2019年中考数学提分训练 几何图形的动点问题（含解析） 新版新人教版

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‎2019几何图形的动点问题 一、选择题 ‎1.如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（   ） ‎ A.                  B.                  C.                  D. ‎ ‎2.如图1,在矩形ABCD中,动点E从A出发,沿 方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E做 ,交CD于F点,设点E运动路程为x, ,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,当点E在BC上运动时,FC的最大长度是 ,则矩形ABCD的面积是(   ) ‎ A.                                          B.                                          ‎ 24‎ C. 6                                         D. 5‎ ‎3.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（   ） ‎ A. ①                                     B. ④                                     C. ①或③                                     D. ②或④‎ ‎4.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（   ） ‎ A.                  B.                  C.                  D. ‎ ‎5.如图,矩形ABCD,R是CD的中点,点M在BC边上运动,E，F分别为AM，MR的中点,则EF的长随M点的运动(      ) ‎ 24‎ A. 变短                                  B. 变长                                  C. 不变                                  D. 无法确定 二、填空题 ‎ ‎6.在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为________．（结果不取近似值） ‎ ‎7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上 有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为________． ‎ ‎8.如图，在△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动 ‎ ‎（1）连接OC，线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t＝________； ‎ ‎（2）当△ABC的边与坐标轴平行时，t＝________。 ‎ 24‎ ‎9.如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为________ ‎ ‎10.如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为（﹣2，0），半径为2，点P为直线y=﹣ x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是________ ‎ 三、综合题 ‎ ‎11.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A﹣B﹣﹣C﹣﹣E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B﹣﹣C﹣﹣E﹣﹣D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm2 ， （这里规定：线段是面积为0的三角形） 解答下列问题： ‎ ‎（1）当x=2s时，y=________cm2；当x= s时，y=________cm2 ． ‎ ‎（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式． ‎ ‎（3）当动点P在线段BC上运动时，求出 时x的值． ‎ ‎（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值． ‎ 24‎ ‎12.如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题： ‎ ‎（1）求证：△BEF∽△DCB； ‎ ‎（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2 ， 求t的值； ‎ ‎（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由； ‎ ‎（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． ‎ ‎13.如图1，点P为四边形ABCD所在平面上的点，如果∠PAD=∠PBC，则称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的横坐标为﹣6．‎ 24‎ ‎（1）如图2，若A、D两点的坐标分别为A（﹣6，4）、D（0，4），点P在DC边上，且点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，则点P的坐标为________； ‎ ‎（2）如图3，若A、D两点的坐标分别为A（﹣2，4）、D（0，4）．①若P在DC边上时，求四边形ABCD关于A、B的等角点P的坐标； ②在①的条件下，将PB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜6）得到线段P′B′，连接P′D，B′D，试用含m的式子表示P′D2+B′D2 ， 并求出使P′D2+B′D2取得最小值时点P′的坐标； ③如图4，若点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，且点P坐标为（1，t），求t的值； ④以四边形ABCD的一边为边画四边形，所画的四边形与四边形ABCD有公共部分，若在所画的四边形内存在一点P，使点P分别是各相邻两顶点的等角点，且四对等角都相等，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． ‎ ‎14.