- 2021-05-10 发布 |
- 37.5 KB |
- 33页
申明敬告： 本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
二次函数难题压轴题中考精选一
二次函数压轴题精选 1．如图，二次函数 的图象经过点 D ，与 x 轴交于 A、B 两点． ⑴求 的值； ⑵如图①，设点 C 为该二次函数的图象在 x 轴上方的一点，直线 AC 将四边形 ABCD 的面积二等分， 试证明线段 BD 被直线 AC 平分，并求此时直线 AC 的函数解析式； ⑶设点 P、Q 为该二次函数的图象在 x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点 P、Q，使△AQP ≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 2．（2010 福建福州）如图，在△ABC 中，∠C＝45°，BC＝10，高 AD＝8，矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上，E、F 两点分别在 AB、AC 上，AD 交 EF 于点 H． （1）求证： AH AD＝ EF BC； （2）设 EF＝x，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大?并求其最大值； （3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 QC 匀速运动(当点 Q 与点 C 重合时停止运动)，设运动时间为 t 秒，矩形 EFFQ 与△ABC 重叠部分的面 积为 S，求 S 与 t 的函数关系式． 3．（2010 福建福州）如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 在直线 y＝2x 上，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 A，OA＝5．若抛物线 y＝ 1 6x2＋bx＋c 过 O、A 两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）若 A 点关于直线 y＝2x 的对称点为 C，判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图 2，在（2）的条件下，⊙O1 是以 BC 为直径的圆．过原点 O 作⊙O1 的切线 OP，P 为切点(点 P 与点 C 不重合)．抛物线上是否存在点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与⊙O1 相切?若存在，求出点 Q 的横坐标； 若不存在，请说明理由 cxy +−= 2 2 1 − 2 9,3 c x=4 x y ED C BA O 4．（2010 江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC= ．设直线 AC 与直线 x=4 交于点 E． （1）求以直线 x=4 为对称轴，且过 C 与原点 O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点 E； （2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 N，M 是该抛物线上位于 C、N 之间的一动点，求△CMN 面 积的最大值． 5．（2010 湖南邵阳）如图，抛物线 y＝ 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，顶点为点 D，对称轴 l 与直线 BC 相交于点 E，与 x 轴交于点 F。 （1）求直线 BC 的解析式； （2）设点 P 为该抛物线上的一个动点，以点 P 为圆心，r 为半径作⊙P。 ①当点 P 运动到点 D 时，若⊙P 与直线 BC 相交 ，求 r 的取值范围； ②若 r= ，是否存在点 P 使⊙P 与直线 BC 相切，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由． 2 3 21 34 x x− + + 4 5 5 (图 1) (图 2) x y O Q P D B C A 6．（2010 年上海）如图 8，已知平面直角坐标系 xOy，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 过点 A(4,0)、B(1,3) . （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线 l，设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限，点 P 关于直线 l 的对称点为 E， 点 E 关于 y 轴的对称点为 F，若四边形 OAPF 的面积为 20，求 m、n 的值. 7．