武汉市最强二次函数中考应用题

武汉市最强二次函数中考应用题

‎2014年二次函数中考应用题附答案 一、 例题 　　例1、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 　　(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； 　　(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？‎ 解：(1)由于抛物线的顶点是 (0，3.5)，故可设其解析式为y=ax2+3.5。又由于抛物线过(1.5，3.05)，于是求得a=-0.2。∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5。 　　(2)当x=-2.5时，y=2.25。∴球出手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)。 　　评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。解这类问题一般分为以下四个步骤： 　　(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)； 　　(2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标； 　　(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。①当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-k)2+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用双根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式； 　　(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。 　‎ ‎　例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数． 　　(1)试求y与x之间的关系式； 　　(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ ‎ ‎ 　　解：(1)依题意设y=kx+b，则有 　　所以y=-30x+960(16≤x≤32)． 　　(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16) 　　=30(-x+32)(x-16) 　　=30(+48x-512) 　　=-30+1920． 　　所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920． 　　答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元． 　　注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最值． 　　‎ 例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5) 　　(1)求这个二次函数的解析式； 　　(2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米， )　　 ‎ ‎ 　　解：(1) 设二次函数的解析式为 　　，顶点坐标为 (6，5) 　　 　　A(0，2)在抛物线上 　　 　　 　　(2) 当时， 　　 (不合题意，舍去) 　　（米） 　　答：该同学把铅球抛出13.75米. 　　‎ 例4、某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件），与每件的销售价 （元/件）可看成是一次函数关系： 　　1.写出商场卖这种服装每天的销售利润 与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 　　2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ ‎ ‎ 　　分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。 　　在这个问题中，每件服装的利润为（ ），而销售的件数是（ +204），那么就能得到一个 与之间的函数关系，这个函数是二次函数. 　　要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值. 　　解：（1）由题意，销售利润 与每件的销售价之间的函数关系为 　　 =（ －42）（－3＋204），即 =－3 2+ 8568 　　（2）配方，得 =－3（－55）2+507 　　∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元. 　　‎ 例5、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. 　　（1）求这条抛物线的解析式； 　　（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？ 　　并通过计算说明理由 　　 ‎ ‎ 　　分析：（1）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O（0，0），入水点（2，－10），最高点的纵点标为. 　　（2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为米. 时，该运动员是不是距水面高度为5米. 　　解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为 . 　　由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为. ‎ ‎　　 　　解得 或 　　∵抛物线对称轴在轴右侧，∴ 　　又∵抛物线开口向下，∴a＜0,b＞0 　　 　　∴抛物线的解析式为 　　（2）当运动员在空中距池边的水平距离为米时， 　　即 时， 　　 　　∴此时运动员距水面的高为 　　因此，此次跳水会失误. 　　‎ 例6、某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可买出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系： ‎ 转让数量（套） 1200　1100　1000　900　800　700　600　500　400　300　200　100 价格（元/套） 　240　　250　 260　 270 　280　290 　300　310 　320　330 　340　350 　　方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 　　方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 　　方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 　　问： 　　①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？ 　　②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？ 　　解：经销商甲的进货成本是==480000（元） 　　①若选方案1，则获利1200600-480000=240000（元） 　　若选方案2，得转让款1200 240=288000元，可进购B品牌服装 套，一年内刚好卖空可获利1440500-480000=240000（元）。 　　②设转让A品牌服装x套，则转让价格是每套 元，可进购B品牌服装 套，全部售出B品牌服装后得款 元，此时还剩A品牌服装（1200-x）套，全部售出A品牌服装后得款600（1200-x）元，共获利，故当x=600套时，可的最大利润330000元。‎ 二、 变式练习： ‎ ‎　　1、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的销售价 （元）满足一次函数： 　　（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润 与每件的销售价间的函数数关系式. 　　（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 　　2、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边 米，面积为 平方米. 　　（1）求： 与 之间的函数关系式，并求当米2时， 的值； 　　（2）设矩形的边 米，如果满足关系式 即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽. 　　 　　练习1答案： 　　当定价为42元时，最大销售利润为432元. 　　练习2答案：（1） 　　当 时， 　　 　　（2）当 则 ① 　　又 ② 　　由①、②解得 ， ‎ ‎　　其中20不合题意，舍去， 　　 　　当矩形成黄金矩形时，宽为 ，长为. 　　