中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题

中考数学大题复习 一、函数问题 ‎1、已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C.‎ ‎（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.‎ ‎（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.‎ ‎（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.‎ ‎2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. ‎ ‎(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎ (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E ‎ ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?‎ ‎②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?‎ 请直接写出相应的t值.‎ 二、折叠问题 已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；‎ ‎(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；‎ ‎(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；‎ ‎(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.‎ y B C y T A C B O x O T A x 三、圆相关问题 A y x B E F O1‎ Q O O2‎ C ‎1、如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，）在轴的正半轴上，A、B是轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.‎ ‎（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.‎ ‎（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，‎ 过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在轴上是否存在点P，使得△PMN是 一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，‎ 请说明理由.‎ A ‎·‎ B C D E F G M x y O ‎2、已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，‎ ‎（1）求m的值及抛物线顶点坐标；‎ ‎（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；‎ ‎（3）在（2）条件下，设P为上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.‎ 四、动点问题 X O P D C A B Y ‎1、如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．‎ ‎(1)说明点A、C、E在一条条直线上；‎ ‎(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；‎ ‎(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、‎ b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．‎ QA P O C（8，6）‎ B（18，6）‎ A（18，0）‎ x y ‎2、如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。‎ ‎（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。‎ ‎（2）试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。‎ ‎（3）设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。‎ ‎（4）设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。‎ 答案：一、函数问题：‎ ‎1、解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y＝－2.‎ ‎∴B点坐标为（－8，－2）.而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）‎ 从而k＝8×2＝16‎ ‎（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上,‎ ‎∴mn＝k，B（－‎2m，－），C（－‎2m，－n），E（－m，－n）‎ ‎＝2mn＝2k，＝mn＝k，＝mn＝k.‎ ‎∴＝――＝k.∴k＝4.‎ 由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1）‎ ‎∴C（－4，－2），M（2，2）‎ 设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得 ‎，解得a＝b＝‎ ‎∴直线CM的解析式是y＝x＋.‎ ‎（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1，M1‎ 设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a.于是，‎ 同理 ‎∴p－q＝－＝－2‎ ‎2、(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx ‎ 8=‎16a+4b ‎ 得 ‎ ‎ 0=‎64a+8b ‎ 解 得a=-,b=4‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x …………………3分 ‎（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=‎ ‎∴PE=AP=t．PB=8-t．‎ ‎∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.‎ ‎∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. ‎ ‎∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t. ∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. ‎ ‎②共有三个时刻. t1=， t2=，t3= ． ‎ 二、折叠问题 ‎1. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，‎ ‎ ∴， ∴‎ ‎ 当点A´在线段AB上时，∵，TA=TA´，‎ ‎ ∴△A´TA是等边三角形，且，‎ ‎ ∴，，‎ A´‎ y E ‎ ∴，‎ x O C T P B A ‎ 当A´与B重合时，AT=AB=，‎ ‎ 所以此时.‎ ‎ (2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，‎ ‎ 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)，‎ y x ‎ 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)‎ ‎ 又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0)‎ ‎ 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，.‎ E B P A´‎ F C ‎ (3)S存在最大值 A T O ‎ 当时，，‎ ‎ 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，‎ ‎∴当t=6时，S的值最大是.