（重庆綦江县）已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点 B（12,0）和 C（0，－6），与 x 轴的另 一个交点是 A，对称轴为 x＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）点 D 在线段 AB 上且 AD＝AC，若动点 P 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动， 同时另一动点 Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间 t（秒）和点 Q 的运动速度；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，直线 x＝1 上是否存在点 M 使，△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点 M 的坐标，若不存在，请说明理由． 8．（2010 山东临沂）如图，二次函数 的图象与 轴交于 , 两点，且与 轴交于点 . （1）求该抛物线的解析式，并判断 的形状； （2）在 轴上方的抛物线上有一点 ,且以 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 点的坐标； 2y x ax b= + + x 1( ,0)2A − (2,0)B y C ABC∆ x D A C D B、 、 、 D 第 8 题图 （3）在此抛物线上是否存在点 ,使得以 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由 .9．（2010 四川宜宾）将直角边长为 6 的等腰 Rt△AOC 放在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 C、 A 分别在 x、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A、C 及点 B(–3，0)． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E，连接 AP，当 △APE 的面积最大时，求点 P 的坐标； (3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点 G，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最 大面积相等?若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2010 山东省 ） (已知二次函数 的图象经过点 A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)． (1)求此函数的解析式及图象的对称轴； (2)点 P 从 B 点出发以每秒 0.1 个单位的速度沿线段 BC 向 C 点运动，点 Q 从 O 点出发以相同的速度沿线 段 OA 向 A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为 t 秒． ①当 t 为何值时，四边形 ABPQ 为等腰梯形； ②设 PQ 与对称轴的交点为 M，过 M 点作 x 轴的平行线交 AB 于点 N，设四边形 ANPQ 的面积为 S，求面 积 S 关于时间 t 的函数解析式，并指出 t 的取值范围；当 t 为何值时， S 有最大值或最小值． P A C B P、 、 、 P cbxaxy ++= 2 x y O A BC P Q M N 第 10 题图 （第 24 题图） x y O A C B D E F 11．（2010 山东 ）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于 两 点，交 轴于点 . （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴与直线 交于点 D，作⊙D 与 x 轴相切，⊙D 交 轴于点 E、F 两点，求 劣弧 EF 的长； （3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的位置，使得△ PGA 的面积被直线 AC 分为 1︰2 两部分. 12．（2010 福建 ）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点 E、F 同 时从 B 点出发，沿射线 BC 向右匀速移动.已知 F 点移动速度是 E 点移动速度的 2 倍，以 EF 为一边在 CB 的 上方作等边△EFG．