2018中考四边形综合题集压轴题

2018中考四边形综合题集压轴题

四边形综合题集 ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一．选择题（共9小题）‎ ‎1．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：‎ ‎①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．‎ 其中正确的结论个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎2．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中结论正确的个数为（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎3．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：‎ ‎①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，‎ 其中正确结论的个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（　　）‎ ‎①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎5．如图，在矩形ABCD中，BC=AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：‎ ‎（1）∠AEB=∠AEH （2）DH=2EH ‎（3）OH=AE （4）BC﹣BF=EH 其中正确命题的序号（　　）‎ A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）‎ ‎6．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥‎ CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：‎ ‎①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎7．如图，正方形ABCD中，以AD为底边作等腰△ADE，将△ADE沿DE折叠，点A落到点F处，连接EF刚好经过点C，再连接AF，分别交DE于G，交CD于H．在下列结论中：‎ ‎①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH，‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：‎ ‎①△AEF∽△CAB； ②CF=2AF； ③DF=DC； ④S四边形CDEF=S△AEF，‎ 其中正确的结论有（　　）个．‎ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④‎ ‎9．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：‎ ‎①GH⊥BE；②HOBG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二．填空题（共7小题）‎ ‎10．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是　 　．‎ ‎11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是　 　．（把你认为正确的说法的序号都填上）‎ ‎12．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的是　 　（把所有正确结论的序号都填在横线上）．‎ ‎13．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：‎ ‎①点B平分线段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF；⑤△AEB是正三角形．‎ 其中正确结论的序号是　 　．‎ ‎14．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：‎ ‎①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，‎ 其中正确的有　 　．‎ ‎15．如图所示，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正确的是　 　．‎ ‎16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AB=5cm．点P从点A出发沿AC以1.5cm/s的速度向点C匀速运动，到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回；点Q从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线PC﹣CB﹣BQ于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0），则当t=　 　秒时，四边形BQDE为直角梯形．‎ ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三．解答题（共34小题）‎ ‎17．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．‎ ‎（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；‎ ‎（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．‎ ‎18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．点P在边AC上运动，过点P作PD⊥AB于点D，以AP、AD为邻边作▱PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）．‎ ‎（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）．‎ ‎（2）当点E落在边BC上时，求x的值．‎ ‎（3）求y与x之间的函数关系式．‎ ‎（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．‎ ‎19．问题探究 ‎（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；‎ 问题解决 ‎（3）如图③，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．‎ ‎20．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC=60°点M、N分别是边BC、边CD上的动点，且MB=NC．连接AM、AN、MN．MN交AC于点P．‎ ‎（1）△AMN是什么特殊的三角形？说明理由．并求其面积最小值；‎ ‎（2）求点P到直线CD距离的最大值；‎ ‎（3）如图2，已知MB=NC=1，点E、F分别是边AM、边AN上的动点，连接EF、PF，EF+PF是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时AE、AF的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．如图①‎ ‎，正方形ABCD边长为1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α度后得到正方形AB'C'D'（0°＜α＜90°），C'D'与直线CD相交于点E，C'B'与直线CD相交于点F．‎ 问题发现：（1）试猜想∠EAF=　 　；三角形EC'F的周长　 　．‎ 问题探究：如图②，连接B'D'分别交AE，AF于P，Q两点．‎ ‎（2）在旋转过程中，若D'P=a，QB'=b，试用a，b来表示PQ，并说明理由．‎ ‎（3）在旋转过程中△APQ的面积是否存在最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．如图，在矩形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=6cm，AE=DE=3cm，点P从点E出发，沿EB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ⊥CD？‎ ‎（2）设四边形PBCQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PBCQ：S四边形PQDE=22：5？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（4）是否存在某一时刻t，使A，P，Q三点在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎23．已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠‎ A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．‎ ‎（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；‎ ‎（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．‎ ‎24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ．‎ ‎（1）当QD=QC时，求∠ABP的正切值；‎ ‎（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；‎ ‎（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．‎ ‎25．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．‎ ‎（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；‎ ‎（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；‎ ‎（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．‎ ‎26．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．‎ ‎（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；‎ ‎（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；‎ ‎（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．‎ ‎27．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？‎ ‎（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．‎ ‎28．如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t=　 　时，△PQR的边QR经过点B；‎ ‎（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；‎ ‎（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．‎ ‎29．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．‎ ‎（1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时，‎ ‎①BC与CF的位置关系为：　 　．‎ ‎②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上）‎ ‎（2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．‎ ‎（3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．‎ ‎30．已知：四边形ABCD中，对角线的交点为O，E是OC上的一点，过点A作AG⊥BE于点G，AG、BD交于点F．‎ ‎（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：OE=OF；‎ ‎（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°．探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）如图3，若四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=α，且AC⊥BD．结合上面的活动经验，探究线段OE与OF的数量关系为　 　（直接写出答案）．‎ ‎31．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于点G．‎ ‎（1）若M为边AD中点，求证△EFG是等腰三角形；‎ ‎（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；‎ ‎（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．‎ ‎32．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF ‎（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；‎ ‎（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；‎ ‎（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；‎ ‎①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；‎ ‎②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．‎ ‎33．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？‎ ‎（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；‎ ‎（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎34．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．‎ ‎（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．‎ ‎①求证：△AGE≌△AFE；‎ ‎②若BE=2，DF=3，求AH的长．‎ ‎（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．‎ ‎35．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．‎ ‎（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；‎ ‎（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．‎ ‎①求证：△BCE是等边三角形；‎ ‎②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．‎ ‎36．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）AM=　 　，AP=　 　．（用含t的代数式表示）‎ ‎（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值 ‎（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，‎ ‎①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 ‎②使四边形AQMK为正方形，则AC=　 　．‎ ‎37．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：△BCE≌△DCF； ‎ ‎（2）求CF的长；‎ ‎（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎38．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．‎ ‎（1）求证：四边形AEDF是菱形；‎ ‎（2）求菱形AEDF的面积；‎ ‎（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？‎ ‎39．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．‎ ‎（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．‎ ‎（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．‎ ‎（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．‎ ‎40．如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：FG=BE；‎ ‎（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG；‎ ‎（3）当=时，求sin∠CFE的值．‎ ‎41．如图，已知在矩形ABCD中，AD=10，CD=5，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动，此时BF⊥CE．设点E移动的时间为t（秒）．‎ ‎（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；‎ ‎（2）求当t为何值时，EC是∠BED的平分线；‎ ‎（3）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎（4）求当t为何值时，△EFC是等腰三角形．（直接写出答案）‎ ‎42．如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E处，连结BE．‎ ‎（1）求证：∠BAE=2∠CBE；‎ ‎（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）若AB=5，BC=3，直接写出BG的长　 　．‎ ‎43．将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．‎ ‎（1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；‎ ‎（2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，过D′作D′G∥AO交E′F于T点，交OC于G点，求证：TG=AE′；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设T（x，y）．①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．‎ ‎44．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．‎ ‎（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．‎ ‎（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？‎ ‎（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD=PD）？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎45．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，其中点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），点D为对角线OB上一个动点（不包括端点），∠BCD的平分线交OB于点E．‎ ‎（1）求线段OB所在直线的函数表达式，并写出CD的取值范围．‎ ‎（2）当∠BCD的平分线经过点A时，求点D的坐标．‎ ‎（3）点P是线段BC上的一个动点，求CD十DP的最小值．‎ ‎46．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，E为AB的中点，连接CE，BD，过点E作FE⊥CE于点E，交AD于点F，连接CF，已知2AD=AB=BC．‎ ‎（1）求证：CE=BD；‎ ‎（2）若AB=4，求AF的长度；‎ ‎（3）求sin∠EFC的值．‎ ‎47．如图①，在长方形ABCD中，AB=DC=3cm，BC=5cm，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．‎ ‎（1）PC=　 　cm．（用含t的代数式表示）；‎ ‎（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP，请说明理由；‎ ‎（3）如图②，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以acm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样a的值，使得△ABP与△PCQ全等？