2020-2021年中考数学重难题型突破：规律探究

2020-2021年中考数学重难题型突破：规律探究

‎2020-2021年中考数学重难题型突破：规律探究 ‎“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。因此规律探究类问题一直成为命题的热点。‎ ‎1、规律探索型问题的特点：基础知识广、形式灵活善变、思维量大、解法多样化 ‎2、基本题型：数式规律、图形规律、数形结合规律等。多以填空题和选择题出现，近几年，解答题的规律探究题型开始增多。‎ ‎3、规律探究类问题架构：‎ 模块一 一阶等差规律探究 ‎ ‎ 规律探究——第一次做差为常数 题组一 一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项 公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。‎ ‎1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。‎ ‎2、一阶等差的实质：‎ ‎ ‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎……‎ 通过观察图形可知：后一幅图形比前一幅图形多了一个 ‎ ‎ 在每一幅图形中，找出个数，把图形按规律表示如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由一阶等差的实质可得规律为：。为求出的不变差，的求解可带第一组值求解。‎ ‎3、首差法通项公式（通法）‎ ‎（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为以此第个数记为 ‎（2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为，即后项—前项 ‎（3）则该类型的规律为：任意的第项满足：‎ ‎（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点，设通项公式为：，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；‎ ‎ ‎ ‎ 例1 如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要　　　　枚棋子．‎ ‎【规范答题】‎ 法一：套通项公式。有图可得数据 做差，，，带入公式，得到：。‎ 法二：用一阶等差实质进行分析。根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个．‎ 第2个图案中棋子的个数个．．‎ 每个图形都比前一个图形多用6个．第30个图案中棋子的个数为个．故答案为：179．‎ ‎ 例2 观察下列数：，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【规范答题】‎ 法一：观察分析。 ，，，，，‎ 由上可知，第个数是．故选：．‎ 法二：赋值思想。令，A．，A错；B．，B错；‎ C． ，C对； D．，D错。‎ ‎ 1 给定一列按规律排列的数：1，，，，，则第个数为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】由已知观察，分母是自然数1，2，3，，的平方，分子是正奇数，则第个数是，故选：．‎ ‎ 2 已知下列一组数：1，，，，，；用代数式表示第个数，则第个数是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】；；；第个数是：故选：．‎ ‎ 3 按一定规律排列的一列数依次是、1、、、、按此规律，这列数中第100个数是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】由、、、、、、可得第个数为．，第100个数为：‎ 故选：．‎ ‎ 4 如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，，则第个图案中有　　　根小棒．‎ ‎【解答】第1个图案中有根小棒，第2个图案中有根小棒，‎ 第3个图案中有根小棒，‎ 第个图案中有根小棒．故答案为：．‎ ‎ 5 如图是用棋子摆成的“小屋”，按照这样的方式摆下去，第6个这样的“小屋”需要　　　　枚棋子．‎ ‎【解答】第1个“小屋”，下边正方形棋子，上边1枚，共，‎ 第2个“小屋”，下边正方形棋子，上边3枚，共，‎ 第3个“小屋”，下边正方形棋子，上边5枚，共，，‎ 第个“小屋”，下边正方形棋子，上边枚，共，‎ 当时，．故答案为：35．‎ ‎ 6 用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第个图形需要棋子 ‎　　　　　枚．（用含的代数式表示）‎ ‎【解答】第一个图需棋子；第二个图需棋子；第三个图需棋子；‎ 第个图需棋子枚．故答案为：．‎ ‎ 7 如图所示，是一个水平摆放的小正方体木块，图（1）、（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第个叠放的图形中，最下面一层小正方体木块总数应是　　　　．‎ ‎【解答】观察图形知：第1个图形中最下面一层的小正方体的个数为个；‎ 第2个图形中最下面一层的小正方体的个数为个；‎ 第3个图形中最下面一层的小正方体的个数为个；‎ 第个图形中最下面一层的小正方体的个数为个；故答案为：‎ ‎ 8 下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第个图形中★的个数为　　　　．为正整数）‎ ‎【解答】第一个图形有个，第二个图形有个，第三个图形有个，第四个图形有 ‎ 个，，第个图形共有：．故答案为：．‎ ‎ 9 用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星　　　　　　个．‎ ‎【解答】当为奇数时：通过观察发现每一个图形的每一行有个，故共有个；‎ 当为偶数时，中间一行有个，故共有个．所以当时，共有个．