设 E 点移动距离为 x（x＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有 x 的代数式表示），当 x＝2 时，点 G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形 ABCD 重叠部分面积是 y，求 ①当 0＜x≤2 时，y 与 x 之间的函数关系式； ②当 2＜x≤6 时，y 与 x 之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数 y 在 x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值. cbxaxy ++= 2 x )0,6(),0,2( BA y )32,0(C xy 2= y x B E→ F→ C A D G x y DACO P 16．（2010 江西）如图，已知经过原点的抛物线 y=-2x2+4x 与 x 轴的另一交点为 A，现将它向右平移 m(m>0) 个单位，所得抛物线与 x 轴交与 C、D 两点，与原抛物线交与点 P. （1）求点 A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状（不要求说理） （2）在 x 轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含 m 的式子表 示）；若不存在，请说明理由； （3）△CDP 的面积为 S，求 S 关于 m 的关系式。 17．（2010 武汉 ）如图 1，抛物线 经过点 A（－1，0），C（0， ）两点，且与 x 轴 的另一交点为点 B． （1）求抛物线解析式； （2）若抛物线的顶点为点 M，点 P 为线段 AB 上一动点（不与 B 重合），Q 在线 段 MB 上移动，且∠MPQ=45°，设 OP=x，MQ= ，求 于 x 的函数关系式，并且直接写出自变量 的取值范围； （3）如图 2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线 x=m，x=n 分别与抛物线交于 E、G 两点，与（2） 中的函数图像交于 F、H 两点，问四边形 EFHG 能否为平行四边形？若能，求出 m、n 之间的数量关系； 若不能，请说明理由． baxaxy +−= 22 1 2 3 22 2 y 2y 图 1 图 2 D G H 18．（2010 四川 ）如图 12 已知△ABC 中，∠ACB＝90°以 AB 所在直线为 x 轴，过 c 点的直线为 y 轴 建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一 1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ） （1）试求点 C 的坐标 （2）若抛物线 过△ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式． （3）点 D（ 1，m ）在抛物线上，过点 A 的直线 y=－x－1 交（2）中的抛物线于点 E，那么在 x 轴上 点 B 的左侧是否存在点 P，使以 P、B、D 为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出 P 点坐标；若不 存在，说明理由。 19．（2010 浙江 ）如图，已知在直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，OA ＝AB＝2，OC＝3，过点 B 作 BD⊥BC，交 OA 于点 D，将∠DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴于 E 和 F． （1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式； （2）当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长； （3）连接 EF，设△BEF 与△BFC 的面积之差为 S，问：当 CF 为何值时 S 最小，并求出这个最小值. ． 20．（2010 江苏 ）如图，已知二次函数 的图像与 轴相交于点 A、C，与 轴相较于点 B，A（ ），且△AOB∽△BOC。 （1）求 C 点坐标、∠ABC 的度数及二次函数 的关系是； 2y ax bx c= + + 2 3y ax bx= + + x y 9 ,04 − 2 3y ax bx= + + （2）在线段 AC 上是否存在点 M（ ）。使得以线段 BM 为直径的圆与边 BC 交于 P 点（与点 B 不同）， 且以点 P、C、O 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 21．（2010 江苏 ）如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6，点 P、Q 分别是 AB 边和 CD 边上的动点，点 P 从点 A 向点 B 运动，点 Q 从点 C 向点 D 运动，且保持 AP-CQ。