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎48．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．‎ ‎（1）求OA、OB的长．‎ ‎（2）若点E为x轴上的点，且S△AOE=，试判断△AOE与△AOD是否相似？并说明理由．‎ ‎（3）在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，请直接写出点F的坐标．‎ ‎49．如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，且AB=6cm，BC=8cm，对角线AC=l0cm．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是矩形；‎ ‎（2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动，运动时间为t秒（0≤t＜2），连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；‎ ‎（3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ=4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t 秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．‎ ‎50．如图，点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于F，连接BF．‎ ‎（1）如图1，当点E在CB的延长线上，且AC=EC时，求证：BF=；‎ ‎（2）如图2，当点E在线段BC上，且AE平分∠BAC时，求证：AB+BE=AC；‎ ‎（3）如图3，当点E继续往右运动到BC中点时，过点D作DH⊥AE于H，连接BH．求证：∠BHF=45°．‎ ‎　‎ 四边形综合题集 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共9小题）‎ ‎1．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：‎ ‎①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．‎ 其中正确的结论个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；‎ ‎②证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S四边形BCDG=S四边形CMGN，易求后者的面积；‎ ‎③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；‎ ‎④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；‎ ‎⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．‎ ‎【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，‎ ‎∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，‎ ‎∴∠A=∠BDF=60°，‎ 又∵AE=DF，AD=BD，‎ ‎∴△AED≌△DFB，故本选项正确；‎ ‎②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，‎ 即∠BGD+∠BCD=180°，‎ ‎∴点B、C、D、G四点共圆，‎ ‎∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，‎ ‎∴∠BGC=∠DGC=60°，‎ 过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），‎ 则△CBM≌△CDN（AAS），‎ ‎∴S四边形BCDG=S四边形CMGN，‎ S四边形CMGN=2S△CMG，‎ ‎∵∠CGM=60°，‎ ‎∴GM=CG，CM=CG，‎ ‎∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2，故本选项错误；‎ ‎③过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），‎ ‎∵AF=2FD，‎ ‎∴FP：AE=DF：DA=1：3，‎ ‎∵AE=DF，AB=AD，‎ ‎∴BE=2AE，‎ ‎∴FP：BE=FP：2AE=1：6，‎ ‎∵FP∥AE，‎ ‎∴PF∥BE，‎ ‎∴FG：BG=FP：BE=1：6，‎ 即BG=6GF，故本选项正确；‎ ‎④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），‎ 由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，‎ ‎∵点E，F分别是AB，AD中点，‎ ‎∴∠BDE=∠DBG=30°，‎ ‎∴DG=BG，‎ 在△GDC与△BGC中，‎ ‎，‎ ‎∴△GDC≌△BGC，‎ ‎∴∠DCG=∠BCG，‎ ‎∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；‎ ‎⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，‎ 故本选项正确；‎ 综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中结论正确的个数为（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．‎ ‎∵△AEF等边三角形，‎ ‎∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．‎ ‎∴∠BAE+∠DAF=30°．‎ 在Rt△ABE和Rt△ADF中，‎ ‎，‎ Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），‎ ‎∴BE=DF，‎ ‎∴CE=CF，故①正确；‎ ‎∵∠BAE=∠DAF，‎ ‎∴∠DAF+∠DAF=30°，‎ 即∠DAF=15°，‎ ‎∴∠AEB=75°，故②正确；‎ 设EC=x，由勾股定理，得 EF=x，CG=x，‎ AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，‎ ‎∴AG≠2GC，③错误；‎ ‎∵CG=x，AG=x，‎ ‎∴AC=x ‎∴AB=AC•=x，‎ ‎∴BE=x﹣x=x，‎ ‎∴BE+DF=（﹣1）x，‎ ‎∴BE+DF≠EF，故④错误；‎ ‎∵S△CEF=x2，‎ S△ABE=×BE×AB=x×x=x2，‎ ‎∴2S△ABE═S△CEF，故⑤正确．‎ 综上所述，正确的有3个，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．‎ ‎　‎ ‎3．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：‎ ‎①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，‎ 其中正确结论的个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】①②、证明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线，得AC⊥FH，证明BH=HM=MF=FD，则FH=2BH；所以①②都正确；‎ ‎③可以直接求出FC的长，计算S△ACF≠1，错误；‎ ‎④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；还可以利用图2证明△ADF≌△CDN得：CN=AF，由CE=CN=AF；‎ ‎⑤利用相似先得出EG2=FG•CG，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG=CG，所以⑤也正确．‎ ‎【解答】解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，‎ ‎∵AE平分∠DAC，‎ ‎∴∠FAD=∠CAF=22.5°，‎ ‎∵BH=DF，‎ ‎∴△ABH≌△ADF，‎ ‎∴AH=AF，∠BAH=∠FAD=22.5°，‎ ‎∴∠HAC=∠FAC，‎ ‎∴HM=FM，AC⊥FH，‎ ‎∵AE平分∠DAC，‎ ‎∴DF=FM，‎ ‎∴FH=2DF=2BH，‎ 故选项①②正确；‎ ‎③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，‎ ‎∴△FMC是等腰直角三角形，‎ ‎∵正方形的边长为2，‎ ‎∴AC=2，MC=DF=2﹣2，‎ ‎∴FC=2﹣DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，‎ S△AFC=CF•AD≠1，‎ 所以选项③不正确；‎ ‎④AF===2，‎ ‎∵△ADF∽△CEF，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴CE=，‎ ‎∴CE=AF，‎ 故选项④正确；‎ ‎⑤延长CE和AD交于N，如图2，‎ ‎∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，‎ ‎∴CE=EN，‎ ‎∵EG∥DN，‎ ‎∴CG=DG，‎ 在Rt△FEC中，EG⊥FC，‎ ‎∴EG2=FG•CG，‎ ‎∴EG2=FG•DG，‎ 故选项⑤正确；‎ 本题正确的结论有4个，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定；求边时可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角函数列式计算；同时运用了勾股定理求线段的长，勾股定理在正方形中运用得比较多．‎ ‎　‎ ‎4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（　　）‎ ‎①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△‎ BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．‎ ‎【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，‎ ‎∴CF=BE，‎ 在△ABE和△BCF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），‎ ‎∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；‎ 又∵∠BAE+∠BEA=90°，‎ ‎∴∠CBF+∠BEA=90°，‎ ‎∴∠BGE=90°，‎ ‎∴AE⊥BF，故②正确；‎ 根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠CFB=∠ABF，‎ ‎∴∠ABF=∠PFB，‎ ‎∴QF=QB，‎ 令PF=k（k＞0），则PB=2k 在Rt△BPQ中，设QB=x，‎ ‎∴x2=（x﹣k）2+4k2，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴sin=∠BQP==，故③正确；‎ ‎∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，‎ ‎∴△BGE∽△BCF，‎ ‎∵BE=BC，BF=BC，‎ ‎∴BE：BF=1：，‎ ‎∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，‎ ‎∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在矩形ABCD中，BC=AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：‎ ‎（1）∠AEB=∠AEH （2）DH=2EH ‎（3）OH=AE （4）BC﹣BF=EH 其中正确命题的序号（　　）‎ A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）‎ ‎【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=AB=CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=CD，得到等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=67.5°，得到（1）正确；‎ ‎（2）设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，求出HE=﹣1，得到2HE≠1，所以（2）不正确；‎ ‎（3）通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到（3）正确；‎ ‎（4）由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，从而得到（4）不正确．‎ ‎【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD=BC=AB=CD，∠ADC=∠BCD=90°，‎ ‎∵DE平分∠ADC，‎ ‎∴∠ADE=∠CDE=45°，‎ ‎∵AH⊥DE，‎ ‎∴△ADH是等腰直角三角形，‎ ‎∴AD=AH，‎ ‎∴AH=AB=CD，‎ ‎∵△DEC是等腰直角三角形，‎ ‎∴DE=CD，‎ ‎∴AD=DE，‎ ‎∴∠AED=67.5°，‎ ‎∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，‎ ‎∴∠AEH=∠AEB，‎ 所以（1）结论正确；‎ ‎（2）设DH=1，‎ 则AH=DH=1，AD=DE=，‎ ‎∴HE=DE﹣DH=﹣1，‎ ‎∴2HE=2（﹣1）=4﹣2≠1，‎ 所以（2）结论不正确；‎ ‎（3）∵∠AEH=67.5°，‎ ‎∴∠EAH=22.5°，‎ ‎∵DH=CD，∠EDC=45°，‎ ‎∴∠DHC=67.5°，‎ ‎∴∠OHA=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°，‎ ‎∴∠OAH=∠OHA=22.5°，‎ ‎∴OA=OH，‎ ‎∴∠AEH=∠OHE=67.5°，‎ ‎∴OH=OE=OA，‎ ‎∴OH=AE，‎ 所以（3）正确；‎ ‎（4）∵AH=DH，CD=CE，‎ 在△AFH与△CHE中，‎ ‎，‎ ‎∴△AFH≌△CHE，‎ ‎∴AF=EH，‎ 在Rt△ABE与Rt△AHE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△AHE，‎ ‎∴BE=EH，‎ ‎∴BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，‎ 所以（2）不正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：‎ ‎①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【分析】由正方形的性质及条件可判断出①△ABE≌△BCF，即可判断出②AE=BF，∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，可得出∠APB=90°，即可判断③，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性质，结合CF=BE可判断④；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值，可判断⑤．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵动点F，E的速度相同，‎ ‎∴DF=CE，‎ 又∵CD=BC，‎ ‎∴CF=BE，‎ 在△ABE和△BCF中，‎ ‎∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；‎ ‎∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故②正确；‎ ‎∵∠BAE+∠BEA=90°，‎ ‎∴∠CBF+∠BEA=90°，‎ ‎∴∠APB=90°，故③正确；‎ 在△BPE和△BCF中，‎ ‎∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，‎ ‎∴△BPE∽△BCF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CF•BE=PE•BF，‎ ‎∵CF=BE，‎ ‎∴CF2=PE•BF，故④正确；‎ ‎∵点P在运动中保持∠APB=90°，‎ ‎∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，‎ 设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，‎ 在Rt△BCG中，CG===，‎ ‎∵PG=AB=，‎ ‎∴CP=CG﹣PG=﹣=，‎ 即线段CP的最小值为，故⑤正确；‎ 综上可知正确的有5个，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识点．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎7．如图，正方形ABCD中，以AD为底边作等腰△ADE，将△ADE沿DE折叠，点A落到点F处，连接EF刚好经过点C，再连接AF，分别交DE于G，交CD于H．在下列结论中：‎ ‎①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH，‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【分析】首先证明∠HCF=∠FHC=67.5°，由此可以判定③正确，②错误，再证明AC∥DF，推出S△DFA=S△FDC，由此判断⑤正确，根据ASA可以判断①正确，在△EAF中，由∠CAE=∠CAF，∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，推出CE=CK＜CF，由此判断④错误．‎ ‎【解答】解：如图，连接AC、以D为圆心DA为半径画圆．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴DA=DC=AB=BC，∠ADC=∠B=∠DCB=90°，∠ACD=∠DAC=45°‎ ‎∵△DEF是由△DEA翻折得到，‎ ‎∴DA=DF=DC，EA=EF，∠AED=∠DEF，‎ ‎∴∠AFC=∠ADC=45°‎ ‎∴∠EFA=∠EAF=45°，‎ ‎∴∠AEF=90°，‎ ‎∴∠DEF=∠DEA=45°，‎ ‎∵EA=ED=EF，‎ ‎∴∠DAE=∠ADE=∠EDF=∠EFD=67.5°，‎ ‎∴∠DAF=∠DFA=22.5°，‎ ‎∴∠ADF=180°﹣∠DAF﹣∠DFA=135°，‎ ‎∴∠CDF=∠ADF﹣∠ADC=45°，‎ ‎∴∠DCF=180°﹣∠CDF﹣∠DFC=67.5°，‎ ‎∵∠CHF=∠CDF+∠DFA=67.5°，‎ ‎∴∠HCF=∠FHC，‎ ‎∴△CFH是等腰三角形，故③正确．②错误，‎ ‎∵∠ACD=∠CDF，‎ ‎∴AC∥DF，‎ ‎∴S△DFA=S△FDC，‎ ‎∴S△ADH=S△CHF，故⑤正确，‎ ‎∵EA=ED，‎ ‎∴∠EAD=∠EDA，‎ ‎∴∠BAM=∠CDN，‎ 在△ABM和△DCN中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABM≌△DCN，故①正确，‎ 在△EAF中，∵∠CAE=∠CAF，∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，‎ ‎∴CE=CK＜CF，‎ ‎∴CE≠CF故④错误．‎ ‎∴①③⑤正确，‎ 选B．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、圆的有关性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造圆利用圆的有关性质解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：‎ ‎①△AEF∽△CAB； ②CF=2AF； ③DF=DC； ④S四边形CDEF=S△AEF，‎ 其中正确的结论有（　　）个．‎ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④‎ ‎【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；‎ ‎②由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以 ==，故②正确；‎ ‎③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；‎ ‎④根据△AEF∽△CBF得到 ==，求出S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCDS四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF=5S△AEF=，故④错误．