中考中的费马点详解加练习

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中考中的费马点详解加练习

皮耶·德·费马(Pierre de Fermat)是一个17世纪的法国律师,也是一位业余数学家。‎ 之所以称业余,是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”(注意“玛”字)。‎ 费马最后定理在中国习惯称为费马大定理,西方数学界原名“最后”的意思是:其它猜想都证实了,这是最后一个。‎ 著名的数学史学家贝尔(E. T. Bell)在20世纪初所撰写的著作中,称皮耶·德·费马为”业余数学家之王。‎ ‎“贝尔深信,费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就,然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就,本人也渐渐退出人们的视野,考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪,因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。‎ 费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利(气压计的发明者)的信中提出的。‎ 托里拆利最早解决了这个问题,而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题,并系统地进行了推广,因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点,相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。‎ 这一问题的解决极大推动了联合数学的发展,在近代数学史上具有里程碑式的意义。‎ ‎“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。‎ 若给定一个三角形△ABC的话,从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。‎ 这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。‎ 1. 若三角形3个内角均小于120°,那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对三角形三边的张角相等,均为120°。‎ 所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。‎ 2. 若三角形有一内角大于等于120°,则此钝角的顶点就是距离和最小的点。‎ 在1的条件下画图找费马点 如图以任意两边为边向两边做等边三角形ABD和等年三角形ACE,则CD,BE交点P即为所求 ‎2若在≥120°的钝角三角形中,其顶点即是。‎ 另外,当刚好120°,且三角形BCD为等边三角形时,有个结论:AD=AB+AC 我们拓展一道几何题,第二问对很多学生或者老师还是很酥爽的。‎ 图1‎ ‎2011房山一摸2009石景山 ‎25.(本小题满分7分)‎ 已知:等边三角形ABC 如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°.‎ 试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;‎ 图2‎ ‎(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°.‎ ‎ 求证:PA+PD+PC>BD ‎ ‎ 我们回到正题:费马点 ‎25.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点在轴的正半轴上,,为△的中线,过、两点的抛物线与轴相交于、两点(在的左侧).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)等边△的顶点、在线段上,求及的长;‎ ‎(3)点为△内的一个动点,设,请直接写出的最小值,以及取得最小值时,线段的长.‎ ‎ ‎ ‎2013房山一摸 ‎24.(1)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线,联结AD、BE相交于点P,求证:BE=AD.‎ ‎(2)如图2,在△BCD中,∠BCD<120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF,联结AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是   (只填序号即可)‎ ‎①AD=BE=CF;②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°;‎ ‎(3)如图2,在(2)的条件下,求证:PB+PC+PD=BE.‎ ‎29. 阅读下面材料:‎ 小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值。‎ ‎ 小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接A’A,当点A落在A’C上时,此题可解(如图2).‎ ‎(1)请你回答:AP的最大值是 .‎ ‎(2)参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:‎ ‎ 如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,P为△ABC内部一点,请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路. ‎ 提示:要解决AP+BP+CP的最小值问题,可仿照题目给出的做法.把⊿ABP绕B点逆时针旋转60,得到.‎ ① 请画出旋转后的图形 ② 请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路(结果可以不化简).‎ ‎2016一月昌平 ‎28. 已知,点O是等边△ABC内的任一点,连接OA,OB,OC.‎ ‎(1) 如图1,已知∠AOB=150°,∠BOC=120°,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC. ‎ ‎①∠DAO的度数是 ;‎ ‎②用等式表示线段OA,OB,OC之间的数量关系,并证明;‎ ‎(2) 设∠AOB=α,∠BOC=β.‎ ‎①当α,β满足什么关系时,OA+OB+OC有最小值?请在图2中画出符合条件的图形,并说明理由;‎ ‎②若等边△ABC的边长为1,直接写出OA+OB+OC的最小值.‎ ‎2017年一月昌平 ‎29.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,点P为△ABC内一点.‎ ‎(1)连接PB,PC,将△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,点B,C,P的对应点 分别为点D,A,E,连接CE.‎ ① 依题意,请在图2中补全图形;‎ ② 如果BP⊥CE,BP=3,AB=6,求CE的长.‎ ‎(2)如图3,连接PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值.‎ 小慧的作法是:以点A为旋转中心,将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN,那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值,连接CN,当点P落在CN上时,此题可解.‎ 请你参考小慧的思路,在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN.‎ 并直接写出当AC=BC=4时,PA+PB+PC的最小值.‎ 延伸一下 ‎2017年一月 海淀28.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点P是△ABC内一点,且.连接PB,试探究PA,PB,PC满足的等量关系.‎ 图1 图2‎ ‎(1)当α=60°时,将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到,连接,如图1所示.由≌可以证得是等边三角形,再由可得∠APC的大小为 度,进而得到是直角三角形,这样可以得到PA,PB,PC满足的等量关系为 ;‎ ‎(2)如图2,当α=120°时,请参考(1)中的方法,探究PA,PB,PC满足的等量关系,并给出证明;‎ ‎(3)PA,PB,PC满足的等量关系为 .‎ ‎2016年顺义一摸 ‎28.已知:在△ABC中,∠BAC=60°.‎ (1) 如图1,若AB=AC,点P在△ABC内,且∠APC=150°,PA=3,PC=4,把△APC绕着点A顺时针旋转,使点C旋转到点B处,得到△ADB,连接DP ‎ ①依题意补全图1;‎ ‎ ②直接写出PB的长;‎ (2) 如图2,若AB=AC,点P在△ABC外,且PA=3,PB=5,PC=4,求∠APC的度数;‎ (3) 如图3,若AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=,PB=5,∠APC=120°,请直接写出PC的长.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 26、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.‎ ‎(1)求证:△AMB≌△ENB;‎ ‎(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;‎ ‎②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;‎ ‎(3)当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.‎ ‎ ‎ 在矩形ABCD中,点P在矩形内,点Q在BC上,AD=5,AB=3,‎ 求AP+DP+PQ的最小值 ‎ ‎
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