有关中考数学试题分类汇编直角三角形与勾股定理

有关中考数学试题分类汇编直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理 ‎1.（2010年四川省眉山市）下列命题中，真命题是 A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．圆的切线垂直于经过切点的半径 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 ‎【关键词】真命题、假命题 ‎【答案】C ‎2．（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【关键词】勾股定理及其逆定理 ‎【答案】C ‎3.（2010年辽宁省丹东市）图①是一个边长为的正方形，小颖将 图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②‎ 能验证的式子是（ ）‎ 图①‎ 图②‎ 第4题图 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【关键词】正方形、勾股定理 ‎【答案】B ‎（第10题）‎ ‎4．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②＝＋；③MN≤AB，其中正确结论的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【关键词】等腰直角三角形 ‎【答案】D ‎5、 (2010福建泉州市惠安县)矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________.‎ A B C D E G 第16题图 F ‎【关键词】折叠 ‎【答案】5.5‎ ‎6、(2010福建泉州市惠安县)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．‎ B A ‎6cm ‎3cm ‎1cm 第17题图 ‎①如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，‎ 那么所用细线最短需要__________cm；‎ ‎②如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，‎ 那么所用细线最短需要__________cm．‎ ‎【关键词】勾股定理 B C A D ‎【答案】① 10， ② ‎ ‎7、(2010年燕山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，‎ ‎∠B＝45°, AD＝1，BC＝4，求DC的长．‎ ‎【关键词】等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质、勾股定理 ‎【答案】如图1，分别过点A、D作AE⊥BC于点E ，‎ DF⊥BC于点F． ………………………………1分 图1‎ ‎∴ AE // DF．又 AD // BC， ‎ ‎∴ 四边形AEFD是矩形．‎ ‎∴ EF=AD=1． ……………………………………2分 ‎∵ AB⊥AC，∠B=45°，BC= 4，‎ ‎∴ AB=AC．‎ ‎∴ AE=EC== 2． ……………………………3分 ‎∴ DF=AE= 2， ‎ CF=EC-EF= 1． ……………………………4分 在Rt△DFC中，∠DFC=90°，‎ ‎∴DC=. …………………………5分 ‎8、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.‎ ‎⑴ 求证：△AMB≌△ENB；‎ ‎⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；‎ ‎②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；‎ ‎⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.‎ ‎【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，‎ ‎∴BA＝BE，∠ABE＝60°.‎ ‎∵∠MBN＝60°，‎ ‎∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.‎ 即∠BMA＝∠NBE.‎ 又∵MB＝NB，‎ ‎∴△AMB≌△ENB（SAS）.‎ ‎⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.‎ F E A D B C N M ‎②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，‎ AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，‎ ‎∴AM＝EN.‎ ‎∵∠MBN＝60°，MB＝NB，‎ ‎∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴BM＝MN.‎ ‎∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ‎ 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ‎∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.‎ ‎⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，‎ ‎∴∠EBF＝90°－60°＝30°.‎ 设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.‎ 在Rt△EFC中，‎ ‎∵EF2＋FC2＝EC2，‎ ‎∴（）2＋（x＋x）2＝. ‎ 解得，x＝（舍去负值）.‎ ‎∴正方形的边长为. ‎ ‎9、（2010年广东省广州市）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．‎ ‎（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；‎ ‎（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.‎ C D B A E O 图1‎ ‎【关键词】轴对称 四边形 勾股定理 ‎【答案】（1）由题意得B（3，1）．‎ 若直线经过点A（3，0）时，则b＝‎ 若直线经过点B（3，1）时，则b＝‎ 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1‎ 17. 若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，‎ 图2‎ ‎ 此时E（2b，0）‎ ‎∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b ‎②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2‎ 此时E（3，），D（2b－2，1）‎ ‎∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )‎ ‎＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝‎ ‎∴‎ ‎（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。‎ 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！‎ 图3‎ 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．‎ 过点D作DH⊥OA，垂足为H，‎ 由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，‎ 设菱形DNEM 的边长为a，‎ 则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴‎ ‎∴S四边形DNEM＝NE·DH＝‎ ‎∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．‎ D A B C E ‎10.（2010年山东省济南市）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？‎ ‎【关键词】直角三角形、勾股定理 ‎【答案】‎ 解：作BG⊥AD于G，作EF⊥AD于F，………………1’‎ ‎∵Rt△ABG中，∠BAD=600，AB=40，‎ ‎∴ BG =AB·sin600=20，AG = AB·cos600=20……………….3’‎ 同理在Rt△AEF中，∠EAD=450，‎ ‎∴AF=EF=BG=20，……………….3’‎ ‎∴BE=FG=AF-AG=20()米. ……………….1’‎