‎ ‎【解答】解：过D作DM∥BE交AC于N，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，‎ ‎∵BE⊥AC于点F，‎ ‎∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，‎ ‎∴△AEF∽△CAB，故①正确；‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△CBF，‎ ‎∴==，‎ ‎∵AE=AD=BC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CF=2AF，故②正确，‎ ‎∵DE∥BM，BE∥DM，‎ ‎∴四边形BMDE是平行四边形，‎ ‎∴BM=DE=BC，‎ ‎∴BM=CM，‎ ‎∴CN=NF，‎ ‎∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，‎ ‎∴DN⊥CF，‎ ‎∴DF=DC，故③正确；‎ ‎∵△AEF∽△CBF，‎ ‎∴==，‎ ‎∴S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD ‎∴S△AEF=S矩形ABCD，‎ 又∵S四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD，‎ ‎∴S四边形CDEF=5S△AEF故④错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：‎ ‎①GH⊥BE；②HOBG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】（1）由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；‎ ‎（2）由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HOBG；‎ ‎（3）△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE，得出点H在正方形CGFE的外接圆上；‎ ‎（4）连接CF，由点H在正方形CGFE的外接圆上，得到∠HFC=∠CGH，由∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，得出∠FMG=∠GBE，所以△GBE∽△GMF．‎ ‎【解答】解：（1）如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，‎ ‎∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，‎ 在△BCE和△DCG中，‎ ‎∴△BCE≌△DCG（SAS），‎ ‎∴∠BEC=∠BGH，‎ ‎∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，‎ ‎∴∠BEC+∠HDE=90°，‎ ‎∴GH⊥BE．‎ 故①正确；‎ ‎（2）∵GH是∠EGC的平分线，‎ ‎∴∠BGH=∠EGH，‎ 在△BGH和△EGH中 ‎∴△BGH≌△EGH（ASA），‎ ‎∴BH=EH，‎ 又∵O是EG的中点，‎ ‎∴HO是△EBG的中位线，‎ ‎∴HOBG，‎ 故②正确；‎ ‎（3）由（1）得△EHG是直角三角形，‎ ‎∵O为EG的中点，‎ ‎∴OH=OG=OE，‎ ‎∴点H在正方形CGFE的外接圆上，‎ 故③错误；‎ ‎（4）如图2，连接CF，‎ 由（3）可得点H在正方形CGFE的外接圆上，‎ ‎∴∠HFC=∠CGH，‎ ‎∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，‎ ‎∴∠FMG=∠GBE，‎ 又∵∠EGB=∠FGM=45°，‎ ‎∴△GBE∽△GMF．‎ 故④正确，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是能灵活利用三角形全等的判定和性质来解题．‎ ‎　‎ 二．填空题（共7小题）‎ ‎10．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是　①②⑤　．‎ ‎【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；‎ ‎②由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE过点B作BM⊥AE延长线于M，由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°，可以得出∠PEB=90°就可以得出②正确，‎ ‎③所以△EMB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF=，故③是错误的；‎ ‎④由△APD≌△AEB，可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB，然后利用已知条件计算即可判定；‎ ‎⑤连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPD=PD×BE=，所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+，由此即可判定．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=90°．‎ ‎∵AP⊥AE，‎ ‎∴∠EAP=90°，‎ ‎∴∠BAD=∠EAP，‎ ‎∴∠BAD﹣∠BAP=∠EAP﹣∠BAP，‎ 即∠DAP=∠BAE．‎ ‎∵在△APD和△AEB中，‎ ‎，‎ ‎∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；‎ ‎∴∠AEB=∠APD，‎ ‎∵∠AEP=∠APE=45°，‎ ‎∴∠APD=∠AEB=135°，‎ ‎∴∠BEP=90°，‎ ‎∴EB⊥ED，故②正确．‎ 过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，‎ 在Rt△AEP中，由勾股定理得PE=，‎ 在Rt△BEP中，PB=，PE=，由勾股定理得：BE=，‎ ‎∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，‎ ‎∴∠AEP=45°，‎ ‎∴∠BEF=180°﹣45°﹣90°=45°，‎ ‎∴∠EBF=45°，‎ ‎∴EF=BF，‎ 在Rt△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=，故③是错误的；‎ ‎∵△APD≌△AEB，‎ ‎∴PD=BE=，‎ ‎∴S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=+，因此④是错误的；‎ 连接BD，则S△BPD=PD×BE=，‎ 所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+，‎ 所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+．故⑤正确；‎ 综上可知，正确的有①②⑤．‎ 故答案为：①②⑤．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理的运用，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．‎ ‎　‎ ‎11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是　②④　．（把你认为正确的说法的序号都填上）‎ ‎【分析】根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，故①错误；求得∠BAE=∠CBF，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AE=BF，判断出②正确；根据题意，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，然后求出弧的长度，判断出③错误；由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，根据勾股定理求出最小CG长度．‎ ‎【解答】解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，‎ ‎∴∠AGB保持90°不变，‎ ‎∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，‎ ‎∴当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，‎ ‎∴AG=GE，故①错误；‎ ‎∵BF⊥AE，‎ ‎∴∠AEB+∠CBF=90°，‎ ‎∵∠AEB+∠BAE=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠CBF，‎ 在△ABE和△BCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△BCF（AAS），‎ ‎∴故②正确；‎ ‎∵当E点运动到C点时停止，‎ ‎∴点G运动的轨迹为圆，‎ 圆弧的长=×2=，故③错误；‎ 由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，‎ OC==，‎ CG的最小值为OC﹣OG=﹣1，故④正确；‎ 综上所述，正确的结论有②④．‎ 故答案为②④．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出△ABE和△‎ BCF全等是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．‎ ‎　‎ ‎12．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的是　①②③　（把所有正确结论的序号都填在横线上）．‎ ‎【分析】利用SAS证明△ABF与△CBF全等，得出①正确，根据含30°角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是2，得出②正确，同时得出；△ABF的面积为得出④错误，得出tan∠DCF=，得出③正确．‎ ‎【解答】解：∵菱形ABCD，‎ ‎∴AB=BC=6，‎ ‎∵∠DAB=60°，‎ ‎∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，‎ 在△ABF与△CBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABF≌△CBF（SAS），‎ ‎∴①正确；‎ 过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：‎ ‎∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，‎ ‎∴BE=6﹣2=4，‎ ‎∵EG⊥AB，‎ ‎∴EG=，‎ ‎∴点E到AB的距离是2，‎ 故②正确；‎ ‎∵BE=4，EC=2，‎ ‎∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1，‎ ‎∴S△ABF：S△FBE=3：2，‎ ‎∴△ABF的面积为=，‎ 故④错误；‎ ‎∵，‎ ‎∴=，‎ ‎∵，‎ ‎∴FM=，‎ ‎∴DM=，‎ ‎∴CM=DC﹣DM=6﹣，‎ ‎∴tan∠DCF=，‎ 故③正确；‎ 故答案为：①②③‎ ‎【点评】此题考查了四边形综合题，关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，在边CD上有一点E，使EB平分∠‎ AEC．若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：‎ ‎①点B平分线段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF；⑤△AEB是正三角形．‎ 其中正确结论的序号是　①②③⑤　．‎ ‎【分析】由角平分线的定义和矩形的性质可证明∠AEB=∠ABE，可求得AE=AB=2，在Rt△ADE中可求得DE=1，则EC=1，又可证明△PEC∽△PBF，可求得BF=2，可判定①；在Rt△PBF中可求得PF，可判定②；在Rt△BCE中可求得BE=2，可得∠BEF=∠F，可判定③；容易计算出S矩形ABCD和S△BPF；可判定④；由AE=AB=BE可判定⑤；可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠CEB=∠ABE，‎ 又∵BE平分∠AEC，‎ ‎∴∠AEB=∠CEB，‎ ‎∴∠AEB=∠ABE，‎ ‎∴AE=AB=2，‎ 在Rt△ADE中，AD=，AE=2，由勾股定理可求得DE=1，‎ ‎∴CE=CD﹣DE=2﹣1=1，‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴△PCE∽△PBF，‎ ‎∴=，即==，‎ ‎∴BF=2，‎ ‎∴AB=BF，‎ ‎∴点B平分线段AF，‎ 故①正确；‎ ‎∵BC=AD=，‎ ‎∴BP=，‎ 在Rt△BPF中，BF=2，由勾股定理可求得PF===，‎ ‎∵DE=1，‎ ‎∴PF=DE，‎ 故②正确；‎ 在Rt△BCE中，EC=1，BC=，由勾股定理可求得BE=2，‎ ‎∴BE=BF，‎ ‎∴∠BEF=∠F，‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴∠FEC=∠F，‎ ‎∴∠BEF=∠FEC，‎ 故③正确；‎ ‎∵AB=2，AD=，‎ ‎∴S矩形ABCD=AB•AD=2×=2，‎ ‎∵BF=2，BP=，‎ ‎∴S△BPF=BF•BP=×2×=，‎ ‎∴4S△BPF=，‎ ‎∴S矩形ABCD=≠4S△BPF，‎ 故④不正确；‎ 由上可知AB=AE=BE=2，‎ ‎∴△AEB为正三角形，‎ 故⑤正确；‎ 综上可知正确的结论为：①②③⑤．‎ 故答案为：①②③⑤．‎ ‎【点评】本题主要考查矩形的性质和相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定等知识点的综合应用．根据条件求得AE=AB，求得DE的长是解题的关键，从而可求得BF、PF、BE等线段的长容易判断②③④⑤．本题知识点较多，综合性较强，难度较大．在解题时注意勾股定理的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：‎ ‎①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，‎ 其中正确的有　①②③④　．‎ ‎【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；‎ ‎②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；‎ ‎③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；‎ ‎④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE﹣AH=BC﹣CD，BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=2HE，判断出④正确；‎ ‎⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．‎ ‎【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAE=∠DAE=45°，‎ ‎∴△ABE是等腰直角三角形，‎ ‎∴AE=AB，‎ ‎∵AD=AB，‎ ‎∴AE=AD，‎ 在△ABE和△AHD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△AHD（AAS），‎ ‎∴BE=DH，‎ ‎∴AB=BE=AH=HD，‎ ‎∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，‎ ‎∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，‎ ‎∴∠AED=∠CED，故①正确；‎ ‎∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），‎ ‎∴∠OHE=∠AED，‎ ‎∴OE=OH，‎ ‎∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，‎ ‎∴∠DOH=∠ODH，‎ ‎∴OH=OD，‎ ‎∴OE=OD=OH，故②正确；‎ ‎∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，‎ ‎∴∠EBH=∠OHD，‎ 又∵BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°‎ 在△BEH和△HDF中 ‎∴△BEH≌△HDF（ASA），‎ ‎∴BH=HF，HE=DF，故③正确；‎ 由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD﹣DF，‎ ‎∴BC﹣CF=（CD+HE）﹣（CD﹣HE）=2HE，所以④正确；‎ ‎∵AB=AH，∠BAE=45°，‎ ‎∴△ABH不是等边三角形，‎ ‎∴AB≠BH，‎ ‎∴即AB≠HF，故⑤错误；‎ 综上所述，结论正确的是①②③④．‎ 故答案为：①②③④．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎　‎ ‎15．如图所示，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正确的是　①③⑤　．‎ ‎【分析】根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，利用SAS证明△ABE≌△CBE，即可判断①正确；过F作FH⊥BC于H，先求出∠FBH=30°，再根据直角三角形的性质求出FH，即可判断②错误；在EF上取一点N，使BN=BE，由∠BEN=60°，得出△NBE为等边三角形，再利用ASA证明△FBN≌△CBE，得出NF=EC，从而判断③正确；过A作AM⊥BD交于M，根据勾股定理求出BD，解直角△‎ ADM与直角△AEM，求出AM、DM与EM的值，根据三角形的面积公式求出S△AED=DE×AM=+，即可判断④错误；根据S△EBF=S△FBC﹣S△EBC及S△CBE=S△ABE=S△ABM﹣S△AEM，求出S△EBF=，进而判断⑤正确．‎ ‎【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，‎ ‎∵BE=BE，‎ ‎∴△ABE≌△CBE，‎ ‎∴AE=CE，‎ ‎∴①正确；‎ ‎②过F作FH⊥BC于H．‎ ‎∵△ABE≌△CBE，‎ ‎∴∠BAE=∠BCE=15°．‎ ‎∵BF=BC=1，‎ ‎∴∠BFC=∠FCB=15°，‎ ‎∴∠FBH=∠BFC+∠FCB=30°，‎ ‎∴FH=BF=，‎ ‎∴②错误；‎ ‎③在EF上取一点N，使BN=BE，‎ 又∵∠BEN=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，‎ ‎∴△NBE为等边三角形，‎ ‎∴∠ENB=60°，‎ 又∵∠NFB=15°，‎ ‎∴∠NBF=45°，‎ 又∵∠EBC=45°，‎ ‎∴∠NBF=∠EBC，‎ 又∵BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，‎ ‎∴△FBN≌△CBE，‎ ‎∴NF=EC，‎ 故BE+EC=EN+NF=EF，‎ ‎∴③正确；‎ ‎④过A作AM⊥BD交于M．‎ 在直角△ABM中，∵∠BAD=90°，AB=AD=1，‎ ‎∴BD=，‎ 在直角△ADM中，∵∠AMD=90°，∠ADM=45°，AD=1，‎ ‎∴DM=AM=，‎ 在直角△AEM中，∵∠AME=90°，∠AEM=60°，AM=，‎ ‎∴EM==，‎ ‎∴S△AED=DE×AM=（+）×=+，‎ ‎∴④错误；‎ ‎⑤∵BD=，AM=DM=，EM=，‎ ‎∴BM=BD﹣DM=﹣=，BM﹣EM=﹣，‎ ‎∴S△ABE=S△ABM﹣S△AEM=BM•AM﹣EM•AM=AM（BM﹣EM）=××（﹣）=﹣．‎ ‎∵△ABE≌△CBE，‎ ‎∴S△ABE=S△CBE=﹣，‎ ‎∴S△EBF=S△FBC﹣S△EBC=×1×﹣（﹣）=，‎ ‎∴⑤正确．‎ 故答案为①③⑤．‎ ‎【点评】‎ 本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AB=5cm．点P从点A出发沿AC以1.5cm/s的速度向点C匀速运动，到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回；点Q从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线PC﹣CB﹣BQ于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0），则当t=　或　秒时，四边形BQDE为直角梯形．‎ ‎【分析】由四边形QBED为直角梯形，分为∠PQB=90°和∠CPQ=90°两种情况，得出三角形相似，利用相似比求出相应t的值即可．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，BC=3cm，AB=5cm，‎ 根据勾股定理得：AC==4cm，‎ 设P、Q运动t秒时，四边形QBED为直角梯形，‎ ‎①当∠PQB=90°时，得DE∥QB，‎ 则四边形QBED是直角梯形（如图1），‎ 此时△APQ∽△ABC，‎ 则=，即=，‎ 解得：t=；‎ ‎②当∠CPQ=90°时，得PQ∥BC，‎ 则四边形QBED是直角梯形（如图2），‎ 此时△APQ∽△ACB，‎ 则=，即=，‎ 解得：t=，‎ 综上，当点P、Q运动或秒时，四边形QBED是直角梯形．‎ 故答案为：或 ‎【点评】此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角梯形的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，解题的关键是由直角梯形的直角的可能情况，利用平行线得相似三角形，分类求解．‎ ‎　‎ 三．解答题（共34小题）‎ ‎17．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．