‎ 模块二 二阶等差规律探究 ‎ ‎ 规律探究——再差为常数 题组一 再差为常数涉及二次项，通过观察数据很难观察出通项公式是多少，需要利用一定的数据分析方法转化。‎ ‎1、再差法通项公式 ‎（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为以此第个记为 ‎（2）对数据求差，第一次做差的第一个结果记为，二次差的结果为一个固定常数，记为；‎ ‎（3）则该类型的规律为：任意的第项满足：‎ ‎（4）若记不住公式，可设为：，代入开始的3组数据，即可得到通项公式。‎ ‎ 例3 将半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆， 第2个图形有10个小圆， 第3个图形有16个小圆， 第4个图形有24个小圆， ……，依次规律，第6个图形有　　　　个小圆．‎ ‎【规范答题】‎ 法一：通项公式法。有图可得数据 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎24‎ 第二次做差得常数，第一次做差的第一个数带入公式计算，得到：‎ ‎。‎ 法一：二次函数法。设：，代入、、‎ ‎ 得：，解方程组，得，所以，‎ ‎ 10 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子，，按照这样的规律摆下去，第是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是　　　　（用含的代数式表示）．‎ ‎【解答】结合图形，发现：第1个图形中的棋子数是（个；第2个图形中的棋子数是（个；第3个图形中的棋子数是（个，以此类推，发现：第是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是（个．‎ ‎ 11 观察下列砌钢管的横截面图，则第个图的钢管数是　　　　（用含的式子表示）‎ ‎【解答】第一个图中钢管数为；第二个图中钢管数为；‎ 第三个图中钢管数为；第四个图中钢管数为，‎ 依此类推，第个图中钢管数为，‎ 故答案为：．‎ ‎ 12 如图是由火柴棒搭成的几何图案， 则第个图案中有　　　　根火柴棒。（用含的代数式表示）‎ ‎【解答】依题意得：，根数为：；，根数为：；‎ ‎，根数为：；时， 根数为：．故答案为：．‎ ‎ 13 将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第　　　行左起第　　　个数．‎ ‎【解答】由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，，则第行个数，‎ 故前个数字的个数为：，当时，前63行共有个数 字，，在第64行左起第4个数，故答案为：64，4．‎ ‎ 14 按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是　　　　　．‎ ‎【解答】第1个图案只有1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共，其中黑色的有5块，‎ 第3个图案有黑色与白色地砖共，其中黑色的有13块，‎ 第个图案有黑色与白色地砖共，其中黑色的有，‎ 当时，黑色地砖的块数有．故答案为：365．‎ ‎ 15 当等于1，2，时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于　　　　　．（用表示，是正整数）‎ ‎【解答】第1个图形：白色正方形1个，黑色正方形个，共有个；‎ 第2个图形：白色正方形个，黑色正方形个，共有个；‎ 第3个图形：白色正方形个，黑色正方形个，共有个；，‎ 第个图形：白色正方形个，黑色正方形个，共有个．故答案为：．‎ 模块三 商比法规律探究 ‎ ‎ 规律探究——作商为常数 题组一 通过作商得到一个固定的值，则可以套通项公式求出规律。这部分内容亦可以通过观察题目所给的数据分析得到正确答案，运用观察法分析问题时需注意每一项符号之间的变化规律。‎ ‎1、商比法规律探究 ‎（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为以此第个记为 ‎ ‎（2）对这组数据两两之间做比，比为一个固定常数，记为；‎ ‎（3）则该类型的规律为：任意的第项满足：‎ ‎ 例4 按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第个单项式是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【规范答题】‎ 法一：观察分析。，，，，，，，．故选：．‎ 法一：套公式。可得数据 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 做比得常数，带入公式计算，得到：‎ ‎。因为与等价，所以选 法三：赋值思想。‎ ‎ 例5 如图，在△中，，，，在上，于，且，过作于，过作于，过作于，过作于则有　　　　　，若在线段的右侧，则的最大值为　　　　　．‎ ‎【规范答题】在△中，，，，‎ 由的直角三角形的性质可知，，，，‎ 由题意，可得的最大值为5，故答案为5．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 16 按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（　　）‎ A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1 B．（﹣1）nx2n﹣1 C．（﹣1）n﹣1x2n+1 D．（﹣1）nx2n+1‎ ‎【解答】，，，，，‎ 由上可知，第个单项式是：，故选：．‎ ‎ 17 如图，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，按这样的规律下去，的长为　　　　　为正整数）．