海南省中考数学试题成长博客CERSPBLO

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几何教学要关注对学生推理能力的培养 ‎——海南省2008年中考数学第23题质量分析报告 笔者有幸参加2008年海南省中考数学科的阅卷工作，有机会对此题有较多的思考，从阅卷情况来看，应该说是“喜”、“忧”参半，“喜”的是此题不乏有精彩解答，显示了优秀考生思维的广阔性；“忧”的是对学生解题思路、分析问题的方法和出现种种错误有了较多的了解。从而引了对平时教学工作的回顾和反思，现撰写成文，供同仁参考。‎ A B C P D E 图1‎ 题目：如图1，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.‎ ‎（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；‎ ‎（2）设AP=x, △PBE的面积为y.‎ ‎① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.‎ 一、试题分析 第23题是学科综合题，共设置了四个小题.考查内容主要涉及三角形（主要是等腰三角形和直角三角形）、四边形（主要是正方形）、平行线、线段垂直平分线、图形变换、三角形全等、二次函数等；对能力要求主要是观察、分析能力、逻辑推理能力，规范的文字表达能力以及较强的运算能力等，此外，还考查了分类思想，方程与函数的思想，归化的思想等.以上所考查的内容及能力要求都是新课程标准所规定的核心内容；本题中各小题的设置合理，具有教好的梯度，能有效地将不同水平的学生区分出来.‎ 二、考试答题情况分析 第23题满分12分，其中第（1）小题第①问要求证明线段的相等关系；主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质、简单的逻辑推理能力和文字表达能力，这些均属于课标的基本要求；第（1）小题中的第②问要求证明两线段的垂直关系，要求学生具有较扎实的基础知识及灵活运用知识的能力以及分类讨论的数学思想等；第（2）小题是几何与函数的综合题，要求考生除了掌握必要的基础知识和基本技能外，还要具有良好的数学素养. 此题得满分12分的人数为881人，占0.76%，零分56175人，占48.6%，得分率为0.17。其给分分布曲线如下图。‎ ‎（23题给分分布曲线图。本题平均分：2.07难度：0.17。）‎ 为了便于分析考生的答题情况，现根据考生的得分分布情况分为：0-3分，4-6分，7-9分和10-12分四个分数段，下面是各分数段考生答题情况分析：‎ ‎1、10-12分 此分数段的考生基础知识扎实，基本技能熟练，各种数学能力都很强，他们具有良好的数学素养，思维活跃、灵活开放，答题严谨、条理性强、文字表达规范，该题试卷中，考生的正确答案共有30种左右，现将其中第（1）小题部分优秀解答摘录如下：‎ 解答1：如图（1）‎ ‎① ∵ 点P在AC上，AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，点B、D是对称点，‎ A B C P D E 图(1)‎ ‎∴ PD=PB. ‎ 又∵ PE=PB,‎ ‎∴ PE=PD.‎ ‎② 由①知，当点P在AC上运动时，总有PE=PD=PB ‎∴ 点B、E、D三点在以P为圆心，PB为半径的⊙P上，‎ 连接BD，则∠DPE 与∠DBE是同弧上的圆心角和圆周角.‎ 又∵ ∠DBE =45°,‎ ‎∴ ∠DPE =90°, ∴ PE⊥PD.‎ 解答2.‎ 第①问解答略，第②解答如下：‎ A B C P D E 图(2)‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ F 如图(2)，延长EP交AD于点F ‎∵ △APB≌△APD ，‎ ‎∴ ∠2=∠1.‎ ‎∵ PE=PB.‎ ‎∴ ∠4=∠3. ‎ ‎∴ ∠2+∠4=∠1+∠3. ‎ ‎∵ 四边形ABCD是正方形， ‎ ‎∴ ∠1+∠3=∠ABC =90°，AD∥BC，‎ ‎∴ ∠5=∠4，∠2+∠4=90°，‎ ‎∴ ∠5+∠2=90°‎ ‎∴ ∠DEF=90°， ∴ PE⊥PD .‎ 显然，当点E与点C重合或点E在BC的延长线上时，点F与点A重合或F在DA的延长线上，此时同理可证PE⊥PD.‎ ‎ 本小题的精彩解答还有很多，这里就不一一列举了，此分数段还有相当多的同学丢1-2分，主要原因有两条.