平面几何有关三角形五心的经典考题及证明中考提分助力

平面几何有关三角形五心的经典考题及证明中考提分助力

平面几何：有关三角形五心的经典试题 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.‎ 一、外心.‎ 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.‎ 例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.‎ ‎(杭州大学《中学数学竞赛习题》)‎ 分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP ‎=NC，故点M是△P′BP的外心，点 N是△P′PC的外心.有 ‎ ∠BP′P=∠BMP=∠BAC，‎ ‎ ∠PP′C=∠PNC=∠BAC.‎ ‎ ∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.‎ ‎ 从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.‎ ‎ 由于P′P平分∠BP′C，显然还有 ‎ P′B:P′C=BP:PC.‎ 例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.‎ ‎ (B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)‎ 分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，‎ ‎△CSQ的外心，作出六边形 O1PO2QO3S后再由外 心性质可知 ‎ ∠PO1S=2∠A，‎ ‎ ∠QO2P=2∠B，‎ ‎ ∠SO3Q=2∠C.‎ ‎ ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+‎ ‎∠O2QO3+∠O3SO1=360°‎ ‎ 将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.‎ ‎ ∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K ‎ =(∠O2O1S+∠SO1K)‎ ‎ =(∠O2O1S+∠PO1O2)‎ ‎ =∠PO1S=∠A；‎ ‎ 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.‎ 二、重心 ‎ 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.‎ 例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.‎ ‎ (第26届莫斯科数学奥林匹克)‎ 分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB ‎，BC相交.从A，C，D，E，F分别 作该直线的垂线，垂足为A′，C′，‎ D′，E′，F′.‎ ‎ 易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，‎ ‎ ∴EE′=DD′+FF′.‎ ‎ 有S△PGE=S△PGD+S△PGF.‎ ‎ 两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.‎ 例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.‎ 分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.‎ ‎ (1)a2，b2，c2成等差数列△∽△′.‎ ‎ 若△ABC为正三角形，易证△∽△′.‎ ‎ 不妨设a≥b≥c，有 ‎ CF=，‎ ‎ BE=，‎ ‎ AD=.‎ ‎ 将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得 ‎ CF=，BE=，AD=.‎ ‎ ∴CF:BE:AD =::‎ ‎ =a:b:c.‎ ‎ 故有△∽△′. ‎ ‎ (2)△∽△′a2，b2，c2成等差数列.‎ ‎ 当△中a≥b≥c时，‎ ‎ △′中CF≥BE≥AD.‎ ‎　　　∵△∽△′，‎ ‎　　　∴＝()2.‎ ‎ 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.‎ ‎ ∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2‎ a2+c2=2b2.‎ 三、垂心 ‎ 三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.‎ 例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为 ‎△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.‎ ‎ (1992，全国高中联赛)‎ 分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径 为R.由△A2A3A4知 ‎ =2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；‎ ‎ 由△A1A3A4得 ‎ A1H2=2Rcos∠A3A1A4.‎ ‎ 但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.‎ ‎ 易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 A1H2，‎ ‎ 故得H1H2 A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.‎ ‎ 同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.‎ 例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.‎ ‎ 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.‎ ‎ (1989，加拿大数学奥林匹克训练题)‎ 分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设 BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外 接圆半径为R，⊙H的半径为r. ‎ ‎ 连HA1，AH交EF于M.‎ ‎ A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2‎ ‎ =r2+(AM2-MH2)， ①‎ ‎ 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2‎ ‎ =AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2‎ ‎ =cosA·bc-AH2， ②‎ ‎ 而=2RAH2=4R2cos2A,‎ ‎=2Ra2=4R2sin2A.‎ ‎∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③‎ 由①、②、③有 A=r2+·bc-(4R2-a2)‎ ‎=(a2+b2+c2)-4R2+r2.‎ 同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，‎ ‎=(a2+b2+c2)-4R2+r2.‎ 故有AA1=BB1=CC1.‎ 四、内心 三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：‎ 设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).‎ 例7．ABCD为圆内接凸四边形，取 ‎△DAB，△ABC，△BCD，‎ ‎△CDA的内心O1， O2，O3，‎ O4.求证：O1O2O3O4为矩形.‎ ‎ (1986，中国数学奥林匹克集训题)‎ 证明见《中等数学》1992；4‎ 例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.‎ ‎(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)‎ 分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？ ‎ ‎ 如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=.