压轴题中考数学压轴题精选精析例

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压轴题中考数学压轴题精选精析例

‎2012中考数学压轴题精选精析(41-50例)‎ ‎(右侧加有批注)‎ ‎2011安徽八、(本题满分14分)‎ A B C D l1‎ l2‎ l3‎ l4‎ h1‎ h2‎ h3‎ ‎23.如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0).‎ ‎(1)求证:h1=h2;‎ ‎【证】‎ ‎(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=(h1+h2)2+h12;‎ ‎【证】‎ ‎(3)若h1+h2=1,当h1变化时,说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况.‎ ‎【解】‎ ‎23.(1)过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F,过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G,证△ABE≌△CDG即可.‎ ‎(2)易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2,四边形EFGH是边长为h2的正方形,‎ 所以.‎ ‎(3)由题意,得 所以 又 解得0<h1<‎ ‎∴当0<h1<时,S随h1的增大而减小;‎ ‎ 当h1=时,S取得最小值;‎ 当<h1<时,S随h1的增大而增大.‎ ‎2011芜湖24.(本小题满分14分)‎ 平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别为(0,3)、(,0),将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°,得到平行四边形。‎ ‎(1)若抛物线过点C,A,,求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长;‎ ‎(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,间:点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。‎ ‎24.(本小题满分l4分)‎ 解:(1)∵由ABOC旋转得到,且点A的坐标为(0,3),‎ 点的坐标为(3,0)。‎ 所以抛物线过点C(-1,0),A(0,3), (3,0)设抛物线的解析式为,可得 ‎ 解得 ‎ ∴过点C,A,的抛物线的解析式为。‎ ‎(2)因为AB∥CO,所以∠OAB=∠AOC=90°。‎ ‎∴,又.‎ ‎,∴ 又,‎ ‎∴,又△ABO的周长为。‎ ‎∴的周长为。‎ ‎(3)连接OM,设M点的坐标为,‎ ‎∵点M在抛物线上,∴。‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ 因为,所以当时,。△AMA’的面积有最大值 所以当点M的坐标为()时,△AMA’的面积有最大值,且最大值为。‎ ‎(2011上海)25.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各5分)‎ 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上,EM=EN,.‎ ‎(1)如图1,当点E与点C重合时,求CM的长;‎ ‎(2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设AP=x,BN=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;‎ ‎(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长.‎ 图1 图2 备用图 ‎25. (本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各5分)‎ ‎ (1) 由AE=40,BC=30,AB=50,ÞCP=24,又sinÐEMP=ÞCM=26.‎ ‎ (2) 在Rt△AEP与Rt△ABC中,∵ ÐEAP=ÐBAC,∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC,‎ ‎ ∴ ,即,∴ EP=x,‎ ‎ 又sinÐEMP=ÞtgÐEMP==Þ=,∴ MP=x=PN,学科王 ‎ BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x (02,AP>2;因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,在Rt△AOM中,,因为抛物线对称轴过点M,所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6;故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立,‎ 即P(6,4).