北京金雨教育教师1对1西城区中考一模数学试题及答案

北京金雨教育教师1对1西城区中考一模数学试题及答案

北京市西城区2012年初三一模试卷 ‎ 数 学 2012. 5‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．的相反数是 A．6 B． C． D．‎ ‎2．国家体育场“鸟巢”建筑面积达258 000平方米，258 000用科学记数法表示应为 ‎ A．2.58×103 B．25.8×104 C．2.58×105 D．258×103‎ ‎3．正五边形各内角的度数为 ‎ A．72° B．108° 　C．120° D．144°‎ ‎4．抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是 A． B． C． D．‎ ‎5．如图，过上一点作的切线，交直径的 延长线于点D. 若∠D=40°，则∠A的度数为 ‎ A．20° B．25°‎ ‎ C．30° D．40°‎ ‎6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的 ‎ 体育锻炼时间(单位：小时)，并绘制了如图 ‎ 所示的折线统计图，下列说法中错误的是 A．众数是9 ‎ B．中位数是9 ‎ C．平均数是9 ‎ D．锻炼时间不低于9小时的有14人 ‎ ‎7．由个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如下所示，则的最大值是 A．16 ‎ B．18‎ C．19 ‎ D．20‎ ‎8．对于实数c、d，我们可用min{ c，d }表示c、d两数中较小的数，如min{3，}=.若关于x的函数y = min{，}的图象关于直线对称，则a、t的值可能是 A．3，6 B．2，‎ ‎ C．2，6 D．，6‎ 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9．函数中，自变量x的取值范围是 ．‎ ‎10．分解因式：= ．‎ ‎11．如图，正方形ABCD的面积为3，点E是DC边上一点，DE=1，‎ 将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上，落点记为F，‎ 则FC的长为 . ‎ ‎12．如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．‎ 折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别 为D、E. (1) DE的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线 AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．计算：．‎ ‎≥2x-4，‎ 14． 解不等式组 并求它的所有的非负整数解. ‎ ‎15．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90º，D为AB延长线 ‎ 上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC.‎ ‎ (1) 求证：△ABE≌△CBD；‎ ‎ (2) 若∠CAE=30º，求∠BCD的度数. ‎ ‎16．已知，其中a不为0，求的值. ‎ ‎17. 平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象经过点，过点A作 ‎ AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1.‎ ‎(1) 求m和k的值；‎ ‎(2) 若过点A的直线与y轴交于点C，且∠ACO=45°，直接写出点C的坐标.‎ ‎18. 列方程（组）解应用题：‎ 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场. 现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：‎ ‎ 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；‎ ‎ 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.‎ 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19. 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动. 对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）. 已知A、B两组捐款户数的比为1 : 5.‎ 捐款户数分组统计图2‎ 捐款户数分组统计图1‎ ‎ 捐款户数分组统计表 组别 捐款额（x）元 户数 A ‎1≤x<100‎ a B ‎100≤x<200‎ ‎10‎ C ‎200≤x<300‎ D ‎300≤x<400‎ E x≥400‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 请结合以上信息解答下列问题.‎ ‎(1) a= ，本次调查样本的容量是 ；‎ ‎ (2) 先求出C组的户数，再补全“捐款户数分组统计图1”；‎ ‎(3) 若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是多少？‎ ‎20．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，BC=2，‎ ‎，．‎ ‎(1) 求∠BDC的度数； ‎ ‎ (2) 求AB的长．‎ ‎21．如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC 两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．‎ ‎ (1) 求点O到BD的距离及∠OBD的度数；[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ (2) 若DE=2BE，求的值和CD的长．‎ ‎22. 阅读下列材料：‎ 问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．‎ 小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．‎ 请你参考小明同学的思路，解决下列问题：‎ ‎(1) 图2中∠BPC的度数为 ；‎ ‎(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为 ，正六边形ABCDEF的边长为 ．‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23. 