‎ ‎ ∵QK·AQ=MQ·QN，‎ ‎ ∴QK=‎ ‎ ==.‎ ‎ 由Rt△EPQ知PQ=.‎ ‎ ∴PK=PQ+QK=+=.‎ ‎ ∴PK=BK.‎ ‎ 利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.‎ 五、旁心 ‎ 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，‎ 旁心还与三角形的半周长关系密切.‎ 例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.‎ ‎ 式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.‎ ‎ (杭州大学《中学数学竞赛习题》)‎ 分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：‎ p(p-c)=(p-a)(p-b).‎ ‎∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)‎ ‎ =[(a+b)2-c2] ‎ ‎ =ab；‎ ‎(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)‎ ‎ =[c2-(a-b)2]=ab.‎ ‎∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ①‎ 观察图形，可得 ra=AF-AC=p-b，‎ rb=BG-BC=p-a，‎ rc=CK=p.‎ 而r=(a+b-c)‎ ‎ =p-c.‎ ‎∴r+ra+rb+rc ‎ =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p ‎ =4p-(a+b+c)=2p.‎ 由①及图形易证.‎ 例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：·=.‎ ‎(IMO-12)‎ 分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知 OD=OA′·‎ ‎ =A′B′··‎ ‎ =A′B′·，‎ O′E= A′B′·.‎ ‎∴.‎ 亦即有 ‎·=‎ ‎ ==.‎ 六、众心共圆 这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.‎ 例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点；‎ ‎ (2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.‎ ‎ (1991，国家教委数学试验班招生试题)‎ 分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，‎ ‎ IF=EF=FA，‎ ‎ IB=AB=BC.‎ ‎ 再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不等式有：‎ ‎ BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).‎ ‎ 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. ‎ ‎ ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.‎ ‎ ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA ‎ =2(BI+DI+FI)‎ ‎ ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)‎ ‎ =AD+BE+CF.‎ ‎ I就是一点两心.‎ 例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE 丄CD.‎ ‎ (加拿大数学奥林匹克训练题)‎ 分析：设AM为高亦为中线，取AC中点 F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设 CD交AM于G，G必为△ABC重心.‎ 连GE，MF，MF交DC于K.易证：‎ DG:GK=DC:()DC=2:1.‎ ‎ ∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.‎ ‎ ∵OD丄AB，MF∥AB，‎ ‎ ∴OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心.‎ ‎ 易证OE丄CD.‎ 例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.‎ ‎ (1988，中国数学奥林匹克集训题)‎ 分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.‎ ‎ 易证△AID≌△AIB≌△EIB，‎ ‎∠AID=∠AIB=∠EIB.‎ ‎ 利用内心张角公式，有 ‎ ∠AIB=90°+∠C=105°，‎ ‎ ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.‎ ‎ ∵∠AKB=30°+∠DAO ‎ =30°+(∠BAC-∠BAO)‎ ‎ =30°+(∠BAC-60°)‎ ‎ =∠BAC=∠BAI=∠BEI.‎ ‎ ∴AK∥IE.‎ ‎ 由等腰△AOD可知DO丄AK，‎ ‎ ∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.‎ ‎ 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.‎ ‎ 由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.‎ 例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距 离和为d重，垂心到三边距离和为d垂. ‎ 求证：1·d垂+2·d外=3·d重.‎ 分析：这里用三角法.设△ABC外接圆 半径为1，三个内角记为A，B，‎ C. 易知d外=OO1+OO2+OO3‎ ‎=cosA+cosB+cosC，‎ ‎ ∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①‎ ‎ ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC，‎ ‎ 同样可得BH2·CH3.‎ ‎ ∴3d重=△ABC三条高的和 ‎ =2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②‎ ‎ ∴=2，‎ ‎ ∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.‎ ‎ 同样可得HH2，HH3.‎ ‎ ∴d垂=HH1+HH2+HH3‎ ‎=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③‎ 欲证结论，观察①、②、③，‎ 须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.‎ 练 习 题 ‎1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，‎ B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)‎ ‎2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)‎ ‎3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)‎ ‎4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.‎ ‎5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)‎ ‎6.△ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)‎ ‎7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)‎ ‎8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.‎ ‎9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.‎