2017上海中考数学试题

2017上海中考数学试题

‎2017年上海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎1．下列实数中，无理数是（　　）‎ A．0 B． C．﹣2 D．‎ 故选：B．‎ ‎2．下列方程中，没有实数根的是（　　）‎ A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=‎0 ‎C．x2﹣2x+1=0 D．x2﹣2x+2=0‎ 故选D．‎ ‎3．如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（　　）‎ A．k＞0，且b＞0 B．k＜0，且b＞‎0 ‎C．k＞0，且b＜0 D．k＜0，且b＜0‎ 故选B．‎ ‎4．数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（　　）‎ A．0和6 B．0和‎8 ‎C．5和6 D．5和8‎ 故选C．‎ ‎5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）‎ A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形 故选A．‎ ‎6．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（　　）‎ A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB 故选：C．‎ 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）‎ ‎7．计算：2aa2=　‎2a3　．‎ ‎8．不等式组的解集是　x＞3　．‎ ‎9．方程=1的解是　x=2　．‎ ‎10．如果反比例函数y=（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）‎ ‎11．某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%，如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是　40.5　微克/立方米．‎ ‎【解答】解：依题意有 ‎50×（1﹣10%）2‎ ‎=50×0.92‎ ‎=50×0.81‎ ‎=40.5（微克/立方米）．‎ ‎12．不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是　　．‎ ‎13．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是　y=2x2﹣1　．，‎ ‎14．某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是　120　万元．‎ ‎【解答】解：第一季度的总产值是72÷（1﹣45%﹣25%）=360（万元），‎ 则该企业第一季度月产值的平均值是×360=120（万元）．‎ 故答案是：120．‎ ‎15．如图，已知AB∥CD，CD=2AB，AD、BC相交于点E，设=， =，那么向量用向量、表示为　+2　．‎ ‎【分析】根据=+，只要求出即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴==，‎ ‎∴ED=2AE，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴=+=+2．‎ ‎【点评】本题考查平面向量、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则求向量，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是　45　．‎ ‎【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．‎ ‎【解答】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，‎ ‎∴旋转角n=45时，EF∥AB．‎ ‎②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，‎ ‎∴∠ACE=135°‎ ‎∴旋转角n=360°﹣135°=225°，‎ ‎∵0＜n°＜180，‎ ‎∴此种情形不合题意，‎ 故答案为45‎ ‎【点评】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎17．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是　8＜r＜10　．‎ ‎【分析】先计算两个分界处r的值：即当C在⊙A上和当B在⊙A上，再根据图形确定r的取值．‎ ‎【解答】解：如图1，当C在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，‎ ‎⊙A的半径为：AC=AD=4，‎ ‎⊙B的半径为：r=AB+AD=5+3=8；‎ ‎ ‎ 如图2，当B在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，‎ ‎⊙A的半径为：AB=AD=5，‎ ‎⊙B的半径为：r=2AB=10；‎ ‎∴⊙B的半径长r的取值范围是：8＜r＜10．‎ 故答案为：8＜r＜10．‎ ‎【点评】本题考查了圆与圆的位置关系和点与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆内切时，两圆的圆心连线过切点，注意当C在⊙A上时，半径为3，所以当⊙A半径大于3时，C在⊙A内；当B在⊙A上时，半径为5，所以当⊙A半径小于5时，B在⊙A外．‎ ‎　‎ ‎18．我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=　　．‎ ‎【分析】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC是直角三角形即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．‎ 易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，‎ ‎∵△OBC是等边三角形，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，‎ ‎∵OE=OC，‎ ‎∴∠OEC=∠OCE，‎ ‎∵∠BOC=∠OEC+∠OCE，‎ ‎∴∠OEC=∠OCE=30°，‎ ‎∴∠BCE=90°，‎ ‎∴△BEC是直角三角形，‎ ‎∴=cos30°=，‎ ‎∴λ6=，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共78分）‎ ‎19．计算： +（﹣1）2﹣9+（）﹣1．‎ ‎【分析】根据负整数指数幂和分数指数幂的意义计算．‎ ‎【解答】解：原式=3+2﹣2+1﹣3+2‎ ‎=+2．‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．‎ ‎　‎ ‎20．解方程：﹣=1．‎ ‎【分析】两边乘x（x﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：两边乘x（x﹣3）得到3﹣x=x2﹣3x，‎ ‎∴x2﹣2x﹣3=0，‎ ‎∴（x﹣3）（x+1）=0，‎ ‎∴x=3或﹣1，‎ 经检验x=3是原方程的增根，‎ ‎∴原方程的解为x=﹣1．‎ ‎【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．‎ ‎　‎ ‎21．如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长‎18米，中柱AD高‎6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．