‎ ‎（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；‎ ‎（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，求出DE=CF，根据SAS推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出AE=DF，∠DAE=∠FDC即可；‎ ‎（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=a，根据正方形的性质∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；‎ ‎（3）根据（1）（2）知：点P在运动中保持∠APD=90°，得出点P的路径是以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，求出QC即可．‎ ‎【解答】解：（1）AE=DF，AE⊥DF，‎ 理由是：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，‎ ‎∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，‎ ‎∴DE=CF，‎ 在△ADE和△DCF中 ‎，‎ ‎∴△ADE≌△DCF，‎ ‎∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，‎ ‎∵∠ADE=90°，‎ ‎∴∠ADP+○CDF=90°，‎ ‎∴∠ADP+∠DAE=90°，‎ ‎∴∠APD=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴AE⊥DF；‎ ‎（2）‎ ‎（1）中的结论还成立，CE：CD=或2，‎ 理由是：有两种情况：‎ ‎①如图1，当AC=CE时，‎ 设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE==a，‎ 则CE：CD=a：a=；‎ ‎②如图2，当AE=AC时，‎ 设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE==a，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，‎ ‎∴DE=CD=a，‎ ‎∴CE：CD=2a：a=2；‎ 即CE：CD=或2；‎ ‎（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，‎ ‎∴点P的路径是以AD为直径的圆，‎ 如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，‎ ‎∵在Rt△QDC中，QC===，‎ ‎∴CP=QC+QP=+1，‎ 即线段CP的最大值是+1．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．点P在边AC上运动，过点P作PD⊥AB于点D，以AP、AD为邻边作▱PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）．‎ ‎（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）．‎ ‎（2）当点E落在边BC上时，求x的值．‎ ‎（3）求y与x之间的函数关系式．‎ ‎（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．‎ ‎【分析】（1）先由∠C=90°，AC=BC，得出∠A=45°，再解等腰直角△‎ APD，得出AD=AP•cos∠A=x=PD，然后根据平行四边形对边相等得出PE=AD=x；‎ ‎（2）当点E落在边BC上时，先由平行线的性质得出∠CPE=∠A=45°，再解等腰直角△CPE，得出PC=PE•cos∠CPE=x•=x，再根据AP+PC=AC列出方程x+x=6，解方程即可；‎ ‎（3）分两种情况进行讨论：①当0＜x≤4时，y=S▱PADE，根据平行四边形面积公式求解即可；②当4＜x≤6时，设DE与BC交于G，PE与BC交于F．求出GE=DE﹣DG=x﹣（6﹣x）=x﹣6，再根据y=S▱PADE﹣S△GFE计算即可；‎ ‎（4）由（2）知，x=4时，点E落在边BC上，此时点E到△ABC任意两边所在直线距离均不相等，所以分两种情况进行讨论：①当E在△ABC内部时，0＜x＜4．过E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延长DE交BC于N，则EN⊥BC．求出EL=x，EM=x，EN=6﹣x．由于x≠x，即EL≠EM．所以分EL=EN与EM=EN分别列出方程，求解即可；②当E在△ABC外部时，4＜x≤6，过E作EL⊥AC交AC延长线于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC．求出EL=x，EM=x，EG=x﹣6．由于x≠x，即EL≠EM．所以分EL=EN与EM=EN分别列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，‎ ‎∴∠A=45°，‎ ‎∵PD⊥AB，‎ ‎∴AD=AP•cos∠A=x=PD，‎ ‎∵四边形PADE是平行四边形，‎ ‎∴PE=AD=x；‎ ‎（2）当点E落在边BC上时，如图1．‎ ‎∵PE∥AD，‎ ‎∴∠CPE=∠A=45°，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴PC=PE•cos∠CPE=x•=x．‎ ‎∵AP+PC=AC，‎ ‎∴x+x=6，‎ ‎∴x=4；‎ ‎（3）①当0＜x≤4时，如图2．‎ y=S▱PADE=AD•PD=x•x=x2，即y=x2；‎ ‎②当4＜x≤6时，如图3，设DE与BC交于G，PE与BC交于F．‎ ‎∵AD=x，AB=AC=6，‎ ‎∴DB=AB﹣AD=6﹣x，‎ ‎∴DG=DB•sin∠B=（6﹣x）•=6﹣x，‎ ‎∴GE=DE﹣DG=x﹣（6﹣x）=x﹣6，‎ ‎∴y=S▱PADE﹣S△GFE=x2﹣（x﹣6）2=﹣x2+9x﹣18；‎ ‎（4）①当E在△ABC内部时，0＜x＜4，如图4，过E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延长DE交BC于N，则EN⊥BC．‎ EL=PE•sin∠LPE=x•=x，‎ EM=DE•sin∠EDM=x•=x，‎ EN=DN﹣DE=DB•sin∠B﹣AP=（6﹣x）•﹣x=6﹣x﹣x=6﹣x．‎ ‎∵0＜x＜4，‎ ‎∴x≠x，即EL≠EM．‎ 当EL=EN时，E在∠ACB的平分线上，‎ 有x=6﹣x，解得x=3，符合题意；‎ 当EM=EN时，E在∠ABC的平分线上，‎ 有x=6﹣x，解得x=，符合题意；‎ ‎②当E在△ABC外部时，4＜x≤6，过E作EL⊥AC交AC延长线于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC．‎ EL=GC=AD•sin∠A=x•=x，‎ EM=DE•sin∠EDM=x•=x，‎ EG=DE﹣DG=AP﹣DB•sin∠B=x﹣（6﹣x）•=x﹣（6﹣x）=x﹣6．‎ ‎∵4＜x≤6，‎ ‎∴x≠x，即EL≠EM．‎ 当EL=EG时，E在∠ACB的外角的角平分线上，‎ 有x=x﹣6，解得x=6，符合题意；‎ 当EM=EG时，E在∠ABC的外角的角平分线上，‎ 有x=x﹣6，解得x=＞6，不合题意舍去．‎ 综上所述，点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值为3，6，．‎ ‎【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线的性质，三角形、四边形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．问题探究 ‎（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；‎ 问题解决 ‎（3）如图③，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．‎ ‎【分析】（1）结论：AM⊥BN．只要证明△ABM≌△BCN即可解决问题；‎ ‎（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．首先证明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可解决问题；‎ ‎（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．首先证明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）结论：AM⊥BN．‎ 理由：如图①中，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，‎ ‎∵BM=CN，‎ ‎∴△ABM≌△BCN，‎ ‎∴∠BAM=∠CBN，‎ ‎∵∠CBN+∠ABN=90°，‎ ‎∴∠ABN+∠BAM=90°，‎ ‎∴∠APB=90°，‎ ‎∴AM⊥BN．‎ ‎（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．‎ ‎∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，‎ ‎∴四边形EFPG是矩形，‎ ‎∴∠FEG=∠AEB=90°，‎ ‎∴∠AEF=∠BEG，‎ ‎∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，‎ ‎∴△AEF≌△BEG，‎ ‎∴EF=EG，AF=BG，‎ ‎∴四边形EFPG是正方形，‎ ‎∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，‎ ‎∵EF≤AE，‎ ‎∴EF的最大值=AE=2，‎ ‎∴△APB周长的最大值=4+4．‎ ‎（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．‎ ‎∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，‎ ‎∴△ABM≌△BCN，‎ ‎∴∠BAM=∠CBN，‎ ‎∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，‎ ‎∴∠APB=120°，‎ ‎∵∠AKB=60°，‎ ‎∴∠AKB+∠APB=180°，‎ ‎∴A、K、B、P四点共圆，‎ ‎∴∠BPH=∠KAB=60°，‎ ‎∵PH=PB，‎ ‎∴△PBH是等边三角形，‎ ‎∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，‎ ‎∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，‎ ‎∴△KBH≌△ABP，‎ ‎∴HK=AP，‎ ‎∴PA+PB=KH+PH=PK，‎ ‎∴PK的值最大时，△APB的周长最大，‎ ‎∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，‎ ‎∴△PAB的周长最大值=2+4．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎20．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC=60°点M、N分别是边BC、边CD上的动点，且MB=NC．连接AM、AN、MN．MN交AC于点P．‎ ‎（1）△AMN是什么特殊的三角形？说明理由．并求其面积最小值；‎ ‎（2）求点P到直线CD距离的最大值；‎ ‎（3）如图2，已知MB=NC=1，点E、F分别是边AM、边AN上的动点，连接EF、PF，EF+PF是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时AE、AF的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）△AMN是等边三角形，AM⊥BC时面积最小．只要证明△AMB≌△ANC，推出AM=AN，∠BAM=∠CAN即可解决问题．‎ ‎（2）如图2中，当AM⊥BC时，点P到CD距离最大．作PE⊥CD于E．‎ ‎（3）如图3中，作点P关于AN的对称点为K，过点K做AM的垂线，交AN为F，交AM为E，此时，EF+PF最短，连接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．首先求出AM、AG的长，再证明△AGP≌△KEA，推出KE=AG即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，‎ ‎∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC为等边三角形 在△AMB和△ANC中，‎ AB=AC ‎∠B=∠ACN=60°‎ BM=NC ‎∴△AMB≌△ANC ‎∴AM=AN，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，‎ ‎∴∠MAN=60°，‎ ‎∴△AMN为等边三角形，‎ 当AM⊥BC时，△AMN的边长最小，面积最小，‎ 此时AM=MN=AN=2，S△AMN=•（2）2=3‎ ‎（2）如图2中，‎ 当AM⊥BC时，点P到CD距离最大．作PE⊥CD于E．‎ 理由：由（1）可知△AMN是等边三角形，‎ 当AM⊥BC时，△AMN的边长最小，此时PA长最小，PC的长最大，点P到直线CD距离的最大，‎ ‎∵BM=MC=2，∠CMP=30°，∠MPC=90°，‎ ‎∴PC=MC=1，‎ 在Rt△PCE中，∵∠CPE=30°，PC=1，‎ ‎∴EC=PC=，‎ ‎∴PE==．‎ ‎∴点P到直线CD距离的最大值为；‎ ‎（3）如图3中，作点P关于AN的对称点为K，过点K做AM的垂线，交AN为F，交AM为E，此时，EF+PF最短，由于对称，PF=KF，EF为垂线段（垂线段最短）．‎ 连接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．‎ 在Rt△BMH中，∵BM=1，∠BMH=30°，‎ ‎∴BH=，HM=，‎ ‎∴AH=，AM==，‎ ‎∵△AMN是等边三角形，‎ ‎∴AG=．‎ ‎∵∠APG=∠PCM+∠PMC=60°+∠PMC，‎ ‎∵∠PMC+∠PCM+∠CPM=180°，∠NAP+∠ANP+∠APN=180°，∠ANP=∠PCM=60°，∠APN=∠CPM，‎ ‎∴∠CMP=∠NAP=∠NAK，‎ ‎∵∠EAK=∠EAN+∠NAK=60°+∠NAK，‎ ‎∴∠APG=∠EAK，‎ ‎∵∠AGP=∠AEK=90°，AP=AK，‎ ‎∴△AGP≌△KEA，‎ ‎∴KE=AG=．‎ ‎∴EF+PF的最小值为，‎ ‎∵∠PCN=∠PCM，‎ ‎∴====，‎ ‎∴PN=，‎ ‎∴AE=PG=GN﹣PN=，‎ ‎∵在Rt△AFE中，∠AFE=30°，∴AF=2AE，‎ ‎∴AF=．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎21．如图①，正方形ABCD边长为1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α度后得到正方形AB'C'D'（0°＜α＜90°），C'D'与直线CD相交于点E，C'B'与直线CD相交于点F．‎ 问题发现：（1）试猜想∠EAF=　45°　；三角形EC'F的周长　2　．‎ 问题探究：如图②，连接B'D'分别交AE，AF于P，Q两点．‎ ‎（2）在旋转过程中，若D'P=a，QB'=b，试用a，b来表示PQ，并说明理由．‎ ‎（3）在旋转过程中△APQ的面积是否存在最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）首先证明Rt△AD'E≌Rt△ADE（HL），推出D'E=DE，∠D'AE=∠DAE，同理：B'F=DF，∠B'AF=∠DAF，推出∠EAF=∠DAE+∠DAF=∠B'AD'=45°，推出△EC′F的周长为C'E+EF+C'F=C'E+DE+DF+C'F=C'E+D'E+B'F+C'F=C'D+B'C'=2．‎ ‎（2）求出B′D′的长即可解决问题．‎ ‎（3）首先证明△APQ∽△AFE，推出=，推出EF最小时，△AEF的面积最小，此时△APQ的面积最小，由（1）可知，△C′EF的周长=EC′+C′F+EF=C′E+ED′+FB′=C′D′+C′B′=2=定值，可以证明当EC′=C′F时，斜边EF定值最小．求出△AEF的最小值即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转α°，后得到正方形AB′C′D′，‎ ‎∴∠D'AB'=∠D'=∠ADE=90°，AD'=AD=C'D'=B'C'=1‎ 在Rt△AD'E和Rt△ADE中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△AD'E≌Rt△ADE（HL），‎ ‎∴D'E=DE，∠D'AE=∠DAE，‎ 同理：B'F=DF，∠B'AF=∠DAF，‎ ‎∴∠EAF=∠DAE+∠DAF=∠B'AD'=45°，‎ ‎△EC′F的周长为C'E+EF+C'F=C'E+DE+DF+C'F=C'E+D'E+B'F+C'F=C'D+B'C'=2，‎ 故答案为：45°，2；‎ ‎（2）∵B'D'是正方形AB'C'D'的对角线，‎ ‎∴B'D'=，‎ ‎∵D′P=a，QB′=b ‎∴PQ=B'D'﹣D'P﹣B'Q=﹣a﹣b；‎ ‎（3）如图②中，连接EQ．‎ ‎∵∠ED′P=∠PAQ=45°，∠EPD′=∠APQ，‎ ‎∴△EPD′∽△QPA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，∵∠APD′=∠EPQ，‎ ‎∴△PAD′∽△PQE，‎ ‎∴∠AD′P=∠PEQ=45°，‎ ‎∴∠QAE=∠QEA=45°，‎ ‎∴△AEQ是等腰直角三角形，‎ ‎∴AE=AQ，同理，AF=AP，‎ ‎∴=，∵∠PAQ=∠EAF，‎ ‎∴△PAQ∽△FAE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵EF最小时，△AEF的面积最小，此时△APQ的面积最小，‎ 由（1）可知，△C′EF的周长=EC′+C′F+EF=C′E+ED′+FB′=C′D′+C′B′=2=定值，‎ 可以证明当EC′=C′F时，斜边EF定值最小．设C′E=x，C′F=y，EF=z，则x+y+z=2，x2+y2=z2，x+y=2﹣z，xy=2﹣2z，‎ ‎∴x，y是方程M的两根，M2﹣（2﹣z）M+2﹣2z=0，∵△≥0，‎ ‎∴（2﹣z）2﹣4（2﹣2z）≥0，‎ ‎∴（z+2）2≥8，‎ ‎∴z+2≥2，‎ ‎∴z﹣2，‎ ‎∴斜边EF的最小值为2﹣2，此时△AEF的面积=×1×（2﹣2）=﹣1，△APQ的面积=•S△AEF=，‎ ‎∴△APQ的面积的最小值为．‎ ‎【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的难点是构建一元二次方程，应用故的判别式，确定EF的最小值，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在矩形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=6cm，AE=DE=3cm，点P从点E出发，沿EB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ⊥CD？‎ ‎（2）设四边形PBCQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PBCQ：S四边形PQDE=22：5？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（4）是否存在某一时刻t，使A，P，Q三点在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）先根据勾股定理求出BE=5，再用平行线分线段成比例定理得出，建立方程即可得出结论；‎ ‎（2）先利用相似三角形的性质得出BF，PF，再利用面积的和即可得出结论；‎ ‎（3）先求出梯形BCDE的面积，进而得出四边形BCQP的面积，建立方程，即可得出结论；‎ ‎（4）先判断出△PEG∽△BEA，得出PG=t，EG=t，再判断出△APG∽△AQD得出比例式建立方程求解即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=∠C=∠D=90°，‎ ‎∴BC⊥CD，AD⊥CD，‎ 在Rt△ABE中，AE=DE=AD=3，AB=4，根据勾股定理得，BE=5，‎ 由运动知，PE=t，CQ=2t，‎ ‎∴BP=5﹣t，DQ=4﹣2t，‎ ‎∵PQ⊥CD，AD⊥CD，BC⊥CD，‎ ‎∴DE∥QP∥CB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴t=；‎ ‎（2）如图2，过点P作PF⊥BC于F，‎ ‎∴PF∥AB，‎ ‎∴∠BPF=∠EBA，‎ ‎∵∠BFP=∠EAB=90°，‎ ‎∴△BFP∽△EAB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴BF=（5﹣t），PF=（5﹣t），‎ ‎∴CF=BC﹣BF=6﹣（5﹣t）=（5+t），‎ ‎∴y=S△BFP+S梯形CQPF=PF•BF+（CQ+PF）×CF=×（5﹣t）×（5﹣t）+[2t+（5﹣t）]×（5+t）‎ ‎=﹣t2﹣t，‎ ‎（3）不存在，‎ 理由：假设存在，‎ ‎∵S梯形BCDE=（DE+BC）×CD=18，‎ ‎∵S四边形PBCQ：S四边形PQDE=22：5，‎ ‎∴S四边形PBCQ：S梯形BCDE=22：27，‎ ‎∴S四边形PBCQ=S梯形BCDE=，‎ ‎∴y=，‎ 由（2）知，y=﹣t2﹣t，‎ ‎∴﹣t2﹣t=，‎ 即：t2+t+=0，‎ 而△=（）2﹣4××=﹣＜0，‎ ‎∴此方程无解，‎ 即：不存在某一时刻t，使S四边形PBCQ：S四边形PQDE=22：5．‎ ‎（4）存在，理由：假设存在，‎ 如图3，过点P作PG⊥AD于G，‎ ‎∴PG∥AB∥CD，‎ ‎∴△PEG∽△BEA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴PG=t，EG=t，‎ ‎∴AG=AE﹣EG=3﹣t ‎∵PG∥CD．