···································5分 ‎(注:如果考生直接写出答案P(6,4),给满分2分,但考生答案错误,解答过程分析合理可酌情给1分) ‎ ‎⑶法一:在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.‎ 设N点的横坐标为,此时点N(,过点N作NG∥轴交AC于G;由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为:‎ ‎;把代入得:,则G,‎ 此时:NG=-(), ‎ ‎=. ······································7分 ‎∴‎ ‎∴当时,△CAN面积的最大值为,‎ 由,得:,∴N(, -3). ········ 8分 法二:提示:过点N作轴的平行线交轴于点E,作CF⊥EN于点F,则 ‎(再设出点N的坐标,同样可求,余下过程略)‎ ‎(2011年凉山州)如图,抛物线与轴交于(,0)、(,0)两点,且,与轴交于点,其中是方程的两个根。‎ ‎(1)求抛物线的解析式; ‎ ‎(2)点是线段上的一个动点,过点作∥,交于点,连接,当的面积最大时,求点的坐标;‎ ‎(3)点在(1)中抛物线上,点为抛物线上一动点,在轴上是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,求出所有满足条件的点的坐标,若不存在,请说明理由。‎ y x O B M N C A ‎28题图 ‎28.(1)∵,∴,。‎ ‎∴,。····················1分 又∵抛物线过点、、,‎ 故设抛物线的解析式为,‎ 将点的坐标代入,求得。‎ ‎  ∴抛物线的解析式为。········3分 ‎(2)设点的坐标为(,0),过点作轴于点(如图(1))。‎ ‎∵点的坐标为(,0),点的坐标为(6,0),‎ ‎∴,。···························4分 ‎∵,∴。‎ ‎∴,∴,∴。·················5分 y x O B E A 图(2)‎ D ‎∴‎ ‎ ······6分 ‎。‎ ‎∴当时,有最大值4。‎ 此时,点的坐标为(2,0)。··············7分 ‎(3)∵点(4,)在抛物线上,‎ y x O B A 图(3)‎ D ‎∴当时,,‎ ‎∴点的坐标是(4,)。‎ 如图(2),当为平行四边形的边时,,‎ ‎∵(4,),∴(0,),。‎ ‎∴,。 ··········9分 ‎ ① 如图(3),当为平行四边形的对角线时,‎ 设,则平行四边形的对称中心为 ‎(,0)。·················10分 ‎∴的坐标为(,4)。‎ 把(,4)代入,得。‎ 解得 。‎ ‎,。····‎ ‎(株洲市2011年)24.(本题满分10分)孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点,两直角边与该抛物线交于、两点,请解答以下问题:‎ ‎(1)若测得(如图1),求的值;‎ ‎(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时,过作轴于点,测得,写出此时点的坐标,并求点的横坐标;‎ ‎(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现,交点、的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.‎ 图1‎ 图2‎ ‎24.解:‎ ‎(1)设线段与轴的交点为,由抛物线的对称性可得为中点,‎ ‎ ,,‎ ‎,(,) ……… 2分 将(,)代入抛物线得,. ……… 3分 ‎(2)解法一:过点作轴于点,‎ 点的横坐标为, (1,), ……… 4分 ‎. 又 ,易知,又,‎ ‎△∽△, ……… 5分 设点(,)(),则,,‎ ‎,即点的横坐标为. ……… 6分 解法二:过点作轴于点,‎ 点的横坐标为, (1,), ……… 4分 ‎ ‎ ‎ ,易知,‎ ‎, ……… 5分 设点(-,)(),则,,‎ ‎,即点的横坐标为. ……… 6分 解法三:过点作轴于点,‎ 点的横坐标为, (1,), ……… 4分 设(-,)(),则 ‎,,, ‎ ‎ ,‎ ‎,‎ 解得:,即点的横坐标为. ……… 6分 ‎(3)解法一:设(,)(),(,)(),‎ 设直线的解析式为:, 则,……… 7分 得,,‎ ‎ ……… 8分 又易知△∽△,,,……… 9分 ‎.由此可知不论为何值,直线恒过点(,)………10分 ‎(说明:写出定点的坐标就给2分)‎ 解法二:设(,)(),(,)(),‎ 直线与轴的交点为,根据,可得 ‎,‎ 化简,得. ……… 8分 又易知△∽△,,,……… 9分为固定值.