一是证PE⊥PD时，很多同学只给出了点E在边BC上时的证明，而他所选的证法并不具有一般性，即他的证法不能说明点E与点C重合或在BC的延长线上时结论也成立，结果造成失分. 二是较多同学在求出函数关系式后，不能正确地配方或用公式法求出△PBE面积的最大值，从而造成失分.‎ ‎2、7-9分 A B C P D E 图（3）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ 此分数段的考生基本上能掌握所学的基础知识和基本技能，有一定的分析能力和逻辑推理能力，但综合运用知识的能力不强，具体表现是推理不严谨，文字表达条理性较差，如有些同学在证明PE=PD时，其解答如下：‎ 如图（3）： ‎ ‎∵ 点P在AC上，AB=AD，‎ ‎∴ △APD≌△CEP，‎ ‎∴ PE=PD. ‎ ‎3‎ 又如在证明PE⊥PD时，证法如下：‎ 如图（3）： ‎ ‎∵∠BAP=∠PCE=45°，AB=PC，AP=EC ‎∴ △APB≌△CEP ，‎ ‎∴ ∠3=∠1.‎ 又∵∠2=∠1，‎ ‎∴ ∠3=∠2.‎ 又∵DC=AB=PC，‎ ‎∴ ∠4=∠5，‎ ‎∴ ∠3+∠4=∠2+∠5=90°，‎ ‎∴ PE⊥PD. ‎ 显然以上两个证明都是错误的，尤其是第2个证明，错误运用证明全等的方法——边边角（AAS），象这样的错误解答还有很多，这些都是造成本分数段学生失分的原因。至于后两个分数段的问题就更加严重，这里不能一一列举。‎ 综上所述，对于本届考生的基本情况作一个大致评估：‎ ‎1、基础较好的学生思维活跃，具有较强的自主探究能力，综合运用知识能力强，美中不足的是，这类学生在本届学生中所占比例太少（10-12分的考生仅占全体考生的1.6%）。‎ ‎2、本届考生两极分化严重，如第23题零分人数高达56175人，占48.6%，若计0-3分，则占全体考生的67.4%；究其原因，可能是很多学生放弃了数学学习，连最基础的知识都没有掌握好。‎ 三、启示与思考 ‎ 从阅卷情况看，相当一部分学生基础相对较差，对三角形全等的证明方法搞不清楚，基本的几何图形性质不熟悉，没有办法从图形的性质中提取了有用的线段及角之间的关系。也有相当一部分考生因运用几何思想方法的能力不强，无法调集有关知识形成有效的解题思路，导致几何证明的书写格式不规范，条理不清。此题的零分率为48.6%，得分率仅为0.17,让人感到非常吃惊，由此，对我们的数学教学、新课改革引发出深层的思考和启示。‎ ‎1. 正确的解题思路源于基础知识、基本技能和数学思想方法的熟悉掌握。‎ 此题第（1）小题的①问难度并不大，图形是典型的轴对称的几何模型，易找到证明三角形全等的条件，再利用简单的等量代换即可得出结论，一部分学生失去了信心，放弃了解答，非常可惜，根本原因还在于对“双基”掌握不牢固。所以，在今后的教学中，仍要立足教材，抓好“双基”、夯实基础。‎ ‎2．着力培养学生的创新意识、寻求最佳解题途径。‎ 此题第（2）小题的②问解法较多，要选择其中较为简便、简捷的方法与考生的创新意识密切相关。这启发我们在平时的教学中，要注意培养学生的求异思维、发散思维、逆向思维等能力，引导学生努力挖掘几何图形中的本质属性，利用图形的合理变换去寻求最佳解题途。据评卷教师的不完全统计，考生在证明本问题时，其证法多达三十多种，这是课改成果最直接的展示，充分体现了课程标准所倡导的基本理念已融入到我们的课堂教学中，学生已经初步形成了探索意识，并具有一定的分析问题、探究问题和解决问题能力（详见《闪光的思维,精彩的解答——海南省2008年中考数学第23题解法赏析》一文）。‎ ‎3．良好的解题习惯和规范的书写格式，要从一点一滴抓起。‎ 几何证明题，逻辑性强，思维严谨，要求步步不据，逐层推进，书写规范，格式简明。此题的解答了暴露出了部分考生失分的另一个原因是：证明的书写格式不规范，符号使用不规范，条理不清。一些学一可能脑子里想到了，但反映在卷面上却漏洞百出，例出证明三角形全等时出现“边边角”的证明方法等。说明日常教学中，一定要严格要求学生，促使他们养成良好的解题习惯，探索分析问题的思路及严谨的学习态度，这样才能有效地提高数学成绩。‎ ‎4．重视对教材习题的拓展与挖掘。‎ 近几年中考数学试题源自教材的例题、习题比较常见，这类命题有极大的典型性和代表性。熟练掌握教材中的例题、习题，使之融会贯通，拓展题目中有价值的结论，挖掘其中所蕴含的数学思想方法。这对中考能顺利完成类试题的解答至关重要。‎ ‎（中考评卷组提供，海口琼山中学陈其文执笔）‎ ‎2008年7月20日