已知关于x的一元二次方程的一个实数根为 2． ‎ ‎ (1) 用含p的代数式表示q； ‎ ‎ (2) 求证：抛物线与x轴有两个交点； ‎ ‎ (3) 设抛物线的顶点为M，与 y轴的交点为E，抛物线 ‎ 顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值． ‎ ‎24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．‎ ‎ (1) 求证：BF∥AC；‎ ‎ (2) 若AC边的中点为M，求证：；‎ ‎ (3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．‎ ‎ 图1 图2‎ ‎25．平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D． ‎ ‎ (1) 求此抛物线的解析式；‎ ‎ (2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；‎ ‎ (3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△‎ 的面积．‎ ‎ ‎ 北京市西城区2012年初三一模试卷 ‎ 数学答案及评分标准 2012. 5‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C B C B D B C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ x≥-2‎ ‎（各2分）‎ ‎4，4（各2分）‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．解：原式= …………………………………………………………4分 ‎ ‎ =．…………………………………………………………………… 5分 ‎①②‎ ‎≥2x-4，‎ ‎14．解： ‎ ‎ 由①得．……………………………………………………………………1分 ‎ 由②得x≤． ……………………………………………………………………3分 ‎ ∴ 原不等式组的解集是-2< x≤．………………………………………………4分 ‎ ∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 ‎15.（1）证明：如图1.‎ ‎ ∵ ∠ABC=90º，D为AB延长线上一点，‎ ‎ ∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 ‎ 在△ABE和△CBD中,‎ 图1‎ ‎ ‎ ‎ ∴ △ABE≌△CBD. …………………… 2分 ‎ （2）解：∵ AB=CB，∠ABC=90º，‎ ‎ ∴ ∠CAB=45°. …….…………………… 3分 ‎ 又∵ ∠CAE=30º，‎ ‎ ∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分 ‎ ∵ △ABE≌△CBD，‎ ‎ ∴ ∠BCD=∠BAE =15°. ……………………………………………………5分 ‎16. 解：原式= =. ..….….….….….……………………3分 ‎ ∵ 2a+b=0， ‎ ‎ ∴ . ……………………………………………………………………… 4分 ‎ ∴ 原式=. ‎ ‎ ∵ a不为0，‎ ‎ ∴ 原式=. ..….….….….……………………………………………………… 5分 ‎17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点，[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ∴ ，且m＞0.‎ ‎ ∵ AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1， ‎ ‎ ∴ . ‎ ‎ 解得 . ……………………………………………………………… 1分 ‎ ∴ 点A的坐标为. ………………………………………………… 2分 ‎ ∴ . …………………………………………………………… 3分 ‎ （2）点C的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 ‎18．解：设甲工厂每天能加工件新产品，则乙工厂每天能加工1.5件新产品.‎ ‎ 依题意得 . ……………………………………………………2分 ‎ 解得. …………………………………………………………………… 3分 ‎ 经检验，是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ∴ .‎ 图2‎ ‎ 捐款户数分组统计图1‎ ‎ 答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．解：（1）2，50；…………………………………2分 ‎ （2），C组的户数为20. … 3分 ‎ 补图见图2． …………………………4分 ‎ （3）∵ ，‎ ‎ ∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 ‎ 于300元的户数是180．[来源:学科网]‎ ‎ ……………………………… 5分 ‎20．解：（1）∵ 梯形ABCD中，AD∥BC，，，‎ ‎∴ ，． ‎ 在Rt△ABD中，∵，，‎ 图3‎ ‎∴ ． ‎ ‎∴ ．…… 2分 ‎（2）作于点E，于点F．（如图3） ‎ 在Rt△BCE中，∵ BC=2，，‎ ‎∴ ，．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ． …………………………………………… 3分 ‎∵ ，‎ ‎∴ ． …………………………… 4分 ‎ ∵ AD∥BC，，，‎ ‎∴ ． …………………………………………………… 5分 图4‎ ‎21．解：（1）作于点F，连结OD．（如图4）‎ ‎ ∵ ∠BAD=60°，‎ ‎∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB=OD，‎ ‎ ∴ ．……………………… 2分 ‎∵ AC为⊙O的直径，AC=4，‎ ‎∴ OB= OD= 2．‎ 在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°， OB=2，，‎ ‎∴ ，‎ ‎ 即点O到BD的距离等于1. ………………………………………… 3分 ‎（2）∵ OB= OD ，于点F，‎ ‎∴ BF=DF．‎ 由DE=2BE，设BE=2x，则DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．‎ ‎∵ ，‎ ‎ ∴ ， EF=．‎ 在Rt△OEF中，，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ，． …………………………………… 4分 ‎∴ ．