设 AP= （1）当 PQ∥AD 时，求 的值； （2）当线段 PQ 的垂直平分线与 BC 边相交时，求 的取值范围； （3）当线段 PQ 的垂直平分线与 BC 相交时，设交点为 E，连接 EP、EQ，设△EPQ 的面积为 S，求 S 关 于 的函数关系式，并写出 S 的取值范围。 22．（2010 山东滨州）如图，四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是 ，以点 C 为顶点的抛物线 恰好经过 轴上 A、B 两点． (1)求 A、B、C 三点的坐标； (2) 求经过 A、B、C 三点的的抛物线的解析式； (3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过 D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少 各单位？ ,0m m x x x x )3,0( cbxaxy ++= 2 x 23．（2010 湖北荆门）已知一次函数 y＝ 的图象与 x 轴交于点 A．与 轴交于点 ；二次函数 图象与一次函数 y＝ 的图象交于 、 两点，与 轴交于 、 两点且 点的 坐标为 （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形 BDEF 的面积 S； （3）在 轴上是否存在点 P，使得△ 是以 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 ， 若不存在，请说明理由。 25．（2010 四川成都）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，若将经过 两点的直线 沿 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线 ． （1）求直线 及抛物线的函数表达式； （ 2 ） 如 果 P 是 线 段 上 一 点 ， 设 、 的 面 积 分 别 为 、 ， 且 ，求点 P 的坐标； （3）设⊙Q 的半径为 l，圆心 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q 与坐标轴相切的情况？ 若存在，求出圆心 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设 ⊙Q 的半径为 ，圆心 在抛物线上运动，则当 取何值时，⊙Q 与 两坐轴同时相切？ 12 1 +x y B cbxxy ++= 2 2 1 12 1 +x B C x D E D )0,1( x PBC P P xOy 2y ax bx c= + + x A B、 A B y C A ( 3 0)− ， A C、 y kx b= + y 2x = − AC AC ABP∆ BPC∆ ABPS∆ BPCS∆ : 2:3ABP BPCS S∆ ∆ = Q Q r Q r 26．（2010 山东潍坊）如图所示，抛物线与 x 轴交于 A（－1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于 C（0，－ 3）．以 AB 为直径做⊙M，过抛物线上的一点 P 作⊙M 的切线 PD，切点为 D，并与⊙M 的切线 AE 相 交于点 E．连接 DM 并延长交⊙M 于点 N，连接 AN． （1）求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标； （2）若四边形 EAMD 的面积为 4 ，求直线 PD 的函数关系式； （3）抛物线上是否存在点 P，使得四边形 EAMD 的面积等于△DAN 的面积？若存在，求出点 P 的坐标， 若不存在，说明理由． 3 第二部分：答案 1．【答案】⑴ ∵抛物线经过点 D( ) ∴ ∴c=6. ⑵过点 D、B 点分别作 AC 的垂线，垂足分别为 E、F，设 AC 与 BD 交点为 M， ∵AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF 又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE ∴△DEM≌△BFM ∴DM=BM 即 AC 平分 BD ∵c=6. ∵抛物线为 ∴A（ ）、B（ ） ∵M 是 BD 的中点 ∴M（ ） 设 AC 的解析式为 y=kx+b，经过 A、M 点 解得 直线 AC 的解析式为 . ⑶存在．设抛物线顶点为 N(0，6)，在 Rt△AQN 中，易得 AN= ，于是以 A 点为圆心，AB= 为半径 作圆与抛物线在 x 上方一定有交点 Q，连接 AQ，再作∠QAB 平分线 AP 交抛物线于 P，连接 BP、PQ，此 时由“边角边”易得△AQP≌△ABP． 2．