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． ‎ ‎（1）△ABQ与△CAP全等吗？请说明理由； ‎ ‎（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． ‎ ‎（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在AB、BC的延长线上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． ‎ 24‎ ‎15.如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动． ‎ ‎（1）点P到达终点O的运动时间是________s，此时点Q的运动距离是________cm； ‎ ‎（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为________cm； ‎ ‎（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；  ‎ ‎（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y= 过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值． ‎ 24‎ 答案解析 ‎ 一、选择题 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】 ：∵∠P=90°，PM=PN， ∴∠PMN=∠PNM=45°， 由题意得：CM=x， 分三种情况： ①当0≤x≤2时，如图1， 边CD与PM交于点E， ∵∠PMN=45°， ∴△MEC是等腰直角三角形， 此时矩形ABCD与△PMN重叠部分是△EMC， ∴y=S△EMC= CM•CE= ； 故答案为：项B和D不正确； ②如图2，当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G， ∵∠N=45°，CD=2， ∴CN=CD=2， ∴CM=6﹣2=4， 即此时x=4， 当2＜x≤4时，如图3，矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD， 过E作EF⊥MN于F， ‎ 24‎ ‎ ∴EF=MF=2， ∴ED=CF=x﹣2， ∴y=S梯形EMCD= CD•（DE+CM）= =2x﹣2； ③当4＜x≤6时，如图4，矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EH⊥MN于H， ∴EH=MH=2，DE=CH=x﹣2， ∵MN=6，CM=x， ∴CG=CN=6﹣x， ∴DF=DG=2﹣（6﹣x）=x﹣4， ∴y=S梯形EMCD﹣S△FDG= ﹣ = ×2×（x﹣2+x）﹣ =﹣ +10x﹣18， 故答案为：项A不符合题意； 故答案为：A． 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠PMN=∠PNM=45°，由题意得：CM=x，分三种情况：①当0≤x≤2时，如图1，边CD与PM交于点E，△MEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的面积计算方法即可dechuy与x之间的函数关系式；y=x2；②如图2，当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G，根据等腰直角三角形的性质得出CN=CD=2，故CM=6﹣2=4，即此时x=4，当2＜x≤4时，如图3，矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD，过E作EF⊥MN于F，根据等腰直角三角形的性质得出EF=MF=2，ED=CF=x﹣2，故y=S梯形EMCD=2x-2;③当4＜x≤6时，如图4，矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EH⊥MN于H，EH=MH=2，DE=CH=x﹣2，CG=CN=6﹣x，DF=DG=2﹣（6﹣x）=x﹣4，由y=S梯形EMCD﹣S△FDG=- x2+10x-18，根据三段函数的函数图像即可作出判断。‎ ‎2.【答案】B ‎ 24‎ ‎【解析】 由图象可知AB= ，当点E在BC上时，如图： ∵∠FEC+∠AEB=90°，∠FEC+∠EFC=90°， ∴∠AEB=∠EFC， ∵∠C=∠B=90°， ∴△CFE∽△BEA， ∴ ， 设BE=CE=x- ，即 ， ∴ ， 因FC 的最大长度是 ， 当 时，代入解析式，解得： (舍去), ， ∴BE=CE=1， ∴BC=2，AB= ， ∴矩形ABCD的面积为2× =5. 故答案为：B. 【分析】根据图像获取信息解决问题。由图象可知AB=，当点E在BC上时，如图：根据同角的余角相等得出∠AEB=∠EFC，又∠C=∠B=90°，从而判断出△CFE∽△BEA，根据相似三角形对应边成比例得出CF∶BE＝CE∶AB,设BE=CE=x-,从而根据比例式得出y与x之间的函数关系，因FC 的最大长度是，把y=代入y与x之间的函数关系式，求出x的值，并检验即可求出BC的值，根据矩形的面积计算方法，即可得出答案。‎ ‎3.【答案】C ‎ ‎【解析】 当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①， 故答案为①③. ‎ 24‎ 故答案为：C． 【分析】由题意知PB的最短距离为0，最长距离是圆的直径；而点P从A点沿顺时针旋转和逆时针旋转后与点B的距离有区别，当点P从A点沿顺时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度增大到直径的长，然后渐次较小至点B为0，再从点B运动到点A，则弦BP的长度y由0增大到AB的长； 当点P从A点沿逆时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度减小到0，再由0增大到直径的长，最后由直径的长减小到AB的长。‎ ‎4.【答案】A ‎ ‎【解析】 ：分三种情况讨论： ①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E．∵∠B=45°，∴△ABE是等腰直角三角形．∵AB= ，∴AE=1，∴S= BP×AE= ×t×1= t； ②当2＜t≤ 时，S=   = ×2×1=1； ③当 ＜t≤ 时，S= AP×AE= ×（ -t）×1= （ -t）． 故答案为：A． 【分析】根据题意分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E；②当2＜t≤ 2 +时；③当 2 + ＜t≤ 4 +时，分别求出S与t的函数解析式，再根据各选项作出判断，即可得出答案。‎ ‎5.【答案】C ‎ ‎【解析】 ：∵E，F分别为AM，MR的中点, ∴EF是△ANR的中位线 ∴EF= AR ∵R是CD的中点，点M在BC边上运动 ∴AR的长度一定 ‎ 24‎ ‎∴EF的长度不变。 