压轴题中考数学压轴题精选精析例
2012中考数学压轴题精选精析（41-50例）
（右侧加有批注）
2011安徽八、（本题满分14分）
A
B
C
D
l1
l2
l3
l4
h1
h2
h3
23．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0)．
(1)求证：h1＝h2；
【证】
(2)设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)2＋h12；
【证】
(3)若h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况．
【解】
23.（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，证△ABE≌△CDG即可.
（2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2,四边形EFGH是边长为h2的正方形，
所以.
(3)由题意，得 所以
又 解得0＜h1＜
∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；
当h1=时，S取得最小值；
当＜h1＜时，S随h1的增大而增大.
2011芜湖24．(本小题满分14分)
平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形。
(1)若抛物线过点C，A，，求此抛物线的解析式；
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长；
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。
24．(本小题满分l4分)
解：(1)∵由ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，
点的坐标为(3，0)。
所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)， (3，0)设抛物线的解析式为，可得
解得
∴过点C，A，的抛物线的解析式为。
(2)因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°。
∴,又.
,∴ 又,
∴,又△ABO的周长为。
∴的周长为。
（3）连接OM，设M点的坐标为，
∵点M在抛物线上，∴。
∴
=
=
因为，所以当时，。△AMA’的面积有最大值
所以当点M的坐标为()时，△AMA’的面积有最大值，且最大值为。
（2011上海）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
图1 图2 备用图
25. (本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)
(1) 由AE=40，BC=30，AB=50，ÞCP=24，又sinÐEMP=ÞCM=26.
(2) 在Rt△AEP与Rt△ABC中，∵ ÐEAP=ÐBAC，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC，
∴ ，即，∴ EP=x，
又sinÐEMP=ÞtgÐEMP==Þ=，∴ MP=x=PN，学科王
BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x (0
2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）．···································5分
（注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1分）
⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为，此时点N（，过点N作NG∥轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：
；把代入得：，则G，
此时：NG=-（），
=． ······································７分
∴
∴当时，△CAN面积的最大值为，
由，得：，∴N（， -3）． ········ 8分
法二：提示：过点N作轴的平行线交轴于点E，作CF⊥EN于点F，则
（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）
（2011年凉山州）如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。
y
x
O
B
M
N
C
A
28题图
28．（1）∵，∴，。
∴，。····················1分
又∵抛物线过点、、，
故设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入，求得。
∴抛物线的解析式为。········3分
（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））。
∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），
∴，。···························4分
∵，∴。
∴，∴，∴。·················5分
y
x
O
B
E
A
图（2）
D
∴
······6分
。
∴当时，有最大值4。
此时，点的坐标为（2，0）。··············7分
（3）∵点（4，）在抛物线上，
y
x
O
B
A
图（3）
D
∴当时，，
∴点的坐标是（4，）。
如图（2），当为平行四边形的边时，，
∵（4，），∴（0，），。
∴，。 ··········9分
① 如图（3），当为平行四边形的对角线时，
设，则平行四边形的对称中心为
（，0）。·················10分
∴的坐标为（，4）。
把（，4）代入，得。
解得 。
，。····
（株洲市2011年）24．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：
（1）若测得（如图1），求的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
图1
图2
24.解：
（1）设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，
，，
，(，) ……… 2分
将(，)代入抛物线得，. ……… 3分
（2）解法一：过点作轴于点，
点的横坐标为， (1，)， ……… 4分
. 又 ，易知，又，
△∽△， ……… 5分
设点（，）（），则，，
，即点的横坐标为. ……… 6分
解法二：过点作轴于点，
点的横坐标为， (1，)， ……… 4分
，易知，
， ……… 5分
设点（-，）（），则，，
，即点的横坐标为. ……… 6分
解法三：过点作轴于点，
点的横坐标为， (1，)， ……… 4分
设（-，）（），则
，，，
，
，
解得：，即点的横坐标为. ……… 6分
（3）解法一：设（，）（），（，）（），
设直线的解析式为：， 则，……… 7分
得，，
……… 8分
又易知△∽△，，，……… 9分
.由此可知不论为何值，直线恒过点（，）………10分
（说明：写出定点的坐标就给2分）
解法二：设（，）（），（，）（），
直线与轴的交点为，根据，可得
，
化简，得. ……… 8分
又易知△∽△，，，……… 9分为固定值.故直线恒过其与轴的交点（,）……… 10分
说明：的值也可以通过以下方法求得.
由前可知，，，，
由，得：，
化简，得.
本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准
（2011年桂林市）26．（本题满分12分）已知二次函数的图象如图.
（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.
26．（本题满分12分）
解: （1）由得 …………1分
∴Ｄ（３，０）…………2分
（2）方法一:
如图1, 设平移后的抛物线的解析式为
…………3分
则C OC=
令 即
得 …………4分
∴A，B
∴………5分
……………………6分
∵
即:
得 (舍去) ……………7分
∴抛物线的解析式为 ……………8分
方法二:
∵ ∴顶点坐标
设抛物线向上平移h个单位,则得到,顶点坐标…………3分
∴平移后的抛物线: ……………………4分
当时, , 得
∴ A B……………………5分
∵∠ACB=90° ∴△AOC∽△COB
∴OA·OB……………………6分
得 ,…………7分
∴平移后的抛物线: …………8分
（3）方法一:
如图2, 由抛物线的解析式可得
A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M …………9分
过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H,
则
∴
在Rt△COD中,CD==AD
∴点C在⊙D上 …………………10分
∵
……11分
∴
∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM
∴直线CM与⊙D相切 …………12分
方法二:
如图3, 由抛物线的解析式可得
A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M …………9分
作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H,则, , 由勾股定理得
∵DM∥OC
∴∠MCH=∠EMD
∴Rt△CMH∽Rt△DME …………10分
∴ 得 …………11分
由(2)知 ∴⊙D的半径为5
∴直线CM与⊙D相切 …………12分
（达州市2011年）23、(10分)如图，已知抛物线与轴交于A (1，0)，B（，0）两点，与轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与轴交于点Q，求点D的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
23、（10分）解（1）设此抛物线的解析式为：
∵抛物线与轴交于A（1，0）、B（两点，
∴
又∵抛物线与轴交于点C（0，3）
∴，
∴
∴
即……………3分
用其他解法参照给分
（2）∵点A（1，0），点C（0，3）
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，OC⊥轴
∴△QOC∽△COA
∴，即
∴OQ=9，……………………4分
又∵点Q在轴的负半轴上，∴Q（
设直线DC的解析式为：，则
解之得：
∴直线DC的解析式为：……………………5分
∵点D是抛物线与直线DC的交点，
∴ 解之得： （不合题意，应舍去）
∴点D（……………………6分
用其他解法参照给分
（3）如图，点M为直线上一点，连结AM，PC，PA
设点M（，直线与轴交于点E，∴AE=2
∵抛物线的顶点为P，对称轴为
∴P（
∴PE=4
则PM=
∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC
=
=
=……………………7分
又∵S四边形AEPC= S△AEP+S△ACP
S△AEP=
∴+S△ACP=……………………8分
∵S△MAP=2S△ACP
∴
∴
∴，……………………9分
故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP
点M（或……………………10分
用其他解法参照给分