‎ 当时，由图，重叠部分的面积 ‎∵△A´EB的高是，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 当t=2时，S的值最大是；‎ 当，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)，‎ ‎∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，‎ ‎∴‎ 综上所述，S的最大值是，此时t的值是.‎ 三、圆相关问题 ‎1、 (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，‎ B A E F O1‎ Q O O2‎ y x ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ N M P C ‎∴△AOC≌△COB.‎ ‎∴OC2＝OA·OB.‎ ‎∵OA∶OB＝3∶1,C(0,),‎ ‎∴‎ ‎∴OB＝1.∴OA＝3.‎ ‎∴A(-3,0),B(1,0).‎ 设抛物线的解析式为 则解之，得 ‎∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为 ‎(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.‎ 证明：连结O1E、OE、OF.‎ ‎∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,‎ ‎∴四边形EOFC为矩形.‎ ‎∴QE＝QO.‎ ‎∴∠1＝∠2.‎ ‎∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，‎ ‎∴EF与⊙O1相切.‎ 同理：EF理⊙O2相切.‎ ‎(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a. ‎ ‎∵MN∥OA,‎ ‎∴△CMN∽△CAO.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解之，得 此时，四边形OPMN是正方形.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 考虑到四边形PMNO此时为正方形，‎ ‎∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.‎ 故轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且或 ‎2、（1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0.‎ ‎　　设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·x2＝‎3m　 ‎ 又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB　∴ ‎ ‎∴，即x1·x2＝－m2　‎ ‎∴－m2＝‎3m，解得　m＝0　或m＝－3　‎ 而m＜0，故只能取m＝－3 ‎ 这时，‎ ‎ 故抛物线的顶点坐标为（，－4）‎ ‎（2）解法一：由已知可得：M（，0），A（－，0），B（3，0），‎ C（0,－3），D（0， 3）‎ ‎∵抛物线的对称轴是x＝，也是⊙M的对称轴，连结CE ‎∵DE是⊙M的直径，‎ ‎∴∠DCE＝90°，∴直线x＝，垂直平分CE，‎ ‎∴E点的坐标为（2，－3）‎ ‎∵，∠AOC＝∠DOM＝90°，‎ ‎∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE ‎∵AC⊥CB，∴CB⊥DE 又FG⊥DE，　　∴FG∥CB ‎ 由B（3，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：‎ y＝－3　 ‎ 可设直线FG的解析式为y＝＋n，把（2，－3）代入求得n＝－5‎ 故直线FG的解析式为y＝－5　 ‎ 解法二：令y＝0，解－3＝0得 x1＝－，x2＝3‎ 即A（－，0），B（3，0）‎ 根据圆的对称性，易知：：⊙M半径为2，　 M（，0）‎ 在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝3，，OC＝3‎ ‎∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。‎ 而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC ‎∵DE⊥FG，　∴BC∥FG ‎∴∠EFM＝∠CBO＝30°‎ 在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝2，∠FEM＝30°，‎ ‎∴MF＝4，∴OF＝OM＋MF＝5，‎ ‎∴F点的坐标为（5，0）‎ 在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝5×＝5‎ A ‎·‎ B C D E F G M x y P H O ‎∴G点的坐标为（0，－5）‎ ‎∴直线　FG的解析式为y＝－5　‎ ‎（3）解法一：‎ 存在常数k＝12，满足AH·AP＝12　 ‎ 连结CP 由垂径定理可知，‎ ‎∴∠P＝∠ACH ‎（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO）‎ 又∵∠CAH＝∠PAC，‎ ‎∴△ACH∽△APC ‎∴　即AC2＝AH·AP　‎ 在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（）2＋32＝12‎ ‎（或利用AC2＝AO·AB＝×4＝12‎ ‎∴AH·AP＝12　 ‎ 解法二：‎ 存在常数k＝12，满足AH·AP＝12‎ 设AH＝x，AP＝y 由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP 即 化简得：xy＝12‎ 即　AH·AP＝12　‎ 四、动点问题 ‎1、（1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=x+1.‎ 将点E的坐标E(，)代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=，‎ ‎∵左边=右边，∴点E在直线y=x+1上，即点A、C、E在一条直线上.‎ ‎（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下 X G F O P D E C A B Y 解法二：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内部，∴1＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下. ‎ ‎（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴GO·AO—FO·AO=3 ∵OA=1，∴GO—FO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=＜0，∴x1＜0＜x2，‎ ‎∴GO= x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6，‎ 即x2+x1=6，∵x2+x1= — ∴—=6，‎ ‎∴b= —‎6a, ‎ ‎∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为（3，1—‎9a）, ∵顶点P在矩形ABCD内部， ‎ 由方程组 y=ax2—6ax+1‎ y=x+1‎ 得：ax2—（‎6a+）x=0‎ ‎∴1＜1—‎9a＜3, ∴—＜a＜0. ‎ ‎∴x=0或x==6+.‎ 当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交 点，则有：0＜6+≤，解得：—≤a＜—‎ 综合得：—＜a＜— ∵b= —‎6a，∴＜b＜‎ ‎2、（1）∵O、C两点的坐标分别为O，C ‎　　　设OC的解析式为，将两点坐标代入得：‎ ‎　　　，，∴ ‎ ‎　　∵A，O是轴上两点，故可设抛物线的解析式为 ‎　　　再将C代入得：∴ ‎ ‎（2）D ‎（3）当Q在OC上运动时，可设Q，依题意有：‎ ‎∴，∴Q，‎ 当Q在CB上时，Q点所走过的路程为，∵OC＝10，∴CQ＝‎ ‎∴Q点的横坐标为，∴Q， ‎ ‎（4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为，则Q运动的路程为 ‎△OPQ中，OP边上的高为：‎ 梯形OABC的面积＝，依题意有：‎ 整理得：　　∵△＝，∴这样的不存在 当Q在BC上时，Q走过的路程为，∴CQ的长为：‎ ‎∴梯形OCQP的面积＝＝36≠84×‎ ‎∴这样的值不存在 综上所述，不存在这样的值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积