2019备战中考数学基础必练华师大版全等三角形含解析

2019备战中考数学基础必练华师大版全等三角形含解析

‎2019备战中考数学基础必练（华师大版）-第十三章-全等三角形（含解析）‎ 一、单选题 ‎1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(   ) ①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论． ‎ A. ①②                                  B. ②③                                  C. ①②③                                  D. ①②④‎ ‎2.下列命题中：①直径是弦；②圆上任意两点都能将圆分成一条优弧和一条劣弧；③三个点确定一个圆；④外心是三角形三条高线的交点；⑤等腰三角形的外心一定在它的内部；正确的是（   ） ‎ A. ①                                B. ②④                                C. ②                                D. ①③⑤                 ‎ ‎3.下列说法正确的是（   ） ‎ A. 射线AB与射线BA是同一条射线 B. 任何一个锐角的余角比它的补角小 C. 一个角的补角一定大于这个角 D. 如果 ，那么 互为补角 ‎4.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的是（       ） ‎ A. 三条中线的交点,                                                 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点                                                  D. 三条边的垂直平分线的交点 ‎5.在平面直角坐标系中，如果 x 与 y  都是整数，就称点(x，y)为整点.下列命题中错误的是(   ) ‎ A.存在这样的直线，既不与坐标轴平行，又不经过任何整点 B.若 k 与 b 都是无理数，则直线 y=kx+b 不经过任何整点 C.若直线 y=kx+b 经过无数多个整点，则 k 与 b 都是有理数 D.存在恰好经过一个整点的直线 ‎6.下列条件能断定△ABC为等腰三角形的是（     ） ‎ A. ∠A=30º、∠B=60º                                             B. ∠A=80º、∠B=60º C. AB=3、BC=5，周长为13                                  D. AB=AC=2，BC=4‎ ‎7.下列命题是假命题的是（　　） ‎ A. 若|a|=|b|，则a=b                 B. 两直线平行，同位角相等 C. 对顶角相等                           D. 若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根 ‎8.下列作图语言规范的是（　　） ‎ A. 过点P作线段AB的中垂线                                    B. 过点P作∠AOB的平分线 C. 在直线AB的延长线上取一点C，使AB=AC          D. 过点P作直线AB的垂线 二、填空题 ‎9.如图△ACB≌A’CB’，∠A’CB=30°，∠ACB’=110°，则∠ACA’的度数是________度． ‎ ‎10.如图，点O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠OBC=________°．   ‎ ‎11.已知图中的两个三角形全等，则 的度数是________. ‎ ‎12.△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BC=6，则角平分线BD=________． ‎ ‎13.把命题“垂直于同一直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为________． ‎ ‎14.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是________． ‎ ‎15.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D′O′C′=∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是________（写出全等的简写）． ‎ 三、计算题 ‎16.如图，平面内有A，B，C，D四点，按下列语句画图． ①画射线AB，直线BC，线段AC； ②连接AD与BC相交于点E． ‎ ‎17.如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC． ‎ 四、解答题 ‎18.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD． 求证：BD=DE． ‎ ‎19.如图，E、F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．求证：MB=MD，ME=MF． ‎ 五、综合题 ‎20.已知∠MAN． ‎ ‎（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作∠MAN的平分线AE； ‎ ‎②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q； ‎ ‎（2）在（1）的条件下，线段AP与AQ有什么数量关系，请直接写出结论． ‎ ‎21.△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E． ‎ ‎（1）求证：BD=CE； ‎ ‎（2）若AB=5cm，AC=10cm，求AD的长． ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】C ‎ ‎【考点】反证法 ‎ ‎【解析】【解答】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立可知可以作为条件使用的有①②③。