北京市丰台区中考数学二模试卷及答案解析word版

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‎2014年北京市丰台区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 ‎1．（4分）中国是一个干旱缺水严重的国家，淡水资源总量约为28000亿立方米，约占全球水资源的6%．将28000用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　 A． 28×103 B． 2.8×104 C． 2.8×105 D． 0.28×106‎ 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答： 解：28000=2.8×104，‎ 故选：B．‎ 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）﹣的相反数是（　　）‎ ‎　 A． 2 B． ﹣2 C． D． ﹣‎ 考点： 相反数．‎ 分析： 根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．‎ 解答： 解：﹣的相反数是．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　）‎ ‎　 A． 圆锥 B． 圆柱 C． 球 D． 三棱柱 考点： 由三视图判断几何体．‎ 专题： 几何图形问题．‎ 分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ 解答： 解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥．‎ 故选A．‎ 点评： 考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（　　）‎ ‎　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8‎ 考点： 多边形内角与外角．‎ 分析： 利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．‎ 解答： 解：根据题意，得：（n﹣2）×180=360×3，解得n=8．‎ 故选D．‎ 点评： 解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）某班第一小组6名女生在测仰卧起坐时，记录下她们的成绩（单位：个/分）：45，48，46，50，50，49．这组数据的平均数是（　　）‎ ‎　 A． 49 B． 48 C． 47 D． 46‎ 考点： 算术平均数．‎ 分析： 求得数据的和，然后除以数据的个数即可求得其平均数．‎ 解答： 解：平均数为=（45+48+46+50+50+49）=48．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）把代数式ax2﹣4ax+‎4a分解因式，下列结果中正确的是（　　）‎ ‎　 A． a（x﹣2）2 B． a（x+2）2 C． a（x﹣4）2 D． a（x+2）（x﹣2）‎ 考点： 提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析： 先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．‎ 解答： 解：ax2﹣4ax+‎4a，‎ ‎=a（x2﹣4x+4），‎ ‎=a（x﹣2）2．‎ 故选A．‎ 点评： 本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（　　）‎ ‎　 A． B． 3 C． 6 D． 9‎ 考点： 翻折变换（折叠问题）．‎ 分析： 利用△ADE沿DE翻折的特性求出AM=A′M，再由DE∥BC，得到=，求得AE，再求出AM，利用△ADE的面积=DE•AM求解．‎ 解答： 解：△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处 ‎∴AM=A′M，‎ 又∵A′为MN的中点，‎ ‎∴AM=A′M=A′N，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，BC=6，‎ ‎∴BC=AE，‎ ‎∴=‎ ‎∴AE=2，‎ ‎∵AN是△ABC的BC边上的高，中线及角平分线，‎ ‎∴∠MAE=30°，‎ ‎∴AM=，ME=1，‎ ‎∴DE=2，‎ ‎∴△ADE的面积=DE•AM=××2=，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题主要考查了三角形的折叠问题上，解题的关键是运用比例求出AE，再求面积．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为‎2cm，在对称中心O处有一个钉子．动点P、Q同时从点A出发，点P沿A﹣B﹣C方向以每秒‎2cm的速度运动，到C点停止，点Q沿A﹣D方向以每秒‎1cm的速度运动，到D点停止．PQ两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，当遇到钉子后，橡皮筋会自动弯折．如果x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2，那么y与x的函数关系图象可能是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 动点问题的函数图象．‎ 分析： 过点O作OE⊥CD，根据正方形的性质可得OE=‎1cm，然后根据梯形的中位线等于两底和的一半求出橡皮筋经过点O的时间为，再分①0≤t≤1时，扫过的面积y=S△APQ；②1＜t≤时，表示出BP，再根据扫过的面积y=S梯形ABPQ；③＜t≤2时，扫过的面积y=S正方形ABCD﹣S梯形POEC﹣S梯形OQDE列式整理即可得解．