‎ ‎【解答】 在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，可得：，，故，‎ ‎ 18 如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系是　　　　　‎ ‎【解答】观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，，，右边三角形的数字规律为：2，，，，‎ 下边三角形的数字规律为：，，，，．‎ 模块四 周期性规律探究 ‎ ‎ 规律探究——周期性循环 题组一 周期性变化规律是中学阶段的中点内容，该部分又主要涉及两类：图形的周期性变化及数字周期重复出现。‎ 周期类型的关键是找准余数，用余数对照第一个周期内的变化。题目求的量设为，周期记为，周期数为,余数记为。则该类型的规律为：‎ ‎ 例6 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为　　　　，点的坐标为　　　　；若点的坐标为，对于任意的正整数，点均在轴上方，则，应满足的条件为　　　　．‎ ‎【规范答题】‎ 的坐标为，，，，，，‎ 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，余2，点的坐标与的坐标相同，‎ 为；点的坐标为，，，，，，‎ 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，对于任意的正整数，点均在轴上方，‎ ‎，，解得，．故答案为：，；且．‎ ‎ 例7 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到△的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，，则点的横坐标为　　　　　．‎ ‎【规范答题】，，，，‎ 的横坐标为：12，且，的横坐标为：，‎ ‎，点的横坐标为：．故答案为：12084．‎ ‎ 19 如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边的顶点与原点重合，将绕顶点顺时针旋转的，将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则的坐标为　　　　　．‎ ‎【解答】边长为4的等边的顶点与原点重合，，，‎ 如图，过点作轴于，，，‎ ‎，．将绕顶点顺时针旋转的，四边形是平行四边形，‎ ‎，，，，即，；‎ 将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，‎ ‎，，即，；，，即，；‎ 的坐标为，，即，；故答案为，．‎ ‎ 20 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按照逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按照逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，为正整数），则点的坐标为　　　　　．‎ ‎【解答】由题意可得，，，，，‎ ‎，，‎ 每一次都旋转，，每8次变化为一个循环组，‎ 在的正半轴上，，故答案为．‎ ‎ 21 如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第3次碰到长方形边上的点的坐标为　　　　，第2015次碰到长方形边上的点的坐标为　　　　　．‎ ‎【解答】根据题意，如下图示：‎ 根据图形可知，第3次碰到长方形边上的点的坐标为；通过上图观察可知，每碰撞6次回到始 点．，第2015次碰到长方形边上的点的坐标为．故答案为：，．‎ ‎ 22 如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、‎ ‎③、④，则三角形②直角顶点的坐标为　　　　　．⑩的直角顶点的坐标为　　　　　．‎ ‎【解答】求出到轴的距离以及得出的长，即可得出三角形②‎ 直角顶点的坐标，再利用勾股定理计算出，然后根据旋转的性质观察连续作旋转变换，得到每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了个单位，于是判断三角形⑩和三角形①的状态一样，然后可计算出它的直角顶点的横坐标，从而得到三角形⑩的直角顶点的坐标．‎ 过点作轴于点，点，，，，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，点坐标为：，，即三角形②直角顶点的坐标为：，，‎ 对连续作如图所示的旋转变换，‎ 每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了个单位，‎ 而，三角形⑩和三角形①的状态一样，则三角形⑩与三角形⑨的直角顶点相同，‎ 三角形⑩的直角顶点的横坐标为，纵坐标为0．故答案为：，，．‎ ‎ 23 如图，中，，，，且边在直线上， 将绕点顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②， 可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③， 可得到点，此时；，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则　　　　　．‎ ‎【解答】由图可知， 每旋转 3 次为一个循环组依次循环，，‎ 为 671 个循环组的长度，，‎ ‎，故答案为：．‎ 模块五 推理型规律探究 ‎ ‎ 规律探究——推理型规律探究 题组一 推理型规律探究中，对恒等式的规律探究以及证明往往比较容易，这部分规范性很重要；而针对反比例函数中的推理规律数形结合思想很重要，而且这部分内容综合性较强，需对函数知识点、坐标系的知识点、三角形的知识点熟练掌握。‎ ‎1、恒等式推理 ‎（1）这部分内容对规律发掘不是很难，可以利用前面的一阶等差和二阶等差综合分析。‎ ‎（2）这部分内容往往需要证明发现的恒等式。在证明中主要要体现：“左边= …… =右边”的主线 ‎2、反比例函数推理 ‎（1）这部分内容实则是考察坐标系中的知识点，对反比例函数，抓住一个原则：只要有点落在反比例函数上，就需要表示点的坐标，一般先设成未知数，在列方程求解。