故直线恒过其与轴的交点(,)……… 10分 说明:的值也可以通过以下方法求得.‎ 由前可知,,,,‎ 由,得:,‎ 化简,得.‎ 本答案仅供参考,若有其他解法,请参照本评分标准 ‎(2011年桂林市)26.(本题满分12分)已知二次函数的图象如图.‎ ‎(1)求它的对称轴与轴交点D的坐标;‎ ‎(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与轴,轴的交点分别为A、B、C三点,若∠ACB=90°,求此时抛物线的解析式;‎ ‎(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径,D为圆心作⊙D,试判断直线CM与⊙D的位置关系,并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎26.(本题满分12分)‎ 解: (1)由得 …………1分 ‎∴D(3,0)…………2分 ‎(2)方法一:‎ 如图1, 设平移后的抛物线的解析式为 ‎ …………3分 则C OC=‎ 令 即 ‎ 得 …………4分 ‎∴A,B ‎∴………5分 ‎……………………6分 ‎∵‎ 即: ‎ 得 (舍去) ……………7分 ‎∴抛物线的解析式为 ……………8分 方法二: ‎ ‎∵ ∴顶点坐标 设抛物线向上平移h个单位,则得到,顶点坐标…………3分 ‎∴平移后的抛物线: ……………………4分 当时, , 得 ‎ ‎∴ A B……………………5分 ‎∵∠ACB=90° ∴△AOC∽△COB ‎∴OA·OB……………………6分 ‎ 得 ,…………7分 ‎∴平移后的抛物线: …………8分 ‎(3)方法一:‎ 如图2, 由抛物线的解析式可得 A(-2 ,0),B(8,0) ,C(4,0) ,M …………9分 过C、M作直线,连结CD,过M作MH垂直y轴于H,‎ 则 ‎ ‎∴ ‎ 在Rt△COD中,CD==AD ‎ ‎∴点C在⊙D上 …………………10分 ‎∵‎ ‎ ……11分 ‎∴‎ ‎∴△CDM是直角三角形,∴CD⊥CM ‎∴直线CM与⊙D相切 …………12分 方法二:‎ 如图3, 由抛物线的解析式可得 A(-2 ,0),B(8,0) ,C(4,0) ,M …………9分 作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H,则, , 由勾股定理得 ‎∵DM∥OC ‎ ‎∴∠MCH=∠EMD ‎∴Rt△CMH∽Rt△DME …………10分 ‎∴ 得 …………11分 由(2)知 ∴⊙D的半径为5 ‎ ‎∴直线CM与⊙D相切 …………12分 ‎(达州市2011年)23、(10分)如图,已知抛物线与轴交于A (1,0),B(,0)两点,与轴交于点C(0,3),抛物线的顶点为P,连结AC. ‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直,且直线DC与轴交于点Q,求点D的坐标;‎ ‎(3)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得S△MAP=2S△ACP,若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎23、(10分)解(1)设此抛物线的解析式为:‎ ‎∵抛物线与轴交于A(1,0)、B(两点,‎ ‎∴‎ 又∵抛物线与轴交于点C(0,3)‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即……………3分 用其他解法参照给分 ‎(2)∵点A(1,0),点C(0,3)‎ ‎∴OA=1,OC=3,‎ ‎∵DC⊥AC,OC⊥轴 ‎∴△QOC∽△COA ‎∴,即 ‎∴OQ=9,……………………4分 又∵点Q在轴的负半轴上,∴Q(‎ 设直线DC的解析式为:,则 ‎ 解之得:‎ ‎∴直线DC的解析式为:……………………5分 ‎∵点D是抛物线与直线DC的交点,‎ ‎∴ 解之得: (不合题意,应舍去)‎ ‎∴点D(……………………6分 用其他解法参照给分 ‎(3)如图,点M为直线上一点,连结AM,PC,PA 设点M(,直线与轴交于点E,∴AE=2‎ ‎∵抛物线的顶点为P,对称轴为 ‎∴P(‎ ‎∴PE=4‎ 则PM=‎ ‎∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC ‎ =‎ ‎=‎ ‎=……………………7分 又∵S四边形AEPC= S△AEP+S△ACP S△AEP=‎ ‎∴+S△ACP=……………………8分 ‎∵S△MAP=2S△ACP ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴,……………………9分 故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP 点M(或……………………10分 用其他解法参照给分
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