‎ ‎【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=计算即可；‎ ‎（2）由EF∥AD，BE=2AE，可得===，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6，‎ ‎∴AB===3，‎ ‎∴sinB===．‎ ‎（2）∵EF∥AD，BE=2AE，‎ ‎∴===，‎ ‎∴==，‎ ‎∴EF=4，BF=6，‎ ‎∴DF=3，‎ 在Rt△DEF中，DE===5．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎22．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．‎ 甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．‎ 乙公司方案：绿化面积不超过‎1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过‎1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．‎ ‎（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；‎ ‎（2）如果某学校目前的绿化面积是‎1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；‎ ‎（2）绿化面积是‎1200平方米时，求出两家的费用即可判断；‎ ‎【解答】解：（1）设y=kx+b，则有，‎ 解得，‎ ‎∴y=5x+400．‎ ‎（2）绿化面积是‎1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元，‎ ‎∵6300＜6400‎ ‎∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．‎ ‎【点评】本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键．‎ ‎　‎ ‎23．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．‎ ‎【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180×=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．‎ ‎【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CDE，‎ ‎∴∠ADE=∠CDE，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠CBD，‎ ‎∴∠CDE=∠CBD，‎ ‎∴BC=CD，‎ ‎∵AD=CD，‎ ‎∴BC=AD，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∵AD=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）∵BE=BC ‎∴∠BCE=∠BEC，‎ ‎∵∠CBE：∠BCE=2：3，‎ ‎∴∠CBE=180×=45°，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠ABE=45°，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形．‎ ‎【点评】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；‎ ‎（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；‎ ‎（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．‎ ‎【分析】（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；‎ ‎（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；‎ ‎（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，‎ ‎∴x=﹣=1，即=1，解得b=2．‎ ‎∴y=﹣x2+2x+c．‎ 将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．‎ 配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．‎ ‎（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．‎ ‎∵M（1，m），C（1，2），‎ ‎∴MC=m﹣2．‎ ‎∴cot∠AMB==m﹣2．‎ ‎（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，‎ ‎∴抛物线向下平移了3个单位．‎ ‎∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．‎ ‎∵OP=OQ，‎ ‎∴点O在PQ的垂直平分线上．‎ 又∵QP∥y轴，‎ ‎∴点Q与点P关于x轴对称．‎ ‎∴点Q的纵坐标为﹣．‎ 将y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x=或x=．‎ ‎∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q与点P关于x轴对称，从而得到点Q的纵坐标是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．‎ ‎（1）求证：△OAD∽△ABD；‎ ‎（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；‎ ‎（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．‎ ‎【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；‎ ‎（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，可以证明△ABC是等边三角形即可解决问题；‎ ‎（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2=ACCD，列出方程即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：如图1中，‎ 在△AOB和△AOC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOB≌△AOC，‎ ‎∴∠C=∠B，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB，‎ ‎∴△OAD∽△ABD．‎ ‎（2）如图2中，‎ ‎∵BD⊥AC，OA=OC，‎ ‎∴AD=DC，‎ ‎∴BA=BC=AC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ 在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，‎ ‎∴OD=OA=，‎ ‎∴AD==，‎ ‎∴BC=AC=2AD=．‎ ‎（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．‎ ‎∵△DAO∽△DBA，‎ ‎∴==，‎ ‎∴==，‎ ‎∴AD=，AB=，‎ ‎∵S2是S1和S3的比例中项，‎ ‎∴S22=S1S3，‎ ‎∵S2=ADOH，S1=S△OAC=ACOH，S3=CDOH，‎ ‎∴（ADOH）2=ACOHCDOH，‎ ‎∴AD2=ACCD，‎ ‎∵AC=AB．CD=AC﹣AD=﹣，‎ ‎∴（）2=（﹣），‎ 整理得x2+x﹣1=0，‎ 解得x=或，‎ 经检验：x=是分式方程的根，且符合题意，‎ ‎∴OD=．‎ ‎【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