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ．‎ ‎ ∴ ． ………………………………………………… 5分 ‎22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分 ‎（2）120°；………………………………………………………………………… 3分 ‎ ． ……………………………………………………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．解：（1）∵ 关于x的一元二次方程的一个实数根为 2，‎ ‎ ∴ ．…………………………………………………… 1分 整理，得 ． …………………………………………………… 2分 ‎（2）∵ ，‎ ‎ 无论p取任何实数，都有≥0，‎ ‎∴ 无论p取任何实数，都有 ．‎ ‎ ∴ ． ………………………………………………………………… 3分 ‎ ∴ 抛物线与x轴有两个交点．………………………… 4分 图5‎ ‎ （3）∵ 抛物线与抛物线 的对称轴相同，都为直线，且开口大小相同，‎ 抛物线可由抛物线 沿y轴方向向上平移一个单位得到，‎ ‎（如图5所示，省略了x轴、y轴）‎ ‎ ∴ EF∥MN，EF=MN=1．‎ ‎ ∴ 四边形FEMN是平行四边形． ………………5分 由题意得 ．‎ 解得．………………………………………7分 图6‎ ‎24．证明：（1）如图6．‎ ‎ ∵ 点B关于直线CH的对称点为D，‎ CH⊥AB于点H，‎ 直线DE交直线CH于点F，‎ ‎∴ BF=DF，DH=BH．…………………1分 ‎∴ ∠1=∠2．‎ 又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，‎ ‎∴ ∠A＝∠2．‎ ‎∴ BF∥AC．……………………………………………………………… 2分 ‎（2）取FD的中点N，连结HM、HN.‎ ‎ ∵ H是BD的中点，N是FD的中点，‎ 图7‎ ‎∴ HN∥BF．‎ 由（1）得BF∥AC，‎ ‎∴ HN∥AC，即HN∥EM．‎ ‎∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，‎ AC边的中点为M，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ∠A＝∠3．‎ ‎∴ ∠EDA=∠3．‎ ‎∴ NE∥HM．‎ ‎∴ 四边形ENHM是平行四边形．……………………………………… 3分 ‎∴ HN=EM．‎ ‎∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，‎ ‎∴ ，即．‎ ‎∴ ． ………………………………………………………… 4分 ‎（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE． （只猜想结论不给分）‎ ‎ 证明：连结CD．（如图8）‎ ‎ ∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，‎ 图8‎ ‎∴ BC=CD，∠ABC＝∠5．‎ ‎ ∵ AB＝BC，‎ ‎∴ ，‎ ‎ AB＝CD．①‎ ‎∵ ∠EDA=∠A，‎ ‎∴ ，AE=DE．②‎ ‎∴ ∠ABC＝∠6=∠5．‎ ‎∵ ∠BDE是△ADE的外角，‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ∠A＝∠4．③‎ ‎ 由①，②，③得 △ABE≌△DCE．………………………………………5分 ‎ ∴ BE= CE． ……………………………………………………………… 6分 ‎ 由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC．‎ ‎ 由（1）中所得BF∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF．‎ ‎ ∴ ∠CFE=∠ECF．‎ ‎ ∴ EF=CE．‎ ‎ ∴ BE=EF． ……………………………………………………………… 7分 ‎ ∴ BE=EF=CE． ‎ ‎（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）‎ 图9‎ ‎25．解：（1）∵ ，‎ ‎∴ 抛物线的对称轴为直线．‎ ‎∵ 抛物线与x轴交于 ‎ 点A、点B，点A的坐标为，‎ ‎∴ 点B的坐标为，OB＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为．‎ ‎∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，‎ ‎∴ OC=3，点C的坐标为．‎ 将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分 ‎∴ 此抛物线的解析式为．（如图9）…………………… 3分 ‎ （2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）‎ ‎ 可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上． ‎ ‎∵ 、都是弧AB所对的圆周角，‎ ‎∴ ，且射线FE上的其它点P都不满足．‎ 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．‎ 可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．‎ ‎ ∴ 点E的坐标为．………………………………………………… 4分 ‎∴ 由勾股定理得 ．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ 点的坐标为．…………………………………………… 5分 由对称性得点的坐标为． ……………………………… 6分 ‎∴符合题意的点P的坐标为、.‎ ‎（3）∵ 点B、D的坐标分别为、，‎ 可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．[来源:学科网]‎ ‎∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为，（如图11）‎ 若设与∠AQB的平分线的交点为M，‎ 则有 ，，，Q，B，三点在一条直线上．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ 作⊥x轴于点N．‎ ‎∵ 点Q在线段BD上， Q，B，三点在一条直线上，‎ ‎∴ ，．‎ ‎∴ 点的坐标为． ‎ ‎∵ 点Q在线段BD上，‎ ‎∴ 设点Q的坐标为，其中．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ 由勾股定理得 ．‎ 解得．‎ 经检验，在的范围内．‎ ‎∴ 点Q的坐标为． …………………………………………… 7分 图10‎ 图11‎ 此时．… 8分