‎ ‎∴△APG∽△AQD，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴t2﹣11t+10=0，‎ ‎∴t=1或t=10（舍），‎ 即：存在t=1时，使A，P，Q三点在同一直线上．‎ ‎【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，几何图形面积的求法，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．‎ ‎（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；‎ ‎（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．‎ ‎【分析】（1）先求出BG=2，DG=4，再用勾股定理求出CD=5=BC，即可判断出△BDM是直角三角形，即可得出结论；‎ ‎（2）先判断出∠DBC=∠MDN，得出△MDN∽△MBD，得出DM2=BM×MN，再用勾股定理得DM2=16+（y﹣2）2，代入即可得出结论；‎ ‎（3）分三种情况讨论计算即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，‎ 过点D作DG⊥BC于G，‎ ‎∴易知，四边形ABGD是矩形，BG=AD=2，DG=AB=4，‎ ‎∵BC=5，‎ ‎∴CG=BC﹣BG=3，‎ 在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=5，‎ ‎∵BM=10，‎ ‎∴CM=BM﹣BC=5=BC=CD，‎ ‎∴△BDM是直角三角形，‎ ‎∴BD⊥DM；‎ ‎（2）由（1）知，CD=5=BC，‎ ‎∴∠BDC=∠DBC，‎ ‎∵∠MDN=∠BDC，‎ ‎∴∠DBC=∠MDN，‎ ‎∵∠BMD=∠DMN，‎ ‎∴△MDN∽△MBD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DM2=BM×MN 在Rt△DMG中，根据勾股定理得，DM2=DG2+MG2=16+（y﹣2）2，‎ ‎∵MN=BM﹣BN=y﹣x，‎ ‎∴16+（y﹣2）2=y（y﹣x），‎ ‎∴y=，‎ ‎∵∠MDN=∠BDC，‎ ‎∴∠BDN=∠CDM，‎ ‎∵tan∠ADB=tan∠BDG==，tan∠CDG==，‎ ‎∴∠CDG＞∠BDG=∠ADB．‎ ‎∵∠ADG=∠ADB+∠BDG=90°，‎ 当点N到点G时，∠CDG+∠CDM＞∠ADB+∠BDN＞90°，‎ ‎∵点M在BC上，‎ ‎∴x＜2，‎ ‎∴0≤x＜2，‎ ‎（3）∵△DMN是等腰三角形，‎ ‎∴Ⅰ、当DN=DM时，如图1，NG=MG，‎ ‎∵NG=2﹣x，MG=y﹣2，‎ ‎∴2﹣x=y﹣2，‎ ‎∴x+y=4②，‎ 由（2）知，y=，‎ ‎∴y（4﹣x）=20①‎ 联立①②，解得x=﹣2﹣4（舍）或x=2﹣4，‎ 即：BN=2﹣4，‎ Ⅱ、当DM=MN时，‎ ‎∴∠MDN=∠DNM，‎ ‎∵∠CBD=∠MDN，‎ ‎∴∠CBD=∠DNM，‎ ‎∴点N与点B重合，‎ ‎∴BN=0，‎ Ⅲ、当MN=DN时，‎ ‎∴∠MDN=∠DMN，‎ ‎∵∠DBC=∠MDN，‎ ‎∴∠DBC=∠DMN，‎ ‎∴DM=BD，‎ 在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD2=AD2+AB2=20，‎ ‎∵DM2=16+（BM﹣2）2，‎ ‎∴20=16+（BM﹣2）2，‎ ‎∴BM=0（舍去）或BM=4，‎ ‎∴如图2，‎ 点M在线段BC上，‎ 同（2）的方法得，16+（BM﹣2）2=BM（BM﹣BN）③，‎ ‎∵MN=BN+BM④，‎ 联立③④解得，BN=1．‎ 即：BN=0或1或2﹣4．‎ ‎【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出CD=BC=CM，解（2）的关键是判断出△MDN∽△MBD，解（3）的关键是分三种情况讨论．‎ ‎　‎ ‎24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ．‎ ‎（1）当QD=QC时，求∠ABP的正切值；‎ ‎（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；‎ ‎（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）先判断出△PDQ≌△ECQ（AAS）得出PD=CE，PQ=QE． 进而得出BE=EP=a+2，即：QP=a+1，再用勾股定理求出a的值，即可求出AP，即可得出结论；‎ ‎（2）先判断出△PAB≌△PHB（AAS），得出AP=PH=x．AB=BH，进而得出BH=BC，再判断出Rt△BHQ≌Rt△BCQ（HL），得出QH=QC=y，最后用勾股定理即可得出结论；‎ ‎（3）借助（2）得出的两个全等三角形即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，‎ 延长PQ交BC延长线于点E．设PD=a．‎ ‎∵∠PBC=∠BPQ，‎ ‎∴EB=EP．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠DPQ=∠E，‎ 在△PDQ和△ECQ中，，‎ ‎∴△PDQ≌△ECQ（AAS）‎ ‎∴PD=CE，PQ=QE． ‎ ‎∴BE=EP=a+2，‎ ‎∴QP=a+1‎ 在Rt△PDQ中，∵PD2+QD2=PQ2，‎ ‎∴a2+1=（a+1）2，解得a=‎ ‎∴AP=AD﹣PD=‎ 在Rt△ABP中，tan∠ABP==．‎ ‎（2）如图2，‎ 过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，联结BQ．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠CBP=∠APB，‎ ‎∵∠PBC=∠BPQ，‎ ‎∴∠APB=∠HPB，‎ ‎∵∠A=∠PHB=90°，‎ 在△ABP和△HBP中，，‎ ‎∴△PAB≌△PHB（AAS），‎ ‎∴AP=PH=x．AB=BH，‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴BH=BC，‎ 在Rt△BHQ和Rt△BCQ中，‎ ‎∴Rt△BHQ≌Rt△BCQ（HL），‎ ‎∴QH=QC=y，‎ 在Rt△PDQ中，∵PD2+QD2=PQ2，‎ ‎∴（2﹣x）2+（2﹣y）2=（x+y）2，‎ ‎∴（0＜x＜2）．‎ ‎（3）存在，∠PBQ=45°．‎ 由（2）知，△PAB≌△PHB，‎ ‎∴∠ABP=∠HBP，‎ ‎∴∠PBH=∠ABH 由（2）知，Rt△BHQ≌Rt△BCQ，‎ ‎∴∠HBQ=∠CBQ，‎ ‎∴∠HBQ=∠HBC，‎ ‎∴∠PBQ=∠PBH+∠HBQ=（∠ABH+∠HBC）=∠ABC=45°．‎ ‎【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是整除辅助线构造全等三角形．‎ ‎　‎ ‎25．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．‎ ‎（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；‎ ‎（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；‎ ‎（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．‎ ‎【分析】（1）首先证明∠ADB=∠BAF，由tan∠ADB===，推出tan∠BAF==，可得BF=1，根据S△ABF=•AB•BF计算即可；‎ ‎（2）首先证明△BAP∽△BAP，可得=，由AD∥BC，推出∠ADB=∠PBF，tan∠PBF=tan∠ADB=，即=，由BP=2﹣x，可得PF=（2﹣x），代入比例式即可解决问题；‎ ‎（3）分两种情形分别求解：①当点F在线段BC上时，如图1﹣1中；②如图2中，当点F在线段BC的延长线上时，作PH⊥AD于H，连接DF．寻找相似三角形，构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图，‎ ‎∵矩形ABCD，‎ ‎∴∠BAD=∠ABF=90°，‎ ‎∴∠ABD+∠ADB=90°，‎ ‎∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，‎ ‎∴∠BPA=90°，‎ ‎∴∠ABD+∠BAF=90°，‎ ‎∴∠ADB=∠BAF，‎ ‎∵tan∠ADB===，‎ ‎∴tan∠BAF==，‎ ‎∴BF=1，‎ ‎∴S△ABF=•AB•BF=×2×1=1．‎ ‎（2）如图1中，‎ ‎∵PF⊥BP，‎ ‎∴∠BPF=90°，‎ ‎∴∠PFB+∠PBF=90°，‎ ‎∵∠ABF=90°，‎ ‎∴∠PBF+∠ABP=90°，‎ ‎∴∠ABP=∠PFB，‎ 又∵∠BAP=∠FPE ‎∴△BAP∽△FPE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB=∠PBF，‎ ‎∴tan∠PBF=tan∠ADB=，即=，‎ ‎∵BP=2﹣x，‎ ‎∴PF=（2﹣x），‎ ‎∴=，‎ ‎∴y=（≤x＜2）．‎ ‎（3）①当点F在线段BC上时，如图1﹣1中，‎ ‎∵∠FPB=∠BCD=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∵∠4=∠5，∠4+∠7=90°，∠5+∠6=90°，‎ ‎∴∠6=∠7，‎ ‎∴△PEF∽△PCD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 整理得：x2﹣2x+4=0，‎ 解得x=±1．‎ ‎②如图2中，当点F在线段BC的延长线上时，作PH⊥AD于H，连接DF．‎ 由△APH∽△DFC，可得=，‎ ‎∴=，‎ 解得x=或（舍弃），‎ 综上所述，PD的长为±1或．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题．相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎26．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．‎ ‎（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；‎ ‎（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；‎ ‎（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．‎ ‎【分析】（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；‎ ‎（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；‎ ‎（3）延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，结合勾股定理以及相等线段可得（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，所以2（DF2+BE2）=EF2．‎ ‎【解答】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，‎ ‎∴AF=AG，∠FAG=90°，‎ ‎∵∠EAF=45°，‎ ‎∴∠GAE=45°，‎ 在△AGE与△AFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△AGE≌△AFE（SAS）；‎ ‎（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．‎ 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．‎ 则△ADF≌△ABG，DF=BG．‎ 由（1）知△AEG≌△AEF，‎ ‎∴EG=EF．‎ ‎∵∠CEF=45°，‎ ‎∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，‎ ‎∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，‎ ‎∴a﹣BE=a﹣DF，‎ ‎∴BE=DF，‎ ‎∴BE=BM=DF=BG，‎ ‎∴∠BMG=45°，‎ ‎∴∠GME=45°+45°=90°，‎ ‎∴EG2=ME2+MG2，‎ ‎∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，‎ ‎∴EF2=ME2+NF2；‎ ‎（3）解：EF2=2BE2+2DF2．‎ 如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，‎ 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．‎ 由（1）知△AEH≌△AEF，‎ 则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，‎ 即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2‎ 又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，‎ 即2（DF2+BE2）=EF2‎ ‎【点评】本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎27．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？‎ ‎（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出=．求出DF．由AP=DF．求出t．‎ ‎（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，求出CG．据S梯形APFD=（AP+DF）•CG．S△EFD=EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．‎ 在Rt△AOB中，AB==10．‎ ‎∵EF⊥BD，‎ ‎∴∠FQD=∠COD=90°．‎ 又∵∠FDQ=∠CDO，‎ ‎∴△DFQ∽△DCO．‎ ‎∴=．‎ 即=，‎ ‎∴DF=t．‎ ‎∵四边形APFD是平行四边形，‎ ‎∴AP=DF．‎ 即10﹣t=t，‎ 解这个方程，得t=．‎ ‎∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．‎ ‎（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，‎ ‎∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，‎ 即10•CG=×12×16，‎ ‎∴CG=．‎ ‎∴S梯形APFD=（AP+DF）•CG ‎=（10﹣t+t）•=t+48．‎ ‎∵△DFQ∽△DCO，‎ ‎∴=．‎ 即=，‎ ‎∴QF=t．‎ 同理，EQ=t．‎ ‎∴EF=QF+EQ=t．‎ ‎∴S△EFD=EF•QD=×t×t=t2．‎ ‎∴y=（t+48）﹣t2=﹣t2+t+48．‎ ‎（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，‎ 若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，‎ 则﹣t2+t+48=×96，‎ 即5t2﹣8t﹣48=0，‎ 解这个方程，得t1=4，t2=﹣（舍去）‎ 过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，‎ 当t=4时，‎ ‎∵△PBN∽△ABO，‎ ‎∴==，即==．‎ ‎∴PN=，BN=．‎ ‎∴EM=EQ﹣MQ==．‎ PM=BD﹣BN﹣DQ==．‎ 在Rt△PME中，‎ PE===（cm）．‎ ‎【点评】本题主要考查了四边形的综合知识，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．‎ ‎　‎ ‎28．如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t=　1秒　时，△PQR的边QR经过点B；‎ ‎（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；‎ ‎（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．‎ ‎【分析】（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，则有AB=AQ，由此列方程求出t的值；‎ ‎（2）在图形运动的过程中，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解；‎ ‎（3）首先判定ABFE为正方形；其次通过旋转，由三角形全等证明MN=EM+BN；设EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，由勾股定理得到等式：mn+3（m+n）﹣9=0，由此等式列方程求出时间t的值．‎ ‎【解答】解：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=AQ，即3=4﹣t，‎ ‎∴t=1．‎ 即当t=1秒时，△PQR的边QR经过点B．‎ ‎（2）①当0≤t≤1时，如答图1﹣1所示．‎ 设PR交BC于点G，‎ 过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3．‎ S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC ‎=8×3﹣（2t+2t+3）×3‎ ‎=﹣6t；‎ ‎②当1＜t≤2时，如答图1﹣2所示．‎ 设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T．‎ 过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3．‎ QD=t，则AQ=AT=4﹣t，‎ ‎∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣（4﹣t）=t﹣1．‎ S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣S△BST ‎=8×3﹣（2t+2t+3）×3﹣（t﹣1）2‎ ‎=﹣t2﹣5t+19；‎ ‎③当2＜t≤4时，如答图1﹣3所示．‎ 设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=4﹣t．‎ PQ=12﹣3t，∴PR=RQ=（12﹣3t）．‎ S=S△PQR﹣S△AQT ‎=PR2﹣AQ2‎ ‎=（12﹣3t）2﹣（4﹣t）2‎ ‎=t2﹣14t+28．‎ 综上所述，S关于t的函数关系式为：‎ S=．‎ ‎（3）∵E（5，0），∴AE=AB=3，‎ ‎∴四边形ABFE是正方形．‎ 如答图2，将△AME绕点A顺时针旋转90°，得到△ABM′，其中AE与AB重合．‎ ‎∵∠MAN=45°，‎ ‎∴∠EAM+∠NAB=45°，‎ ‎∴∠BAM′+∠NAB=45°，‎ ‎∴∠MAN=∠M′AN．‎ 连接MN．在△MAN与△M′AN中，‎ ‎∴△MAN≌△M′AN（SAS）．‎ ‎∴MN=M′N=M′B+BN ‎∴MN=EM+BN．‎ 设EM=m，BN=n，则FM=3﹣m，FN=3﹣n．‎ 在Rt△FMN中，由勾股定理得：FM2+FN2=MN2，即（3﹣m）2+（3﹣n）2=（m+n）2，‎ 整理得：mn+3（m+n）﹣9=0． ①‎ 延长NR交x轴于点S，则m=EM=RS=PQ=（12﹣3t），‎ ‎∵QS=PQ=（12﹣3t），AQ=4﹣t，‎ ‎∴n=BN=AS=QS﹣AQ=（12﹣3t）﹣（4﹣t）=2﹣t．‎ ‎∴m=3n，‎ 代入①式，化简得：n2+4n﹣3=0，‎ 解得n=﹣2+或n=﹣2﹣（舍去）‎ ‎∴2﹣t=﹣2+‎ 解得：t=8﹣2．‎ ‎∴若∠MAN=45°，则t的值为（8﹣2）秒．‎ ‎【点评】‎ 本题是运动型综合题，涉及动点与动线，复杂度较高，难度较大．第（2）问中，注意分类讨论周全，不要遗漏；第（3）问中，善于利用全等三角形及勾股定理，求得线段之间的关系式，最后列出方程求解．题中运算量较大，需要认真计算．‎ ‎　‎ ‎29．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．‎ ‎（1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时，‎ ‎①BC与CF的位置关系为：　垂直　．‎ ‎②BC，CD，CF之间的数量关系为：　BC=CD+CF　；（将结论直接写在横线上）‎ ‎（2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．‎ ‎（3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．‎ ‎【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；‎ ‎（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．‎ ‎（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠‎ ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，‎ ‎∵∠BAC=∠DAF=90°，‎ ‎∴∠BAD=∠CAF，‎ 在△DAB与△FAC中，，‎ ‎∴△DAB≌△FAC，‎ ‎∴∠B=∠ACF，‎ ‎∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；‎ 故答案为：垂直；‎ ‎②△DAB≌△FAC，‎ ‎∴CF=BD，‎ ‎∵BC=BD+CD，‎ ‎∴BC=CF+CD；‎ 故答案为：BC=CF+CD；‎ ‎（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．