2012年珠海 (2)中考数学试卷

2012年珠海 (2)中考数学试卷

‎2012年珠海市中考数学试卷解析 一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.‎ ‎1. 2的倒数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ 解析：：∵2×=1，‎ ‎∴2的倒数是．‎ 故选C．‎ ‎2. 计算﹣2a2+a2的结果为（　　）‎ A．﹣3a B．﹣a C．﹣3a2 D．﹣a2解析：﹣2a2+a2，‎ ‎=﹣a2，‎ 故选D．‎ ‎3. 某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月四个市场的价格平均值相同、方差分别为．二月份白菜价格最稳定的市场是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解析：因为甲、乙、丙、丁四个市场的方差分别为，‎ 乙的方差最小，‎ 所以二月份白菜价格最稳定的市场是乙．‎ 故选B．‎ ‎4. 如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）‎ A. 30° B. 45° C ．60° D．90°‎ 解析：设圆心角是n度，根据题意得 ‎=，‎ 解得：n=60．‎ 故选C．‎ 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎5．计算﹣=　 ．‎ 解析： ﹣，‎ ‎=+（﹣），‎ ‎=﹣（﹣），‎ ‎=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎6. 使有意义的x的取值范围是　 　．‎ 解析：根据二次根式的意义，得 x﹣2≥0，解得x≥2．‎ ‎7. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为　5　．‎ 解析：∵四边形OABC是矩形，‎ ‎∴OA=BC，AB=OC； BA⊥OA，BC⊥OC．‎ ‎∵B点坐标为（3，2），‎ ‎∴OA=3，AB=2．‎ ‎∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，‎ ‎∴DE=GF=1.5； EF=DG=1．‎ ‎∴四边形DEFG的周长为 （1.5+1）×2=5．‎ 故答案为 5．‎ ‎8.不等式组的解集是　 　．‎ 解析：，‎ 解不等式①得，x＞﹣1，‎ 解不等式②得，x≤2，‎ 所以不等式组的解集是﹣1＜x≤2．‎ 故答案为：﹣1＜x≤2．‎ ‎9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE=　　 ．‎ 解析：如图：‎ ‎∵AB为⊙0直径，AB=26，‎ ‎∴OC=×26=13，‎ 又∵CD⊥AB，‎ ‎∴CE=CD=12，‎ 在Rt△OCE中，OE===5，‎ ‎∴sin∠OCE==．‎ 故答案为．‎ 三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎10．计算：．‎ 解：：﹣|﹣1|+（2012﹣π）0﹣（）﹣1，‎ ‎=2﹣1+1﹣2，‎ ‎=0．‎ ‎11. 先化简，再求值：，其中．‎ 解：原式=[﹣]×‎ ‎=×‎ ‎=，‎ 当x=时，‎ 原式==．‎ ‎12. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．‎ ‎（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）‎ ‎（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）‎ 解：（1）如图所示：‎ ‎．‎ ‎（2）△ADF的形状是等腰直角三角形．‎ ‎13 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．‎ ‎（1）当m=3时，判断方程的根的情况；‎ ‎（2）当m=﹣3时，求方程的根．‎ 解：（1）∵当m=3时，‎ ‎△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8＜0，‎ ‎∴原方程无实数根；‎ ‎（2）当m=﹣3时，‎ 原方程变为x2+2x﹣3=0，‎ ‎∵（x﹣1）（x+3）=0，‎ ‎∴x﹣1=0，x+3=0，‎ ‎∴x1=1，x2=﹣3．‎ ‎14. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．‎ ‎（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？‎ ‎（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？‎ 解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，‎ 根据题意列方程得，﹣=30，‎ 解得，x=4，‎ 检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解．‎ 答：第一次每只铅笔的进价为4元．‎ ‎（2）设售价为y元，根据题意列不等式为：‎ ‎×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，‎ 解得，y≥6．‎ 答：每支售价至少是6元．‎ 四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）‎ ‎15．如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：）‎ 解：设OC=x，‎ 在Rt△AOC中，‎ ‎∵∠ACO=45°，‎ ‎∴OA=OC=x，‎ 在Rt△BOC中，‎ ‎∵∠BCO=30°，‎ ‎∴OB=OC•tan30°=x，‎ ‎∵AB=OA﹣OB=x﹣x=2，解得x=3+≈3+1.73=4.73≈5米，‎ ‎∴OC=5米．