【答案】解：（1）∵ 四边形 EFPQ 是矩形，∴ EF∥QP． ∴ △AEF∽△ABC． 又∵ AD⊥BC， ∴ AH⊥EF． ∴ AH AD＝EF BC （2）由（1）得 AH 8 ＝ x 10． AH＝ 4 5x． ∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－4 5x， ∴ S 矩形 EFPQ＝EF·EQ＝x (8－4 5x) ＝－4 5x2＋8 x＝－4 5（x－5）2＋20． 2 9,3− 2 9)3(2 1 2 =+−×− c 62 1 2 +−= xy 0,32− 0,32 4 9,2 3 ∴ =+ =+− 4 9 2 3 032 bk bk = = 5 9 10 33 b k ∴ 5 9 10 33 += xy 4 3 4 3 ∵ －4 5＜0， ∴ 当 x＝5 时，S 矩形 EFPQ 有最大值，最大值为 20． （3）如图 1，由（2）得 EF＝5，EQ＝4． ∴ ∠C＝45°， ∴ △FPC 是等腰直角三角形． ∴ PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9． 分三种情况讨论： ① 如图 2．当 0≤t＜4 时， 设 EF、PF 分别交 AC 于点 M、N，则△MFN 是等腰直角三角形．∴ FN＝MF＝t． ∴S＝S 矩形 EFPQ－SRt△MFN=20－1 2t2＝－1 2t2＋20； ②如图 3，当 4≤t<5 时，则 ME＝5－t，QC＝9－t． ∴ S＝S 梯形 EMCQ＝ 1 2[（5－t）＋（9－t ）]×4＝－4t＋28； ③如图 4，当 5≤t≤9 时，设 EQ 交 AC 于点 K，则 KQ=QC＝9－t． ∴ S＝S△KQC= 1 2 (9－t)2＝ 1 2( t－9)2． 图 2 图 3 图 4 综上所述：S 与 t 的函数关系式为： S= 3．【答案】解：（1）把 O（0，0）、A（5，0)分别代入 y＝ 1 6x2＋bx＋c， 得 解得 图 1 2 2 1 20 4)2 4 28 5) 1 ( 9) 9)2 t t t t t t − + < − − < − < (0 ， （4 ， （5 ． ≤ ≤ ≤ 0 25 5 0.6 c b c = + + = ， 5 ,6 0. b c = − = ∴ 该抛物线的解析式为 y＝ 1 6x2－ 5 6x． （2）点 C 在该抛物线上． 理由：过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，连结 OC，设 AC 交 OB 于点 E． ∵ 点 B 在直线 y＝2x 上， ∴ B(5，10) ∵ 点 A、C 关于直线 y＝2x 对称， ∴ OB⊥AC，CE＝AE，BC⊥OC，OC＝OA＝5，BC＝BA＝10． 又∵ AB⊥x 轴，由勾股定理得 OB＝5 5． ∵ SRt△OAB＝ 1 2AE·OB＝ 1 2OA·AB， ∴ AE＝2 5， ∴ AC＝4 5． ∵ ∠OBA 十∠CAB＝90°，∠CAD＋∠CAB＝90°， ∴ ∠CAD＝∠OBA． 又∵ ∠CDA＝∠OAB＝90°， ∴ △CDA∽△OAB． ∴ CD OA＝ AD AB＝ AC OB ∴ CD＝4，AD＝8 ∴ C（－3，4） 当 x＝－3 时，y＝1 6×9－5 6×(－3)＝4． ∴ 点 C 在抛物线 y＝ 1 6x2－ 5 6x 上． （3）抛物线上存在点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与⊙O1 相切． 过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，连结 O1P，过点 O1 作 O1H⊥x 轴于点 H． ∴ CD∥O1H∥BA． ∵ C(－3，4)，B(5，10)， ∴ O1 是 BC 的中点． ∴ 由平行线分线段成比例定理得 AH＝DH＝ 1 2AD＝4， ∴ OH＝OA－AH＝1．同理可得 O1H＝7． ∴ 点 O1 的坐标为(1，7)． ∵ BC⊥OC， ∴ OC 为⊙O1 的切线． 又∵OP 为⊙O1 的切线， ∴ OC＝OP＝O1C＝O1P＝5． ∴ 四边形 OPO1C 为正方形． ∴ ∠COP＝900． ∴ ∠POF＝∠OCD． 又∵∠PFD＝∠ODC＝90°， ∴ △POF≌△OCD． ∴ OF＝CD，PF＝OD． ∴ P(4，3)． 设直线 O1P 的解析式为 y＝kx+B(k≠0)． 把 O1(1，7)、P(4，3)分别代人 y＝kx+B， 得 解得 ∴ 直线 O1P 的解析式为 y＝－ 4 3x＋ 25 3 ． 若以 PQ 为直径的圆与⊙O1 相切，则点 Q 为直线 O1P 与抛物 线的交点，可设点 Q 的坐标为(m，n)，则有 n＝－ 4 3m＋ 25 3 ，n＝ 1 6m2－ 5 6M ∴ － 4 3m＋ 25 3 ＝ 1 6m2－ 5 6M．整理得 m2＋3m－50＝0， 解得 m＝ －3 ± 2 7 4 3 k b k b + = + = ， ． 