B． - 1 2 C．1 2 D．2 【解答】解：2 的相反数是﹣2． 故选：A． 2．（3 分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意题意； B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意； C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意； D、主视图是长方形，左视图是正方形，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（3 分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（　　） A．中央电视台《开学第一课》的收视率 B．某城市居民 6 月份人均网上购物的次数 C．即将发射的气象卫星的零部件质量 D．某品牌新能源汽车的最大续航里程 【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题 意； B、调查某城市居民 6 月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意； C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合 题意； D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意． 故选：C． 第 9 页（共 26 页） 4．（3 分）如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2 的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝70°， ∴∠3＝∠1＝70°， ∵l3∥l4， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°， 故选：B． 5．（3 分）电子文件的大小常用 B，KB，MB，GB 等作为单位，其中 1GB＝210MB，1MB＝ 210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为 1GB，1GB 等于（　　） A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B 【解答】解：由题意得：210×210×210B＝210+10+10＝230B， 故选：A． 6．（3 分）若点 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y = - 6 푥的图象上， 则 y1，y2，y3 的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【解答】解：∵点 A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数 y = - 6 푥的图象 上， ∴y1 = - 6 ―1 = 6，y2 = - 6 2 = ― 3，y3 = - 6 3 = ― 2， 又∵﹣3＜﹣2＜6， ∴y1＞y3＞y2． 第 10 页（共 26 页） 故选：C． 7．（3 分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程 1☆x ＝0 的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0， ∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， 故选：A． 8．（3 分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017 年至 2019 年我国 快递业务收入由 5000 亿元增加到 7500 亿元．设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的 年平均增长率为 x，则可列方程为（　　） A．500（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500 C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500 【解答】解：设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x， 由题意得：5000（1+x）2＝7500， 故选：C． 9．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为 （﹣2，6）和（7，0）．将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（　　） A．（3 2，2） B．（2，2） C．（11 4 ，2） D．（4，2） 【解答】解：如图，设正方形 D′C′O′E′是正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移后的正方 形， ∵顶点 A，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）， 第 11 页（共 26 页） ∴AC＝6，OC＝2，OB＝7， ∴BC＝9， ∵四边形 OCDE 是正方形， ∴DE＝OC＝OE＝2， ∴O′E′＝O′C′＝2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴퐸′푂′ 퐴퐶 = 퐵푂′ 퐵퐶 ， ∴2 6 = 퐵푂′ 9 ， ∴BO′＝3， ∴OC′＝7﹣2﹣3＝2， ∴当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（2，2）， 故选：B． 10．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝BC = 3，∠BAC＝30°，分别以点 A，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点 D，连接 DA，DC，则四边形 ABCD 的面积为（　　） A．6 3 B．9 C．6 D．3 3 【解答】解：连接 BD 交 AC 于 O， ∵AD＝CD，AB＝BC， 第 12 页（共 26 页） ∴BD 垂直平分 AC， ∴BD⊥AC，AO＝CO， ∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠BAC＝30°， ∵AC＝AD＝CD， ∴△ACD 是等边三角形， ∴∠DAC＝∠DCA＝60°， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°， ∵AB＝BC = 3， ∴AD＝CD = 3AB＝3， ∴四边形 ABCD 的面积＝2 × 1 2 × 3 × 3 = 3 3， 故选：D． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．