‎ 解答： 解：如图，过点O作OE⊥CD，‎ ‎∵正方形的边长为‎2cm，点O是对称中心，‎ ‎∴OE=×2=‎1cm，‎ 橡皮筋经过点O时，=1，‎ 解得t=，‎ ‎①0≤t≤1时，扫过的面积y=S△APQ=•t•2t=t2；‎ ‎②1＜t≤时，BP=2t﹣2，‎ 扫过的面积y=S梯形ABPQ=（2t﹣2+t）×2=3t﹣2；‎ ‎③＜t≤2时，扫过的面积y=S正方形ABCD﹣S梯形POEC﹣S梯形OQDE，‎ ‎=22﹣（4﹣2t+1）×1﹣（2﹣t+1）×1，‎ ‎=4﹣+t﹣+t，‎ ‎=t；‎ 纵观各选项，只有D选项图象符合．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了动点问题函数图象，利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式判断函数图象，注意自变量的取值范围．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9．（4分）如果分式的值为0，那么x的值为　4　．‎ 考点： 分式的值为零的条件．‎ 分析： 根据分式的分子为0，可得答案．‎ 解答： 解：的值为0，‎ x﹣4=0，x+2≠0，‎ x=4，‎ 故答案为：4．‎ 点评： 本题考查了分式的值为零的条件，分式的分子为零，分母不能为零．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）如果关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有实数根，那么k的取值范围是　k≥﹣1　．‎ 考点： 根的判别式．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据判别式的意义得到△=22﹣4×（﹣k）≥0，然后解不等式即可．‎ 解答： 解：根据题意得△=22﹣4×（﹣k）≥0，‎ 解得k≥﹣1．‎ 故答案为k≥﹣1．‎ 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣‎4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）如图，将一副三角板按图中方式叠放，BC=4，那么BD=　2　．‎ 考点： 解直角三角形．‎ 分析： 先解等腰直角三角形ABC，求出AB的长，再解直角三角形ABD，即可求出BD．‎ 解答： 解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠C=45°，BC=4，‎ ‎∴AB=BC•sin∠C=4×=2．‎ 在Rt△ABC中，∵∠DBA=90°，∠D=30°，AB=2，‎ ‎∴BD===2．‎ 故答案为2．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形，求出AB的长是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）如图，在数轴上，从原点A开始，以AB=1为边长画等边三角形，记为第一个等边三角形；以BC=2为边长画等边三角形，记为第二个等边三角形；以CD=4为边长画等边三角形，记为第三个等边三角形；以DE=8为边长画等边三角形，记为第四个等边三角形；…按此规律，继续画等边三角形，那么第五个等边三角形的面积是　64　，第n个等边三角形的面积是　22n﹣4　．‎ 考点： 规律型：图形的变化类；等边三角形的性质．‎ 分析： 每一个等边三角形的边长分别为1、2、4、8、16、…2n﹣1，分别计算出每一个等边三角形的面积，找出规律，进一步利用规律得出答案即可．‎ 解答： 解：第一个边长为1等边三角形的面积为×1×=，‎ 第二个边长为2等边三角形的面积为×2×=，‎ 第三个边长为4等边三角形的面积为×4×2=4，‎ 第四个边长为8等边三角形的面积为×8×4=16，‎ 第五个边长为16等边三角形的面积为×16×8=64，‎ ‎…‎ 第n个边长为2n﹣1等边三角形的面积为×2n﹣1×2n﹣2=22n﹣4．‎ 故答案为：64，22n﹣4．‎ 点评： 此题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找出运算的规律解决问题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）证：．‎ ‎13．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，DA平分∠EDC，且∠E=∠B．求证：△ADE≌△ADC．‎ 考点： 全等三角形的判定．‎ 专题： 证明题．‎ 分析： 首先由角平分线的性质得出∠ADE=∠ADC，再由等腰三角形的性质结合∠E=∠B，可得∠E=∠C，运用AAS定理可进行全等的证明．‎ 解答： 证明：∵DA平分∠EDC，‎ ‎∴∠ADE=∠ADC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ 又∵∠E=∠B，‎ ‎∴∠E=∠C，‎ 在△ADE和△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△ADC（AAS）．‎ 点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）计算：﹣2sin60°+（﹣2014）0﹣（）﹣1．‎ 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ 分析： 根据零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答： 解：原式=2﹣2×+1﹣3‎ ‎=2﹣+1﹣3‎ ‎=﹣2．