‎ ‎∵正方形ADEF中，AD=AF，‎ ‎∵∠BAC=∠DAF=90°，‎ ‎∴∠BAD=∠CAF，‎ 在△DAB与△FAC中，，‎ ‎∴△DAB≌△FAC，‎ ‎∴∠ABD=∠ACF，‎ ‎∵∠BAC=90°，AB=AC，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=45°．‎ ‎∴∠ABD=180°﹣45°=135°，‎ ‎∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，‎ ‎∴CF⊥BC．‎ ‎∵CD=DB+BC，DB=CF，‎ ‎∴CD=CF+BC．‎ ‎（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，‎ ‎∵∠BAC=90°，AB=AC，‎ ‎∴BC=AB=4，AH=BC=2，‎ ‎∴CD=BC=1，CH=BC=2，‎ ‎∴DH=3，‎ 由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，‎ ‎∵四边形ADEF是正方形，‎ ‎∴AD=DE，∠ADE=90°，‎ ‎∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，‎ ‎∴四边形CMEN是矩形，‎ ‎∴NE=CM，EM=CN，‎ ‎∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，‎ ‎∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，‎ ‎∴∠ADH=∠DEM，‎ 在△ADH与△DEM中，，‎ ‎∴△ADH≌△DEM，‎ ‎∴EM=DH=3，DM=AH=2，‎ ‎∴CN=EM=3，EN=CM=3，‎ ‎∵∠ABC=45°，‎ ‎∴∠BGC=45°，‎ ‎∴△BCG是等腰直角三角形，‎ ‎∴CG=BC=4，‎ ‎∴GN=1，‎ ‎∴EG==．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎30．已知：四边形ABCD中，对角线的交点为O，E是OC上的一点，过点A作AG⊥BE于点G，AG、BD交于点F．‎ ‎（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：OE=OF；‎ ‎（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°．探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）如图3，若四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=α，且AC⊥BD．结合上面的活动经验，探究线段OE与OF的数量关系为　OF=tan（α﹣45°）OE　（直接写出答案）．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，再根据同角的余角相等求出∠AFO=∠BEO，然后利用“角角边”证明△AOF和△BOE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；‎ ‎（2）根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，对角线平分一组对角可得∠ABO=60°，再根据等角的余角相等求出∠AFO=∠BEO，然后证明△AOF和△‎ BOE相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，再根据锐角三角形函数的定义解答；‎ ‎（3）根据等腰梯形的性质求出∠OBC=45°，再根据同角的余角相等求出∠OAF=∠OBE，然后求出△AOF和△BOE相似，利用相似三角形对应边成比例可得=，再根据锐角三角函数解答．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，对角线的交点为O，‎ ‎∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，‎ ‎∴OA=OB，‎ ‎∵AC⊥BD，AG⊥BE，‎ ‎∴∠FAO+∠AFO=90°，∠EAG+∠AEG=90°，‎ ‎∴∠AFO=∠BEO，‎ 在△AOF和△BOE中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOF≌△BOE（AAS），‎ ‎∴OE=OF；‎ ‎（2）OF=OE．‎ 理由：∵四边形ABCD是菱形，对角线的交点为O，∠ABC=120°‎ ‎∴AC⊥BD，∠ABO=60°，‎ ‎∴∠FAO+∠AFO=90°，‎ ‎∵AG⊥BE，‎ ‎∴∠EAG+∠BEA=90°．‎ ‎∴∠AFO=∠BEO，‎ 又∵∠AOF=∠BOE=90°，‎ ‎∴△AOF∽△BOE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠ABO=60°，AC⊥BD，‎ ‎∴=tan60°=．‎ ‎∴OF=OE；‎ ‎（3）∵四边形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB，‎ ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴∠OBC=45°，‎ ‎∵∠ABC=α，‎ ‎∴∠ABO=α﹣45°，‎ ‎∵AG⊥BE，‎ ‎∴∠OAF+∠AEG=90°，‎ ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴∠OBE+∠AEG=90°，‎ ‎∴∠OAF=∠OBE，‎ 又∵∠AOF=∠BOE=90°，‎ ‎∴△AOF∽△BOE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠ABO=α﹣45°，AC⊥BD，‎ ‎∴=tan（α﹣45°），‎ ‎∴OF=tan（α﹣45°）OE．‎ 故答案为：OF=tan（α﹣45°）OE．‎ ‎【点评】本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的对角线互相垂直平分的性质，等腰梯形的性质，以及相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，综合性较强，（2）（3）两小题确定出相似三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎31．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于点G．‎ ‎（1）若M为边AD中点，求证△EFG是等腰三角形；‎ ‎（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；‎ ‎（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．‎ ‎【分析】（1）利用△MAE≌△MDF，求出EM=FM，再由MG⊥EM，得出EG=FG，所以△EFG是等腰三角形；‎ ‎（2）利用勾股定理EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，得出CM2=EC2﹣EM2，利用线段关系求出CM．再△MAE∽△CDM，‎ 求出a的值，再求出CM．‎ ‎（3）①当点M在AD上时，②：①当点M在AD的延长线上时，作MN⊥BC，交BC于点N，先求出EM，再利用△MAE∽△MDF求出FM，得到EF的值，再由△MNG∽△MAE得出MG的长度，然后用含a的代数式表示△EFG的面积S，指出S的最小整数值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=∠MDF=90°，‎ ‎∵M为边AD中点，‎ ‎∴MA=MD 在△MAE和△MDF中，‎ ‎∴△MAE≌△MDF（ASA），‎ ‎∴EM=FM，‎ 又∵MG⊥EM，‎ ‎∴EG=FG，‎ ‎∴△EFG是等腰三角形；‎ ‎（2）解：如图1，‎ ‎∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a ‎∴BE=AB﹣AE=3﹣1=2，BC=AD=4，‎ ‎∴EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，‎ ‎∴EM2=1+a2，EC2=4+16=20，‎ ‎∵CM2=EC2﹣EM2，‎ ‎∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2，‎ ‎∴CM=．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠AEM=∠MFD，‎ 又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，‎ ‎∴∠AME=∠MCD，‎ ‎∵∠MAE=∠CDM=90°，‎ ‎∴△MAE∽△CDM，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得a=1或3，‎ 代入CM=．‎ 得CM=3或．‎ 方法二：求出a后，利用Rt△CDM直接求CM比较简单．‎ ‎（3）解：①当点M在AD上时，如图2，作MN⊥BC，交BC于点N，‎ ‎∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a ‎∴EM==，MD=AD﹣AM=4﹣a，‎ ‎∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，‎ ‎∴△MAE∽△MDF ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴FM=，‎ ‎∴EF=EM+FM=+=，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠MGN=∠DMG，‎ ‎∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，‎ ‎∴∠AEM=∠DMG，‎ ‎∴∠MGN=∠AEM，‎ ‎∵∠MNG=∠MAE=90°，‎ ‎∴△MNG∽△MAE ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴MG=，‎ ‎∴S=EF•MG=××=+6，‎ 即S=+6，‎ 当a=时，S有最小整数值，S=1+6=7．‎ ‎②当点M在AD的延长线上时，如图3，作MN⊥BC，交BC延长线于点N，‎ ‎∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a ‎∴EM==，MD=a﹣4，‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴△MAE∽△MDF ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴FM=，‎ ‎∴EF=EM﹣FM=﹣=，‎ ‎∵∠AME+∠EMN=90°，∠NMG+∠EMN=90°，‎ ‎∴∠AME=∠NMG，‎ ‎∵∠MNG=∠MAE=90°，‎ ‎∴△MNG∽△MAE ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴MG=，‎ ‎∴S=EF•MG=××=+6，‎ 即S=+6，‎ 当a＞4时，S没有整数值．‎ 综上所述当a=时，S有最小整数值，S=1+6=7．‎ ‎【点评】本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是利用三角形相似求出线段的长度．‎ ‎　‎ ‎32．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF ‎（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；‎ ‎（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；‎ ‎（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；‎ ‎①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；‎ ‎②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．‎ ‎【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；‎ ‎（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；‎ ‎（3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得．‎ ‎【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=45°，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∵四边形ADEF是正方形，‎ ‎∴AD=AF，∠DAF=90°，‎ ‎∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，‎ ‎∴∠BAD=∠CAF，‎ 则在△BAD和△CAF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAD≌△CAF（SAS），‎ ‎∴BD=CF，‎ ‎∵BD+CD=BC，‎ ‎∴CF+CD=BC；‎ ‎（2）CF﹣CD=BC；‎ ‎（3）①CD﹣CF=BC ‎②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=45°，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∵四边形ADEF是正方形，‎ ‎∴AD=AF，∠DAF=90°，‎ ‎∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，‎ ‎∴∠BAD=∠CAF，‎ ‎∵在△BAD和△CAF中，‎ ‎∴△BAD≌△CAF（SAS），‎ ‎∴∠ACF=∠ABD，‎ ‎∵∠ABC=45°，‎ ‎∴∠ABD=135°，‎ ‎∴∠ACF=∠ABD=135°，‎ ‎∴∠FCD=90°，‎ ‎∴△FCD是直角三角形．‎ ‎∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O．‎ ‎∴DF=AD=4，O为DF中点．‎ ‎∴OC=DF=2．‎ ‎【点评】本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键．‎ ‎　‎ ‎33．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？‎ ‎（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；‎ ‎（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；‎ ‎（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE=PD，则可求△BOE的面积；可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积．‎ ‎（3）根据题意列方程得到t=，t=0，（不合题意，舍去），于是得到结论；‎ ‎（4）由角平分线的性质得到DM=DN=，根据勾股定理得到ON=OM==，由三角形的面积公式得到OP=5﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，‎ ‎∴AC=10，‎ ‎①当AP=PO=t，如图1，‎ 过P作PM⊥AO，‎ ‎∴AM=AO=，‎ ‎∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，‎ ‎∴△APM∽△ACD，‎ ‎∴，‎ ‎∴AP=t=，‎ ‎②当AP=AO=t=5，‎ ‎∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形；‎ ‎（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH=CD=AB=3cm．‎ 由矩形的性质可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，又得∠DOP=∠BOE，‎ ‎∴△DOP≌BOE，‎ ‎∴BE=PD=8﹣t，‎ 则S△BOE=BE•OH=×3（8﹣t）=12﹣t．‎ ‎∵FQ∥AC，‎ ‎∴△DFQ∽△DOC，相似比为=，‎ ‎∴=‎ ‎∵S△DOC=S矩形ABCD=×6×8=12cm2，‎ ‎∴S△DFQ=12×=‎ ‎∴S五边形OECQF=S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ=×6×8﹣（12﹣t）﹣=﹣t2+t+12；‎ ‎∴S与t的函数关系式为S=﹣t2+t+12；‎ ‎（3）存在，‎ ‎∵S△ACD=×6×8=24，‎ ‎∴S五边形OECQF：S△ACD=（﹣t2+t+12）：24=9：16，‎ 解得t=3，或t=，‎ ‎∴t=3或时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16；‎ ‎（4）如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，‎ ‎∵∠POD=∠COD，‎ ‎∴DM=DN=，‎ ‎∴ON=OM==，‎ ‎∵OP•DM=3PD，‎ ‎∴OP=5﹣t，‎ ‎∴PM=﹣t，‎ ‎∵PD2=PM2+DM2，‎ ‎∴（8﹣t）2=（﹣t）2+（）2，‎ 解得：t=16（不合题意，舍去），t=，‎ ‎∴当t=时，OD平分∠COP．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎34．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．‎ ‎（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．‎ ‎①求证：△AGE≌△AFE；‎ ‎②若BE=2，DF=3，求AH的长．‎ ‎（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．‎ ‎【分析】（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来在证明∠GAE=∠FAE，然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可；②由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，接下来，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可；‎ ‎（2）将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′2=ND2+DM′2，接下来证明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠BAD=90°．‎ 又∵∠EAF=45°，‎ ‎∴∠BAE+∠DAF=45°．‎ ‎∴∠BAG+∠BAE=45°．‎ ‎∴∠GAE=∠FAE．‎ 在△GAE和△FAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△GAE≌△FAE．‎ ‎②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，‎ ‎∴AB=AH，GE=EF=5．‎ 设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．‎ 在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．‎ 解得：x=6．‎ ‎∴AB=6．‎ ‎∴AH=6．‎ ‎（2）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=45°．‎ 由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BM=DM′．‎ ‎∴∠NDM′=90°．‎ ‎∴NM′2=ND2+DM′2．‎ ‎∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，‎ ‎∴∠EAF=∠FAM′=45°．‎ 在△AMN和△ANM′中，‎ ‎，‎ ‎∴△AMN≌△ANM′．‎ ‎∴MN=NM′．‎ 又∵BM=DM′，‎ ‎∴MN2=ND2+BM2．‎ ‎【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎35．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．‎ ‎（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；‎ ‎（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．‎ ‎①求证：△BCE是等边三角形；‎ ‎②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．‎ ‎【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；‎ ‎（2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；‎ ‎②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．