4 3 25 3 k b = − = ， ． 第 3 题图 ∴ 点 Q 的横坐标为 －3＋ 2 或 －3－ 2 ． 4．【答案】解：（1）点C 的坐标 ．设抛物线的函数关系式为 ， 则 ，解得 ∴所求抛物线的函数关系式为 …………① 设直线 AC 的函数关系式为 则 ，解得 ． ∴直线 AC 的函数关系式为 ，∴点 E 的坐标为 把 x=4 代入①式，得 ，∴此抛物线过 E 点． （2）（1）中抛物线与 x 轴的另一个交点为 N（8，0），设 M（x，y），过 M 作 MG⊥x 轴于 G，则 S△CMN=S △MNG+S 梯形 MGBC—S△CBN= = = ∴当 x=5 时，S△CMN 有最大值 5．【答案】解（1）令 y=0，求得 A 点坐标为（－2，0），B 点坐标为（6，0）； 令 x＝0，求得 C 点的坐标为（0，3） 设 BC 直线为 y＝kx＋b，把 B、C 点的坐标代入得： 解得 k＝ ，b=3 故 BC 的解析式为：y= x＋3 （2）①过点 D（2，4）作 DG⊥BC 于点 G，因为抛物线的对称轴是直线 x=2，所以点 E 的坐标为（2， 2），所以有 EF＝2，FB＝4，EB＝2 ，DE＝2，从图中可知， ，所以有： 解得 DG＝ 故当 r＞ ，点 P 运动到点 D 时，⊙P 与直线 BC 相交 ( 2, 2 3) 2( 4)y a x m= − + 16 0 4 2 3 a m a m + = + = 3 8 3, . 6 3 a m= − = 23 8 3( 4) 6 3 y x= − − + ,y kx b= + 4 0 2 2 3 k b k b − + = + = 3 4 3, 3 3 k b= = 3 4 3 3 3 y x= + 8 3(4, )3 23 8 3 8 3(4 4)6 3 3y = − − + = 1 1 1(8 ) ( 2 3)( 2) (8 2) 2 3 2 2 2 x y y x− + + − − × − × 2 23 4 3 33 3 8 3 3( ) 3 8 3 5 3 8 3 6 3 2 y x x x x x x+ − = − + + − = − + − 23 9 3( 5) , 2 2 x− − + 9 3 2 6 0 3 k b b + = = 1 2 − 1 2 − 5 Rt DEG Rt BEF =DE DG EB FB 4 5 5 4 5 5 ②由①知，直线 BC 上方的点 D 符合要求。设过点 D 并与直线 BC 平行的直线为 y＝ x＋n，把点 D 的坐标代入，求得 n＝5，所以联立： 解得两点（2，4）为 D 点，（4，3）也符合条 件。 设在直线 BC 下方到直线 BC 的距离为 的直线 m 与 x 轴交于点 M，过点 M 作 MN⊥BC 于点 N，所以 MN= ，又 tan∠NBM＝ 所以 NB= ，BM＝4，所以点 M 与点 F 重合。设直线 m 为 y= x＋b 把点 F 的坐标，代入得：0＝ ×2＋b 得 b=1，所以直线 m 的解析式为：y＝ ｘ+１ 联立方程组： 解得：ｘ＝ 所以适合要求的点还有两点即（3－ ， ）与（3＋ ， ） 故当 r= ，存在点 P 使⊙P 与直线 BC 相切，符合条件的点 P 有四个，即是 D（2，4），（4，3） 和（3－ ， ），（3＋ ， ）的坐标． 1 2 − 21 34 1 52 y x x y x = − + + = − + 4 5 5 4 5 5 = 1 2 OC OB 8 5 5 1 2 − 1 2 − 1 2 − 21 34 1 12 y x x y x = − + + = − + 3 17± 17 1 17 2 − + 17 1 17 2 − − 4 5 5 17 1 17 2 − + 17 1 17 2 − − 6．【答案】解：(1) 抛物线 y＝－x2＋bx＋c 过点 A(4,0)B(1,3).∴ ∴ ， ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 （2）∵直线 EP∥OA,E 与 P 两点关于直线 对称，∴OE=AP,∴梯形 OEPA 为等腰梯形， ∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF, ∴∠OEP=∠AFE,∴∠OFP=∠APE,∴OF∥AP, ∴四边形 OAPF 为平行四边形，∵四边形 OAPF 的面积为 20，∴ ， ∴ ，∴ . 7．