【分析】利用反证法的证题思想，即可得到结论。‎ ‎2.【答案】A ‎ ‎【考点】命题与定理 ‎ ‎【解析】【解答】①直径是弦，故正确； ②圆上任意两点都能将圆分成一条优弧和一条劣弧或两个半圆，故错误； ③不在同一直线上的三个点确定一个圆，故错误； ④外心是三角形三条中垂线的交点，故错误； ⑤等腰三角形的外心可能在其内部，也可能在其边上，也可能在其内部，故错误； 故答案为：A. 【分析】①根据直径和弦的定义来分析；②根据优弧、劣弧、半圆定义来分析；③根据确定圆的条件来分析；④根据三角形外心的定义来分析；⑤根据三角形外心的定义来分析.‎ ‎3.【答案】B ‎ ‎【考点】命题与定理 ‎ ‎【解析】【解答】解：A、射线AB与射线BA是两条不同的射线，故错误； B、正确； C、不一定，如90°角的补角为90°，是相等的，故错误； D、互为补角是指两个角之间的关系，不是三个或多个角之间的关系，故错误； 故选B.‎ ‎4.【答案】B ‎ ‎【考点】角平分线的性质 ‎ ‎【解析】【分析】∵点P到△ABC三边的距离相等，∴点P是△ABC的角平分线的交点（角平分线性质的逆定理)． 故选B． 【点评】此题要求熟练掌握角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。‎ ‎5.【答案】B ‎ ‎【考点】命题与定理 ‎ ‎【解析】【解答】解：A、令y=x+ ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确； ‎ B、若k= ，b= ，则直线y= x+ 经过（-1，0），所以本命题错误； 假设需要经过2个点.(x1,y1)(x2,y2),这两点为对角线点作平行于x,y轴的矩形.不难得到该线可C、以经过无数相似矩形.即过两点比然过无穷点，同时通过这两点可以解得k与b,均为有理数，故此不符合题意； D、令直线y= x恰经过整点（0，0），所以本命题正确． 故答案为：B. 【分析】通过特例对A、D进行判断；利用反例可对B进行判断；利用方程的整数解对C进行判断。‎ ‎6.【答案】C ‎ ‎【考点】等腰三角形的判定 ‎ ‎【解析】【分析】A、B根据三角形的内角和求出第三个角，可得结果；C利用周长求出第三边即可得到答案，D不能组成三角形，根据等腰三角形的判定，采用逐条分析排除的方法判断． 【解答】A、根据三角形内角和定理得，∠C=180°-60°-30°=90°，不是等腰三角形，故此选项错误； B、根据三角形内角和定理得，∠C=180°-60°-80°=40°，不是等腰三角形，故此选项错误； C、周长为13，而AB+BC=8，则第三边为13-8=5，是等腰三角形，故此选项正确． D、根据三角形中三边的关系知，任意两边之和大于第三边，而AB+AC=4=BC，不能构成三角形，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，利用三角形内角和定理：内角和为180°和三角形中三边的关系求解．有的同学可能选D出现错误，所以同学们在做题时要深思熟虑，不能只看表面现象．‎ ‎7.【答案】A ‎ ‎【考点】命题与定理 ‎ ‎【解析】【解答】解：A、若|a|=|b|，则a﹣b=0或a+b=0，故A错误； B、两直线平行，同位角相等，故B正确； C、对顶角相等，故C正确； D、若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根，故D正确； 故选：A． 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．‎ ‎8.【答案】D ‎ ‎【考点】作图—尺规作图的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解：A、过点P作线段AB的中垂线，不规范，点P不一定在线段AB的中垂线上，故本选项错误； B、过点P作∠AOB的平分线，不规范，点P不一定在∠AOB的平分线上，故本选项错误； ‎ C、在直线AB的延长线上取一点C，使AB=AC，不规范，直线是向两方无限延伸的，不需要延长，故本选项错误； D、过点P作直线AB的垂线，规范，不论点P在直线上还是直线外都可以，故本选项正确． 故选D． 【分析】根据常见的几何作图语言对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 二、填空题 ‎9.【答案】40 ‎ ‎【考点】全等三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB，即∠ACA′=∠BCB′，∵∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，∴∠ACA′=（110°﹣30°）÷2=40°． 故答案为：40． 【分析】根据全等三角形对应边、对应角相等的性质可得∠ACB=∠A′CB′，所以∠ACB﹣∠A′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB，即∠ACA′=∠BCB′，根据和差关系代入计算即可。‎ ‎10.【答案】40 ‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】∵∠A=50°， ∴∠BOC=100°， ∵BO=CO， ∴∠OBC=(180°−100°)÷2=40°， 故答案为：40. 【分析】先利用三角形的外心即三边垂直平分线交点这一知识点，求得∠BOC的度数，然后再利用等腰三角形的性质求得底角∠OBC的度数即可。‎ ‎11.【答案】50° ‎ ‎【考点】全等三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】图中的两个三角形全等，a与a，c与c分别是对应边，所以它们的夹角就是对应角，所以 =50°． 【分析】根据全等三角形的对应边、对应角相等，得到∠α的度数.‎ ‎12.【答案】6 ‎ ‎【考点】等腰三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=36° ∴∠ABC=∠C=72° ∵BD为角平分线 ∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36° ∴∠C=∠CDB=72° ∴BC=BD=6． 故答案为6． ‎ ‎ 【分析】根据等腰三角形的性质，可推出∠A=36°，利用BD为角平分线，可推出BC=BD=6．‎ ‎13.