‎ ‎【解答】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；‎ 证明：（2）①∵△ABC≌△DBE，‎ ‎∴BC=BE，‎ ‎∵∠CBE=60°，‎ ‎∴△BCE是等边三角形；‎ ‎②∵△ABC≌△DBE，‎ ‎∴BE=BC，AC=ED；‎ ‎∴△BCE为等边三角形，‎ ‎∴BC=CE，∠BCE=60°，‎ ‎∵∠DCB=30°，‎ ‎∴∠DCE=90°，‎ 在Rt△DCE中，‎ DC2+CE2=DE2，‎ ‎∴DC2+BC2=AC2．‎ ‎【点评】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．‎ ‎　‎ ‎36．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）AM=　8﹣2t　，AP=　2+t　．（用含t的代数式表示）‎ ‎（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值 ‎（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，‎ ‎①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 ‎②使四边形AQMK为正方形，则AC=　8　．‎ ‎【分析】（1）由DM=2t，根据AM=AD﹣DM即可求出AM=8﹣2t；先证明四边形CNPD为矩形，得出DP=CN=6﹣t，则AP=AD﹣DP=2+t；‎ ‎（2）根据四边形ANCP为平行四边形时，可得6﹣t=8﹣（6﹣t），解方程即可；‎ ‎（3））①由NP⊥AD，QP=PK，可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，列出方程6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），求解即可，‎ ‎②要使四边形AQMK为正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四边形AQMK为正方形，则CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图1．‎ ‎∵DM=2t，‎ ‎∴AM=AD﹣DM=8﹣2t．‎ ‎∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于点P，‎ ‎∴四边形CNPD为矩形，‎ ‎∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t，‎ ‎∴AP=AD﹣DP=8﹣（6﹣t）=2+t；‎ 故答案为：8﹣2t，2+t．‎ ‎（2）∵四边形ANCP为平行四边形时，CN=AP，‎ ‎∴6﹣t=8﹣（6﹣t），解得t=2，‎ ‎（3）①存在时刻t=1，使四边形AQMK为菱形．理由如下：‎ ‎∵NP⊥AD，QP=PK，‎ ‎∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，‎ ‎∴6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），解得t=1，‎ ‎②要使四边形AQMK为正方形．‎ ‎∵∠ADC=90°，‎ ‎∴∠CAD=45°．‎ ‎∴四边形AQMK为正方形，则CD=AD，‎ ‎∵AD=8，‎ ‎∴CD=8，‎ ‎∴AC=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】‎ 本题是四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎37．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：△BCE≌△DCF； ‎ ‎（2）求CF的长；‎ ‎（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；‎ ‎（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；‎ ‎（3）分三种情况分别讨论即可求得．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，‎ 在△BCE和△DCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCE≌△DCF（SAS）；‎ ‎（2）证明：如图1，‎ ‎∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，‎ ‎∴∠EBC=∠DBC=22.5°，‎ 由（1）知△BCE≌△DCF，‎ ‎∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；‎ ‎∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），‎ ‎∴∠BGF=90°；‎ 在△DBG和△FBG中，‎ ‎，‎ ‎∴△DBG≌△FBG（ASA），‎ ‎∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），‎ ‎∵BD==，‎ ‎∴BF=，‎ ‎∴CF=BF﹣BC=﹣1；‎ ‎（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF ‎∴BH=﹣1，‎ ‎①当BH=BP时，则BP=﹣1，‎ ‎∵∠PBC=45°，‎ 设P（x，x），‎ ‎∴2x2=（﹣1）2，‎ 解得x=1﹣或﹣1+，‎ ‎∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；‎ ‎②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1，‎ ‎∵∠ABD=45°，‎ ‎∴△PBH是等腰直角三角形，‎ ‎∴P（﹣1，﹣1）；‎ ‎③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，‎ ‎∴△PBH是等腰直角三角形，‎ ‎∴P（，），‎ 综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）．‎ ‎【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎38．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．‎ ‎（1）求证：四边形AEDF是菱形；‎ ‎（2）求菱形AEDF的面积；‎ ‎（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？‎ ‎【分析】（1）根据等腰三角形的性质，证得点D是BC的中点；根据三角形的中位线定理，即可证得：DE∥AC，DF∥AB，根据题目中的条件，即可证得结论；‎ ‎（2）根据中位线定理，即可求出线段EF的长度；根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求出菱形面积；‎ ‎（3）根据平行四边形的对边相等，列出关于t的方程，求出t即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，‎ ‎∴D为BC的中点，‎ ‎∵E，F分别为AB，AC的中点，‎ ‎∴DE和DF是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥AC，DF∥AB，‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形，‎ ‎∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC，‎ ‎∴AE=AF∴平行四边形AEDF是菱形；‎ ‎（2）解：∵EF为△ABC的中位线，‎ ‎∴EF=BC=5，‎ ‎∵AD=8，AD⊥EF，‎ ‎∴S菱形AEDF=AD•EF=×8×5=20；‎ ‎（3）解：∵EF∥BC ‎∴EH∥BP，‎ 若四边形BPHE为平行四边形，则需EH=BP，‎ ‎∴5﹣2t=3t，解得：t=1，‎ ‎∴当t=1秒时，四边形BPHE为平行四边形，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴FH∥PC，‎ 若四边形PCFH为平行四边形，则需FH=PC，‎ ‎∴2t=10﹣3t，解得：t=2，‎ ‎∴当t=2秒时，四边形PCFH为平行四边形．‎ ‎【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、菱形的性质与判定、平行四边形的性质与判定的综合应用，解决此类问题，需要将各知识点融合，熟练应用相关的知识点是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎39．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．‎ ‎（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．‎ ‎（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．‎ ‎（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．‎ ‎【分析】（1）作ME⊥x轴于E，则∠MEP=90°，先证出∠PME=∠CPO，再证明△MPE≌△PCO，得出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出点M的坐标；‎ ‎（2）连接AM，先证明四边形AEMF是正方形，得出∠MAE=45°=∠BOA，AM∥OB，证出四边形OAMN是平行四边形，即可得出MN=OA=4；‎ ‎（3）先证明△PAD∽△PEM，得出比例式，得出AD，求出BD，求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：（1）作ME⊥x轴于E，如图1所示：‎ 则∠MEP=90°，ME∥AB，‎ ‎∴∠MPE+∠PME=90°，‎ ‎∵四边形OABC是正方形，‎ ‎∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，‎ ‎∵PM⊥CP，‎ ‎∴∠CPM=90°，‎ ‎∴∠MPE+∠CPO=90°，‎ ‎∴∠PME=∠CPO，‎ 在△MPE和△PCO中，，‎ ‎∴△MPE≌△PCO（AAS），‎ ‎∴ME=PO=t，EP=OC=4，‎ ‎∴OE=t+4，‎ ‎∴点M的坐标为：（t+4，t）；‎ ‎（2）线段MN的长度不发生改变；理由如下：‎ 连接AM，如图2所示：‎ ‎∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°，‎ ‎∴四边形AEMF是矩形，‎ 又∵EP=OC=OA，‎ ‎∴AE=PO=t=ME，‎ ‎∴四边形AEMF是正方形，‎ ‎∴∠MAE=45°=∠BOA，‎ ‎∴AM∥OB，‎ ‎∴四边形OAMN是平行四边形，‎ ‎∴MN=OA=4；‎ ‎（3）∵ME∥AB，‎ ‎∴△PAD∽△PEM，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴AD=﹣t2+t，‎ ‎∴BD=AB﹣AD=4﹣（﹣t2+t）=t2﹣t+4，‎ ‎∵MN∥OA，AB⊥OA，‎ ‎∴MN⊥AB，‎ ‎∴四边形BNDM的面积S=MN•BD=×4（t2﹣t+4）=（t﹣2）2+6，‎ ‎∴S是t的二次函数，‎ ‎∵＞0，‎ ‎∴S有最小值，‎ 当t=2时，S的值最小；‎ ‎∴当t=2时，四边形BNDM的面积最小．‎ ‎【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形面积的计算以及二次函数的最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要证明四边形是正方形、平行四边形、三角形相似以及运用二次函数才能得出结果．‎ ‎　‎ ‎40．如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：FG=BE；‎ ‎（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG；‎ ‎（3）当=时，求sin∠CFE的值．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；‎ ‎（2）由（1）得到BC=AB=EG，利用等式的性质得到BE=CG，根据FG=BE，等量代价得到FG=CG，即三角形FCG为等腰直角三角形，得到∠FCG=45°，即可得证；‎ ‎（3）如图，作CH⊥EF于H，则△EHC∽△EGF，利用相似得比例，根据BE与BC的比值，设出BE，EC，以及EG，FG，利用勾股定理表示出EF，CF，进而表示出HC，在直角三角形HC中，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠CFE的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵EP⊥AE，‎ ‎∴∠AEB+∠GEF=90°，‎ 又∵∠AEB+∠BAE=90°，‎ ‎∴∠GEF=∠BAE，‎ 又∵FG⊥BC，‎ ‎∴∠ABE=∠EGF=90°，‎ 在△ABE与△EGF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△EGF（AAS），‎ ‎∴FG=BE；‎ ‎（2）证明：由（1）知：BC=AB=EG，‎ ‎∴BC﹣EC=EG﹣EC，‎ ‎∴BE=CG，‎ 又∵FG=BE，‎ ‎∴FG=CG，‎ 又∵∠CGF=90°，‎ ‎∴∠FCG=45°=∠DCG，‎ ‎∴CF平分∠DCG；‎ ‎（3）解：如图，作CH⊥EF于H，‎ ‎∵∠HEC=∠GEF，∠CHE=∠FGE=90°，‎ ‎∴△EHC∽△EGF，‎ ‎∴=，‎ 根据=，设BE=3a，则EC=a，EG=4a，FG=CG=3a，‎ ‎∴EF=5a，CF=3a，‎ ‎∴=，HC=a，‎ ‎∴sin∠CFE==．‎ ‎【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎41．如图，已知在矩形ABCD中，AD=10，CD=5，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动，此时BF⊥CE．设点E移动的时间为t（秒）．‎ ‎（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；‎ ‎（2）求当t为何值时，EC是∠BED的平分线；‎ ‎（3）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎（4）求当t为何值时，△EFC是等腰三角形．（直接写出答案）‎ ‎【分析】（1）B，E，F三点共线时，满足△FED∽△FBC，结合行程问题可以得出关于t的比例式，求出t的值；‎ ‎（2）∠BEC=∠BFC．可以转化为∠BEC=∠BCE．即BE=BC．得出关于t的方程，求出值；‎ ‎（3）求S与t之间的函数关系式，可以将四边形BCFE的面积分成S△BCE，S△ECF两部分，结合（1）确定t的取值范围；‎ ‎（4）根据等腰三角形的性质，分EF=EC，EC=FC，EF=FC三种情况讨论．‎ ‎【解答】解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图所示．‎ 由题意可知：ED=t，BC=10，FD=2t﹣5，FC=2t．‎ ‎∵ED∥BC，‎ ‎∴△FED∽△FBC．‎ ‎∴=．‎ ‎∴=．‎ 解得t=5．‎ ‎∴当t=5时，两点同时停止运动；‎ ‎（2）在Rt△BCF和Rt△CDE中，‎ ‎∵∠BCF=∠CDE=90°，==2，‎ ‎∴Rt△BCF∽Rt△CDE．‎ ‎∴∠BFC=∠CED． ‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．‎ ‎∵52+（10﹣t）2=102，‎ 解得 t1=10+5（舍去），t2=10﹣5．‎ 即当t=10﹣5时，EC是∠BED的平分线． ‎ ‎（3）分两种情况讨论：①当F在线段CD上时：S四边形BCFE=S梯形BCDE﹣S△EDF=‎ ‎（t+10）×5﹣t（5﹣2t）=t2+25；‎ ‎②当F在CD延长线上时：‎ S四边形BCFE=S梯形BCDE+S△EDF=（t+10）×5+t（2t﹣5）=t2+25；‎ ‎∴S=t2+25（0≤t≤5）；‎ ‎（4）△EFC是等腰三角形有三种情况：‎ ‎①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，‎ ‎∵EF2=（2t﹣5）2+t2=5t2﹣20t+25，‎ EC2=52+t2=t2+25，‎ ‎∴5t2﹣20t+25=t2+25．‎ ‎∴t=5或t=0（舍去）；‎ ‎②若EC=FC时，‎ ‎∵EC2=52+t2=t2+25，FC2=4t2，‎ ‎∴t2+25=4t2．‎ ‎∴t=；‎ ‎③若EF=FC时，‎ ‎∵EF2=（2t﹣5）2+t2=5t2﹣20t+25，FC2=4t2，‎ ‎∴5t2﹣20t+25=4t2．‎ ‎∴t1=10+5（舍去），t2=10﹣5．‎ ‎∴当t的值为5，或10﹣5时，△EFC是等腰三角形．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了四边形综合题．其中涉及到了勾股定理，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．该题数形结合，综合性较强，将行程问题与矩形有机的整合，有一定的思维容量．‎ ‎　‎ ‎42．如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E处，连结BE．‎ ‎（1）求证：∠BAE=2∠CBE；‎ ‎（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）若AB=5，BC=3，直接写出BG的长　2　．‎ ‎【分析】（1）求出∠ABE=∠AEB，求出∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+2∠ABE=180°，即可求出答案；‎ ‎（2）过B作BO⊥AE于O，连接EG，根据矩形性质得出EG=AF，求出BC=BO=AG，求出M为BG中点，根据三角形中位线求出即可；‎ ‎（3）根据勾股定理求出DE，求出求出OM=DE=2，根据勾股定理求出BM，代入BG=2BM求出即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠C=∠CBA=90°，‎ ‎∴∠CBE+∠ABE=90°，‎ ‎∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E处，‎ ‎∴BC=AG，∠EAG=90°，AE=AB，‎ ‎∴∠ABE=∠AEB，‎ ‎∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，‎ ‎∴2∠ABE+∠BAE=180°，‎ ‎∵∠CBE+∠ABE=90°，‎ ‎∴2∠CBE+2∠ABE=180°，‎ ‎∴∠BAE=2∠CBE．‎ ‎（2）MN=AF，‎ 证明：过B作BO⊥AE于O，连接EG，‎ ‎∵四边形AEFG是矩形，‎ ‎∴AF=EG，∠MAG=∠BOM=90°，‎ ‎∵∠C=∠CBA=90°，‎ ‎∴∠AEB=∠ABE=90°﹣∠CBE，∠CEB=90°﹣∠CBE，‎ ‎∴∠CEB=∠OEB，‎ 在△CBE和△OBE中 ‎∴△CBE≌△OBE（AAS），‎ ‎∴EC=OE，BO=BC=AD=AG，‎ 在△BOM和△GAM中 ‎，‎ ‎∴△BOM≌△GAM（AAS），‎ ‎∴BM=GM，‎ ‎∵点N为BE的中点，‎ ‎∴MN=EG，‎ ‎∵EG=AF，‎ ‎∴MN=AF．‎ ‎（3）解：在Rt△DEA中，∠EDA=90°，AD=BC=3，AE=AB=5，由勾股定理得：DE=4，‎ ‎∵△BOM≌△GAM，△CBE≌△OBE，‎ ‎∴OM=AM，EC=EO，‎ ‎∴OM=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=2，‎ 在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM===‎ ‎∵BM=GM，‎ ‎∴BG=+=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理，矩形性质，旋转性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生综合运行定理进行推理的能力，有一定的难度．‎ ‎　‎ ‎43．将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．‎ ‎（1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；‎ ‎（2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，过D′作D′G∥AO交E′F于T点，交OC于G点，求证：TG=AE′；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设T（x，y）．①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）先根据折叠的性质得出DC=OC=10，在Rt△BCD中，运用矩形的性质及勾股定理得出BD=8，然后在Rt△AED中，由勾股定理得OE2=22+（6﹣OE）2，解方程求出OE的长，进而求出点E的坐标；‎ ‎（2）先由折叠的性质得出∠D′E′F=∠OE′F，由平行线的性质得出∠OE′F=∠D′TE′，则∠D′E′F=∠D′TE′，根据等角对等边得到D′T=D′E′=OE′，则TG=AE′；‎ ‎（3）①由T（x，y），得出AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6﹣y，在Rt△AD′E′中，根据勾股定理得出AD′2+AE′2=D′E′2，即x2+y2=（6﹣y）2，整理可求出y与x的函数关系式；‎ ‎②在（1）中给出的情况就是x的最小值的状况，可根据AD的长求出x的最小值，当x取最大值时，E′F平分∠OAB，即E′与A重合，四边形AOFD′为正方形，可据此求出此时x的值，有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）如图（1），∵将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，‎ ‎∴DC=OC=10．