【答案】解：（1）方法一：∵抛物线过点 C（0，－6） ∴c＝－6，即 y＝ax2 ＋bx－6 由 解得： ， ∴该抛物线的解析式为 方法二：∵A、B 关于 x＝2 对称 ∴A（－8，0） 设 C 在抛物线上，∴－6＝a×8× ，即 a＝ ∴该抛物线解析式为： （2）存在，设直线 CD 垂直平分 PQ， 在 Rt△AOC 中，AC＝ ＝10＝AD ∴点 D 在抛物线的对称轴上，连结 DQ，如图： 显然∠PDC＝∠QDC， 由已知∠PDC＝∠ACD ∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC DB＝AB－AD＝20－10＝10 ∴DQ 为△ABC 的中位线 x y O Q P D B C A 16 4 0 4, ,1 3 0 b c b b c c − + + = = − + + = = 2 4y x x= − + 2( 2) 4y x= − − + 2x = (2,4) 2x = 24( 4 ) 20m m− = 1 21( 5m m= − =舍） 5n = − 2,2 144 12 6 0 b a a b − = + − = 1 16a = 1 4b = − 21 1 616 4y x x= − − ( 8)( 12)y a x x＝ ＋ － ( 12)− 1 16 21 1 616 4y x x= − − 2 28 6+ ∴DQ＝ AC＝5 AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5 ∴t＝5÷1＝5（秒） ∴存在 t＝5（秒）时，线段 PQ 被直线 CD 垂直平分 在 Rt△BOC 中，BC＝ ＝ ∴CQ＝ ∴点 Q 的运动速度为每秒 单位长度． （3）存在．如图， 过点 Q 作 QH⊥x 轴于 H，则 QH＝3，PH＝9 在 Rt△PQH 中，PQ＝ ＝ ①当 MP＝MQ，即 M 为顶点， 设直线 CD 的直线方程为 y＝kx＋b（k≠0），则： ，解得： ∴y＝3x－6 当 x＝1 时，y＝－3 ∴M1(1，－3) ②当 PQ 为等腰△MPQ 的腰时，且 P 为顶点， 设直线 x＝1 上存在点 M（1，y），由勾股定理得： 42＋y2＝90，即 y＝± ∴M2（1， ）；M3（1，－ ） ③当 PQ 为等腰△MPQ 的腰时，且 Q 为顶点． 过点 Q 作 QE⊥y 轴于 E，交直线 x＝1 于 F，则 F（1，－3） 设直线 x＝1 存在点 M（1，y）由勾股定理得： ，即 y＝－3± M5 M3 M4 M2 M1 F H E x y O Q P D B C A 1 2 2 26 12+ 6 5 3 5 3 55 2 29 3+ 3 10 6 0 2 b k b − = = + 3 6 k b = = − 74 74 74 2 2( 3) 5 90y + + = 65 ∴M4（1，－3＋ ）；M5（1，－3－ ） 综上所述，存在这样的五个点：M1(1，－3)；M2（1， ）；M3（1，－ ）；M4（1，－3＋ ）；M5 （1，－3－ ） 8． 【答案】解：根据题意，将 A（ ,0）,B（2,0）代入 y=-x2+ax+b 中， 得 解这个方程，得 所以抛物线的解析式为 y=-x2+ x+1. 当 x=0 时，y=1.所以点 C 的坐标为（0，1）。 所以在△AOC 中，AC= = . 在△BOC 中，BC= = . AB=OA+OB= . 因为 AC2+BC2= . 所以△ABC 是直角三角形。 （2）点 D 的坐标是 . （3）存在。 由（1）知，AC⊥BC, . ① 若以 BC 为底边，则 BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线 BC 的解析式为 直线 AP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直线 AP 的解析式为 ， 将 A（ ,0）代入直线 AP 的解析式求得 b= ,所以直线 AP 的解析式为 . 因为点 P 既在抛物线上，又在直线 AP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即-x2+ x+1= . 解得 （不合题意，舍去）. 65 65 74 74 65 65 1 2 − 1 1 0,4 2 4 2 0. a b a b − − + = − + + = 3 ,2 1. a b = = 3 2 2 2OA OC+ 5 2 2 2OB OC+ 5 1 522 2 + = 21 2524 4 AB+ = = 3 ,12 1 12y x= − + 1 2y x b= − + 1 2 − 1 4 − 1 1 2 4y x= − − 3 2 1 1 2 4x− − 1 2 5 1 2 2x x= = − 图 1 当 x= 时，y= . 所以点 P 的坐标为（ ， ）. ②若以 AC 为底边，则 BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线 AC 的解析式为 . 直线 BP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直线 BP 的解析式为 ， 将 B（2,0）代入直线 BP 的解析式求得 b=-4,所以直线 BP 的 解析式为 y=2x-4. 因为点 P 既在抛物线上，又在直线 BP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即-x2+ x+1=2x-4 解得 （不合题意，舍去）. 