‎ 答：C处到树干DO的距离CO为5米．‎ ‎16. 某学校课程安排中，各班每天下午只安排三节课．‎ ‎（1）初一（1）班星期二下午安排了数学、英语、生物课各一节，通过画树状图求出把数学课安排在最后一节的概率；‎ ‎（2）星期三下午，初二（1）班安排了数学、物理、政治课各一节，初二（2）班安排了数学、语文、地理课各一节，此时两班这六节课的每一种课表排法出现的概率是．已知这两个班的数学课都有同一个老师担任，其他课由另外四位老师担任．求这两个班数学课不相冲突的概率（直接写结果）．‎ 解：（1）如图，共有6种情况，‎ 数学科安排在最后一节的概率是=；‎ ‎（2）如图，两个班级的课程安排，（1）班的没有一种安排可以与（2）班的所有安排情况相对应，‎ 所有共有6×6=36种情况，‎ 每一种组合都有6种情况，其中有2种情况数学课冲突，其余4种情况不冲突，‎ 所有，不冲突的情况有4×6=24，‎ 数学课不相冲突的概率为：=．‎ ‎17. 如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．‎ 求证：（1）△ADA′≌△CDE；‎ ‎（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．‎ 解：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD=CD，∠ADC=90°，‎ ‎∴∠A′DE=90°，‎ 根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，，‎ ‎∴∠A′ED=45°，‎ ‎∴A′D=DE，‎ 在△AA′D和△CED中，‎ ‎∴△AA′D≌△CED（SAS）；‎ ‎（2）∵AC=A′C，‎ ‎∴点C在AA′的垂直平分线上，‎ ‎∵AC是正方形ABCD的对角线，‎ ‎∴∠CAE=45°，‎ ‎∵AC=A′C，CD=CB′，‎ ‎∴AB′=A′D，‎ 在△AEB′和△A′ED中，‎ ‎∴△AEB′≌△A′ED，‎ ‎∴AE=A′E，‎ ‎∴点E也在AA′的垂直平分线上，‎ ‎∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．‎ ‎18．如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．‎ ‎（1）求二次函数与一次函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．‎ 解： ‎ ‎（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得，‎ ‎（1﹣2）2+m=0，‎ ‎1+m=0，‎ m=﹣1，则二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1．‎ 当x=0时，y=4﹣1=3，‎ 故C点坐标为（0，3），‎ 由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为（x，3），‎ 令y=3，有（x﹣2）2﹣1=3，‎ 解得x=4或x=0．‎ 则B点坐标为（4，3）．‎ 设一次函数解析式为y=kx+b，‎ 将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，‎ ‎，‎ 解得，则一次函数解析式为y=x﹣1；‎ ‎（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），‎ ‎∴当kx+b≥（x﹣2）2+m时，1≤x≤4．‎ ‎19. 19．（2012•珠海）观察下列等式：‎ ‎12×231=132×21，‎ ‎13×341=143×31，‎ ‎23×352=253×32，‎ ‎34×473=374×43，‎ ‎62×286=682×26，‎ ‎…‎ 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．‎ ‎（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：‎ ‎①52×　 　=　 　×25；‎ ‎②　　×396=693×　　．‎ ‎（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．‎ 解：（1）①∵5+2=7，‎ ‎∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，‎ ‎∴52×275=572×25，‎ ‎②∵左边的三位数是396，‎ ‎∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，‎ ‎63×369=693×36；‎ 故答案为：①275，572；②63，36．‎ ‎（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，‎ ‎∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，‎ 右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，‎ ‎∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），‎ 证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]‎ ‎=（10a+b）（100b+10a+10b+a）‎ ‎=（10a+b）（110b+11a）‎ ‎=11（10a+b）（10b+a）‎ 右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）‎ ‎=（100a+10a+10b+b）（10b+a）‎ ‎=（110a+11b）（10b+a）‎ ‎=11（10a+b）（10b+a），‎ 左边=右边，‎ 所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．