‎ ‎（2）常用的知识点：‎ ‎①三角板中的勾股比例，这部分内容，考试时要能迅速通过成倍放大或缩小得出三边的边长。（也可以通过三角函数求出其它边长，但是对选择填空而言，用三角函数就是在浪费时间）‎ ‎ [来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎②一次函数的快速求法：，代表直线的纵截距，看直线与轴相交的点的纵坐标。‎ ‎③的几何意义与面积模型 的几何意义 ‎①过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为定值.‎ ‎②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂 线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.‎ ‎ 例9 观察下列各个等式的规律：‎ 第一个等式：，第二个等式：，第三个等式 ………‎ 请用上述等式反映出的规律解决下列问题：‎ ‎（1）直接写出第四个等式；‎ ‎（2）猜想第个等式（用的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎【规范答题】‎ ‎（1）由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：；‎ ‎（2）猜想第个等式是：，‎ 证明：左边==右边，‎ 第个等式是：．‎ ‎ 例10 如图，点，，点，，，点，在函数的图象上，△，△，△，，△都是等腰直角三角形，斜边、、，，都在轴上是大于或等于2的正整数），则点的坐标是　　　　　；点的坐标是　　　　　（用含的式子表示）．‎ ‎【规范答题】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，‎ ‎△是等腰直角三角形，，‎ 设点的坐标为，，将点代入，‎ 可得，故点的坐标为，则，‎ 设点的坐标为，将点代入，可得，[来源:学科网]‎ 故点的坐标为，，则，，‎ 设点的坐标为，，将点，代入，可得，‎ 故点的坐标为，，‎ 综上可得：的坐标为，的坐标为，，的坐标为，，‎ 总结规律可得：坐标为：，．‎ ‎ 24 观察下列等式：；；；‎ ‎（1）猜想并写出第个等式；‎ ‎（2）说明你写出的等式成立的理由．‎ ‎【解答】（1）第个等式为．‎ ‎（2）理由：左边，‎ 右边，所以左边右边，即．[来源:学*科*网]‎ ‎ 25 观察下列式子：‎ ‎（1）根据上述规律，请猜想，若为正整数，则　　　　　　‎ ‎（2）证明你猜想的结论．‎ ‎【解答】（1）根据题意得：；‎ ‎（2）证明：，．‎ ‎ 26 如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作 交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边；以此类推，，则点的坐标为　　　　　 ，点的坐标为　　　　　，‎ ‎【解答】过作轴交于点，‎ 设，则，是等边三角形，，‎ 在中，，，‎ ‎，，‎ 点在上，，即，‎ 解得或（舍去），经检验为原方程的解，‎ 又，，，‎ 作轴交于点，设，则，是等边三角形，‎ ‎，在中，，，‎ ‎，，点在上，‎ ‎，即，‎ 解得或（舍去），经检验为原方程的解，‎ ‎，，，‎ 坐标为，点的坐标为．‎ ‎ 27 如图，已知△、△、△、均为等腰直角三角形，直角顶点、、、在函数图象上，点、、、在轴的正半轴上，则点的横坐标为　　　　　．‎ ‎【解答】 分别过、、作轴的垂线，垂足为、、，‎ 则△，△，△为等腰直角三角形，设，则，‎ 解得（舍去负值），即的横坐标为2，设，则，‎ 解得（舍去负值），即的横坐标为，‎ 设，则，即，解得（舍去负值），‎ 即的横坐标为，的横坐标为．‎ 故答案为：．‎ 模块六 列项求和型规律探究 ‎ ‎ 规律探究——列项求和型 题组一 列项型规律特征很明显，只要属于列项型规律，往往与之伴随的会有求和。所以要抓住列项的核心目标是可以对复杂代数式进行化简的一种方法，考试时注意列项不要死记公式，关键要理解考点。‎ ‎1、分式型列项 ‎（1）记等式比例系数为。则该类型的规律为：‎ ‎（2）常见的列项有：、‎ ‎2、根式型列项 ‎（1）根式列项的规律为：分母有理化过程.‎ ‎（2）常见的列项有：‎ ‎ 例12 阅读理解并回答问题． ‎ ‎（1） 观察下列各式： ，，， ‎ 请你猜想出上式的一般规律，用含（表示整数）的等式表示 　　　　　 ‎ ‎（2）请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）‎ ‎ ‎ ‎（3）请利用上述规律，解方程 ‎ ‎【规范答题】‎ ‎（1）．‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎（3） ‎ 通过（1）中的规律化简得方程：，‎ 两边同时乘以，得 解得，经检验是原方程的解．‎ ‎ 例13 阅读下面内容并且回答问题： ‎ ‎；；‎ ‎．‎ 试求：（1）的值；‎ ‎（2）（为正整数）的值；‎ ‎（3）的值．‎ ‎【规范答题】‎ ‎（1）由题目给的变化规律可得：．‎ ‎（2）由题目给的变化规律可得：‎ ‎．‎ ‎（3）利用（2）中的规律可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎ 28 有一列按一定顺序和规律排列的数：‎ 第一个数是； 第二个数是； 第三个数是； ……‎ 对任何正整数，第个数与第个数的和等于．‎ ‎（1）经过探究，我们发现： 、、‎ 设这列数的第5个数为，那么，，哪个正确？请你直接写出正确的结论；‎ ‎（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第个数（即用正整数表示第数），并且证明你的猜想满足“第个数与第个数的和等于”；‎ ‎（3）设表示，，，……，，这2016个数的和，即，‎ 求证：．‎ ‎【解答】（1）由题意知第5个数；‎ ‎（2）第个数为，第个数为，‎ ‎，‎ 即第个数与第个数的和等于 ‎（3），，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，．‎