当 x=- 时，y=-9. 所以点 P 的坐标为（- ，-9）. 综上所述，满足题目的点 P 的坐标为（ ， ）或（- ，-9） .9．【答案】解：（1）由题意知：A（0，6），C（6，0）， 设经过点 A、B、C 的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c 则： 解得： ∴该抛物线的解析式为 （2）如图：设点 P（x，0）， ∵PE∥AB，∴△CPE∽△ABC， ∴ 又∵S△ABC= BC×OA=27 ∴ 5 2 3 2 − 5 2 3 2 − 2 1y x= + 2y x b= + 3 2 1 2 5 , 22x x= − = 5 2 5 2 5 2 3 2 − 5 2 ++= +−= = cba cba c 6360 390 6 = = −= 6 1 3 1 c b a 63 1 2 ++−= xxy 2 ABC CPE )BC CP S （ △ △ =S 2 1 2CPE )9 x-6 27 （△ =S 图 2 y xCB O A 9 题图 ∴S△CPE= = S△ABP＝ BP×OA=3x+9 设△APE 的面积为 S 则 S= S△ABC—S△ABP—S△CPE= 当 x= 时，S 最大值为 ∴点 P 的坐标为（ ，0） （3）假设存在点 G（x，y），使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最大面积相等． 在（2）中，△APE 的最大面积为 ，过点 G 做 GF 垂直 y 轴与点 F． ①当 y＞6 时，S△AGC=S 梯形 GFOC—S△GFA—S△AOC= （x+6）y— x（y-6）— ×6×6 =3x+3y-18 即 3x+3y-18= ， 又∵点 G 在抛物线上， ， ∴3x+3 -18= 解得： ，当 x= 时，y= ，当 x= 时，y= ． 又∵y＞6，∴ 3 )6( 2x− 1243 1 2 +− xx 2 1 4 27)2 3(3 163 1 22 +−−=++− xxx 2 3 4 27 2 3 4 27 2 1 2 1 2 1 4 27 63 1 2 ++−= xxy )63 1( 2 ++− xx 4 27 2 3,2 9 21 == xx 2 9 4 15 2 3 4 27 点 G 的坐标为（ ， ） ②当 y＜6 时，如图： S△AGC=S△GAF+S 梯形 GFOC—S△AOC= x（6—y）+ -18=3x+3y-18 即 3x+3y-18= ， 又∵点 G 在抛物线上， ， ∴3x+3 -18= 解得： ，当 x= 时，y= ，当 x= 时，y= ． 又因为 y＜6，所以点 G 的坐标为（ ， ）． 综和①②所述，点 G 的坐标为（ ， ）和（ ， ）． （3）解法 2：可以向 x 轴作垂线，构成了如此下图的图形: 则阴影部分的面积等于 S△AGC=S△GCF+S 梯形 AGFO—S△AOC 2 3 4 27 2 1 )6(2 1 +xy 4 27 63 1 2 ++−= xxy )63 1( 2 ++− xx 4 27 2 3,2 9 21 == xx 2 9 4 15 2 3 4 27 2 9 4 15 2 3 4 27 2 9 4 15 下面的求解过程略．这样作可以避免了分类讨论． 12．【答案】解：(1)∵二次函数 的图象经过点 C(0，-3)， ∴c =-3． 将点 A(3，0)，B(2，-3)代入 得 解得：a=1，b=-2． ∴ ． 配方得： ，所以对称轴为 x=1． (2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t． ∵点 B，点 C 的纵坐标相等， ∴BC∥OA． 过点 B，点 P 作 BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为 D，E． 要使四边形 ABPQ 为等腰梯形，只需 PQ=AB． 即 QE=AD=1． 又 QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t， ∴2-0.2t=1． 解得 t=5． 即 t=5 秒时，四边形 ABPQ 为等腰梯形． ②设对称轴与 BC，x 轴的交点分别为 F，G． ∵对称轴 x=1 是线段 BC 的垂直平分线， ∴BF=CF=OG=1． 又∵BP=OQ， cbxaxy ++= 2 cbxaxy ++= 2 −+=− −+= .3243 3390 ba ba ， 322 −−= xxy 41 2 −−= ）（xy x y O A BC P Q DE G M N F x y O A C B D E F P G N M ∴PF=QG． 又∵∠PMF=∠QMG， ∴△MFP≌△MGQ． ∴MF=MG． ∴点 M 为 FG 的中点 ∴S= ， = ． 由 = ． ． ∴S= ． 又 BC=2，OA=3， ∴点 P 运动到点 C 时停止运动，需要 20 秒． ∴0查看更多