‎ ‎20. 已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．‎ ‎（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；‎ ‎（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；‎ ‎（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．‎ 解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；‎ ‎（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：‎ 由折叠可知：△APO≌△CPO，‎ ‎∴∠APO=∠CPO，‎ 又∵OA=OP，‎ ‎∴∠A=∠APO，‎ ‎∴∠A=∠CPO，‎ 又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，‎ ‎∴∠A=∠PCB，‎ ‎∴∠CPO=∠PCB，‎ ‎∴PO∥BC；‎ ‎（3）∵CD为圆O的切线，‎ ‎∴OC⊥CD，又AD⊥CD，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∴∠APO=∠COP，‎ 由折叠可得：∠AOP=∠COP，‎ ‎∴∠APO=∠AOP，‎ 又OA=OP，∴∠A=∠APO，‎ ‎∴∠A=∠APO=∠AOP，‎ ‎∴△APO为等边三角形，‎ ‎∴∠AOP=60°，‎ 又∵OP∥BC，‎ ‎∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，‎ ‎∴△BC为等边三角形，‎ ‎∴∠COB=60°，‎ ‎∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，‎ ‎∴△POC也为等边三角形，‎ ‎∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，‎ 又∵∠OCD=90°，‎ ‎∴∠PCD=30°，‎ 在Rt△PCD中，PD=PC，‎ 又∵PC=OP=AB，‎ ‎∴PD=AB，即AB=4PD．‎ ‎21. 如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=，DC=，高CE=，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1‎ ‎、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．‎ ‎（1）填空：∠AHB=　 　；AC=　 ；‎ ‎（2）若S2=3S1，求x；‎ ‎（3）设S2=mS1，求m的变化范围．‎ 解：（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴四边形DBKC是平行四边形，‎ ‎∴BK=CD=，CK=BD，‎ ‎∴AK=AB+BK=3+=4，‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴BD=AC，‎ ‎∴AC=CK，‎ ‎∴BK=EK=AK=2=CE，‎ ‎∵CE是高，‎ ‎∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，‎ ‎∴∠ACK=90°，‎ ‎∴∠AHB=∠ACK=90°，‎ ‎∴AC=AK•cos45°=4×=4；‎ 故答案为：90°，4；‎ ‎（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2．‎ ‎①当0＜x＜时，‎ ‎∵MN∥BD，‎ ‎∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△QG，‎ ‎∴=4，‎ ‎∴S2=4S1≠3S1；‎ ‎②当≤x≤2时，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴△ABH∽△CDH，‎ ‎∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3，‎ ‎∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3，‎ ‎∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，‎ ‎∴S△BCD=×4×1=2，‎ ‎∵RQ∥BD，‎ ‎∴△CRQ∽△CDB，‎ ‎∴S△CRQ=2×（）2=8（2﹣x）2，‎ ‎∵S梯形ABCD=（AB+CD）•CE=×（3+）×2=8，S△ABD=AB•CE=×3×2=6，‎ ‎∵MN∥BD，‎ ‎∴△AMN∽△ADB，‎ ‎∴，‎ ‎∴S1=x2，S2=8﹣8（2﹣x）2，‎ ‎∵S2=3S1，‎ ‎∴8﹣8（2﹣x）2=3×x2，‎ 解得：x1=＜（舍去），x2=2，‎ ‎∴x的值为2；‎ ‎（3）由（2）得：‎ 当0＜x＜时，m=4，‎ 当≤x≤2时，‎ ‎∵S2=mS1，‎ ‎∴m===﹣+﹣12=﹣36（﹣）2+4，‎ ‎∴m是的二次函数，当≤x≤2时，即当≤≤时，m随的增大而增大，‎ ‎∴当x=时，m最大，最大值为4，‎ 当x=2时，m最小，最小值为3，‎ ‎∴m的变化范围为：3≤m≤4．‎