（3 分）请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数　 3　． 【解答】解：大于 1 且小于 2 的无理数是 3，答案不唯一． 故答案为： 3． 12．（3 分）已知关于 x 的不等式组{x＞a， 푥＞푏，其中 a，b 在数轴上的对应点如图所示，则这个 不等式组的解集为　x＞a　． 【解答】解：∵b＜0＜a， ∴关于 x 的不等式组{x＞a， 푥＞푏，的解集为：x＞a， 故答案为：x＞a． 13．（3 分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种 颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域 第 13 页（共 26 页） 分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是　1 4　． 【解答】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下： 共有 16 种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有 4 种， ∴P（两次颜色相同） = 4 16 = 1 4， 故答案为：1 4． 14．（3 分）如图，在边长为 2 2的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，连 接 EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，连接 GH，则 GH 的长度为　1　． 【解答】解：设 DF，CE 交于 O， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB， ∵点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点， ∴BE＝CF， ∴△CBE≌△DCF（SAS）， ∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF， ∵∠CDF+∠CFD＝90°， ∴∠BCE+∠CFD＝90°， ∴∠COF＝90°， 第 14 页（共 26 页） ∴DF⊥CE， ∴CE＝DF = (2 2)2 + ( 2)2 = 10， ∵点 G，H 分别是 EC，FD 的中点， ∴CG＝FH = 10 2 ， ∵∠DCF＝90°，CO⊥DF， ∴CF2＝OF•DF， ∴OF = 퐶퐹2 퐷퐹 = ( 2)2 10 = 10 5 ， ∴OH = 3 10 10 ，OD = 4 10 5 ， ∵OC2＝OF•OD， ∴OC = 10 5 × 4 10 5 = 2 10 5 ， ∴OG＝CG﹣OC = 10 2 ― 2 10 5 = 10 10 ， ∴HG = 푂퐺2 + 푂퐻2 = 1 10 + 9 10 = 1， 故答案为：1． 15．（3 分）如图，在扇形 BOC 中，∠BOC＝60°，OD 平分∠BOC 交BC于点 D，点 E 为半 径 OB 上一动点．若 OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　6 2 + 휋 3 　． 【解答】解：如图，作点 D 关于 OB 的对称点 D′，连接 D′C 交 OB 于点 E′，连接 E′D、OD′， 此时 E′C+E′C 最小，即：E′C+E′C＝CD′， 由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°， ∴∠COD′＝90°， ∴CD′ = 푂퐶2 + 푂퐷′2 = 22 + 22 = 2 2， 第 15 页（共 26 页） CD的长 l = 30휋 × 2 180 = 휋 3， ∴阴影部分周长的最小值为 2 2 + 휋 3 = 6 2 + 휋 3 ． 故答案为：6 2 + 휋 3 ． 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16．（8 分）先化简，再求值：（1 - 1 푎 + 1） ÷ 푎 푎2 ― 1 ，其中 a = 5 + 1． 【解答】解：(1 - 1 푎 + 1) ÷ 푎 푎2 ― 1 = 푎 + 1 ― 1 푎 + 1 × (푎 ― 1)(푎 + 1) 푎 ＝a﹣1， 把 a = 5 + 1 代入 a﹣1 = 5 + 1﹣1 = 5． 17．（9 分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台 分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分 装的标准质量为每袋 500g，与之相差大于 10g 为不合格．为检验分装效果，工厂对这两 台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下： [收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取 20 袋，测得实际质量（单位：g） 如下： 甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 [整理数据]整理以上数据，得到每袋质量 x（g）的频数分布表． 质量 485≤x＜ 490≤x＜ 495≤x＜ 500≤x＜ 505≤x＜ 510≤x＜ 第 16 页（共 26 页） 频数 机器 490 495 500 505 510 515 甲 2 2 4 7 4 1 乙 1 3 5 7 3 1 [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量． 统计量 机器 平均数 中位数 方差 不合格率 甲 499.7 501.5 42.01 b 乙 499.7 a 31.81 10% 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 a＝　501　，b＝　15%　； （2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由． 【解答】解：（1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是 501，因此 中位数是 501， b＝3➗20＝15%， 故答案为：501，15%； （2）选择乙机器，理由：乙的不合格率较小， 18．（9 分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文 化遗产之一． 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在 地面一条水平步道 MP 上架设测角仪，先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 22°， 然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处，测得点 A 的仰角为 45°．测角仪的高度为 1.6m． （1）求观星台最高点 A 距离地面的高度（结果精确到 0.1m．