‎ 点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）解方程：x2﹣4x+2=0．‎ 考点： 解一元二次方程-配方法．‎ 分析： 本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．‎ 解答： 解：x2﹣4x=﹣2‎ x2﹣4x+4=2‎ ‎（x﹣2）2=2‎ 或 ‎∴，．‎ 点评： 配方法的步骤：形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知a2﹣‎2a﹣2=0，求代数式（1﹣）÷的值．‎ 考点： 分式的化简求值．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把a2+‎2a+1分解因式，然后约分得到原式=，再利用已知条件变形得到a2=‎2a+2，接着利用整体代入的方法计算．‎ 解答： 解：原式=•‎ ‎=，‎ ‎∵a2﹣‎2a﹣2=0，‎ ‎∴a2=‎2a+2，‎ ‎∴原式=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 点评： 本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品可获利润180元．在这10名工人中，如果要使此车间每天所获利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适．‎ 考点： 一元一次不等式的应用．‎ 分析： 首先设车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品，利用使此车间每天所获利润不低于15600元，得出不等关系进而求出即可．‎ 解答： 解：设车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．‎ 根据题意可得，12x×100+10（10﹣x）×180≥15600，‎ 解得；x≤4，‎ ‎∴10﹣x≥6，‎ ‎∴至少要派6名工人去生产乙种产品才合适．‎ 点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．‎ ‎（1）求这两个函数的关系式；‎ ‎（2）观察图象，写出使得y1＜y2成立的自变量x的取值范围；‎ ‎（3）在x轴的正半轴上存在一点P，且△ABP的面积是6，请直接写出点P的坐标．‎ 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．‎ 分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式；‎ ‎（2）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，可得答案；‎ ‎（3）根据面积的和差，可得答案．‎ 解答： 解：（1）∵函数y1=的图象过点A（1，4），即4=，‎ ‎∴k=4，即y1=，‎ 又∵点B（m，﹣2）在y1=上，‎ ‎∴m=﹣2，‎ ‎∴B（﹣2，﹣2），‎ 又∵一次函数y2=ax+b过A、B两点，‎ 即 ，‎ 解之得．‎ ‎∴y2=2x+2．‎ 反比例函数的解析式为y1=，‎ 一次函数的解析式为 y2=2x+2；‎ ‎（2）要使y1＞y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方，‎ ‎∴﹣2＜x＜0或x＞1；‎ ‎（3）如图，直线AB与x轴交点C的坐标（﹣1，0），‎ ‎∴S△ABC=S△APC+S△BPC==PC×6=6．‎ ‎∴PC=2‎ ‎∴P的坐标（1，0）．‎ 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，函数与不等式的关系．‎ ‎　‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求AC的长．‎ 考点： 相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．‎ 分析： 根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，然后得到∠1=∠3，再根据等角对等边可得CD=AD=6，过点D作DE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=AC，根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例求出BC，然后利用勾股定理列式计算即可得解．‎ 解答： 解：∵CA是∠BCD的平分线，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ 从而∠1=∠3，‎ ‎∵AD=6，‎ ‎∴CD=AD=6，‎ 过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE=AC，‎ ‎∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，‎ ‎∴△ABC∽△EDC，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ ‎∴BC=12，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC===8．‎ 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，作辅助线构造出相似三角形并求出BC的长度是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（5分）某市在2013年义务教育质量监测过程中，为了解学生的家庭教育情况，就八年级学生平时主要和谁在一起生活进行了抽样调查．