- 2021-05-10 发布 |
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文档介绍
2019中考数学压轴题专项训练有答案
2019中考压轴题专项训练 训练目标 1. 熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法； 2. 书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。 题型结构及解题方法 压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。 考查要点 常考类型举例 题型特征 解题方法 问题背景研究 求坐标或函数解析式，求角度或线段长 已知点坐标、解析式或几何图形的部分信息 研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图形。 模型套路调用 求面积、周长的函数关系式，并求最值 速度已知，所求关系式和运动时间相关 ① 分段：动点转折分段、图形碰撞分段； ② 利用动点路程表达线段长； ③ 设计方案表达关系式。 坐标系下，所求关系式和坐标相关 ① 利用坐标及横平竖直线段长； ② 分类：根据线段表达不同分类； ③ 设计方案表达面积或周长。 求线段和（差）的最值 有定点（线）、不变量或不变关系 利用几何模型、几何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。 套路整合及分类讨论 点的存在性 点的存在满足某种关系，如满足面积比为9:10 ① 抓定量，找特征； ② 确定分类；. ③ 根据几何特征或函数特征建等式。 图形的存在性 特殊三角形、特殊四边形的存在性 ① 分析动点、定点或不变关系（如平行）； ② 根据特殊图形的判定、性质，确定分类；根据几何特征或函数特征建等式。 三角形相似、全等的存在性 ① 找定点，分析目标三角形边角关系； ② 根据判定、对应关系确定分类； ③ 根据几何特征建等式求解。 答题规范动作 1. 试卷上探索思路、在演草纸上演草。 2. 合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。 作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。 3. 作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。 23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点： 几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程； 面积问题，要突出面积表达的方案和结论； 几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解； 存在性问题，要明确分类，突出总结。 4. 20分钟内完成。 实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。课程名称： 中考数学难点突破之动点 1、图形运动产生的面积问题 2、存在性问题 3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题） 3、中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、四边形的存在性、压轴题综合训练） 一、图形运动产生的面积问题 一、 知识点睛 1. 研究_基本_图形 2. 分析运动状态： ①由起点、终点确定t的范围； ②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置． 3. 分段画图，选择适当方法表达面积． 二、精讲精练 1. 已知，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其他边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒． （1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积． （2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 1题图 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N． （1）求M，N的坐标． （2）已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．求S与自变量t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围． 3.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题： （1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：； （2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值。 解：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E， ∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点。 ∴DE是中位线。∴DE∥AC，且DE=AC。 ∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE。 ∴。 ∵AD=AO+OD， ∴。 （2）答：点O是△ABC的重心。证明如下： 如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q， 则点Q为△ABC的重心。 由（1）可知， ， 而， ∴点Q与点O重合（是同一个点）。 ∴点O是△ABC的重心。 （3）如答图3所示，连接DG． 设S△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD， ∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S。 为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS． ∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S。 ∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S。 设OH=k•OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS， ∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S。 ∴S四边形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S。 ∴ ①。 如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE。 ∵OF∥BC，∴。∴OF=CD=BC。 ∵GE∥BC，∴。∴。 ∴，∴。 ∵OF∥GE，∴。∴，即。 ∴，代入①式得： 。 ∴当x=时，有最大值，最大值为。 （1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论。 （2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，，而已知，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心。 （3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值。 二、二次函数中的存在性问题 一、知识点睛 解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤： ①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形． ②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解． ③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍． 二、精讲精练 1. 如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标． 1. 抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ． （1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式； （2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标． 1. 如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10， OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合． （1）若抛物线经过A、B两点，求该抛物线的解析式：______________； （2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN 与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 三、二次函数与几何综合 一、知识点睛 “二次函数与几何综合”思考流程： 关键点坐标 几何特征 转 线段长 几何图形 函数表达式 整合信息时，下面两点可为我们提供便利： ①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b； ②)关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息． 二、精讲精练 1. 如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°． （1）求抛物线的解析式； （2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上， 且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 1. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值． 窗体底端 4.如图，点P是直线：上的点，过点P的另一条直线交抛物线于A、B两点． （1）若直线的解析式为，求A、B两点的坐标； （2）①若点P的坐标为（－2，），当PA＝AB时，请直接写出点A的坐标； ②试证明：对于直线上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立． （3）设直线交轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标． 5.如图1，抛物线y＝nx2－11nx＋24n (n＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°． （1）填空：点B的坐标为（_ ），点C的坐标为（_ ）； （2）连接OA，若△OAC为等腰三角形． ①求此时抛物线的解析式； ②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值． C O A y x B C O A y x D B M N l 图1 图2 附：参考答案 一、图形运动产生的面积问题 1. （1）当t=时，四边形MNQP恰为矩形．此时，该矩形的面积为平方厘米． （2） 当0＜t≤1时，；当1＜t≤2时，； 当2＜t＜3时， 2．（1）M（4，2） N（6，0）（2）当0≤t≤1时，； 当1＜t≤4时，； 当4＜t≤5时，； 当5＜t≤6时，； 当6＜t≤7时， 3.解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。 ∵点O是△ABC的重心， ∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD， AC // PD， ∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO， △OPD∽△CA，= = , = ,∴； （2）点O是是△ABC的重心。 证明：如图2，作△ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证明可知 ， 而 ，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心； （3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别 与AC、AB交于点M、N， ∵点O是△ABC的重心， ∴ = ， = , ∵ 在△ABE中，OM//AB，= = ，OM = AB， 在△ACF中，ON//AC，= = ，ON = AC， 在△AGH中，OM//AH，= ， 在△ACH中，ON//AH，= ， ∴ + = +=1， + =1, + = 3 , 令= m , = n , m=3-n, ∵ = , = = = -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- )2 + , ∴ 当 = n = ，GH//BC时， 有最大值 。 附：或 的另外两种证明方法的作图。 方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。 方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。 二、二次函数中的存在性问题 1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当∠BAP=90°时， △BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA； ① 若△BAP∽△AOB，如图1， 可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m）， 代入，可知， ② 若△BAP∽△BOA，如图2， 可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m，）， 代入，可知， 当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA； ① 若△ABP∽△AOB，如图3， 可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m）， 代入，可知， ② 若△ABP∽△BOA，如图4， 可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，）， 代入，可知， 2.解：（1）由抛物线解析式可得B点坐标（1，3）. 要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度. 过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F. 则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，∴矩形DGQF为正方形. 则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0） 可得BQ解析式为y=－x+4. （2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可. 而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论. ① 当∠DCE=30°时， a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K. 则可证△DCH∽△DEK.则， 在矩形DHQK中，DK=HQ，则. 在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中，∴CQ=，此时，Q点坐标为（1+,0） 则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）. b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称. 由对称性可得此时点P坐标为（1－,） ② 当∠DCE=60°时， a) 过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N. 则可证△DCM∽△DEN.则， 在矩形DMQN中，DN=MQ，则. 在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中， ∴CQ=BC=，此时，Q点坐标为（1+，0）,则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）. b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称. 由对称性可得此时点P坐标为（1－,） 综上所述，P点坐标为（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）. 3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0） 将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得， （2）存在： 如果△AMN与△ACD相似，则或 设M（0查看更多