参考数据：sin22°≈0.37， cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， 2 ≈ 1.41）； 第 17 页（共 26 页） （2）“景点简介”显示，观星台的高度为 12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一 条减小误差的合理化建议． 【解答】解：（1）过 A 作 AD⊥PM 于 D，延长 BC 交 AD 于 E， 则四边形 BMNC，四边形 BMDE 是矩形， ∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m， ∵∠AED＝90°，∠ACE＝45°， ∴△ACE 是等腰直角三角形， ∴CE＝AE， 设 AE＝CE＝x， ∴BE＝16+x， ∵∠ABE＝22°， ∴tan22° = 퐴퐸 퐵퐸 = 푥 16 + 푥 = 0.40， ∴x≈10.7（m）， ∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m）， 答：观星台最高点 A 距离地面的高度约为 12.3m； （2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为 12.6m， ∴本次测量结果的误差为 12.6﹣12.3＝0.3m， 减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法． 19．（9 分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身 x（次），按照方案一所需费用为 y1（元），且 y1＝k1x+b；按照方案二 所需费用为 y2（元），且 y2＝k2x．其函数图象如图所示． （1）求 k1 和 b 的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和 k2 的值； 第 18 页（共 26 页） （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8 次，应选择哪种方案所需费用更少？ 说明理由． 【解答】解：（1）∵y1＝k1x+b 过点（0，30），（10，180）， ∴{b = 30 10푘1 + 푏 = 180，解得{k1 = 15 푏 = 30 ， k1＝15 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为 15 元， b＝30 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为 30 元； （2）由题意可得，打折前的每次健身费用为 15÷0.6＝25（元）， 则 k2＝25×0.8＝20； （3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x． 当健身 8 次时， 选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元）， 选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元）， ∵150＜160， ∴选择方案一所需费用更少． 20．（9 分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意 角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要， 发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图 1 是它的示意图，其中 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上，且 AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与 AC 垂直于点 B，DB 足够长． 第 19 页（共 26 页） 使用方法如图 2 所示，若要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使 DB 经过∠MEN 的顶点 E，点 A 落在边 EM 上，半圆 O 与另一边 EN 恰好相切，切点为 F，则 EB，EO 就把∠MEN 三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求 证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图 2，点 A，B，O，C 在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点 B，　AB＝OB，EN 切半圆 O 于 F　． 求证：　EB，EO 就把∠MEN 三等分　． 【解答】解：已知：如图 2，点 A，B，O，C 在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点 B，AB ＝OB，EN 切半圆 O 于 F． 求证：EB，EO 就把∠MEN 三等分， 证明：∵EB⊥AC， ∴∠ABE＝∠OBE＝90°， ∵AB＝OB，BE＝BE， ∴△ABE≌△OBE（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∵BE⊥OB， ∴BE 是⊙E 的切线， ∵EN 切半圆 O 于 F， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∴EB，EO 就把∠MEN 三等分． 故答案为：AB＝OB，EN 切半圆 O 于 F；EB，EO 就把∠MEN 三等分． 21．（10 分）如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OA 第 20 页（共 26 页） ＝OB，点 G 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点 G 的坐标； （2）点 M，N 为抛物线上两点（点 M 在点 N 的左侧），且到对称轴的距离分别为 3 个单 位长度和 5 个单位长度，点 Q 为抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N）的一个动点，求 点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线 y＝﹣x2+2x+c 与 y 轴正半轴分别交于点 B， ∴点 B（0，c）， ∵OA＝OB＝c， ∴点 A（c，0）， ∴0＝﹣c2+2c+c， ∴c＝3 或 0（舍去）， ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点 G 为（1，4）； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴对称轴为直线 x＝1， ∵点 M，N 为抛物线上两点（点 M 在点 N 的左侧），且到对称轴的距离分别为 3 个单位 长度和 5 个单位长度， ∴点 M 的横坐标为﹣2 或 4，点 N 的横坐标为 6， ∴点 M 坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点 N 坐标（6，﹣21）， ∵点 Q 为抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N）的一个动点， ∴﹣21≤yQ≤4 或﹣21≤yQ≤﹣5． 