下面是根据这次调查情况制作的不完整的频数分布表和扇形统计图．‎ 频数分布表 代码 和谁一起生活 频数 频率 A 父母 4200 0.7‎ B 爷爷奶奶 ‎660 ‎a C 外公外婆 600 0.1‎ D 其它 b 0.09‎ ‎ 合计 6000 1‎ 请根据上述信息，回答下列问题：‎ ‎（1）a=　0.11　，b=　540　；‎ ‎（2）在扇形统计图中，和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是　36°　；‎ ‎（3）若该市八年级学生共有3万人，估计不与父母一起生活的学生有　9000　人．‎ 考点： 频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （1）由表格中的总计减去其它的数字，即可求出a与b的值；‎ ‎（2）由和外公外婆一起生活的学生的频率为0.1，乘以360度即可得到结果；‎ ‎（3）求出不与父母一起生活学生的频率，乘以30000即可得到结果．‎ 解答： 解：（1）根据表格得：a=1﹣（0.7+0.1+0.09）=0.11，b=6000﹣（4200+660+600）=540；‎ ‎（2）根据题意得：和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是360°×0.1=36°；‎ ‎（3）根据题意得：30000×（1﹣0.7）=9000（人），‎ 则估计不与父母一起生活的学生有9000人．‎ 故答案为：（1）0.11；540；（2）36°；（3）9000．‎ 点评： 此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（5分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．‎ ‎（1）求证：CD2=CA•CB；‎ ‎（2）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．‎ 考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论；‎ ‎（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明OD⊥CD即可；‎ ‎（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．‎ 解答： （1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，‎ ‎∴△ADC∽△DBC，‎ ‎∴=，即CD2=CA•CB；‎ ‎（2）证明：如图，连接OD．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠1+∠3=90°．‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴∠1+∠2=90°．‎ 又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，‎ ‎∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，‎ ‎∴OD⊥CD．‎ 又∵OD是⊙O的半径，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（3）解：如图，连接OE．‎ ‎∵EB、CD均为⊙O的切线，‎ ‎∴ED=EB，OE⊥DB，‎ ‎∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，‎ ‎∴∠ABD=∠OEB，‎ ‎∴∠CDA=∠OEB．‎ 而tan∠CDA=，‎ ‎∴tan∠OEB==，‎ ‎∵∠ODC=∠EBC=90°，∠C=∠C，‎ ‎∴Rt△CDO∽Rt△CBE，‎ ‎∴===，‎ ‎∴CD=8，‎ 在Rt△CBE中，设BE=x，‎ ‎∴（x+8）2=x2+122，‎ 解得x=5．‎ 即BE的长为5．‎ 点评： 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．‎ ‎　‎ ‎22．（5分）阅读下列材料：‎ 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及此时的值是多少．‎ 在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法，解决以下问题：‎ ‎（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，=　　；‎ ‎（2）如图3，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PB为边作□PBQE，那么对角线PQ的最小值为　3　，此时=　　；‎ ‎（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作□PCQE，那么对角线PQ的最小值为　　，此时=　　．‎ 考点： 相似形综合题；平行线的判定；平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．‎ 专题： 阅读型；探究型．‎ 分析： （1）易证四边形PCBQ是矩形，由条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而得到的值．‎ ‎（2）由题可知：当QP⊥AC时，PQ最短．可以证到四边形PCBQ是矩形．从而可以得到PQ=BC=3，PC=QB=EP，由AE=nPA可以用AP表示AC，从而求出的值．‎ ‎（3）由题可知：当QP⊥AB时，PQ最短．