2014年常德中考数学试题卷

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2014年常德中考数学试题卷

‎2014年常德市初中毕业学业考试数学试题 ‎ ‎ 考生注意:1、请考生在试题卷首填写好准考证号及姓名.‎ ‎ 2、请将答案填写在答题卡上,填写在试题卷上的无效.‎ ‎ 3、本学科试题卷共 4页,七道大题,满分120 分,考试时量 120 分钟.‎ ‎ 4、考生可带科学计算器参加考试.‎ 一、选择题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎1.(2014常德市,1,3分)等于 A.2 B. C. D.‎ ‎【答案】A 图1 A. B. C. D.‎ ‎2.(2014常德市,2,3分)如图1所示的几何体的主视图是 ‎【答案】B ‎3.(2014常德市,3,3分)下列各数:,其中无理数的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】 B ‎4.(2014常德市,4,3分)下列各式与是同类二次根式的是 图2‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎5.(2014常德市,5,3分)如图2,已知AC∥BD,∠CAE=30°,‎ ‎∠DBE=45,则∠AEB等于 ‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.75°‎ ‎【答案】D ‎ ‎6.(2014常德市,6,3分)某班体育委员记录了7位女生1分钟仰卧起坐的个数分别为28,38,38,35,35,38,48,这组数据的中位数和众数分别是 A.35,38 B.38,‎35 ‎ C.38,38 D.35,35‎ ‎【答案】C ‎7.(2014常德市,7,3分)下面分解因式正确的是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎8.(2014常德市,8,3分)阅读理解:如图3,在平面内选一定点,引一条有方向的射线,再选定一个单位长度,那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定,有序数对(,m)称为点的“极坐标”,这样建立的坐标系称为“极坐标系”.‎ 应用:在图4的极坐标系下,如果正六边形的边长为2,有一边OA在射线上,则正六边形的顶点C的极坐标应记为 ‎ A.(60°,4) B.(45°,4) C.(60°,2) D.(50°,2)‎ ‎ 图3 图4‎ ‎ 【答案】A 二、填空题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎9.(2014常德市,9,3分)要使式子在实数范围内有意义,则的取值范围是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎10.(2014常德市,10,3分)古生物学家发现350 000 000年前,地球上每年大约是400天,用科学记数法表示350 000 000=_______________.‎ ‎【答案】3.5×108‎ ‎11.(2014常德市,11,3分)下列关于反比例函数的三个结论:①它的图象经过点(7,3);②‎ 它的图象在每一个象限内,随的增大而减小;③它的图象在二、四象限内.其中正确的是________________.‎ ‎【答案】①②‎ ‎12.(2014常德市,12,3分)计算:=___________.‎ ‎【答案】‎ 图5‎ ‎13.(2014常德市,13,3分)一元二次方程有两个不相等的实数根,‎ 则的取值范围是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎14.(2014常德市,14,3分)如图5所示,AB为⊙O的直径,CD⊥AB,若AB=10,CD=8,则圆心O到弦CD的距离为_________.‎ ‎【答案】3‎ ‎15.(2014常德市,15,3分)如图6,已知△ABC三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,AD=AO, 若∠BAC=,则∠BCA的度数为 .‎ ‎【答案】60°‎ 图6‎ ‎16.(2014常德市,16,3分)‎ 已知:‎ 计算: ; ‎ 猜想: . ‎ ‎【答案】,‎ 三、 (本大题2个小题,每小题5分,满分10分)‎ ‎17.(2014常德市,17,5分)计算: ‎ ‎【答案】解:原式=4+14 …………………………………………4分 ‎ = …………………………………………5分 ‎ 注:第一个等号每算对一个运算给1分,共4分 ‎ ‎ ‎18.(2014常德市,18,5分)解方程:‎ ‎【答案】解:方程两边同乘以,得 ‎ ‎ ……………………………2分 ‎ ‎ ……………………………4分 ‎ 经检验:是原方程的根 所以原方程的解是. ……………………………5分 四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)‎ ‎19.(2014常德市,19,6分)解不等式组 ‎【答案】解:解不等式①,得 ……………………………2分 ‎ 解不等式②,得 ……………………………4分 ‎ 所以不等式组的解集是 ……………………………6分 ‎20.