22．（10 分）小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，点 D 是BC上一动点，线段 BC＝8cm，点 A 是线段 BC 的中点，过点 C 作 CF∥ 第 21 页（共 26 页） BD，交 DA 的延长线于点 F．当△DCF 为等腰三角形时，求线段 BD 的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经 验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点 D 在BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 BD，CD，FD 的长度， 得到下表的几组对应值． BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①“当点 D 为BC的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中 a 的值是　5　； ②“线段 CF 的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由． （2）将线段 BD 的长度作为自变量 x，CD 和 FD 的长度都是 x 的函数，分别记为 yCD 和 yFD，并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yFD 的图象，如图所示．请在同一坐标系中 画出函数 yCD 的图象； （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF 为等腰 三角形时，线段 BD 长度的近似值（结果保留一位小数）． 第 22 页（共 26 页） 【解答】解：（1）∵点 D 为BC的中点， ∴BD = CD， ∴BD＝CD＝a＝5cm， 故答案为：5； （2）∵点 A 是线段 BC 的中点， ∴AB＝AC， ∵CF∥BD， ∴∠F＝∠BDA， 又∵∠BAD＝∠CAF， ∴△BAD≌△CAF（AAS）， ∴BD＝CF， ∴线段 CF 的长度无需测量即可得到； （3）由题意可得： （4）由题意画出函数 yCF 的图象； 由图象可得：BD＝3.8cm 或 5cm 或 6.2cm 时，△DCF 为等腰三角形． 23．（11 分）将正方形 ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB′，记旋转角为 α，连接 BB′， 第 23 页（共 26 页） 过点 D 作 DE 垂直于直线 BB′，垂足为点 E，连接 DB′，CE． （1）如图 1，当 α＝60°时，△DEB′的形状为　等腰直角三角形　，连接 BD，可求出 퐵퐵′ 퐶퐸 的值为　 2　； （2）当 0°＜α＜360°且 α≠90°时， ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图 2 的情形进行证明；如果不成 立，请说明理由； ②当以点 B′，E，C，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出퐵퐸 퐵′퐸的值． 【解答】解：（1）∵AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB′， ∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°， ∴△ABB'是等边三角形， ∴∠BB'A＝60°， ∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°， ∵AB'＝AB＝AD， ∴∠AB'D＝∠ADB'， ∴∠AB'D = 180° ― 30° 2 = 75°， ∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∵DE⊥B'E， ∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°， ∴△DEB'是等腰直角三角形． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BDC＝45°， ∴퐵퐷 퐷퐶 = 2， 第 24 页（共 26 页） 同理퐵′퐷 퐷퐸 = 2， ∴퐵퐷 퐷퐶 = 퐵′퐷 퐷퐸， ∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°， ∴BDB'＝∠EDC， ∴△BDB'∽△CDE， ∴퐵퐵′ 퐶퐸 = 퐵퐷 퐷퐶 = 2． 故答案为：等腰直角三角形，퐵퐵′ 퐶퐸 = 2． （2）①两结论仍然成立． 证明：连接 BD， ∵AB＝AB'，∠BAB'＝α， ∴∠AB'B＝90° - 훼 2， ∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'， ∴∠AB'D＝135° - 훼 2， ∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135° - 훼 2 ― (90° ― 훼 2) = 45°， ∵DE⊥BB'， ∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°， ∴△DEB'是等腰直角三角形， ∴퐷퐵′ 퐷퐸 = 2， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴퐵퐷 퐶퐷 = 2，∠BDC＝45°， ∴퐵퐷 퐶퐷 = 퐷퐵′ 퐷퐸， 第 25 页（共 26 页） ∵∠EDB'＝∠BDC， ∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB， 即∠B'DB＝∠EDC， ∴△B'DB∽△EDC， ∴퐵퐵′ 퐶퐸 = 퐵퐷 퐶퐷 = 2． ② 퐵퐸 퐵′퐸 = 3 或 1． 若 CD 为平行四边形的对角线， 点 B'在以 A 为圆心，AB 为半径的圆上，取 CD 的中点．连接 BO 交⊙A 于点 B'， 过点 D 作 DE⊥BB'交 BB'的延长线于点 E， 由（1）可知△B'ED 是等腰直角三角形， ∴B'D = 2B'E， 由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且 BB' = 2CE． ∴퐵퐸 퐵′퐸 = 퐵′퐵 + 퐵′퐸 퐵′퐸 = 퐵퐵′ 퐵′퐸 + 1 = 2퐶퐸 퐵′퐸 + 1 = 2퐵′퐷 퐵′퐸 + 1 = 2 × 2 + 1＝3． 若 CD 为平行四边形的一边，如图 3， 第 26 页（共 26 页） 点 E 与点 A 重合， ∴퐵퐸 퐵′퐸 = 1． 综合以上可得퐵퐸 퐵′퐸 = 3 或 1．