【答案】如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 ‎ ‎【考点】命题与定理 ‎ ‎【解析】【解答】解：“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果﹣﹣﹣，那么﹣﹣﹣”的形式为：“如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”． 故答案为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 【分析】命题题设为：两条直线都垂直于同一条直线；结论为这两条直线互相平行．‎ ‎14.【答案】3 ‎ ‎【考点】角平分线的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴S△ABC= ×4×2+ AC•2=7， 解得AC=3． 故答案为：3． 【分析】根据角平分线的性质，得到DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ADC即可求出AC的长。‎ ‎15.【答案】SSS ‎ ‎【考点】全等三角形的判定 ‎ ‎【解析】【解答】解：OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，从而可以利用SSS判定其全等． 故填SSS． 【分析】1、以O为圆心，任意长为半径用圆规画弧，分别交OA、OB于点C、D；2、任意画一点O’，画射线O'A'，以O'为圆心，OC长为半径画弧C'E，交O'A'于点C'；3、以C'为圆心，CD长为半径画弧，交弧C'E于点D'；4、过点D'画射线O'B'，∠A'O'B'就是与∠AOB相等的角． 则通过作图我们可以得到OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，从而可以利用SSS判定其全等．‎ 三、计算题 ‎16.【答案】解：画射线AB； 画直线BC； 画线段AC； 连接AD与BC相交于点E． ‎ ‎【考点】作图—基本作图 ‎ ‎【解析】【分析】①画射线AB，以A为端点向AB方向延长；画直线BC，连接BC并向两方无限延长；画线段AC，连接AB即可；②连接各点，其交点即为点E．‎ ‎17.【答案】解：在Rt△ABC和Rt△BAD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， ∴∠DAB=∠CBA=28°， ∵∠C=90°， ∴∠BAC=90°﹣∠CBA=90°﹣28°=62°， ∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=62°﹣28°=34° ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【分析】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△BAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAB=∠CBA，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，再根据∠DAC=∠BAC﹣∠DAB代入数据计算即可得解．‎ 四、解答题 ‎18.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴∠ABC=∠ACB=60°． ∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）． 又∵CE=CD， ∴∠CDE=∠CED． 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED， ∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°． ∴∠DBC=∠DEC． ∴DB=DE（等角对等边）．　 ‎ ‎【考点】等腰三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．‎ ‎19.【答案】证明：在Rt△AFB和Rt△CED中， ‎ ‎∴Rt△AFB≌△Rt CED（HL）， ∴BF=DE， 在Rt△BFM和Rt△DEM中， ∴△BFM≌△DEM（AAS）， ∴MB=MD，ME=MF． ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【分析】由条件可证明Rt△AFB≌Rt△CED，可证得BF=DE，进一步可证明Rt△BFM≌Rt△DEM，则可证得结论．‎ 五、综合题 ‎20.【答案】（1）解：如图所示： ①AE为所求作的角平分线；      ②PQ为所求作的垂直平分线 （2）解：AP=AQ． 证明：∵PQ是AB的垂直平分线， ∴∠PGA=∠QGA=90°， ∵AE是∠MAN的平分线， ∴∠PAG=∠QAG， 在△PAG和△QAG中， ‎ ‎， ∴△PAG≌△QAG（ASA）， ∴AP=AQ ‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图 ‎ ‎【解析】【分析】（1）①利用角平分线的作法得出即可；②利用垂直平分线的作法得出即可；（2）利用垂直平分线的性质得出∠PGA=∠QGA，进而得出△PAG≌△QAG（ASA），则AP=AQ，即可得出答案．‎ ‎21.【答案】（1）证明：如图，连接BP、PC． ∵PQ垂直平分线段BC， ∴PB=PC， ∵∠PAD=∠PAE，PD⊥AD，PE⊥AE， ∴PD=PE，∠PDB=∠PEC=90°， 在Rt△PBD和Rt△PCE中， ， ∴Rt△PBD≌Rt△PCE（HL）， ∴BD=CE． （2）解：在Rt△APD和Rt△APE中， ， ∴Rt△APD≌Rt△APE， ∴AD=AE，设AD=AE=x， ∵△PBD≌△PCE， ∴BD=EC， ∴AB+AD=AC﹣AE， ∴5+x=10﹣x， ∴x=2.5， ∴AD=2.5． ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质 ‎ ‎【解析】【分析】（1）如图，连接BP、PC．只要证明Rt△PBD≌Rt△PCE（HL），即可推出BD=CE．（2）首先证明Rt△APD≌Rt△APE，推出AD=AE，设AD=AE=x，由BD=EC，可得AB+AD=AC﹣AE，即5+x=10﹣x，解方程即可．‎