‎ ‎3、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图所示，如图建立直角坐标系，水流喷出的高度 与水平距离之间的关系式是 . 　　 　　请回答下列问题： 　　1.柱子OA的高度为多少米？ 　　2.喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？ 　　3.若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能喷出的水流不至于落在池外？ ‎ ‎　　 　　练习3答案： 　　（1）OA高度为米. 　　（2）当时， ，即水流距水平面的最大高为 米. 　　（3） 　　其中 不合题意， 　　答：水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外. 第1题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离（米）与时间（秒）间的关系式为，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（　　）‎ Ａ．24米 Ｂ．12米 ‎ Ｃ．米 Ｄ．6米 答案：Ｂ 第2题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价（元）与上市时间（天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价（元）与上市时间（天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎180‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎160‎ O t(天)‎ y (天)‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎180‎ ‎60‎ O z(元)‎ ‎150‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎10‎ 图(1)‎ ‎90‎ 图(2)‎ ‎90‎ ‎（180，92）‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎100‎ ‎120‎ t(天)‎ ‎（1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价（元）与上市时间（天）（）的函数关系式；‎ ‎（2）求出图（2）中表示的种植成本单价（元）与上市时间（天）（）的函数关系式；‎ ‎（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）‎ 答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：‎ ‎（2）由题目已知条件可设．‎ 图象过点，‎ ‎．‎ ‎ ．‎ ‎（3）设纯收益单价为元，则=销售单价成本单价．‎ 故 化简得 ①当时，有时，最大，最大值为100；‎ ②当时，由图象知，有时，最大，最大值为；‎ ③当时，有时，最大，最大值为56．‎ 综上所述，在时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．‎ 第3题如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．‎ ‎（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．‎ ‎（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）‎ ‎（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）‎ 答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为 由已知：当时 即 表达式为 （或）‎ ‎（2）（3分）令 （舍去）． 足球第一次落地距守门员约13米． ‎ ‎（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为 根据题意：（即相当于将抛物线向下平移了2个单位） 解得 （米）． 解法二：令 解得（舍）， 点坐标为（13，0）． 设抛物线为 将点坐标代入得： 解得：（舍去）， 令 （舍去）， （米）． 解法三：由解法二知， 所以 所以 答：他应再向前跑17米．‎ 第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支万元．每公顷蔬菜年均可卖万元．‎ ‎（1）基地的菜农共修建大棚（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为（万元），写出关于的函数关系式．‎ ‎（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）‎ ‎（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施年内不需增加投资仍可继续使用．如果按年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．‎ 答案：（1）． ‎ ‎（2）当时，即，，‎ 从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建公顷大棚． ‎ ‎（3）设年内每年的平均收益为（万元）‎ ‎（10分）‎ 不是面积越大收益越大．当大棚面积为公顷时可以得到最大收益． ‎ 建议：①在大棚面积不超过公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．‎ ‎②大棚面积超过公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．‎ ‎③当时，，．大棚面积超过公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）‎ 第15题某商场购进一种单价为元的篮球，如果以单价元售出，那么每月可售出个．根据销售经验，售价每提高元．销售量相应减少个．‎ ‎（1）假设销售单价提高元，那么销售每个篮球所获得的利润是________元；这种篮球每月的销售量是_________个．（用含的代数式表示）（4分）‎ ‎（2）元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分）‎ 答案：（1），； ‎ ‎（2）设月销售利润为元，‎ 由题意， ‎ 整理，得． ‎ 当时，的最大值为， ‎ ‎． ‎ 答：元不是最大利润，最大利润为元，此时篮球的售价为元．‎ 第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为 ‎，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系 ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？‎ ‎（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？‎ 答案：（1）由题意可知抛物线经过点　‎ 设抛物线的方程为　　‎ 将三点的坐标代入抛物线方程．‎ 解得抛物线方程为　　‎ ‎（2）令，则有　　‎ 解得　　‎ ‎　　‎ 货车可以通过．　　‎ ‎（3）由（2）可知　　‎ 货车可以通过．　　‎ 第17题如图，在矩形中，，线段．在上取一点，分别以为一边作矩形、矩形，使矩形矩形．令，当为何值时，矩形的面积有最大值？最大值是多少 答案：解：矩形矩形，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎　 ‎ ‎ ．‎ 当时，有最大值为．‎ 第18题某企业信息部进行市场调研发现：‎ 信息一：如果单独投资种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间存在正比例函数关系：，并且当投资5万元时，可获利润2万元．‎ 信息二：如果单独投资种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间存在二次函数关系：，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．‎ ‎（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；‎ ‎（2）如果企业同时对两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？‎ 答案：解：（1）当时，，‎ ‎，当时，；当时，．‎ 解得 ‎．‎ ‎（2）设投资种商品万元，则投资种商品万元，获得利润万元，根据题意可得 当投资种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资种商品7万元，种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．‎