过点C作CH⊥AB，垂足为H，可以证到四边形PHCQ是矩形，从而有QC=PH，PQ=HC．由AE=nPA可以用AP表示EH．易证△AHC∽△ACB从而可以求出AH=，HC=，从而有PQ=HC=，EH=nPA+，则有EH=2（n+1）AP=nPA+，从而求出AP=，进而求出的值．‎ 解答： 解：（1）如图2，‎ ‎∵四边形APBQ是平行四边形，‎ ‎∴AP∥BQ，AP=BQ．‎ ‎∵QP⊥AC，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠APQ=∠C=90°．‎ ‎∴PQ∥BC．‎ ‎∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C=90°，‎ ‎∴四边形PCBQ是矩形．‎ ‎∴QB=PC．‎ ‎∴AP=PC．‎ ‎∴=．‎ 故答案为：．‎ ‎（2）如图5，‎ 由题可知：当QP⊥AC时，PQ最短．‎ ‎∵QP⊥AC，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠APQ=∠C=90°．‎ ‎∴PQ∥BC．‎ ‎∵四边形PBQE是平行四边形，‎ ‎∴EP∥BQ，EP=BQ．‎ ‎∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C=90°，‎ ‎∴四边形PCBQ是矩形．‎ ‎∴QB=PC，PQ=BC=3．‎ ‎∴EP=PC．‎ ‎∵AE=nPA，‎ ‎∴PC=EP=EA+AP ‎=nPA+AP ‎=（n+1）AP．‎ ‎∴AC=AP+PC ‎=AP+（n+1）AP ‎=（n+2）AP．‎ ‎∴==．‎ 故答案分别为：3、．‎ ‎（3）过点C作CH⊥AB，垂足为H，如图6，‎ 由题可知：当QP⊥AB时，PQ最短．‎ ‎∵QP⊥AB，CH⊥AB，‎ ‎∴∠APQ=∠AHC=90°．‎ ‎∴PQ∥HC．‎ ‎∵四边形PCQE是平行四边形，‎ ‎∴EP∥CQ，EP=CQ．‎ ‎∵PH∥CQ，PQ∥HC，∠PHC=90°，‎ ‎∴四边形PHCQ是矩形．‎ ‎∴QC=PH，PQ=HC．‎ ‎∴EP=PH．‎ ‎∵AE=nPA，‎ ‎∴EP=EA+AP ‎=nPA+AP ‎=（n+1）AP．‎ ‎∴EH=2EP=2（n+1）AP．‎ ‎∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，‎ ‎∴AB=5．‎ ‎∵∠HAC=∠CAB，∠AHC=∠ACB=90°，‎ ‎∴△AHC∽△ACB．‎ ‎∴==．‎ ‎∵BC=3，AC=4，AB=5，‎ ‎∴==．‎ ‎∴AH=，HC=．‎ ‎∴PQ=HC=，EH=AE+AH=nPA+．‎ ‎∴EH=2（n+1）AP=nPA+．‎ ‎∴（2n+2﹣n）AP=．‎ ‎∴AP=．‎ ‎∴==．‎ 故答案分别为：、．‎ 点评： 本题考查了平行线之间的距离、平行线的判定、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，具有一定的综合性；本题还考查了阅读能力，体现了自主探究与合作交流相结合的新课程理念，是一道好题．‎ ‎　‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．（7分）如图，二次函数y=x2+bx+c经过点（﹣1，0）和点（0，﹣3）．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）如果一次函数y=4x+m的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m的值和该公共点的坐标；‎ ‎（3）将二次函数图象y轴左侧部分沿y轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G，如果直线y=4x+n与图象G有3个公共点，求n的值．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）把（﹣1，0）和点（0，﹣3）代入函数表达式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；‎ ‎（2）联立两函数解析式消掉未知数y，得到关于x的一元二次方程，再根据方程有两个相等的实数根，△=0列式求解得到m的值，再求出x的值，然后求出y的值，从而得到公共点的坐标；‎ ‎（3）根据轴对称性写出翻折部分的二次函数解析式，再根据直线与图象有3个公共点，①联立直线与翻折后的抛物线的解析式，消掉y得到关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根，②直线经过抛物线与y轴的交点．‎ 解答： 解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入到y=x2+bx+c中，得，‎ 解得，‎ 所以y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）由题意得：，‎ 消掉y整理得，x2﹣6x﹣（3+m）=0，‎ ‎∴△=（﹣6）2+4（3+m）=0，‎ 解得m=﹣12，‎ 此时，x1=x2=﹣=3，‎ y=4×3﹣12=0，‎ ‎∴m=﹣12，公共点为（3，0）；‎ ‎（3）原抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3，‎ 原抛物线沿y轴翻折后得到的新抛物线：y=x2+2x﹣3（x≥0），‎ 由，‎ 得x2﹣2x﹣3﹣n=0，‎ ‎△=（﹣2）2+4（3+n）=0，‎ 解得n=﹣4，‎ 当直线y=4x+n经过点（0，﹣3）时，直线与图象G有3个公共点，‎ 把（0，﹣3）代入到y=4x+n中，得n=﹣3，‎ 综上所述，n=﹣3或﹣4．