(2014常德市,20,6分)小美周末来到公园,发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了一只兔子和一个有A、B、C、D、E五个出入口的兔笼,而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的. 规定①玩家只能将小兔从A、B两个出入口放入,②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开,则可获得一只价值5元小兔玩具,否则应付费3元.‎ ‎(1)问小美得到小兔玩具的机会有多大?‎ ‎(2)假设有100人次玩此游戏, 估计游戏设计者可赚多少元?‎ ‎【答案】解:(1)画树状图(或列表略)‎ ‎ ……………………………2分 小美得到小兔玩具的概率= ……………………………4分 ‎ ‎(2)100人次玩此游戏,估计有人次会获得玩具,花费20×5=100元,‎ ‎ 估计将有100-20=80人次要付费,‎ 估计游戏设计者可赚80×3-100=140(元). ……………………………6分 五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分) ‎ ‎21.(2014常德市,21,7分)‎2014年5月12日,国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》,报告显示:我国农民工收入持续快速增长.某地区农民工人均月收入增长率如图7所示,并将人均月收入绘制成如图8所示的不完整的条形统计图.‎ ‎ 图7 图8‎ ‎ 根据以上统计图解答下列问题:‎ ‎(1)2013年农民工人均月收入的增长率是多少?‎ ‎(2)2011年农民工人均月收入是多少?‎ ‎(3)小明看了统计图后说:“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了.”你认为小明的说法正确吗?请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)10% ……………………………2分 ‎ (2)2205元 ……………………………4分 ‎ (3)不正确 ……………………………5分 ‎ 2012的人均月收入= …………7分 图9‎ ‎22.(2014常德市,22,7分)如图9,A,B,C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置,AB,BC表示连接缆车站的钢缆.已知A,B,C所处位置的海拔AA1,BB1,CC1,分别为‎160米,‎400米,‎1000米,钢缆AB,BC分别与水平线AA2,BB2所成的夹角为30°,45°,求钢缆AB和BC的总长度.(结果精确到‎1米)‎ ‎【答案】解:在Rt△ABD中, BD=400-160=240, ∠BAD=30° ……………………………1分 ‎ 则AB=2BD=480 m.        ……………………………3分 在Rt△BCB2中, CB2=1000-400=600,∠CBB2=45° ……………………………4分 ‎ 则CB=600m. ……………………………6分 ‎ 所以AB+BC=480+600 ‎ ‎ ≈1328 (米) ‎ 答:钢缆AB和BC的总长度约为1328米. ……………………………7分 图9‎ 六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)‎ ‎23.(2014常德市,23,8分)如图10,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.‎ ‎(1)求证:ED是⊙O的切线.‎ ‎(2)当OA=3,AE=4时,求BC的长度.‎ 图10‎ ‎【答案】.解:(1)证明:连结OD.‎ A B C E D O ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎∵OD=OA,EA=ED,‎ ‎∴∠3=∠4, ∠1=∠2 ……………2分 ‎ ‎∴∠1+∠3=∠2+∠4 , 即∠ODE=∠OAE ‎∵AB⊥AC, ∠OAE=90° ‎ ‎∴∠ODE=90°∴DE是⊙O的切线. ………4分 ‎(2)∵OA=3, AE=4 ∴OE=5 ………5分 ‎ 又∵AB是直径, ∴AD⊥BC ‎∴∠1+∠5=90°,∠2+∠6=90°‎ 又∵∠1=∠2 ∴∠5=∠6 ,∴DE=EC, ……………………………6分 ‎∴E是AC的中点. ‎ ‎∴OE∥BC且 OE=BC ‎∴BC=10 ……………………………8分 ‎24.(2014常德市,24,8分)在体育局的策划下,市体育馆将组织明星篮球赛,为此体育局推出两种购票方案(设购票张数为,购票总价为):‎ 方案一: 提供8 000元赞助后,每张票的票价为50元;‎ ‎ 方案二: 票价按图11中的折线OAB所表示的函数 关系确定.‎ ‎(1)若购买120张票时, 按方案一和方案二分别应付的购票款是多少?‎ ‎(2)求方案二中与的函数关系式;‎ 图11‎ ‎(3)至少买多少张票时选择方案一比较合算?‎ ‎【答案】解:(1)按方案一购120张票时,(元);‎ 按方案二购120张票时,由图知(元)……………………2分 ‎(2)当时,设,则,‎ ‎∴. ……………………………3分 时, 设,‎ 解得,‎ ‎∴‎ 综合上面所得 …………………………5分 ‎(3)由(1)知, 购120张票时,按方案一购票不合算.‎ 即选择方案一比较合算时,应超过120. …………………………6分 设至少购买张票时选择方案一比较合算 则应有,‎ 解得:(张) ‎ ‎∴至少买200张时选方案一. …………………………8分 七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)‎ ‎25.