‎ 在Rt△BCD中，∵∠B=90°，BC=OA=6，DC=10，‎ ‎∴BD==8．‎ 在Rt△AED中，∵∠DAE=90°，AD=2，DE=OE，AE=6﹣OE，‎ ‎∴DE2=AD2+AE2，即OE2=22+（6﹣OE）2，‎ 解得 OE=，‎ ‎∴E点的坐标为（0，）；‎ ‎（2）如图（2），∵将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，‎ ‎∴∠D′E′F=∠OE′F，D′E′=OE′，‎ ‎∵D′G∥AO，‎ ‎∴∠OE′F=∠D′TE′，‎ ‎∴∠D′E′F=∠D′TE′，‎ ‎∴D′T=D′E′=OE′，‎ ‎∴TG=AE′；‎ ‎（3）①∵T（x，y），‎ ‎∴AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6﹣y．‎ 在Rt△AD′E′中，∵∠D′AE′=90°，‎ ‎∴AD′2+AE′2=D′E′2，即x2+y2=（6﹣y）2，‎ 整理，得y=﹣x2+3；‎ ‎②结合（1）可得AD′=OG=2时，x最小，从而x≥2，‎ 当E′F恰好平分∠OAB时，AD′最大即x最大，‎ 此时G点与F点重合，四边形AOFD′为正方形，即x最大为6，从而x≤6，‎ 故变量x的取值范围是2≤x≤6．‎ ‎【点评】本题考查了图形的翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，函数解析式的求法等知识，综合性较强，难度适中，主要运用数形结合的思想方法．‎ ‎　‎ ‎44．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．‎ ‎（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．‎ ‎（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？‎ ‎（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD=PD）？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD=PC即可，因为Q、P点的速度已知，AD、BC的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；‎ ‎（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况：点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD+PC）×AB÷2=60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；‎ ‎（3）使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，‎ ‎∴DQ=CP，‎ 当P从B运动到C时，如图（1）：‎ ‎∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，‎ CP=21﹣2t ‎∴16﹣t=21﹣2t 解得t=5‎ 当P从C运动到B时，‎ ‎∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，‎ CP=2t﹣21‎ ‎∴16﹣t=2t﹣21，‎ 解得t=，‎ ‎∴当t=5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；‎ ‎（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，如图（2）：‎ ‎，‎ 即，‎ 解得t=9；‎ 若点P返回时，CP=2（t﹣），‎ 则，‎ 解得t=15．‎ 故当t=9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；‎ ‎（3）当PQ=PD时，如图（3）：‎ 作PH⊥AD于H，则HQ=HD ‎∵QH=HD=QD=（16﹣t）‎ 由AH=BP得2t=（16﹣t）+t，‎ 解得t=秒；‎ 当PQ=QD时QH=AH﹣AQ=BP﹣AQ=2t﹣t=t，QD=16﹣t，‎ ‎∵QD2=PQ2=t2+122‎ ‎∴（16﹣t）2=122+t2‎ 解得t=（秒）；‎ 当QD=PD时DH=AD﹣AH=AD﹣BP=16﹣2t，‎ ‎∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+（16﹣2t）2‎ ‎∴（16﹣t）2=122+（16﹣2t）2‎ 即3t2﹣32t+144=0‎ ‎∵△＜0，‎ ‎∴方程无实根，‎ 综上可知，当t=秒或t=秒时，△PQD是等腰三角形．‎ ‎【点评】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．‎ ‎　‎ ‎45．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，其中点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），点D为对角线OB上一个动点（不包括端点），∠BCD的平分线交OB于点E．‎ ‎（1）求线段OB所在直线的函数表达式，并写出CD的取值范围．‎ ‎（2）当∠BCD的平分线经过点A时，求点D的坐标．‎ ‎（3）点P是线段BC上的一个动点，求CD十DP的最小值．‎ ‎【分析】（1）设线段OB所在直线的函数表达式为y=kx，把B（4，2）代入求出k即可解决问题．‎ ‎（2）如图1中，延长CD交OA于点F，设AF=CF=m，则OF=4﹣m，由OF2+OC2=CF2，列出方程求出m，求出直线CF的解析式，解方程组即可解决问题．‎ ‎（3）如图2中，作点C关于直线OB的对称点F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足为P，则点P、D就是所求的点，此时DC+DP=DF+PD=FP最短，求出点F坐标即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）设线段OB所在直线的函数表达式为y=kx，‎ 把B（4，2）代入，得2=4k，解得k=，‎ ‎∴线段OB所在直线的函数表达式为y=x．‎ CD的范围：≤CD＜4．‎ ‎（2）如图1中，延长CD交OA于点F，‎ ‎∵∠ACF=∠ACB=∠CAF，‎ ‎∴AF=CF，设AF=CF=m，则OF=4﹣m，‎ ‎∵OF2+OC2=CF2，‎ ‎∴（4﹣m）2+22=m2，解得m=，‎ ‎∴OF=‎ ‎∴直线CF的解析式为y=﹣x+2，‎ 由解得，‎ ‎∴点D坐标（，）．‎ ‎（3）如图2中，作点C关于直线OB的对称点F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足为P，则点P、D就是所求的点，此时DC+DP=DF+PD=FP最短（垂线段最短）．‎ ‎∵直线OB的解析式为y=x，CF⊥OB，‎ ‎∴可以设直线CF的解析式为y=﹣2x+b，把C（0，2）代入得b=2，‎ ‎∴直线CF解析式为y=﹣2x+2，设直线CF交OB于点E，‎ 由解得，‎ ‎∴点E坐标（，），‎ ‎∵C、F关于点E对称，‎ ‎∴点F坐标（，﹣），‎ ‎∴CD+PD最小值=PF=2+=．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、一次函数、矩形的性质、待定系数法勾股定理、最小值问题等知识，解题的关键是学会构建函数，利用方程组求交点坐标，想到利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎46．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，E为AB的中点，连接CE，BD，过点E作FE⊥CE于点E，交AD于点F，连接CF，已知2AD=AB=BC．‎ ‎（1）求证：CE=BD；‎ ‎（2）若AB=4，求AF的长度；‎ ‎（3）求sin∠EFC的值．‎ ‎【分析】（1）由E为AB的中点，得到AB=2BE，等量代换得到BE=AD，推出△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；‎ ‎（2）根据已知条件得到AE=BE=2，BC=4，根据余角的性质得到∠AFE=∠BEC，根据相似三角形的性质即可得到结论；‎ ‎（3）根据相似三角形的性质得到AF=AE，设AF=k，则AE=BE=2k，BC=4k，根据勾股定理得到EF=k，CE=2k，CF=5k，由三角函数的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵E为AB的中点，‎ ‎∴AB=2BE，‎ ‎∵AB=2AD，‎ ‎∴BE=AD，‎ ‎∵∠A=90°，AD∥BC，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ 在△ABD与△BCE中，，‎ ‎∴△ABD≌△BCE，‎ ‎∴CE=BD；‎ ‎（2）∵AB=4，‎ ‎∴AE=BE=2，BC=4，‎ ‎∵FE⊥CE，‎ ‎∴∠FEC=90°，‎ ‎∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEC=90°，‎ ‎∴∠AFE=∠BEC，‎ ‎∴△AEF∽△BCE，‎ ‎∴，‎ ‎∴AF=1；‎ ‎（3）∵△AEF∽△BCE，‎ ‎∴，‎ ‎∴AF=AE，‎ 设AF=k，则AE=BE=2k，BC=4k，‎ ‎∴EF==k，‎ CE==2k，‎ ‎∴CF==5k，‎ ‎∴sin∠EFC==．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎47．如图①‎ ‎，在长方形ABCD中，AB=DC=3cm，BC=5cm，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．‎ ‎（1）PC=　（5﹣t）　cm．（用含t的代数式表示）；‎ ‎（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP，请说明理由；‎ ‎（3）如图②，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以acm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样a的值，使得△ABP与△PCQ全等？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据题意求出BP，计算即可；‎ ‎（2）根据全等三角形的判定定理解答；‎ ‎（3）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答．‎ ‎【解答】解：（1）∵点P的速度是1cm/s，‎ ‎∴ts后BP=tcm，‎ ‎∴PC=BC﹣BP=（5﹣t）cm，‎ 故答案为：5﹣t；‎ ‎（2）当t=2.5时，△ABP≌△DCP，‎ ‎∵当t=2.5时，BP=CP=2.5，‎ 在△ABP和△DCP中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABP≌△DCP；‎ ‎（3）∵∠B=∠C=90°，‎ ‎∴当AB=PC，BP=CQ时，△ABP≌△PCQ，‎ ‎∴5﹣t=3，t=at，‎ 解得，t=2，a=1，‎ 当AB=QC，BP=CP时，△ABP≌△QCP，‎ 此时，点P为BC的中点，点Q与点D重合，‎ ‎∴t=2.5，at=3，‎ 解得，a=1.2，‎ 综上所述，当a=1或a=1.2时，△ABP与△PCQ全等．‎ ‎【点评】本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握矩形的对边相等、四个角都是直角以及全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎48．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．‎ ‎（1）求OA、OB的长．‎ ‎（2）若点E为x轴上的点，且S△AOE=，试判断△AOE与△AOD是否相似？并说明理由．‎ ‎（3）在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，请直接写出点F的坐标．‎ ‎【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；‎ ‎（2）利用三角形的面积求出OE，然后求出两个三角形夹直角的两边的比，再根据相似三角形的判定方法判定即可；‎ ‎（3）根据平行四边形的对边相等求出BC，再求出OC，然后利用勾股定理列式求出AC的长，再求出直线AB的解析式为y=x+4，设出点F的坐标，然利用勾股定理列式求出AF2、CF2，再分三种情况列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）x2﹣7x+12=0，‎ 因式分解得，（x﹣3）（x﹣4）=0，‎ 由此得，x﹣3=0，x﹣4=0，‎ 所以，x1=3，x2=4，‎ ‎∵OA＞OB，‎ ‎∴OA=4，OB=3；‎ ‎（2）S△AOE=×4•OE=，‎ 解得OE=，‎ ‎∵==，==，‎ ‎∴=，‎ 又∵∠AEO=∠OAD=90°，‎ ‎∴△AOE∽△AOD；‎ ‎（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AD=6，‎ ‎∴BC=AD=6，‎ ‎∵OB=3，‎ ‎∴OC=6﹣3=3，‎ 由勾股定理得，AC===5，‎ 易求直线AB的解析式为y=x+4，‎ 设点F的坐标为（a，a+4），‎ 则AF2=a2+（a+4﹣4）2=a2，‎ CF2=（a﹣3）2+（a+4）2=a2+a+25，‎ ‎①若AF=AC，则a2=25，解得a=±3，‎ a=3时，a+4=×3+4=8，‎ a=﹣3时，a+4=×（﹣3）+4=0，‎ 所以，点F的坐标为（3，8）或（﹣3，0）；‎ ‎②若CF=AC，则a2+a+25=25，‎ 整理得，25a2+42a=0，‎ 解得a=0（舍去），a=﹣，‎ a+4=×（﹣）+4=，‎ 所以，点F的坐标为（﹣，），‎ ‎③若AF=CF，则a2=a2+a+25，‎ 解得a=﹣，‎ a+4=×（﹣）+4=﹣，‎ 所以，点F的坐标为（﹣，﹣），‎ 综上所述，点F的坐标为（3，8）或（﹣3，0）或（﹣，）或（﹣，﹣）时，以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形．‎ ‎【点评】本题是四边形综合题型，主要利用了解一元二次方程，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，难点在于（3）分情况讨论，利用勾股定理表示出△ACF的三条边求解更简便．‎ ‎　‎ ‎49．如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，且AB=6cm，BC=8cm，对角线AC=l0cm．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是矩形；‎ ‎（2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动，运动时间为t秒（0≤t＜2），连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；‎ ‎（3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ=4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t 秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．‎ ‎【分析】（1）先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据∠B=90°，得出四边形ABCD是矩形；‎ ‎（2）先过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，判定△ABP∽△BMQ，得出=，即=，求得t的值即可；‎ ‎（3）分为三种情况讨论：当CQ=CP=4cm时，当PQ=CQ=4cm时，当QP=CP时，分别根据等腰三角形的性质，求得BP的长，进而得到t的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB=DC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，‎ ‎∴AB2+BC2=100，AC2=100，‎ ‎∴AB2+BC2=AC2，‎ ‎∴∠B=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形；‎ ‎（2）如图，过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，则 CQ=5t，QM=3t，CM=4t，MB=8﹣4t，‎ ‎∵∠NAB+∠ABN=90°，∠ABN+∠NBP=90°，‎ ‎∴∠NAB=∠NBP，且∠ABP=∠BMQ=90°，‎ ‎∴△ABP∽△BMQ，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得t=；‎ ‎（3）分为三种情况：‎ ‎①如图1所示，当CQ=CP=4cm时，BP=8﹣4=4cm，‎ ‎∴t=4秒；‎ ‎②如图2所示，当PQ=CQ=4cm时，过Q作QM⊥BC于M，则 AB∥QM，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得CM=3.2（cm），‎ ‎∵PQ=CQ，QM⊥CP，‎ ‎∴PC=2CM=6.4cm，‎ ‎∴BP=8﹣6.4=1.6cm，‎ ‎∴t=1.6秒；‎ ‎③如图3所示，当QP=CP时，过P作PN⊥AC于N，则 CN=CQ=2，∠CNP=∠B=90°，‎ ‎∵∠PCN=∠BCA，‎ ‎∴△PCN∽△ACB，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴CP=2.5cm，‎ ‎∴BP=8﹣2.5=5.5cm，‎ ‎∴t=5.5秒．‎ 综上所述，从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒时，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形．‎ ‎【点评】本题以动点问题为背景，主要考查了四边形的综合应用，解决问题时需要运用矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，解题时注意分类思想的运用．‎ ‎　‎ ‎50．如图，点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于F，连接BF．‎ ‎（1）如图1，当点E在CB的延长线上，且AC=EC时，求证：BF=；‎ ‎（2）如图2，当点E在线段BC上，且AE平分∠BAC时，求证：AB+BE=AC；‎ ‎（3）如图3，当点E继续往右运动到BC中点时，过点D作DH⊥AE于H，连接BH．求证：∠BHF=45°．‎ ‎【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质即可证得结论；‎ ‎（2）作EG⊥AC于G，根据角平分线的性质得出BE=EG，进而通过RT△ABE≌RT△AGE得出AG=AB，然后证得△EGC是等腰直角三角形，从而证得EG=GC，即可证得AB+BE=AC；‎ ‎（3）设正方形的边长为1，则AB=AD=1，BE=EC=，根据勾股定理求得AE=，然后通过证得△AEB∽△CEF，△ADH∽△EAB，对应边成比例证得CF=AH=，然后根据SAS证得△ABH≌△CBF，证得BH=BF，∠ABH=∠CBF，从而证得△HBF是等腰直角三角形，从而证得∠BHF=45°．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，∵AC=EC，CF⊥AE，‎ ‎∴AF=EF，‎ ‎∴BF是RT△ABE的斜边的中线，‎ ‎∴BF=AE；‎ ‎（2）如图2，作EG⊥AC于G，‎ ‎∵AE平分∠BAC，AB⊥BE，‎ ‎∴BE=EG，‎ 在RT△ABE和RT△AGE中 ‎，‎ ‎∴RT△ABE≌RT△AGE（HL），‎ ‎∴AG=AB，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ACB=45°，‎ ‎∴∠GEC=45°，‎ ‎∴∠GEC=∠ACB=45°，‎ ‎∴EG=GC，‎ ‎∴AB+BE=AG+GC，‎ 即AB+BE=AC；‎ ‎（3）如图3，设正方形的边长为1，则AB=AD=1，‎ ‎∵点E是BC中点，‎ ‎∴BE=EC=，‎ ‎∴AE==，‎ ‎∵∠ABE=∠CFE=90°，∠AEB=∠CEF，‎ ‎∴△AEB∽△CEF，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴CF=，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAH=∠AEB，‎ ‎∵∠AHD=∠BEA=90°，‎ ‎∴△ADH∽△EAB，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴AH=，‎ ‎∴CF=AH，‎ 在△ABH和△CBF中 ‎∴△ABH≌△CBF（SAS），‎ ‎∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，‎ ‎∵∠ABH+∠HBE=∠ABE=90°，‎ ‎∴∠HBF=90°，‎ ‎∴△HBF是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BHF=45°．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．‎ ‎　‎