故答案为：C【分析】根据已知E，F分别为AM，MR的中点,，可证得EF是△ANR的中位线，根据中位线定理，可得出EF= AR，根据已知可得出AR是定值，因此可得出EF也是定值，可得出结果。‎ 二、填空题 ‎6.【答案】π+ ‎ ‎【解析】 ：∵Rt△ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°， ∴∠ACB=30°，BC= ， 将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，点B路径分三部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长；第三部分为△ABC的面积. ∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积 = ． 故答案为 ． 【分析】首先根据三角形的内角和及含30°直角三角形的边之间的关系得出∠ACB=30°，BC=，将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，点B路径分三部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心， 3 为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长；第三部分为△ABC的面积.根据扇形的面积公式及三角形的面积公式计算即可。‎ ‎7.【答案】‎ ‎【解析】 ：作A关于y轴的对称点A′， 则A′（－4，0）， ‎ 24‎ ‎∴OC是△AA′P的中位线，当A′P取最小值时，OC取最小值．连接A′B交⊙B于点P，此时A′P最小． 在Rt△OA′B中，OA′=4，OB=3， ∴A′B=5，∴A′P=5-2=3，∴OC= ， ∴OC的最小值 ． 故答案为： ． 【分析】作A关于y轴的对称点A′，可得出点A′的坐标，可证得OC是△AA′P的中位线，因此当A′P取最小值时，OC取最小值．连接A′B交⊙B于点P，此时A′P最小，再利用勾股定理求出A′B，再根据圆的半径求出A′P的长，利用三角形的中位线定理，即可求出OC的最小值 。‎ ‎8.【答案】（1） （2）t＝ ‎ ‎【解析】 （1）如图： 当 三点共线时， 取得最大值，       （ 2 ）分两种情况进行讨论：①设  时，CA⊥OA， ∴CA∥y轴， ∴∠CAD=∠ABO. 又   ∴Rt△CAD∽Rt△ABO， ∴  即   解得   ②设 时，   ‎ 24‎ ‎∴CB∥x轴， Rt△BCD∽Rt△ABO， ∴  即     综上可知,当以点C为圆心,CA为半径的圆与坐标轴相切时,t的值为 或   故答案为：     或   【分析】（1）当 O , C , D 三点共线时，OC取得最大值，此时OC是线段AB的中垂线， 根据中垂线的性质，及勾股定理得出OA =OB = 4 ,  然后根据时间等于路程除以速度即可得出答案； （ 2 ）分两种情况进行讨论：①设OA = t 1  时，CA⊥OA，故CA∥y轴，然后判断出Rt△CAD∽Rt△ABO，根据相似三角形对应边成比例得出AB∶CA = AO∶CD ,从而得出答案；②设 A O = t 2 时，BC ⊥OB ，故CB∥x轴，然后判断出Rt△BCD∽Rt△ABO，根据相似三角形对应边成比例得出BC∶AB=BD∶ AO, 从而得出答案.‎ ‎9.【答案】‎ ‎【解析】 如图，取AB的中点E，连接OE、CE， 则BE= ×2=1， 在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE= , ∵∠AOB=90°，点E是AB的中点， ∴OE=BE=1， 由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大， ∴OC的最大值= +1． 故答案为： +1． 【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、CE，由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC 24‎ 最大，在Rt△BCE中，由勾股定理得出CE的长，在Rt△ABO中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OE的长，根据线段的和差即可得出答案。‎ ‎10.【答案】‎ ‎【解析】 如图，作AP⊥直线 垂足为P，作 的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小， ∵A的坐标为   设直线与y轴,x轴分别交于B，C， ∴   ∴   ∴   ∴   在 与 中，   ∴ ≌ ， ∴   ∴   故答案为: 【分析】如图，作AP⊥直线 y=−x+6 ， 垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，设直线与y轴,x轴分别交于B，C，根据直线与坐标轴交点的坐标特点得出B,C两点的坐标，从而得出OB,AC的长，根据勾股定理得出BC的长，从而得出AC=BC ，然后利用AAS判断出△APC≌△BOC ，根据全等三角形对应边相等得出AP=OB=6 ，  根据勾股定理得出PQ的长。‎ 三、综合题 24‎ ‎11.【答案】（1）2；9 （2）解：当5≤x≤9时（如图1） y= = （5+x-4）×4- ×5（x-5）- （9-x）（x-4） y= x2-7x+ 当9＜x≤13时（如图2） y= （x-9+4）（14-x） y=- x2+ x-35 当13＜x≤14时（如图3） y= ×8（14-x） y=-4x+56； （3）解：当动点P在线段BC上运动时， ∵y= = × （4+8）×5=8 ‎ 24‎ ‎∴8= x2-7x+ ，即x2-14x+49=0，解得：x1=x2=7 ∴当x=7时，y= （4）解：设运动时间为x秒， 当PQ∥AC时，BP=5-x，BQ=x， 此时△BPQ∽△BAC， 故 ，即 ， 解得x= ； 当PQ∥BE时，PC=9-x，QC=x-4， 此时△PCQ∽△BCE， 故 ，即 ， 解得x= ； 当PQ∥BE时，EP=14-x，EQ=x-9， 此时△PEQ∽△BAE， 故 ，即 ， 解得x= ． 综上所述x的值为：x= 、 或 ． ‎ ‎【解析】【解答】（1）解：当x=2s时，AP=2，BQ=2， ∴y= =2 当x= s时，AP=4.5，Q点在EC上 ∴y= =9 【分析】（1）当x=2s时，得出AP=2，BQ=2，利用三角形的面积公式直接可以求出y的值，再根据x的值可得出△PAQ的高就是4，底为4.5，由三角形的面积公式可以求出其解。 （2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．要分为三种不同的情况进行表示：当5≤x≤9时，当9

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