‎ 点评： 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式并利用根的判别式求交点，难点在于（3）判断出有三个公共点时的情况．‎ ‎　‎ ‎24．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．‎ ‎（1）线段BE与AF的位置关系是　互相垂直　，=　　．‎ ‎（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．‎ ‎（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣2，求旋转角a的度数．‎ 考点： 几何变换综合题．‎ 分析： （1）结合已知角度以及利用锐角三角函数关系求出AB的长，进而得出答案；‎ ‎（2）利用已知得出△BEC∽△AFC，进而得出∠1=∠2，即可得出答案；‎ ‎（3）过点D作DH⊥BC于H，则DB=4﹣（6﹣2）=2﹣2，进而得出BH=﹣1，DH=3﹣，求出CH=BH，得出∠DCA=45°，进而得出答案．‎ 解答： 解：（1）如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直；‎ ‎∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，‎ ‎∴=；‎ 故答案为：互相垂直；；‎ ‎（2）（1）中结论仍然成立．‎ 证明：如图2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，‎ ‎∴EC=BC，FC=AC，‎ ‎∴==，‎ ‎∵∠BCE=∠ACF=α，‎ ‎∴△BEC∽△AFC，‎ ‎∴===，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ 延长BE交AC于点O，交AF于点M ‎∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2‎ ‎∴∠BCO=∠AMO=90°‎ ‎∴BE⊥AF；‎ ‎（3）如图3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°‎ ‎∴AB=4，∠B=60°‎ 过点D作DH⊥BC于H ‎∴DB=4﹣（6﹣2）=2﹣2，‎ ‎∴BH=﹣1，DH=3﹣，‎ 又∵CH=2﹣（﹣1）=3﹣，‎ ‎∴CH=BH，‎ ‎∴∠HCD=45°，‎ ‎∴∠DCA=45°，‎ ‎∴α=180°﹣45°=135°．‎ 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，得出△BEC∽△AFC是解题关键．‎ ‎　‎ ‎25．（8分）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+bx（b＞2）与x轴的另一交点为A，过点P（1，）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．连结CB，CP．‎ ‎（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；‎ ‎（2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP；‎ ‎（3）当b=6时，如图2，将△CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△CB′P′，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B′P′（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）利用抛物线y=﹣x2+4x，求出点A的坐标及BC的长，‎ ‎（2）过点C作CD⊥x轴于点D，利用△CBP∽△CDA，求出b的值．‎ ‎（3）利用抛物线y=﹣x2+6x，求出BC，PC及EP的长，再分两种情况①当BC在CP上时，且M点与B′点重合时线段EM最短，②当BC在PC延长线上时，且M点与P′点重合时线段EM最长，求出线段EM长度的取值范围．‎ 解答： 解：（1）∵b=4，‎ ‎∴抛物线y=﹣x2+4x，‎ 在y=﹣x2+4中，‎ 令y=0，得﹣x2+4x=0，‎ ‎∴x1=0，x2=4‎ ‎∴A（4，0）‎ 令x=1，得y=3‎ ‎∴B（1，3）‎ ‎∵对称轴x=﹣=2‎ ‎∴C（3，3）‎ ‎∴BC=2‎ ‎（2）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，‎ ‎∵∠BCP+∠PCD=90°，∠DCA+∠PCD=90°，‎ ‎∴∠BCP=∠DCA，‎ 又∵∠CBP=∠CDA=90°‎ ‎∴△CBP∽△CDA ‎∴=‎ 在y=﹣x2+bx中，‎ 令x=1，则y=b﹣1‎ ‎∴B（1，b﹣1）‎ 又∵对称轴x=﹣=，‎ ‎∴BC=2（﹣1）=b﹣2，‎ ‎∴C（b﹣1，b﹣1），‎ ‎∴CD=b﹣1，BC=b﹣2，DA=ON=1，BP=b﹣1﹣=﹣1，‎ ‎∴=，‎ ‎∴b=3．‎ ‎（3）∵b=6，‎ ‎∴抛物线y=﹣x2+6x 在y=﹣x2+6x中，‎ 令x=1，得y=5‎ ‎∴B（1，5）‎ ‎∵对称轴x==3‎ ‎∴C（5，5）‎ ‎∴BC=4，‎ ‎∵P（1，），‎ ‎∴P（1，3），‎ ‎∴BP=5﹣3=2，‎ ‎∴PC==2‎ ‎∵CP与抛物线对称轴的交点为E，‎ ‎∴EP=EC=PC=，‎ ‎①如图2，当BC在CP上时，且M点与B′点重合时线段EM最短，‎ ‎∴EM=EP﹣（PC﹣BC）=﹣（2﹣4）=4﹣．‎ ‎②如图3，当BC在PC延长线上时，且M点与P′点重合时线段EM最长，‎ EM=EC+P′C=+2=3．‎ ‎∴4﹣≤EM≤3．‎ 点评： 本题主要考查二次函数的综合题，解题的关键是数形结合找出EM取最大值及最小值时三角形CB′P′的位置．‎