(2014常德市,25,10分)如图12, 已知二次函数的图像过点O(0,0), A(4,0),B(),M是OA的中点.‎ ‎(1)求此二次函数的解析式;‎ ‎(2)设P是抛物线上的一点,过P作轴的平行线与抛物线交于另一点Q,要使四边形PQAM是菱形,求P点的坐标;‎ ‎(3)将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折,得曲线OB′A(B′为B关于轴的对称点),在原抛物线轴的上方部分取一点C,连接CM,CM与翻折后的曲线OB′A交于点D,若△CDA的面积是△MDA面积的2倍,这样的点C是否存在?若存在求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】O A M P Q C D B/‎ B D1‎ C1‎ 图12‎ 25.解: (1)方法一:设二次函数的解析式为 则 ‎∴ ……3分 方法二:∵图像过点O(0,0), A(4,0),‎ ‎∴设,‎ 又B()在曲线上,∴,∴‎ ‎∴ ……………………………………3分 ‎(2)∵M是OA的中点,OA=4,∴MA=2, ‎ 若四边形PQAM是菱形,则PQ=2,‎ 又根据抛物线关于对称轴对称,即P、Q关于直线对称,‎ ‎∴P的横坐标为1, Q的横坐标为3. ……………………………………5分 ‎∴P的坐标为(1,, Q的横坐标为(3,.‎ 而计算PM=,故所求的P(1,满足四边形PQAM是菱形 ………6分 ‎(3)设存在这样的C点.设C、D的坐标分别为 ‎∵二次函数在轴下方的部分向上翻折,得曲线OB′A,‎ ‎∴曲线OB′A的解析式为……………………………………7分 若△CDA的面积是△MDA面积的2倍,‎ ‎∴△CMA的面积是△MDA面积的3倍,‎ ‎∴, ∴,即,‎ ‎∴……………① …………………………8分 过D,C分别作DD1,CC1垂直于轴,‎ ‎∴△MD1D∽△MC1C,‎ ‎∴,∴‎ 即………………② …………………………9分 将②代入①得:‎ ‎,代入二次函数的解析式得 故C的坐标为,或. ………………………10分 图12‎ ‎26.(2014常德市,26,10分)如图13,14,已知四边形ABCD为正方形,在射线AC上有一动点P,作PE⊥AD(或延长线)于E,作PF⊥DC(或延长线)于F,作射线BP交EF于G. ‎ ‎(1)在图13中,设正方形ABCD的边长为2, 四边形ABFE的面积为y, AP=,求y关于的函数表达式.‎ ‎(2)结论GB⊥EF对图13,图14都是成立的,请任选一图形给出证明;‎ ‎(3)请根据图14证明:△FGC∽△PFB.‎ ‎ 图13 图14‎ ‎【答案】解:(1)∵EPAD,PFDC,∴四边形EPFD是矩形,‎ ‎∵AP=,‎ ‎∴AE=EP=DF=,‎ ‎, …………………………1分 ‎∴ ‎ ‎ ‎ A B C E P F G ‎ D 答案图13-1‎ H ‎ ………………………………3分 ‎(2)在图13中证明GB⊥EF.‎ ‎①证法一:延长FP交AB于H,‎ ‎∵PF⊥DC,PE⊥AD,∴PF⊥PE,PH⊥HB,‎ 即∠BHP=90° ………………………………4分 ‎∴在Rt△FPE与Rt△BHP中 因 ABCD是正方形,‎ ‎∴易知PF=FC=HB,EP=PH ‎∴Rt△FPE≌Rt△BHP……………………………5分 ‎∴∠PFE=∠PBH,‎ 又∠FPG=∠BPH,‎ ‎∴△FPG∽ △BPH,‎ ‎∴∠FGP=∠BHP=90°,即GB⊥EF ………………………………6分 分析: 要GB⊥EF,只要∠5 +∠3=90°,而∠5 +∠4=90°,只要证∠3=∠4,‎ 而∠2 =∠3, ,只要证∠4=∠2,而∠4=∠1,故只要∠1=∠2.‎ 证法二: 如答案图13-2,连接PD,延长FP交AB于H,‎ 延长EP交BC于M,‎ 易知DC=BC, ∠DCP=∠BCP=45°,PC=PC,‎ C F D A B E P G 答案图13-2‎ H M ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5 A. B. C. D.‎ ‎∴△DPC≌△BPC……………………4分 ‎∴∠DPC=∠BPC,即∠1+45°=45°+∠2,‎ ‎∴∠1=∠2,……………………………5分 而∠1=∠4, ∠2 =∠3, ‎ ‎∴∠3=∠4,‎ 而∠5 +∠4=90°,∴∠5 +∠3=90°,‎ ‎∴∠PGE=180°-(∠5 +∠3)=90°,‎ 即GB⊥EF.……………………………6分 注:在图14中证法与上面类似.‎ ‎(3)证法一:‎ ‎∵GB⊥EF,∴…①……7分 连接PD,在△DPC和△BPC中 ‎∵DC=BC, ∠DCP=∠BCP=135°,PC=PC,‎ ‎∴ △DPC≌△BPC,∴PD=PB. ………………………8分 而PD=EF, ∴EF=PB. ‎ 又∵GB⊥EF,∴‎ ‎∴‎ 而PF=FC, ∴ ………………………9分 ‎∴………②‎ ‎∴由①②得△FGC∽△PFB. ………………………10分 证法二:‎ ‎∵GB⊥EF,∴………① ………………………7分 又∵‎ 取BF的中点M,则有:‎ ‎∴B,C,G,F四点在以M为圆心,MB为半径的圆上. …………………………9分 ‎∴………②‎ ‎∴由①②得△FGC∽△PFB. …………………………10分
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